资源简介

重要公式
代数部分
一．数与式
1. 2. 3.
4.,特别地，
5. 6.
=
2.分母有理化
①
②
3.非负数的算术平方根
例：的算术平方根是
4.（1）①分式有意义，分母不为0,例如：要使有意义，则；
②如果分子分母中有开平方，则分子根号下的式子必须≥0，分母根号下的式子必须＞0，
例如：要使有意义，则3x+12≥0 解得x＞2
2x-4＞0
（2）要使分式值为0，必须保证分子为0的同时分母不为0.
例如：的值为0，则，解得x=3
二．一元二次方程
1.一元二次方程求根公式：
2.根与系数的关系（韦达定理）：
若一元二次方程的两根分别为，则

3.△的作用
△ 一元二次方程 二次函数
＞0 有两个不同的实数根 与x轴有两个不同的交点
＝0 有两个相等的实数根 与x轴只有一个不同的交点
＜0 无实数根 x轴无交点
三．函数
1.一次函数的图像和性质：
名称 K、b的符号 图像 经过象限 增减性
一次函数y=kx+b(k≠0，b≠0) k＞0 b＞0 一、二、三 y随x的增大而增大
b＜0 一、三、四
k＜0 b＞0 一、二、四 y随x的增大而减小
b＜0 二、三、四
正比例函数y=kx(k≠0)【是特殊的一次函数】 k＞0 一、三 y随x的增大而增大
k＜0 二、四 y随x的增大而减小


2.（1）反比例函数的图像和性质
反比例函数
k的符号 k>0 k<0
图像
性质 ①x的取值范围是x0， y的取值范围是y0；②当k>0时，函数图象的两个分支分别在第一、三象限。在每个象限内，y随x 的增大而减小. ①x的取值范围是x0， y的取值范围是y0；②当k<0时，函数图象的两个分支分别在第二、四象限。在每个象限内，y随x 的增大而增大.
对称性 ①的图象是轴对称图形，对称轴为或②的图象是中心对称图形，对称中心为原点（0，0）； ③(k≠0)在同一坐标系中的图象关于x轴对称，也关于y轴对称．
（2）反比例函数中反比例系数的几何意义
①过双曲线(k≠0) 上任意一点作x轴、y轴的垂线段，所得矩形(如图)面积为.
②过双曲线(k≠0) 上任意一点作任一坐标轴的垂线段，连接该点和原点，所得三角形（如图）的面积为．
③双曲线(k≠0) 同一支上任意两点、与原点组成的 三角形（如图）的面积=直角梯形的面积．
（3）正比例函数如果与反比例函数相交,交点坐标关于原点对称.（即：若正比例函数y=x与反比例函数y=相交于A(，)，B（，）两点，则点A与点B关于原点对称.
3.二次函数的图像和性质
(1)顶点式的图像和性质
a的符号 图像特征 函数性质
开口向上，图像有最低点（顶点），顶点（h,k）； 当x=h时，函数有最小值k.
是轴对称图形； 对称轴是直线x=h；
在对称轴的左边，图像从左至右呈下降趋势； 当x＜h时，y随x增大而减小；
在对称轴的右边，图像从左至右呈上升趋势； 当x＞h时，y随x增大而增大；
开口向下，图像有最高点（顶点），顶点（h,k）； 当x=h时，函数有最大值k.
是轴对称图形； 对称轴是直线x=h；
在对称轴的左边，图像从左至右呈上升趋势； 当x＜h时，y随x增大而增大；
在对称轴的右边，图像从左至右呈下降趋势； 当x＞h时，y随x增大而减小.
可知抛物线【】可由向右平移个单位，再向上平移个单位得到. 平移规律：左加右减，上加下减.
（2）一般式的图像和性质
a的符号 图像特征 函数性质
开口向上，图像有最低点(顶点)，顶点（,）； 当x=时，函数有最小值.
是轴对称图形； 对称轴是直线x=；
在对称轴的左边，图像从左至右呈下降趋势； 当x＜时，y随x增大而减小；
在对称轴的右边，图像从左至右呈上升趋势； 当x＞时，y随x增大而增大；
开口向下，图像有最高点（顶点），顶点（,）； 当x=时，函数有最大值.
