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亿以内数的认识
知识精讲1：
1.一（个）、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿……都是计数单位。
2.每相邻两个计数单位之间是十进制关系。
3.计数单位所占的位置是数位，哪一位上是几，就表示有几个这样的计数单位。
4.从个位起，向左每四个数位为一级，分为个级、万级、亿级。

5.





知识精讲2：
含有两级的数的读法：
1.先读万级，再读个级；
2.万级的数，要按照个级的数的读法来读，再在后面加上一个“万”字。
3.每级末尾不管有几个0，都不读，其他数位上有一个0或连续几个0，都只读一个零。

知识精讲3：
亿以内数的写法：
1. 先找“万”字分级；
2. 先写万级，再写个级；
3. 哪个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0。

知识精讲4：
亿以内数大小比较的方法：
1.先数一数是几位数，位数不同时，位数多的数就大；
2.位数相同时，从最高位比起，最高位上的数大的那个数就大，如果最高位上的数相同，就比较下一位。









奥数思维拓展：
用数字组成最大数与最小数
渗透一种数学思想：比较思想。
学习两类思维方法：排序法、目标思维法。
[例题]明明和爸爸、妈妈用0，0，2，9，7，6这六个数字玩组数游戏。爸爸说：“我组成了一个最大的六位数”。妈妈说：“我组成了一个最小的六位数。”你知道爸爸、妈妈组成的数各是多少吗？
[分析]
要组成最大的六位数，应该把这六个数字从大到小排列起来，就是所求的数。
要组成最小的六位数，应该把这六个数字从小到大排列起来，注意0不能在首位。
[解答]
爸爸组成的数是：976200； 妈妈组成的数是：200679
[技巧]用几个数字组数时：
（1）要组成最大的六位数，应该把这六个数字从大到小排列起来，就是所求的数。
（2）要组成最小的六位数，应该把这六个数字从小到大排列起来，注意0不能在首位。
[举一反三]
用3，8，2, 7, 0, 5, 1这七个数字组成一个最小的七位数，并读出来。


用3个0和5个7按要求组数。
组成一个最大的七位数：
组成一个最小的七位数：

3.小明用卡片2，5, 1，6，7, 0, 8排出了一个七位数8217056，小明将相邻的两张卡片交换了一下位置，使所得的数尽可能大，小明该交换哪两张卡片的位置？得数最大是多少？






亿以内数的改写和求近似数、数的产生和十进制计数法
知识精讲1：
1.像这样的个级全是0的数，我们叫做整万数。而在生活中，有时需要把整万数改写成用“万”作单位的数。这样读、写起来比较方便。
2.把整万的数改写成用“万”作单位的数，方法就是把个级的4个0去掉，写成一个“万”字。

知识精讲2：
1.把整万数改写成用“万”作单位的数的方法：
把整万的数改写成用“万”作单位的数，方法就是把个级的4个0去掉，写成一个“万”字。

2.非整万数改写成用万作单位的近似数的方法：
可以用“四舍五入”的方法先将非整万的数省略万位后面的尾数，求出它的近似数，再改写成用“万”作单位的数。

3.


























知识精讲3：


表示物体个数的1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11…都是自然数，一个物体也没有，用0表示，0也是自然数。所有的自然数都是整数。
最小的自然数是0，没有最大的自然数，自然数的个数是无限的。


知识精讲4： 十进制计数法
每相邻两个计数单位之间的进率都是十的计数方法叫做十进制计数法。


















奥数思维拓展：
数字组合
渗透两种数学思想：推理思想、符号化思想。
学习一类思维方法：有序思维法。
[例题]用4个5和3个0组数，按要求写出全部的七位数。
读出一个零；
读出两个零；
三个零全读；
所有的零都不读。
[分析]
因为只有3个0，所以全读出来或全不读是容易解决的问题。“全读”只有一种排列方式，就是 0 0 0 。
（2）0位于整个数的末尾或者每级的末尾时“全不读”。
（3）要读出两个零，可以每级上读一个，也可以只在各级上读出两个。
（4）排除上面的数，就是读出一个零的数。
[解答]
读出一个零：
5000555 5500055 5550005 5550050 5505005 5500550 5550500 5055500 5505050
5005055 5005505
读出两个零：
5050055 5055005 5055050 5050550 5500505
三个零全读：
5050505
所有的零都不读：
5555000 55055000 5005550
[技巧]
写数时，先确定哪类数最容易写；每写完一个数就读一读，判断自己写的数是否符合要求。



