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第二章　圆周运动
第二章　圆周运动
圆心
向心力
大小
方向
圆心
垂直
质量
角速度
半径
质量
角速度
半径
mω2r
圆心
ω2r
瞬时值
变速运动
静摩擦力f
地面支持力
效果
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以例说法·触类旁通向心力
(多选)下列关于向心力的说法正确的是(　　)
A．物体由于做圆周运动而产生了一个向心力
B．向心力不改变做圆周运动的物体速度的大小
C．做匀速圆周运动的物体其所受的向心力即为其所受的合外力
D．做匀速圆周运动的物体其向心力大小不变
解析：选BCD.物体受到向心力的作用才做圆周运动，向心力是因，圆周运动是果，不能因果倒置，A错误；向心力方向垂直于速度方向，只改变速度方向，不改变速度大小，B正确；做匀速圆周运动的物体向心力F＝m大小不变，是其所受的合外力，C、D正确．
2．(多选)如图所示，用细绳拴一小球在光滑桌面上绕一铁钉(系一绳套)做匀速圆周运动，关于小球的受力，下列说法正确的是(　　)
A．重力、支持力、绳子拉力
B．重力、支持力、绳子拉力和向心力
C．重力、支持力、向心力
D．绳子拉力充当向心力
解析：选AD.小球受重力、支持力、绳子拉力三个力的作用，A正确，B、C错误；重力和支持力是一对平衡力，绳子的拉力充当向心力，D正确．
3．秋千的吊绳有些磨损．在摆动过程中，吊绳最容易断裂的时候是秋千(　　)
A．在下摆过程中　　　　　　 B．在上摆过程中
C．摆到最高点时 D．摆到最低点时
解析：选D.如图所示，由F－mgcos θ＝m知，当运动到最低点时，速度最大，cos θ 有最大值，拉力F＝mgcos θ＋m最大，选项D正确．
4．将来人类离开地球到宇宙中生活，可以设计成如图所示的宇宙村，它是一个圆柱形的密封建筑，人们生活在圆柱的边上，为了使人们在其中生活不至于有失重感，可以让它旋转．假设这个建筑物的直径为200 m，那么，当它绕其中心轴转动的转速为多少(r/s)时，人类感觉到像生活在地球上一样承受10 m/s2的加速度？如果转速超过了上述值，人将有怎样的感觉？
解析：人所受到的向心加速度为10 m/s2时，人才会感觉到像生活在地球上一样，由向心加速度公式有a＝ω2r，而ω＝2πn，联立得：n＝＝ r/s≈0.05 r/s.
当转速超过上述值时，向心加速度增大，人受到建筑物内壁的支持力增大，会有超重的感觉．
答案：见解析
[课时作业]
一、单项选择题
甲、乙两质点做匀速圆周运动，其半径之比R1∶R2＝3∶4，角速度之比ω1∶ω2＝4∶3，则甲、乙两质点的向心加速度之比a1∶a2是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选A.由向心加速度a＝ω2r得＝eq \f(ωR1,ωR2)＝×＝，A正确．
2．在一棵大树将要被伐倒的时候，有经验的伐木工人就会双眼紧盯着树梢，根据树梢的运动情形就能判断大树正在朝着哪个方向倒下，从而避免被倒下的大树砸伤，从物理知识的角度来解释，以下说法正确的是(　　)
A．树木开始倒下时，树梢的角速度较大，易于判断
B．树木开始倒下时，树梢的线速度最大，易于判断
C．树木开始倒下时，树梢的向心加速度较大，易于判断
D．伐木工人的经验缺乏科学依据
解析：选B.树木开始倒下时，树各处的角速度一样大，故A错误；由v＝ωr可知，树梢的线速度最大，易判断树倒下的方向，B正确；由a＝ω2r知，树梢处的向心加速度最大，方向指向树根处，但无法用向心加速度确定倒下方向，故C、D均错误．
如图所示，A、B为啮合传动的两齿轮，RA＝2RB，则A、B两轮边缘上两点的(　　)
A．角速度之比为2∶1
B．向心加速度之比为1∶2
C．周期之比为1∶2
D．转速之比为2∶1
解析：选B.两啮合齿轮边缘上的两点应满足vA＝vB，又v＝ωR，则有ωA∶ωB＝RB∶RA＝1∶2，A错；由a＝可知aA∶aB＝RB∶RA＝1∶2，B正确；周期TA∶TB＝ωB∶ωA＝2∶1，C错；转速n∝ω，则nA∶nB＝1∶2，D错．
如图所示，半径为r的圆柱形转筒，绕其竖直中心轴OO′转动，小物体a靠在圆筒的内壁上，它与圆筒间的动摩擦因数为μ，要使小物体不下落，圆筒转动的角速度至少为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选C.设圆筒转动的角速度为ω时，其内壁对物体a的弹力为N.
