资源简介

西
城
区
高
三
统
一
测
试
数
学
2020.4
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至6页,共150分。
考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。考试结束后,
将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
(选择题
共40分)
一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,
选出符合题目要求的一项.
1.设集合A={x|x<3},B={x|x<0,或x>2},则A∩B=
(A)(- ,0)
(B)(2,3)
(C)(- ,0)∪(2,3)
(D)(- ,3)
2.若复数z=(3-i)(1+i),则|z|=
(A)22
(B)25
(C)
10
(D)20
3.下列函数中,值域为R且为奇函数的是
(A)y=x+2
(B)y=sinx
(C)y=x-x3
(D)y=2x
4.设等差数列
{an}的前n项和为Sn,若a3=2,a1+a4=5,则S6=
(A)10
(B)9
(C)8
(D)7
5.设A(2,-1),B(4,1),则以线段AB
为直径的圆的方程是
(A)(x-3)2+y2=2
(B)(x-3)2+y2=8
(C)(x+3)2+y2=2
(D)(x+3)2+y2=8
6.设a,b,c为非零实数,且a>c,b>c,则
(
)
a+b
1
1
2A
a+b>c
(B)ab>c2
(C)
2
>c
(D)a+b>c
北京市西城区2020年4月高三数学试卷
第
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7.某四棱锥的三视图如图所示,记S
为此棱锥所有棱的长度的集合,则
(A)22 S,且23 S
(B)22 S,且23∈S
(C)22∈S,且23 S
(D)22∈S,且23∈S
8.设a,b为非零向量,则
“|a+b|=|a|+|b|”是
“a与b共线”的
(A)充分而不必要条件
(B)必要而不充分条件
(C)充要条件
(D)既不充分也不必要条件
sinx
9.已知函数f(x)=
的部分图象如图所示,将此图象分别作以下变换,那么1+2sinx
变换后的图象可以与原图象重合的变换方式有
①
绕着x
轴上一点旋转180°;
②
沿x
轴正方向平移;
③
以x
轴为轴作轴对称;
④
以x
轴的某一条垂线为轴作轴对称.
(A)①③
(B)③④
(C)②③
(D)②④
ìx2
+10x+1,x≤0,
10.设函数f(

x)=
í
若关于x
的方程f(x)=a(a∈R)有四个实数
|lgx|,
x>0.
解xi(i=1,2,3,4),其中x1(A)(0,101]
(B)(0,99]
(C)(0,100]
(D)(0,+ )
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第
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第Ⅱ卷(非选择题
共110分)
二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.
1
11.在
(x+
)6
的展开式中,常数项为
.(用数字作答)x
12.若向量a=(x2,2),b=(1,x)满足a·b<3,则实数x
的取值范围是
.
x2
y2
2
13.设双曲线
4-b2=1
(b>0)的一条渐近线方程为y=
x,则该双曲线的离心率2
为
.
14.函数f(x)
π
=sin(2x+
)的最小正周期为
;若函数f(x)在区间
(4
0
,α)上单
调递增,则α的最大值为
.
15.在一次体育水平测试中,甲、乙两校均有100名学生参加,其中:甲校男生成绩的
优秀率为70%,女生成绩的优秀率为50%;乙校男生成绩的优秀率为60%,女生
成绩的优秀率为40%.对于此次测试,给出下列三个结论:
①
甲校学生成绩的优秀率大于乙校学生成绩的优秀率;
②
甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率;
③
甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系不确定.
其中,所有正确结论的序号是
.
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三、解答题:本大题共6小题,共85分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演
算步骤.
16.(本小题满分14分)
如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1
中,AA1⊥平面ABCD,底面ABCD
满足
AD∥BC,且AB=AD=AA1=2,BD=DC=22.
(Ⅰ)求证:AB⊥平面ADD1A1;
(Ⅱ)求直线AB
与平面B1CD1
所成角的正弦值.
17.(本小题满分14分)
2π
已知△ABC
满足
,且b=
6,A=
,求sinC
的值及△ABC
的面积3
.