[举一反三]
1.一个七位数，它的百万位和百位上的数字都是9，万位上的数字是4，其他各个数位上的数都是0，这个数是多少？怎样读？




2.用0,0,2,3,4这五个数字，组成两个零都要读的五位数，你能写出几个？





用三个“0”和三个“9”按要求组成六位数。
读出一个零。


读出两个零。


（3）所有的零都不读。













亿以上数的认识
知识精讲1：
亿以上数的读法：
1.先分级，从高位读起，一级一级往下读。
2.读亿级或万级的数，先按照个级的读法读，再在后面加上一个“亿”字或“万”字。
3.一个数的末尾或每级末尾的0都不读，其他数位不管有几个连续0，都只读一个零。

知识精讲2：
亿以上数的写法
1.先找“亿”和“万”字分级；
2.从高位写起，先写亿级，再写万级，最后写个级；
3.哪一位上一个单位也没有，就用0占位。

知识精讲3：
1.整亿数：万级和个级各个数位上都是0的数。
2.亿以上数改写的方法：先分级，去掉亿位后面的8个0，换成“亿”字，用“＝”连接。

知识精讲4：
亿以上数的省略的方法：
1.先分级，找到亿位。
2.根据千万位上的数字，进行“四舍五入”。
3.用“≈”表示出结果，别忘了加上“亿”字。






奥数思维拓展：
最大数与最小数
渗透一种数学思想：比较思想。
学习三类思维方法：列表法、排除法、目标思维法。
[例题]一个数用“四舍五入”法省略万位后面的尾数是5万，这个数最大是多少？最小是多少？
[分析]
一个最大的五位数取近似数是5万，则5万应该是“四舍”的结果。
数位 万位 千位 百位 十位 个位
数字 5 4 9 9 9
①省略万位后面的数约为5万，原万位上一定是5；
②千位上一定是等于或小于4的数，只有是4才能保证最大；
③其他各位都是9，才能保证最大。

（2）一个最小的五位数取近似数是5万，则5万应该是“五入”的结果。
数位 万位 千位 百位 十位 个位
数字 4 5 0 0 0
①万位从千位进1后约为5，原万位上一定是4；
②千位上一定是等于或大于5的数，只有是5才能保证最小；
③其他各位都是0，才能保证最小。

[解答]
这个数最大是：54999，最小是45000。

[技巧]
解决此类问题时，要灵活运用“四舍五入”法。要使原数最大，则近似数是“四舍”的结果；要使原数最小，则近似数是“五入”的结果。



[举一反三]
1.先在（ ）里填上最接近的整万数，再说一说最接近哪个整万数。
(1) ( )万＜625780 625780＜（ ）万
625780最接近（ ）
（2）（ ）万＜49625 49625＜（ ）万
49625最接近（ ）
（3）（ ）万＞12003008 12003008＞（ ）万
12003008最接近（ ）

2. 里可以填哪些数字，填在后面的（ ）里。

（1）5 628≈5万， 里可以填（ ）

（2）18 7580≈185万， 里可以填（ ）

（3）299 283≈300万， 里可以填（ ）

6327≈10万， 里可以填（ ）

3.一个数四舍五入到万位是728万，这个数最大是多少？最小是多少？





















公顷和平方千米

知识精讲1：
1.借助资料，初步感知公顷

2.测量土地面积，可以用“公顷”作单位。
3.边长是100米的正方形面积是1公顷，1公顷＝10000平方米。

知识精讲2：
1.计量比较大的土地面积，常用“平方千米”作单位。
2.边长是1千米的正方形的面积是1平方千米，1平方千米＝1000000平方米＝100公顷。
3.魔法记忆口诀：
土地面积真好记，公顷描述林耕地；
国土要用平方千米记，大得公顷没法比；
1万平方米是1公顷，100公顷是1平方千米。