要使物体a不下落，应满足μN≥mg.
又物体在水平面内做匀速圆周运动，则N＝mrω2.
联立解得ω≥.
如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定的角速度ω转动，盘面上离转轴距离2.5 m处有一小物体与圆盘始终保持相对静止．物体与盘面间的动摩擦因数为(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，盘面与水平面的夹角为30°，g取10 m/s2.则ω的最大值是(　　)
A. rad/s　　　　　　　　　 B. rad/s
C．1.0 rad/s D．0.5 rad/s
解析：选C.考查圆周运动的向心力表达式．当小物体转动到最低点时为临界点，由牛顿第二定律知，μmgcos 30°－mgsin 30°＝mω2r，解得ω＝1.0 rad/s，故选项C正确．
二、多项选择题
关于向心力的说法中正确的是(　　)
A．向心力总是沿半径指向圆心，且大小不变，向心力是一个恒力
B．向心力是沿着半径指向圆心方向的合力，是根据力的作用效果命名的
C．向心力可以是重力、弹力、摩擦力等各种力的合力，也可以是其中某个力的分力
D．向心力只改变物体线速度的方向，不可能改变物体线速度的大小
解析：选BCD.向心力是根据力的作用效果命名的，可以是某个力或几个力的合力，B、C正确；向心力跟速度方向垂直，只改变线速度的方向，不可能改变线速度的大小，D正确；向心力是变力，A错误．
7.如图所示的圆锥摆中，摆球A、B在同一水平面上做匀速圆周运动，关于A、B球的运动情况和受力情况，下列说法中正确的是(　　)
A．摆球A受重力、拉力和向心力的作用
B．摆球A受重力和拉力的作用
C．摆球A、B做匀速圆周运动的周期相等
D．摆球A、B做匀速圆周运动的周期不相等
解析：选BC.设绳和竖直方向的夹角为θ，A、B球受重力、拉力，二者的合力提供向心力，故B正确；小球所受合力的大小为mgtan θ，根据mgtan θ＝mLsin θω2，得ω＝；两小球Lcos θ相等，所以角速度相等，根据T＝知周期相等，故C正确．故选BC.