π
从①B=
,
,4
②a=
3
③a=32sinB
这三个条件中选一个,补充到上面问题中,
并完成解答.
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
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18.(本小题满分14分)
2019年底,北京2022年冬奥组委会启动志愿者全球招募,仅一个月内报名人数
便突破60万,其中青年学生约有50万人.现从这50万青年学生志愿者中,按男女分
层抽样随机选取20人进行英语水平测试,所得成绩
(单位:分)统计结果用茎叶图记
录如下:
(Ⅰ)试估计在这50万青年学生志愿者中,英语测试成绩在80分以上的女生人数;
(Ⅱ)从选出的8名男生中随机抽取2人,记其中测试成绩在70分以上的人数为X,求
X
的分布列和数学期望;
(Ⅲ)为便于联络,现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组
(每组人数不少于5000),
并在每组中随机选取m
个人作为联络员,要求每组的联络员中至少有1人的英语
测试成绩在70分以上的概率大于90%.根据图表中数据,以频率作为概率,给出
m
的最小值.(结论不要求证明)
19.(本小题满分14分)
设函数f(x)=alnx+x2-(a+2)x,其中a∈R.
(Ⅰ)
()
(,
())
π
若曲线y=f
x
在点
2
f2
处切线的倾斜角为
,求4
a
的值;
(Ⅱ)已知导函数f'(x)在区间
(1,e)上存在零点,证明:当x∈(1,e)时,f(x)>-e2.
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20.(本小题满分15分)
2
设椭圆E:
x
+y2=1,直线l1
经过点
M(m,0),直线2
l2
经过点
N(n,0),
直线l1∥直线l2,且直线l1,l2
分别与椭圆E
相交于A,B
两点和C,D
两点.
(Ⅰ)若M,N
分别为椭圆E
的左、右焦点,且直线l1⊥x
轴,求四边形ABCD
的面积;
(Ⅱ)若直线l1
的斜率存在且不为0,四边形ABCD
为平行四边形,求证:m+n=0;
(Ⅲ)在
(Ⅱ)的条件下,判断四边形ABCD
能否为矩形,说明理由.
21.(本小题满分14分)
对于正整数n,如果k(k∈N
)个整数a1,a2,…,ak
满足1≤a1≤a2≤…≤ak≤n,
且a1+a2+…+ak=n,则称数组
(a1,a2,…,ak)为n的一个
“正整数分拆”.记a1,
a2,…,ak
均为偶数的
“正整数分拆”的个数为fn,a1,a2,…,ak
均为奇数的
“正整
数分拆”的个数为gn.
(Ⅰ)写出整数4的所有
“正整数分拆”;
(Ⅱ)对于给定的整数n(n≥4),设
(a1,a2,…,ak)是n的一个
“正整数分拆”,
且a1=2,求k的最大值;
(Ⅲ)对所有的正整数n,证明:fn≤gn;并求出使得等号成立的n的值.
(注:对于n
的两个
“正整数分拆”(a1,a2,…,ak)与
(b1,b2,…,bm),当且仅当
k=m
且a1=b1,a2=b2,…,ak=bm
时,称这两个
“正整数分拆”是相同的.)
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城
区
高
三
统
一
测
试
数学参考答案
2020.4
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.
1．C
2．B
3．C
4．B
5.
A
6.
C
7.
D
8.
A
9.
D
10.
B
二、填空题：本大题共5题，每小题5分，共25分.
11．
12．
13．
14．，
15．②③
注：第14题第一问3分，第二问2分；第15题全部选对得5分，不选或有错选得分，其他得3分.
三、解答题：本大题共6小题，共85分.
其他正确解答过程，请参照评分标准给分.
16．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）因为在底面中，，
所以，即.
………………
2分
因为平面，平面，
所以，
………………
4分
又因为，平面，
所以平面.
………………
6分
（Ⅱ）由（Ⅰ），得两两垂直，故分别以，，为轴，轴，轴，如图建立空间直角坐标系，
………………
7分
在底面中，由题意，得.