知识精讲3：
面积单位：
平方千米——
公顷 ——
平方米 ——
平方分米——
平方厘米——
1平方千米＝100公顷
1公顷＝10000平方米
1平方千米＝1000000平方米
1平方米＝100平方分米
1平方分米＝100平方厘米
1平方米＝10000平方厘米
奥数思维拓展：
运用图示法解决求图形面积的问题
渗透两种数学思想：转化思想、类比思想。
学习两类思维方法：分析法、比较法。
[例题]一个占地1公顷的正方形苗圃，边长各加长100米，苗圃的面积增加多少公顷？
[分析]由“占地1公顷的正方形苗圃”可知原正方形的边长是100米。，所以边长加长后的苗圃边长是100＋100＝200（米）。用边长加长后的苗圃面积减去原苗圃面积，即为增加的面积。
[解答]
占地1公顷的正方形苗圃边长是100米。
（100＋100）×（100＋100）＝40000（平方米）
40000平方米＝4公顷
4－1＝3（公顷）
答：苗圃的面积增加3公顷。
[技巧]
解决此类问题要先分别求出变化后图形的面积，再与原图形进行作差，从而求得增加的面积。
[举一反三]
1.一个占地16公顷的正方形露天垃圾场，改建后如图所示，现在这个垃圾场（图中阴影部分）的占地面积是多少公顷？和原垃圾场相比，面积减少了多少公顷？




2.一块长方形土地，长400米，宽300米。如果把它的长增加200米，宽不变，那么它的面积增加多少公顷？




3.有一块长方形林地，如果长增加5千米，面积就增加15平方千米；如果宽增加6千米，面积就增加48平方千米。这块林地的面积是多少平方千米？



角的度量
知识精讲1：
直线、射线、线段的认识

知识精讲2：
1.角的意义： 从一点引出两条射线所组成的图形叫做角，用符号“∠”表示。这个点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边。
2.角的表示方法：
表示方法1：角的顶点用字母O表示，在两条边上分别任意取一点，
用字母A、B表示。角通常用符号“∠”来表示，这个
角可以记作“∠AOB”， 读作：角AOB。

表示方法2：从角的一条边向另一条边画一条弧线，并标上数字。角通常用符号“∠”来表示，这个角可以记作“∠1”， 读作：角1。

知识精讲3：
1.认识量角器
量角器是把半圆分成180等份制成的。







2.角的度量方法
想一想：怎样用量角器量出角的度数？
把量角器的中心与角的顶点重合，0°刻度线与角的一条边重合。
角的另一边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数。
注：测量开口向右的角一般要看内圈刻度，测量开口向左的角一般要看外圈刻度。根据0°刻度线确定好内、外圈刻度是读准度数的关键。

3.总结：（1）度量角的工具是量角器，“度”是角的计量单位。
（2）量角时把量角器的中心与角的顶点重合，0°刻度线与角的一条边重合。

知识精讲4：












知识精讲5：
角的画法：
以60°的角为例：
方法：① 画一条射线。
② 确定度数。（使量角器的中心和射线的端点重合，0°刻度线和射线重合。在量角
器60°刻度线的地方点一个点。）
③ 确定角的另一条边。（以画出的射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线。）
④ 标好角的符号及度数。
















奥数思维拓展：
数图形个数的问题
渗透四种数学思想：符号化思想、分类思想、数形结合思想、统计思想。
学习三类思维方法：直观图示法、列举法、符号化法。

[例题]右图中一共有多少个锐角？
想一想：射线的条数与角的个数有什么关系吗？

[分析]研究射线的条数与角的个数有什么关系
图形 ……
射线条数 2 3 4 5 6 ……
角的个数 1 3 6 10 15 ……
计算方法 — 1＋2 1＋2＋3 1＋2＋3＋4 1＋2＋3＋4＋5 ……

[解答]
4＋3＋2＋1＝10（个）
答：一共有10个锐角。
[技巧]
如果组成这些角的射线（射线的端点为同一个点）共有n条，那么角的个数为（n－1）＋（n－2）＋（n－3）＋…＋1

举一反三:
1.数出图中一共有多少条线段？多少条射线？

? ? ? ? ? ?