8．关于在公路上行驶的汽车正常转弯时，下列说法中正确的是(　　)
A．在内外侧等高的公路上转弯时的向心力由静摩擦力提供
B．在内外侧等高的公路上转弯时的向心力由滑动摩擦力提供
C．在内侧低、外侧高的公路上转弯时的向心力可能由重力和支持力的合力提供
D．在内侧低、外侧高的公路上转弯时的向心力可能由重力、静摩擦力和支持力的合力提供
解析：选ACD.汽车在内外侧等高的水平公路上拐弯时，受重力、支持力和摩擦力，重力和支持力均在竖直方向，不能够提供向心力；向心力由摩擦力提供，由于轮胎与地面没有发生相对滑动，所以应为静摩擦力．在内侧低、外侧高的公路上转弯时，由于支持力向内倾斜，所以可以由重力和支持力的合力提供向心力；若这二者的合力不能够恰好提供向心力，则需要借助摩擦力来共同提供向心力．
如图所示，一个球绕中心轴线OO′以角速度ω做匀速圆周运动，则(　　)
A．a、b两点线速度相同
B．a、b两点角速度相同
C．若θ＝30°，则a、b两点的速度之比va∶vb＝∶2
D．若θ＝30°，则a、b两点的向心加速度之比aa∶ab＝∶2
解析：选BCD.由于a、b两点在同一球体上，因此a、b两点的角速度ω相同，选项B正确．而据v＝ωr可知va＜vb，选项A错误，由几何关系有ra＝rb·cos θ，当θ＝30°时，ra＝rb，则va∶vb＝∶2，选项C正确，由a＝ω2r，可知aa∶ab＝ra∶rb＝∶2，选项D正确．
10.有一种杂技表演叫“飞车走壁”，由杂技演员驾驶摩托车沿圆台形表演台的侧壁，做匀速圆周运动．图中粗线圆表示摩托车的行驶轨迹，轨迹离地面的高度为h.则下列说法中正确的是(　　)
A．h越高，摩托车对侧壁的压力将越大
B．h越高，摩托车做圆周运动的向心力将越大
C．h越高，摩托车做圆周运动的周期将越大
D．h越高，摩托车做圆周运动的线速度将越大
解析：选CD.摩托车只受重力mg和支持力FN，所以摩托车的向心力应为重力和支持力的合力，根据题意可知F向＝mgtan θ，可见摩托车对侧壁的压力、摩托车做圆周运动的向心力保持不变．因h越高，摩托车的轨道半径越大，由F向＝m得h越高，v越大；由F向＝mr得h越高，T越大．故选C、D.
三、非选择题
质量m＝2.0×104 kg的汽车以不变的速率先后驶过凹形桥面和凸形桥面，两桥面的圆弧半径均为20 m．如图所示，如果桥面承受的压力不得超过3.0×105 N，(取g＝10 m/s2)则：
(1)汽车允许的最大速率是多少？
(2)若以所求速率行驶，汽车对桥面的最小压力是多少？
解析：(1)重力和支持力的合力提供向心力，通过凹形桥时，N1－mg＝eq \f(mv,R)，得
v1＝≤ m/s＝10 m/s.
通过凸形桥时，mg－N2＝eq \f(mv,R)
因N2≥0，得
v2＝≤＝10 m/s.
因v1(2)汽车经过凸形桥时，对桥面的压力最小．
由mg－N3＝eq \f(mv,R)，得
N3＝mg－eq \f(mv,R)＝1.0×105 N.
答案：(1)10 m/s　(2)1.0×105 N
12．如图所示，轻质棒一端固定有质量为m的小球，棒长为R，今以棒的另一端O为圆心，使之在竖直平面内做圆周运动，那么当球至最高点，求：
(1)ω等于多少时，小球对棒的作用力为零；
(2)ω等于多少时，小球对棒的压力为mg；
(3)ω等于多少时，小球对棒的拉力为mg.
解析：(1)在最高点，如果小球对棒作用力为零．小球做圆周运动的向心力由重力充当mg＝mωR，ω1＝.
(2)在最高点小球对棒压力为mg时，小球向心力为
mg－mg＝mωR，ω2＝ .
(3)在最高点小球对棒拉力为mg时，小球向心力为
mg＋mg＝mωR，ω3＝ .
