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函数中的等高线
【知识回顾】
函数性质是用来描述函数的，包括定义域、值域、单调新、奇偶性、对称性、周期性等.如果单独去研究某个函数性质，我们可以仅仅抓住相关性质的概念去探讨，不过在高考中，关于函数性质的考查都会同时对2-3个性质进行考查，这样一来的话，题目的难度就会上升很多，不过万变不离其宗，不管同时考查几个函数性质，我们在研究函数题如果可以把相关的函数性质都研究出来，那这样的函数题在我们面前就是纸老虎一只，在函数性质考点部分中，有一类常见的题型，给出同一个函数(分段函数居多)两个或者多个函数值相等的条件，然后解决跟与此有关的问题.由于函数值相等，在图形上直观显现的结果是高度一样，于是就称之为等高线，此类问题，看似很难，实则非常简单，抓住一个关键词就能解决——消元，将多元变量努力消元变成单元变量的函数问题，这样就回到我们熟悉的函数性质的研究.
【典型例题】
例1（江苏省昆山中学2020年3月月考12）设函数，若方程有四个不同的实数解，则的取值范围是 .

解 如图所示，由函数性质可知，且，所以
=在上减，所以原式的取值范围为
【解题反思】本题中函数模型之一y=|x＋1|的图象具有对称性，函数模型之二y=|lgx|中的等高值的两个自变量之积为1，这样分段函数等高值的四个变量两两关系都确定了，从而可以把四个变量迅速减少到一个，接下来的解题过程就是一片坦途.
例2（江苏省常熟中学2020届高三上学期阶段性抽测二12月数学试题）已知函数，其中e为自然对数的底数，若存在实数满足，且，则的取值范围为____________.

解 因为，，所以且，所以
所以，记，
，易知在上增，在上减，又，
，，所以，所以的取值范围为.

【解题反思】这道题的等高值变量就两个，根据函数值相等就能得到两个变量的等量关系，就顺利的减少一个变量，得到一个新的函数，研究新函数的值域即可.
【举一反三】
1.(★★★江苏省南通市重点中学2020届高三上学期阶段10月模拟测试14)已知函数若存在，当时，，则的取值范围是 ．

2.(★★★江苏省泰州中学、江都中学、宜兴中学2020届高三第一学期第一次联合测试试卷13)已知函数，若，且，则的最小值是_____.

3.（★★★江苏省苏州中学2020届高三第一学期数学期初考试11）已知函数，若，且，则的最大值是_________.

4.（★★★常州2020届高三第一学期期末考试数学试卷）12.已知函数互不相等的实数满足，则的最小值为 .
5.（★★★扬州市2020届高三第一学期期末考试数学试卷）12.已知函数若存在实数满足，则的取值范围为 .
6.（★★★★2020届江苏高考南通学科基地数学密卷九12）两条直线和，与函数的图像从左至右相交于点，与图像从左至右相交于点，则的最大值为 .

7.（★★★★南京金陵中学2020届高三上学期数学检测卷二）14．已知函数f(x)＝ex(e为自然对数的底数)，g(x)＝a．若对任意的x1∈R，存在x2＞x1，使得f(x1)＝g(x2)，且x2－x1的最小值为，则实数a的值为 ．

【参考答案】

1. 2. 3. 16 4. 14
5. 6. 7.









【详细答案】
1.(★★★江苏省南通市重点中学2020届高三上学期阶段10月模拟测试14)已知函数若存在，当时，，则的取值范围是 ．

2.(★★★江苏省泰州中学、江都中学、宜兴中学2020届高三第一学期第一次联合测试试卷13)已知函数，若，且，则的最小值是_____.

3.（★★★江苏省苏州中学2020届高三第一学期数学期初考试11）已知函数，若，且，则的最大值是_________.16

4.（★★★常州2020届高三第一学期期末考试数学试卷）12.已知函数互不相等的实数满足，则的最小值为 .14

5.（★★★扬州市2020届高三第一学期期末考试数学试卷）12.已知函数若存在实数满足，则的取值范围为 .

6.（★★★★2020届江苏高考南通学科基地数学密卷九12）两条直线和，与函数的图像从左至右相交于点，与图像从左至右相交于点，则的最大值为 .

7.（★★★★南京金陵中学2020届高三上学期数学检测卷二）14．已知函数f(x)＝ex(e为自然对数的底数)，g(x)＝a．若对任意的x1∈R，存在x2＞x1，使得f(x1)＝g(x2)，且x2－x1的最小值为，则实数a的值为 ．



x

O

1

3

y

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