2.数一数下图中一共有多少个三角形。






3.经过下面四点中的两点能不能画直线？能画几条？
A?
D?


B?
C?
三位数乘两位数的笔算乘法
知识精讲1：
三位数乘两位数的计算方法：
1.用竖式计算三位数乘两位数时，一般把三位数写在两位数的上面，便于计算。算出结果后，可以用计算器进行验算。
2.三位数乘两位数笔算方法：
（1）先用两位数的个位上的数去乘三位数的每一位，得数的末位和两位数的个位对齐。
（2）再用两位数的十位上的数去乘三位数的每一位，得数的末位和两位数的十位对齐。
（3）把两次乘得的积加起来。

知识精讲2：
1.因数末尾有0的三位数乘两位数的计算方法：
因数末尾有0的乘法，先把0前面的数相乘，然后看两个因数的末尾一共有几个0，就在积的末尾添上几个0。
2.因数中间有0的三位数乘两位数的计算方法：
用两位数的个位、十位上的数依次乘三位数每一位上的数，包括0也要乘，与0相乘得0后，如果没有进位，则写0占位，如果有进位，需加上进位的数，写在相应的数位上。













奥数思维拓展：
（一）乘法竖式中的数字谜
1.渗透三种数学思想：假设思想、推理思想、方程思想。
2.学习两类思维方法：配对法、猜想与尝试法。
[例题]下面算式中，每个字母代表一个数字，它们分别是几呢？

[分析]
突破口：由B×6的个位数是0，知B＝0或5，又由B×C的个位数是5，可知B只能
是5。
由A45×6＝1ED0，知D＝7。
由D＋5（即7＋5）的个位数字是A，知A＝2，进而推出E＝4。
由245×C＝7C5，得C＝3。则F＝0；G＝8。
[解答]
A＝2 B＝5 C＝3 D＝7 E＝4 F＝0 G＝8
[技巧]
解决此类问题，一般可以从某个因数的首位或末位数字开始分析，要注意以下几个方面：
每个字母代表0—9中的一个数，且最高位上不能是0；
两个数字相乘，最大的进位数是8；
在计算中进位不能遗漏；
算式谜求出后，要进行验算。
[举一反三]
在下面的方框中填入适当的数字，使竖式成立。
INCLUDEPICTURE \d "D:\\我的文档\\Tencent Files\\792872427\\Image\\C2C\\3995E5BFD670AC2FC0AEA1AF76AFAD1A.jpg" \* MERGEFORMATINET
2.下列算式中，每个汉字或字母各代表几？
INCLUDEPICTURE \d "D:\\我的文档\\Tencent Files\\792872427\\Image\\C2C\\B77032E233C74BBAB7D9F82D06EA6030.jpg" \* MERGEFORMATINET



（二）积的末尾有多少个0
1.渗透一种数学思想：推理思想
2.学习两类类思维方法：观察法、筛选法
[例题]在乘法算式150× 0的方格中填几时，积的末尾有2个0？
[分析]
从算式中可以看出，两个因数的末尾各有1个0，所以积的末尾就至少有2个0。
为了使积的末尾只有2个0，第二个因数十位上的数字与第一个因数十位上的数字5的乘积不能是整十数，因此，方格中的数字可以为1，3，5，7，9。
[解答]
当方格中的数字可以为1，3，5，7，9时，积的末尾有2个0。
[技巧]
先根据因数末尾的0的个数与积的末尾0的个数的关系，确定积的末尾需要增加的0的个数，再根据两个因数相乘时可能出现在末尾的0的个数来进行数字筛选。

[举一反三]
1.在乘法算式150× 0的方格中填几时，积的末尾有3个0？








5×5×5×5×5×5×（ ）的括号里最小填几时，积的末尾有6个0？








3.你能用1,2，5，6，0这五个数字组成不同的三位数乘两位数的乘法算式，使得积的末尾有两个0吗？





积的变化规律和数量关系
知识精讲1：
积的变化规律
1.两个因数相乘，一个因数不变，另一个因数乘几，积就乘几。
2.两个因数相乘，一个因数不变，另一个因数除以几（0除外），积也就除以几。
3.综上所述：两个因数相乘，一个因数不变，另一个因数乘几或除以几（0除外），积也乘（或除以）几。