答案：(1)　(2) 　(3)

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- 4 -第二节　向心力
　1.理解向心力的概念及向心力的来源，掌握向心力的表达式，并能计算向心力．　2.会用实验探究向心力大小与哪些因素有关．　3.知道向心加速度的概念及表达式．　4.会选择合适的向心加速度的表达式进行简单计算．　5.会处理实际的圆周运动问题．
一、感受向心力
定义：做匀速圆周运动的物体受到的方向沿半径指向圆心的力，叫做向心力．
作用效果：不改变质点速度的大小，只改变速度的方向．
方向：沿半径指向圆心，和质点运动的方向垂直，其方向时刻在改变．
大小
(1)向心力大小与物体质量、角速度和半径有关，且物体质量越大，角速度越大，半径越大，所需的向心力越大．
(2)公式：F＝mω2r＝m．
(1)匀速圆周运动的向心力是恒力．(　　)
(2)匀速圆周运动的合力就是向心力．(　　)
(3)向心力可由重力或弹力等来充当，是效果力．(　　)
提示：(1)×　(2)√　(3)√
二、向心加速度
定义
在匀速圆周运动中，F是指向圆心的向心力，所以加速度a也一定指向圆心，我们称之为向心加速度．
大小
a＝ ω2r或a＝ ．
向心力和向心加速度公式是从匀速圆周运动中得出来的，但也适用于非匀速圆周运动．在非匀速圆周运动中，利用公式求物体在某一位置的向心力或向心加速度时，必须用该点速度的瞬时值．
匀速圆周运动的性质
向心力和向心加速度的方向时刻在改变．所以，匀速圆周运动是加速度方向不断改变的变速运动．
1．匀速圆周运动的向心加速度的大小不变，所以匀速圆周运动是匀变速曲线运动，这种说法对吗？
提示：不对．匀速圆周运动的向心加速度的大小虽不变，但它的方向时刻在改变，所以匀速圆周运动不是匀变速曲线运动，而是变加速曲线运动．
三、生活中的向心力
向心力的来源
向心力是按效果命名的力，任何一个力或几个力的合力只要它的作用效果是使物体产生向心加速度，它就是物体做匀速圆周运动所需的向心力．
汽车转弯
(1)汽车在水平公路上转弯
车轮与路面间的静摩擦力f提供向心力，即f＝m.
(2)汽车在倾斜的路面上转弯
汽车恰好以速度v行驶时，重力和地面支持力的合力充当向心力，即mgtan θ＝m(R为弯道半径，θ为倾斜的角度)．
2．某人驾车正在平直公路上前进，突然前方出现了一堵很长的墙，此人要想不撞墙，是拐弯好呢还是急刹车好？
提示：急刹车好.
　对向心力的理解[学生用书P25]
向心力公式
由向心力公式F＝ma＝m＝mω2r可知，物体做匀速圆周运动的向心力与物体的质量、线速度、角速度、半径有关系．当线速度一定时，向心力与半径成反比；当角速度一定时，向心力与半径成正比．
向心力是效果力
向心力因其方向时刻指向圆心而得名，故它为效果力．
向心力的作用效果是只改变速度方向而不改变速度大小．它不是具有特定性质的某种力，任何性质的力都可以作为向心力．受力分析时不分析向心力．
向心力的来源
(1)向心力可以由重力提供，如用细线拴住小球在竖直面内转动，当它经过最高点时，若绳的拉力恰好为零，则此时向心力由重力提供，F＝G，如图甲．
(2)向心力可以由弹力提供，如用细线拴住小球在光滑的水平面内做匀速圆周运动，向心力由细线的拉力F拉(即弹力)提供，即F＝F拉，如图乙．
(3)向心力可以由摩擦力提供，如物体随转盘做匀速圆周运动，且物体相对转盘静止，向心力由转盘对物体的静摩擦力提供，即F＝f，如图丙．
(4)向心力可以由合力来提供，如细绳拴住小球在竖直面内做匀速圆周运动，当小球经过最低点时向心力由细线的拉力F拉和重力G的合力提供，即F＝F拉－G，如图丁．
(5)向心力可由某个力的分力提供，如小球在细线作用下，在水平面内做圆锥摆的运动，向心力由细线的拉力在水平面内的分力提供，即F＝F1，如图戊．