是轴对称图形； 对称轴是直线x=；
在对称轴的左边，图像从左至右呈上升趋势； 当x＜时，y随x增大而增大；
在对称轴的右边，图像从左至右呈下降趋势. 当x＞时，y随x增大而减小.
二次函数的图象与各项系数之间的关系
（1）二次项系数
① 当时，抛物线开口向上，的值越大，开口越小，反之的值越小，开口越大；
②当时，抛物线开口向下，的值越小，开口越小，反之的值越大，开口越大．
即|a|越大，抛物线开口越小；|a|越小，抛物线开口越大.
【注：抛物线形状相同，指的是|a|相同】
（2）一次项系数
在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴．（左同右异 b为0对称轴为y轴）
注意：当对称轴在y轴左侧时，a与b同号（即ab>0）；当对称轴在y轴右侧时，a与b异号（即ab＜0）.
（3）常数项
①当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正；
②当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为；
③当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负．
总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置．
四．二次函数与一元二次方程的关系：
一元二次方程ax?+bx+c=0是二次函数y=ax?+bx+c当函数值y=0时的特殊情况.
当△＜0时，图象与x轴没有交点.
①当a＞0时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有y＞0；
②当a＜0时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有y＜0．
函数的平移（平移对一次函数来说不改变一次项系数k，对二次函数来说不改变二次项系数a）
1.图像的平移和图像上点的平移（一样）：左减右加，上加下减.
2.解析式的平移：左加右减，上加下减.
①一般式的平移：如将二次函数向右平移m(m＞0)个单位，再向下平移n（n＞0）个单位，得到
②顶点式的平移：如将二次函数向右平移m(m＞0)个单位，再向下平移n（n＞0）个单位，得到
五．二次函数图像的三大变换（平移、轴对称、旋转）
抛物线解析式常见的三种形式
名称 解析式 使用范围
一般式 （a≠0） 已知任意三点
顶点式 （a≠0） 已知顶点（h,k）及另一点
交点式 （a≠0） 已知与x轴的两个交点（）、（）及另一个点
2.二次函数抛物线简单的图形变换
（1）顶点式【（a≠0）】
名称 a 顶点（h，k）
平移 a (h， k)↓ ↓左加右减 上加下减
对称 关于x轴对称 -a (h，-k)
关于y轴对称 a (-h，k)
关于原点对称 -a (-h，-k)
旋转（绕顶点旋转180°） -a (h，k)
（2）一般式【（a≠0）】
①平移：如将二次函数向右平移m(m＞0)个单位，再向下平移n（n＞0）个单位，得到
②对称
名称 a、b、c的变化
关于x轴对称 a→-a; b→-b; c→-c
关于y轴对称 a→不变；b→-b；c→不变
关于原点对称 a→-a；b→不变；c→-c
注：无论是平移、轴对称还是旋转，最好先把二次函数化成顶点式，然后再根据需要进行求解.
五．两点间距离公式
A()，B()是平面直角坐标系中的两点，那么A、B两点的距离为：
|AB|=
六．两点关于一条直线对称：即这两点的连线被该直线垂直平分.
已知点A和A'关于直线对称，则AA'被直线垂直平分.
七．已知直线和直线，
若，则
八．三点共线，且中间的点是中点，则中间点的横坐标=，中间点的纵坐标= 【图形旋转180°后求点的坐标常用到】
若A()，B()，M()共线，且M为线段AB的终点，则有
十．平均数、中位数、众数
平均数
（1）算术平均数：一般地，对于n个数那么
（2）加权平均数：，其中分别表示出现的次数，.
中位数：将n个数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果n是奇数，则中间位置的数是中位数；如果n是偶数，则中间两个数的平均数是中位数.
众数：一组数据中出现次数最多的数据，可能不唯一.(也就是众数可能不止一个)
十一．方差和标准差
方差： 【其中，是样本数据，是样本容量，是样本平均数】
标准差（S）：是方差的算术平方根
无论是方差还是标准差,都可以反映数据的波动性，越大，数据越不稳定；越小，数据越稳定.