知识精讲2：
单价的认识
1.每件商品的价钱，叫做单价；
2.买了多少，叫做数量；
3.一共用的钱数，叫做总价。

单价、数量和总价三者之间的关系：
单价×数量＝总价
总价÷单价＝数量
总价÷数量＝单价

知识精讲3：
速度的认识
1.一共行了多长的路，叫做路程；
2.每小时（或每分钟等）行的路程，叫做速度；
3.行了几小时（或几分钟等），叫做时间。

速度、时间和路程之间的关系是：
速度×时间＝路程
路程÷速度＝时间
路程÷时间＝速度






奥数思维拓展：
积的变化规律
1.渗透两种数学思想：函数思想、推理思想
2.学习一类思维方法：猜想与试验法

[例题]填一填，你有什么发现？
32×15＝480
（32÷2）×（15×4）＝（ ）
（32×9）×（15÷3）＝（ ）
（32×2）×（15÷4）＝（ ）
[分析]
猜想：两个因数分别乘几、除以几，积也乘几、除以几。
验证：（32÷2）×（15×4）＝（960）＝480÷2×4
（32×9）×（15÷3）＝（1440）＝480×9÷3
（32×2）×（15÷4）＝（240）＝480×2÷4
[解答] 960 1440 240
发现：在这三个乘法算式中，一个因数乘几，另一个因数除以几（0除外），积也发生变化，先乘几再除以几。或先除以几再乘几。

[技巧]
一个因数乘（或除以）a(a不为0)，另一个因数除以（或乘）b(b不为0)，积也先乘（或除以）a，再除以（或乘）b。
[举一反三]
1.根据5×6＝30直接写出下列各题的得数。
15×24＝（ ） 25×18＝（ ） 35×12＝（ ）

2.根据60×48＝2880直接写出下列各题的得数。
12×24＝（ ） 30×12＝（ ） 30×16＝（ ）

3.一个长方形的停车场，面积是200平方米。扩建后，长扩大到原来的2倍，宽扩大到原来的3倍，扩建后的面积是多少平方米？






火车过桥问题
1.渗透两种数学思想：数形结合思想、推理思想
2.学习两类思维方法：图解法、公式法
[例题]一列火车车身长400米，以8米/秒的速度经过一座长2400米的大桥。从车头上桥到车尾离桥一共需要多长时间？
[分析]

行驶的路程＝火车车身长＋桥长
[解答]
（400＋2400）÷8
＝2800÷8
＝350（秒）
答：车头上桥到车尾离桥一共需要350秒。
[技巧]
解决火车过桥问题时：
所行的路程＝桥长＋车身长
所行的时间＝（桥长＋车身长）÷速度
火车的速度＝（桥长＋车身长）÷时间

[举一反]
1.一列火车以12米/秒的速度行驶，通过一个隧道用了5分钟。你知道隧道有多长吗？








2.一列火车以10米/秒的速度行驶，通过一个长2800米的隧道用了6分钟。你知道火车有多长吗？








3.一列车身长600米的火车，匀速经过一座长2200米的大桥，从车头上桥到车尾离桥共用7分钟。这列火车过桥的速度是每分钟多少米？















平行四边形和梯形
知识精讲1：
1.平行与垂直： 同一个平面内的两条直线的位置关系只有两种 不相交——平行
相交 垂直
不垂直
平行：在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。
垂直：两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直。
其中一条直线叫做另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。
拓展：① “在同一个平面内”是确定两条直线是不是平行关系的前提。如果不在同一个平面
内，有些直线虽然不相交，但也不能称为互相平行。
② 在同一个平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行。
如果a∥b，b∥c，那么a∥c。
③ 在同一个平面内，如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行。
如果a⊥b，b⊥c，那么a∥c。