向心力是变力
向心力的方向指向圆心，与线速度方向垂直，方向时刻在改变，故向心力为变力．所以无论是匀速圆周运动还是变速圆周运动，其运动性质都是变加速曲线运动．
　向心力公式F＝m或F＝mω2r不仅适用于匀速圆周运动，也适用于非匀速圆周运动．
　(多选)如图所示，一小球用细绳悬挂于O点，将其拉离竖直位置一个角度后释放，则小球以O点为圆心做圆周运动，运动中小球所需的向心力是(　　)
A．绳的拉力
B．重力和绳拉力的合力
C．重力和绳拉力的合力沿绳方向的分力
D．绳的拉力和重力沿绳方向分力的合力
[解析]　如图所示，对小球进行受力分析，它受重力和绳子拉力的作用，向心力是指向圆心方向的合力．因此，可以说是小球所受合力沿绳方向的分力，也可以说是各力沿绳方向的分力的合力，选项C、D正确．
[答案]　CD
小球做变速圆周运动，绳的拉力与重力的合力不是向心力(在最低点除外)．　
　1.下列对圆锥摆的摆球受力分析正确的是(　　)
解析：选D.圆锥摆所需的向心力由合外力提供，方向指向圆周运动的圆心，但向心力不是物体实际受到的力，圆锥摆的摆球受重力和绳的拉力作用，其合力提供向心力，只有选项D正确．
　对向心加速度的理解[学生用书P26]
物理意义：描述速度方向改变快慢的物理量．
方向：向心加速度的方向总是沿着半径指向圆心，即方向始终与运动方向垂直．
由于向心加速度始终与速度垂直，故向心加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小，向心加速度的大小表示速度方向改变的快慢．
公式拓展
a＝＝ω2r＝r＝ωv.
a与r的关系图象，如图甲、乙所示．
由a－r图象可以看出：a与r成正比还是反比，要看是ω恒定还是v恒定．
　(1)向心加速度的公式也适用于非匀速圆周运动．
(2)无论是匀速圆周运动还是非匀速圆周运动，其向心加速度的方向都指向圆心．
　关于做匀速圆周运动物体的向心加速度的方向，下列说法中正确的是(　　)
A．与线速度的方向始终相同
B．与线速度的方向始终相反
C．始终指向圆心
D．始终保持不变
[解析]　向心加速度的方向不断变化但始终指向圆心，和线速度的方向垂直，不改变线速度的大小只是改变线速度的方向，故A、B、D错误，C正确．
[答案]　C
　2.关于向心加速度，下列说法正确的是(　　)
A．它描述的是线速度方向变化的快慢
B．它描述的是线速度大小变化的快慢
C．由a＝知a与r成反比
D．由a＝rω2知a与r成正比
解析：选A.向心加速度是描述线速度方向变化快慢的物理量，因为对线速度来说，向心加速度只能改变线速度的方向而不能改变线速度的大小．当线速度一定时，向心加速度与半径成反比，当角速度一定时，向心加速度与半径成正比，所以C、D都错．
　汽车过桥与转弯问题[学生用书P26]
汽车过桥
汽车过凸形桥 汽车过凹形桥
受力分析
规定向心力方向为正方向 G－N＝mN＝G－m N－G＝mN＝G＋m
牛顿第三定律 F压＝N＝G－m F压＝N＝G＋m
讨论 v增大，F压减小；当v增大到时，F压＝0 v增大，F压增大
说明 汽车过凸形桥时，汽车对桥的压力小于汽车的重力，此时汽车处于失重状态；汽车过凹形桥时，汽车对桥的压力大于汽车的重力，此时汽车处于超重状态
汽车转弯
(1)在水平路面上转弯
如图所示，汽车在水平路面上转弯时，设转弯半径为R，汽车与路面间的最大动摩擦因数为μ，汽车的速度为v.汽车受到重力mg、地面的支持力N和来自路面的静摩擦力f，正是这个静摩擦力提供了汽车转弯时所需的向心力F，即f＝.
(2)在倾斜路面上转弯
如图所示，假设向心力完全由重力和支持力的合力提供，设汽车的转弯半径为R，公路平面的倾角为θ，则有F＝mgtan θ，又F＝meq \f(v,R)，故此时对应的汽车转弯速度v0＝.
