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函数中多变量的处理策略利用变量结构进行减元
【知识回顾】
在函数问题中，有一类变量超过2个的题型，称之为多元变量问题，多变量问题从形式上就让不少学生觉得面目可憎，遇之则躲，而这类题的难度之一也就在此处，变量多，不知如何处理.在前面的公众号文章——极值点偏移问题，在某种意义上也属多元变量问题的范畴.回忆高中数学能研究的范畴，大家的知识仅限于对函数性质的研究，所以多变量问题研究的核心就是要构造函数，而构造函数的关键就是要减少变量，将多变量问题化归于单变量问题，本专题聚焦于利用变量满足的结构，进行换元将多元变量化归单变量.
【典型例题】
例题（广东茂名市2019届高三上期末）已知函数在x＝1处的切线与直线x－2y+1＝0平行.
（1）求实数a的值，并判断函数f(x)的单调性；
（2）若函数f(x)＝m有两个零点x1，x2，且x1＜x2，求证：x1＋x2＞1.
解 (1)，
，，令，故令，故
（2）由为函数的两个零点，得两式相减，可得 ，，
因此，，令 则，构造函数，
则，所以函数故
即，可知.故命题得证.
【解题反思】
其实这类题在前面的微专题——极值点偏移类问题已经讲过，换句话说，极值点偏移类的问题也可以归在多变量问题，对于此题的处理，就是用齐次式的想法将两个极值点的比值换元成一个变量，从而实现双变量变单变量的目的，构造出新函数，研究出新函数的相应性质，完成对题目的证明，当然也可以用极值点偏移的另外两种解法去完成对第(2)小题的证明.
【举一反三】
1.（无锡市2020届高三上学期期末考试）设函数，，.
（1）求函数的单调区间；
（2）若函数有两个零点，（）.
（Ⅰ）求的取值范围；
（Ⅱ）求证：随着的增大而增大.
解 (1)因为，所以
当时，在上恒成立，所以在上单调增，
当时，令解得，令解得
所以的增区间为，减区间为
(2)(I)由(1)可知，当时，在上单调增，至多一个零点，不符合题意.
当，因为有两个零点，所以，解得
因为，且，由的图象连续不间断，，所以存在使得.又，设，则，所以在上增，所以，所以，且，由的图象连续不间断，，所以存在使得，所以
(II)因为，所以，因为所以，设，则，所以，得，所以
所以，设，则，
记，则，所以在上增，所以，从而对，所以单调增，即随着的增大而增大，所以随着的增大而增大，得证.

2.[2014·天津卷] 设f(x)＝x－aex(a∈R)，x∈R.已知函数y＝f(x)有两个零点x1，x2，且x1(1)求a的取值范围；
(2)证明：随着a的减小而增大；
(3)证明：x1＋x2随着a的减小而增大．
解：(1)由f(x)＝x－aex，可得f′(x)＝1－aex.
下面分两种情况讨论：
(i)a≤0时，f′(x)>0在R上恒成立，可得f(x)在R上单调递增，不合题意．
(ii)a>0时，由f′(x)＝0，得x＝－ln a.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，－ln a) －ln a (－ln a，＋∞)
f′(x) ＋ 0 －
f(x) ? －ln a－1 ?
这时，f(x)的单调递增区间是(－∞，－ln a)；单调递减区间是(－ln a，＋∞)．于是，“函数y＝f(x)有两个零点”等价于如下条件同时成立：①f(－ln a)>0；②存在s1∈(－∞，－ln a)，满足f(s1)<0；③存在s2∈(－ln a，＋∞)，满足f(s2)<0.
由f(－ln a)>0，即－ln a－1>0，解得0(2)证明：由f(x)＝x－aex＝0，有a＝.设g(x)＝，由g′(x)＝，知g(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．并且，当x∈(－∞，0]时，g(x)≤0; 当x∈(0，＋∞)时，g(x)>0.由已知，x1，x2满足a＝g(x1)，a＝g(x2)．由a∈(0，e－1)及g(x)的单调性，可得x1∈(0，1)，x2∈(1，＋∞)．对于任意的a1，a2∈(0，e－1)，设a1>a2，g(ξ1)＝g(ξ2)＝a1，其中0<ξ1<1<ξ2；g(η1)＝g(η2)＝a2，其中0<η1<1<η2.
因为g(x)在(0，1)上单调递增，所以由a1>a2，即g(ξ1)>g(η1)，可得ξ1>η1.类似可得ξ2<η2.
又由ξ1，η1>0，得<<，所以随着a的减小而增大．
(3)证明：由x1＝aex1，x2＝aex2，可得ln x1＝ln a＋x1，ln x2＝ln a＋x2.故x2－x1＝ln x2－ln x1＝ln.设＝t，则t>1，且解得x1＝，x2＝，所以x1＋x2＝.①令h(x)＝，x∈(1，＋∞)，则h′(x)＝.
令u(x)＝－2ln x＋x－，得u′(x)＝.
当x∈(1，＋∞)时，u′(x)>0.因此，u(x)在(1，＋∞)上单调递增，故对于任意的x∈(1，＋∞)，u(x)>u(1)＝0，由此可得h′(x)>0，故h(x)在(1，＋∞)上单调递增．
因此，由①可得x1＋x2随着t的增大而增大．
而由(2)，t随着a的减小而增大，所以x1＋x2随着a的减小而增大．
3.（扬州、泰州、南通联考）设函数，其图象与轴交于，两点，且x1＜x2．
（1）求的取值范围；
（2）证明：（为函数的导函数）；
（3）设点C在函数的图象上，且△ABC为等腰直角三角形，记，求的值．
解 （1）．
若，则，则函数是单调增函数，这与题设矛盾．所以，令，则．
当时，，是单调减函数；时，，是单调增函数；
于是当时，取得极小值．因为函数的图象与轴交于两点，(x1＜x2)，
所以，即．.
此时，存在；
存在，
又由在及上的单调性及曲线在R上不间断，可知为所求取值范围.
（2）因为 两式相减得．
记，则，设，则，所以是单调减函数，
则有，而，所以．
又是单调增函数，且
所以．
（3）依题意有，则．
于是，在等腰三角形ABC中，显然C = 90°，所以，即，
由直角三角形斜边的中线性质，可知，
所以，即，
所以，
即．
因为，则，
又，所以， 即，所以

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