垂直的画法：
（1）在画互相垂直的两条直线时，可以借助三角尺或量角器来画。
（2）过直线上一点画已知直线的垂线的方法：
① 把三角尺的一条直角边与已知直线重合。
② 沿着直线移动三角尺，使三角尺的直角顶点和直线上的已知点重合。
③ 沿着三角尺的另一条直角边画一条直线（三角尺的直角顶点是垂足），这条直线就是
已知直线的垂线。
④ 标出直角符号。
（3）过直线外一点画已知直线的垂线的方法：
① 把三角尺的一条直角边与已知直线重合。
② 沿着直线移动三角尺，使三角尺的另一条直角边过直线外的一点。
③ 沿着三角尺的另一条直角边画一条直线（三角尺的直角顶点是垂足），这条直线就是
已知直线的垂线。
④ 标出直角符号。

点到直线的距离：
(1)从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫做这点到直线的距离。
(2)平行线间的距离处处都相等。

画长方形的方法：
(1)先画出长方形的长；
(2)再以这条长的两个端点为垂足，向同一个方向画两条长度相等且与这条长垂直的线段作为
长方形的两条宽；
(3)最后把这两条宽的另外两个端点连接起来，画出长方形的另一条长。





















奥数思维拓展：
数平行线与互相垂直的线段
1.渗透三种数学思想：符号化思想、统计思想、分类讨论思想
2.学习两类思维方法：观察法、分析计数法

[例题]图中有（ ）组平行线段。
有（ ）组相互垂直的线段。



[分析]
观察图形，根据正方形两组对边分别平行可知BA∥CD、BC∥AD。找相互垂直的线段时，先找正方形上的，再找正方形内部的。正方形中每相邻的两条边垂直，即BA⊥BC、BA⊥AD、BC⊥CD、AD⊥CD，且正方形对角的连线相互垂直，即BD⊥AC。

[解答] 2 5

[技巧]
解决此类问题时，要根据平行和垂直的定义及特征进行判断。

[举一反三]
图中有（ ）组平行线。有（ ）组互相垂直的直线。





2.下面图中哪些直线相互平行？哪些直线相互垂直？







3.下图中共有多少组平行线段？

平行四边形和梯形
知识精讲1：
1.平行四边形：两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形。
特征：两组对边分别平行且相等。
平行四边形的底和高：从平行四边形一条边上的一点向对边引一条垂线，这点和垂足之间
的线段叫做平行四边形的高，垂足所在的边叫做平行四边形的底。




平行四边形特性：易变形，具有不稳定性。

知识精讲2：
梯形：只有一组对边平行的四边形，叫做梯形。
梯形各部分的名称：


特殊梯形：①等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形。（如图1）
②直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形。（如图2）



画梯形高的方法：在梯形的底上选一点向对边画一条垂线，这点和垂足之间的线段就是梯形的高。（通常从上底的一个端点向它的对边画高。）






补充：
1.平行四边形和梯形画高的注意事项：
①要用虚线表示。②一定要画直角符号。③一般把高画在图形内。
2.四边形之间的关系






3.比较各种四边形的特征：
四边形 边数 对边是否平行 对边是否相等 对角是否相等
正方形
长方形
平行四边形
梯形






奥数思维拓展：图形拼接（二）
1.渗透一种数学思想：假设思想
2.学习两类思维方法：尝试法、空间想象法

思维提升
[例题]在正六边形中（每条边的长度都相等）中画一条线段，将其分为2个等腰梯形，你有几种画法？
A F


B E


C D
[分析]
等腰梯形的特点是两腰相等，而正六边形的每条边都相等，所以只要画一条连接正六边形两内角顶点的线段，将其分成两个等腰梯形就可以了。
[解答]
共有3种画法（如图）。
A F A F A F

B E B E B E

C D C D C D
[技巧]
解决此类问题时，要结合等腰梯形和正六边形的特征，尝试一下将正六边形用一条直线分割成2个等腰梯形。
[举一反三]
1.在下面的平行四边形中画一条线段，把它分成完全相等的两部分。







2.在梯形里画一条线段，将梯形分成一个三角形和一个平行四边形。









3.将下面的图形按要求简拼。








剪一刀拼成一个长方形 剪一刀拼成一个长方形 剪两刀拼成一个长方形



60°

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