则，，，，，
所以，，，
………………
8分
设平面的法向量，
由，，得
令，得.
………………11分
设直线与平面所成的角为，
则
，
直线与平面所成角的正弦值为.
………………
14分
17．（本小题满分14分）
解：（不可以选择②作为补充条件.）
选择①作为补充条件.
………………
2分
解答如下：
因为在中，，
所以
………………
4分
………………
6分
.
………………
8分
在△中，由正弦定理，得.
………………
11分
所以△的面积.
………………
14分
选择③作为补充条件.
………………
2分
解答如下：
在△中，由，以及正弦定理，
………………
4分
得，解得.
由，得为锐角，
所以，且.
………………
6分
因为在中，，
所以
………………
8分
………………
10分
.
………………
11分
所以△的面积.
………………
14分
18．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）由图表可知，测试成绩在80分以上的女生有2人，占比为，………
3分
故在这50万青年学生志愿者中，英语测试成绩在80分以上的女生约为万人.
………………
5分
（Ⅱ）由图表知，选取的8名男生中，成绩在70分以上的有3人，70分及其以下的有5人，
由题意，随机变量的所有可能取值为：0，1，2.
………………
6分
且，，.
………………
9分
所以随机变量的分布列为：
0
1
2
………………
10分
所以.
………………
11分
（Ⅲ）m的最小值为4.
………………
14分
19．（本小题满分14分）
解:（Ⅰ）由题意，得，
………………
2分
则，
………………
4分
即，解得.
………………
6分
（Ⅱ），其中.
………………
7分
令，得，或.
………………
8分
由导函数在区间上存在零点，得，即.
……
9分
随着变化，与的变化情况如下表所示：
0
↘
极小值
↗
所以在上单调递减，在上单调递增.
所以在上存在最小值.
………………
11分
设，.
则，.
……
12分
所以.
由，得，，则.
所以在区间上单调递减.
所以，即
故当时，.
………………
14分
20．（本小题满分15分）
解：（Ⅰ）由题意，得，，
则.
………………
2分
根据椭圆的对称性，知四边形是矩形.
设，，，，
将代入椭圆方程得.
………………
3分
所以四边形的面积.
………………
5分
（Ⅱ）设，，直线，
………………
6分
联立消去，得，
……
7分
则，
，.
………………
8分
所以
………………
9分
.
同理，得.
由四边形为平行四边形，得，即得.
由题意知，所以，即.
………………
11分
（Ⅲ）结论：四边形不可能为矩形.
………………
12分
由（Ⅱ）知两点关于原点对称.
根据椭圆的对称性，可得两点关于原点对称，故的坐标为.
由题意，得，.
………………
13分
于是，.
所以不可能垂直于.
所以四边形不能为矩形.
………………
15分
21．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ），，，，
.
………………
3分
（Ⅱ）由题意，知，且，
得，即.
………………
5分
所以当是偶数时，的最大值是（此时，
是的一个“正整数分拆”）；
当是奇数时，的最大值是（此时，是的一个“正整数分拆”）.
………………
8分
（Ⅲ）当为奇数时，
由题意，得；且是的一个各位数字均为奇数的“正整数分拆”，
所以，故.
………………
9分
当为偶数时，
由是各位数字均为偶数的“正整数分拆”，是各位数字均为奇数的“正整数分拆”，得，.
①
当时，的“正整数分拆”只有和，所以；
②
当时，由（Ⅰ）知，；
………………
11分
③
当为大于的偶数时，
因为对于的任意一个各位数字均为偶数的“正整数分拆”，都存在一个与之对应的各位数字均为奇数的“正整数分拆”.
且当不同时，其对应的也不相同，
所以.
又因为在上述对应关系下，各位数字均为奇数的“正整数分拆”不存在与之对应的各位数字都是偶数的“正整数分拆”，（注：因为，所以有意义）
所以.
综上，对所有的正整数，；当且仅当或时等号成立.
………
14分
B1
B
D
A
A1
D1
C
C1
y
x
z
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