若汽车的实际转弯速度v＞v0，则N与mg的合力F＜m，汽车有远离圆心向外滑的趋势，这时的向心力由车轮和路面间沿斜面向下的静摩擦力和F共同提供．
若汽车的实际转弯速度v＜v0，则N与mg的合力F＞m，汽车有靠近圆心向内滑的趋势，这时的向心力由车轮和路面间沿斜面向上的静摩擦力和F共同提供．火车转弯与汽车在倾斜路面上转弯相似．
　汽车与路面的动摩擦因数为μ，公路某转弯处半径为R(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，问：
(1)若路面水平，汽车转弯不发生侧滑，汽车速度不能超过多少？
(2)若将公路转弯处路面设计成外侧高、内侧低，使路面与水平面有一倾角α，汽车以多大速度转弯时，可以使车与路面间无摩擦力？
[思路点拨] 路面水平时，向心力由汽车和路面之间的静摩擦力来提供，当公路转弯处是外高内低的斜面时，重力和斜面的支持力的合力来提供向心力．
[解析]　(1)汽车在水平路面上转弯时，汽车转弯的向心力由静摩擦力提供，当静摩擦力达到最大时，汽车的转弯速度最大．
由μmg＝m，
解得v＝.
(2)当转弯处路面倾斜，且重力和支持力的合力恰等于向心力时，转弯速度最为理想，可以使车与路面间无摩擦力，则有mgtan α＝m
解得v＝.
[答案]　(1)　(2)
汽车(或火车)拐弯时，路面水平和外高内低时向心力来源不同，速度不同，要注意具体问题具体分析．　
　3.高速公路转弯处，若路面向着圆心处是倾斜的，要求汽车在该处转弯时沿倾斜路面没有上下滑动的趋势，在车速v＝15 m/s的情况下，路面的倾角θ应多大？(已知弯道半径R＝100 m)
解析：由于汽车在转弯时沿倾斜路面没有上下滑动的趋势，所以路面的支持力与重力的合力提供向心力．
汽车转弯时，受力分析如图所示，由牛顿第二定律得mgtan θ＝m，
即tan θ＝.将R＝100 m，v＝15 m/s，g＝9.8 m/s2代入，解得θ≈13°.
答案：13°
易错易混——圆周运动的向心加速度与合加速度
　(多选)关于向心加速度，以下说法中正确的是(　　)
A．物体做匀速圆周运动时，向心加速度就是物体的合加速度
B．物体做圆周运动时，向心加速度就是物体的合加速度
C．物体做圆周运动时的加速度的方向始终指向圆心
D．物体做匀速圆周运动时的加速度的方向始终指向圆心
[易错分析] 本题易错选项及错误原因分析如下：
易错选项 错误原因
B 误认为变速圆周运动中向心加速度就是合加速度，导致错选B.实际上变速圆周运动中既有向心加速度，也有切向加速度
C 误将做圆周运动的物体的加速度与向心加速度混为一谈．实际上，物体做变速圆周运动时的合加速度是向心加速度与切向加速度的矢量和
[解析]　物体做匀速圆周运动时，向心加速度就是物体的合加速度；物体做变速圆周运动时，向心加速度只是合加速度的一个分量，A正确，B错误．物体做匀速圆周运动时，只具有向心加速度，加速度方向始终指向圆心；物体做变速圆周运动时，圆周运动的向心加速度与切向加速度的合加速度不再指向圆心，C错误，D正确．
[答案]　AD
在一般圆周运动中，合加速度通常有两个分量：切向加速度和向心加速度．切向加速度表示速度大小变化的快慢；向心加速度表示速度方向变化的快慢．
(1)物体做匀速圆周运动时，向心加速度就是物体的合加速度．
(2)如图所示的变速圆周运动，到达C点时，小球受绳水平拉力T和重力mg，合力斜向右下方，即小球的合加速度斜向右下方．它沿T方向(径向)的加速度即为向心加速度．
　
[随堂达标][学生用书P28]
(多选)下列关于向心力的说法正确的是(　　)
A．物体由于做圆周运动而产生了一个向心力
B．向心力不改变做圆周运动的物体速度的大小
C．做匀速圆周运动的物体其所受的向心力即为其所受的合外力
D．做匀速圆周运动的物体其向心力大小不变