十二．一元一次不等式组解集的表示方法
十三．列表法或画树状图求随机事件的概率
1.利用树状图法求随机事件发生的概率，需备具两个条件：
（1）两步或两步以上试验的事件发生的概率，且各种情况出现的总次数不是很大；
（2）一次试验中，各种结果发生的可能性相等．
2.利用列表法求随机事件发生的概率
（1）涉及两步试验的随机事件发生的概率，且各种情况出现的总次数不是很大；
（2）一次试验中，各种结果发生的可能性相等．
列表法注意事项
不放回实验：所列表格对角线上无数据；
放回实验：所列表格对角线上有数据.
注：列表或画图时，要注意不能遗漏任何一种等可能的结果，也不能重复列举．
游戏公平是否公平：看游戏双方获胜的机会是否相等.
3.用频率估计概率：当试验次数足够大时,频率将稳定在一个常数附近，此时可以用这个稳定的数值估计事件发生的概率.
几何部分
一．三角形
1.三角形的面积公式：
①（a是三角形的底，h是底所对应的高）
②(其中，三个角为∠A，∠B，∠C，对边分别为a，b，c)
③
④（为高所在边的中位线）
⑤ （海伦公式）【其中，三个角为∠A，∠B，∠C，对边分别为a，b，c，】
⑥(其中，R是外接圆半径)
注：边长为a的等边三角形的面积
2.三角形的四心：
（1）重心：三角形三条中线的交点叫做三角形重心.
性质：①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1
②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等.
(2)外心
三角形三边的垂直平分线的交点，称为三角形外心.
过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心即三角形外心，外心到三顶点距离相等. 这个三角形叫做这个圆的内接三角形. 三角形有且只有一个外接圆.
(3)内心
三角形内心为三角形三条内角平分线的交点.
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心即是三角形内心，内心到三角形三边距离相等.这个三角形叫做圆的外切三角形.三角形有且只有一个内切圆.
（4）垂心
三角形三边上的三条高或其延长线交于一点，称为三角形垂心.
锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角的顶点；钝角三角形的垂心在三角形外.三角形只有一个垂心.
（5）直角三角形
性质1:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.若∠BAC=90°，则AB?+AC?=BC?（勾股定理)
性质2:在直角三角形中，两个锐角互余.若∠BAC=90°，则∠B+∠C=90°
性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（即直角三角形的外心位于斜边的中点，外接圆半径）.
性质4:直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积.(等积法)
性质5:如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：
（1）AD?=BD·DC； （2）AB?=BD·BC；（3）AC?=CD·BC
性质6:在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°.
（5）三角形全等证明方法：
一般三角形：SSS、SAS、ASA、AAS； Rt三角形：SSS、SAS、ASA、AAS、HL
（6）三角形相似
相似三角形的判定方法:
一般三角形 直角三角形
基本定理:平行于三角形的一边且和其他两边(或两边的延长线)相交的直线,所截得的三角形与原三角形相似.
①两角对应相等;（AA）②两边对应成比例,且夹角相等;（SAS）③三边对应成比例.(SSS) ①一个锐角对应相等;②两条边对应成比例:a. 两直角边对应成比例;b. 斜边和一直角边对应成比例.(HL)
黄金分割：如图,点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果,那么称线段AB被点C黄金分割,点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比叫做黄金比.
相似三角形的性质
①相似三角形的对应角相等；
②相似三角形的对应边成比例；
③相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比 (?http:?/??/?baike.baidu.com?/?view?/?4246210.htm" \t "http:?/??/?baike.baidu.com?/?view?/?_blank?)；
④相似三角形的周长比等于相似比；
⑤相似三角形的面积比等于相似比的平方.
※全等三角形是相似三角的特例,这时相似比等于1. 【注意:证两个相似三角形,与证两个全等三角形一样,应把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.】
基本类型
（7）比例的基本性质
比例的基本性质是.
将其进行变形，可以得到如下比例式：
①；②；③
合比性质：如果；
等比性质：如果；
【如果】
（8）平行线分线段成比例
基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.