解析：选BCD.物体受到向心力的作用才做圆周运动，向心力是因，圆周运动是果，不能因果倒置，A错误；向心力方向垂直于速度方向，只改变速度方向，不改变速度大小，B正确；做匀速圆周运动的物体向心力F＝m大小不变，是其所受的合外力，C、D正确．
2．(多选)如图所示，用细绳拴一小球在光滑桌面上绕一铁钉(系一绳套)做匀速圆周运动，关于小球的受力，下列说法正确的是(　　)
A．重力、支持力、绳子拉力
B．重力、支持力、绳子拉力和向心力
C．重力、支持力、向心力
D．绳子拉力充当向心力
解析：选AD.小球受重力、支持力、绳子拉力三个力的作用，A正确，B、C错误；重力和支持力是一对平衡力，绳子的拉力充当向心力，D正确．
3．秋千的吊绳有些磨损．在摆动过程中，吊绳最容易断裂的时候是秋千(　　)
A．在下摆过程中　　　　　　 B．在上摆过程中
C．摆到最高点时 D．摆到最低点时
解析：选D.如图所示，由F－mgcos θ＝m知，当运动到最低点时，速度最大，cos θ 有最大值，拉力F＝mgcos θ＋m最大，选项D正确．
4．将来人类离开地球到宇宙中生活，可以设计成如图所示的宇宙村，它是一个圆柱形的密封建筑，人们生活在圆柱的边上，为了使人们在其中生活不至于有失重感，可以让它旋转．假设这个建筑物的直径为200 m，那么，当它绕其中心轴转动的转速为多少(r/s)时，人类感觉到像生活在地球上一样承受10 m/s2的加速度？如果转速超过了上述值，人将有怎样的感觉？
解析：人所受到的向心加速度为10 m/s2时，人才会感觉到像生活在地球上一样，由向心加速度公式有a＝ω2r，而ω＝2πn，联立得：n＝＝ r/s≈0.05 r/s.
当转速超过上述值时，向心加速度增大，人受到建筑物内壁的支持力增大，会有超重的感觉．
答案：见解析
[课时作业][学生用书P96(单独成册)]
一、单项选择题
甲、乙两质点做匀速圆周运动，其半径之比R1∶R2＝3∶4，角速度之比ω1∶ω2＝4∶3，则甲、乙两质点的向心加速度之比a1∶a2是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选A.由向心加速度a＝ω2r得＝eq \f(ωR1,ωR2)＝×＝，A正确．
2．在一棵大树将要被伐倒的时候，有经验的伐木工人就会双眼紧盯着树梢，根据树梢的运动情形就能判断大树正在朝着哪个方向倒下，从而避免被倒下的大树砸伤，从物理知识的角度来解释，以下说法正确的是(　　)
A．树木开始倒下时，树梢的角速度较大，易于判断
B．树木开始倒下时，树梢的线速度最大，易于判断
C．树木开始倒下时，树梢的向心加速度较大，易于判断
D．伐木工人的经验缺乏科学依据
解析：选B.树木开始倒下时，树各处的角速度一样大，故A错误；由v＝ωr可知，树梢的线速度最大，易判断树倒下的方向，B正确；由a＝ω2r知，树梢处的向心加速度最大，方向指向树根处，但无法用向心加速度确定倒下方向，故C、D均错误．
如图所示，A、B为啮合传动的两齿轮，RA＝2RB，则A、B两轮边缘上两点的(　　)
A．角速度之比为2∶1
B．向心加速度之比为1∶2
C．周期之比为1∶2
D．转速之比为2∶1
解析：选B.两啮合齿轮边缘上的两点应满足vA＝vB，又v＝ωR，则有ωA∶ωB＝RB∶RA＝1∶2，A错；由a＝可知aA∶aB＝RB∶RA＝1∶2，B正确；周期TA∶TB＝ωB∶ωA＝2∶1，C错；转速n∝ω，则nA∶nB＝1∶2，D错．
如图所示，半径为r的圆柱形转筒，绕其竖直中心轴OO′转动，小物体a靠在圆筒的内壁上，它与圆筒间的动摩擦因数为μ，要使小物体不下落，圆筒转动的角速度至少为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选C.设圆筒转动的角速度为ω时，其内壁对物体a的弹力为N.