如图：虽然图（1）和图(2)是两种形式，但是结论是相同的.
用数学表达式表示为：
(简记为：)； (简记为：)； (简记为：)；(简记为：)
推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例.
（9）位似图形
①定义：两个多边形不仅相似 (?http:?/??/?baike.baidu.com?/?subview?/?533861?/?8068145.htm" \t "http:?/??/?baike.baidu.com?/?view?/?_blank?)，而且对应顶点的连线相交于一点，并且对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比 (?http:?/??/?baike.baidu.com?/?view?/?777411.htm" \t "http:?/??/?baike.baidu.com?/?view?/?_blank?).
②性质
a.位似 (?http:?/??/?baike.baidu.com?/?view?/?1101680.htm" \t "http:?/??/?baike.baidu.com?/?view?/?_blank?)图形的任意一对对应点与位似中心 (?http:?/??/?baike.baidu.com?/?view?/?785535.htm" \t "http:?/??/?baike.baidu.com?/?view?/?_blank?)在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比 (?http:?/??/?baike.baidu.com?/?view?/?4246210.htm" \t "http:?/??/?baike.baidu.com?/?view?/?_blank?)；
b.位似图形对应线段的比等于相似比；
c.位似图形的对应角都相等；
d.位似图形对应点连线的交点是位似中心；
e.位似图形面积的比等于相似比的平方；
f.位似图形高、周长的比都等于相似比；
g.位似图形对应边互相平行或在同一直线上.
③给出一个图形和位似中心 (?http:?/??/?baike.baidu.com?/?view?/?785535.htm" \t "http:?/??/?baike.baidu.com?/?view?/?_blank?)，在位似中心的两侧各有一个符合要求的图形，最好做两个.
例如：如何把三角形ABC放大为原来的2倍?
二．三角函数
1.正弦值（sin）= 余弦值（cos）= 正切值（tan）=
【坡度或坡比即坡角的正切值】
2.特殊角的三角函数值表
名称 0° 30° 45° 60° 90°
sinα 0 1
cosα 1 0
tanα 0 1 不存在
3.图形记忆法：
三．四边形
（1）平行四边形的对角线分成的四个三角形面积相等；
（2）对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半；
（3）一般平行四边形与特殊平行四边形的关系：
①平行四边形+一个角是直角=矩形
平行四边形+对角线相等=矩形
②平行四边形+一组邻边相等=菱形
平行四边形+对角线互相垂直=菱形
③平行四边形+一组邻边相等+一个角等于90°=正方形
平行四边形+对角线相等且互相垂直=正方形
四．多边形的性质
多边形 内角和定理 n边形的内角和=（n-2）×180°（n≥3）
外角和定理 n边形的外角和=360°
对角线 过n（n≥3）边形的一个顶点可以引（n-3）条对角线
正多边形 内角 每个内角=
对称轴 n条
五．圆
（1）圆的内接四边形对角互补. 圆的内接平行四边形是矩形.
（2）圆的内接四边形中，面积和周长最大的四边形均是正方形；【注：四边形的四个角是任意度数时】
（3）圆的外切四边形对边之和相等；圆的外切平行四边形是菱形.
（4）弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角.
（与圆相切的直线，同圆内弦相交所形成的夹角叫做弦切角）
弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角度数的一半.等于它所夹的弧的圆周角度数.
（5）弧的度数等于该弧所对的圆心角的度数；
☆☆尺规作图：若要作60°的角，必须先做等边三角形，再作该等边三角形的外接圆.
（6）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.
垂径定理推论
推论一：平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦,并且平.
推论二：弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧.
推论三：平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧.
推论四：在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等.
（7）切线长定理:从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等.
（8）圆外一点与圆上任意一点的距离：
AO-r≤PA≤AO+r(A为⊙O外一点，r为⊙O半径，P为⊙O上任意一点)
（9）与圆有关的计算
弧长公式：①圆的周长:C=2πR ②弧长：
面积公式：①圆的面积： ②扇形的面积=

展开更多......

收起↑