要使物体a不下落，应满足μN≥mg.
又物体在水平面内做匀速圆周运动，则N＝mrω2.
联立解得ω≥.
如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定的角速度ω转动，盘面上离转轴距离2.5 m处有一小物体与圆盘始终保持相对静止．物体与盘面间的动摩擦因数为(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，盘面与水平面的夹角为30°，g取10 m/s2.则ω的最大值是(　　)
A. rad/s　　　　　　　　　 B. rad/s
C．1.0 rad/s D．0.5 rad/s
解析：选C.考查圆周运动的向心力表达式．当小物体转动到最低点时为临界点，由牛顿第二定律知，μmgcos 30°－mgsin 30°＝mω2r，解得ω＝1.0 rad/s，故选项C正确．
二、多项选择题
关于向心力的说法中正确的是(　　)
A．向心力总是沿半径指向圆心，且大小不变，向心力是一个恒力
B．向心力是沿着半径指向圆心方向的合力，是根据力的作用效果命名的
C．向心力可以是重力、弹力、摩擦力等各种力的合力，也可以是其中某个力的分力
D．向心力只改变物体线速度的方向，不可能改变物体线速度的大小
解析：选BCD.向心力是根据力的作用效果命名的，可以是某个力或几个力的合力，B、C正确；向心力跟速度方向垂直，只改变线速度的方向，不可能改变线速度的大小，D正确；向心力是变力，A错误．
7.如图所示的圆锥摆中，摆球A、B在同一水平面上做匀速圆周运动，关于A、B球的运动情况和受力情况，下列说法中正确的是(　　)
A．摆球A受重力、拉力和向心力的作用
B．摆球A受重力和拉力的作用
C．摆球A、B做匀速圆周运动的周期相等
D．摆球A、B做匀速圆周运动的周期不相等
解析：选BC.设绳和竖直方向的夹角为θ，A、B球受重力、拉力，二者的合力提供向心力，故B正确；小球所受合力的大小为mgtan θ，根据mgtan θ＝mLsin θω2，得ω＝；两小球Lcos θ相等，所以角速度相等，根据T＝知周期相等，故C正确．故选BC.
8．关于在公路上行驶的汽车正常转弯时，下列说法中正确的是(　　)
A．在内外侧等高的公路上转弯时的向心力由静摩擦力提供
B．在内外侧等高的公路上转弯时的向心力由滑动摩擦力提供
C．在内侧低、外侧高的公路上转弯时的向心力可能由重力和支持力的合力提供
D．在内侧低、外侧高的公路上转弯时的向心力可能由重力、静摩擦力和支持力的合力提供
解析：选ACD.汽车在内外侧等高的水平公路上拐弯时，受重力、支持力和摩擦力，重力和支持力均在竖直方向，不能够提供向心力；向心力由摩擦力提供，由于轮胎与地面没有发生相对滑动，所以应为静摩擦力．在内侧低、外侧高的公路上转弯时，由于支持力向内倾斜，所以可以由重力和支持力的合力提供向心力；若这二者的合力不能够恰好提供向心力，则需要借助摩擦力来共同提供向心力．
如图所示，一个球绕中心轴线OO′以角速度ω做匀速圆周运动，则(　　)
A．a、b两点线速度相同
B．a、b两点角速度相同
C．若θ＝30°，则a、b两点的速度之比va∶vb＝∶2
D．若θ＝30°，则a、b两点的向心加速度之比aa∶ab＝∶2
解析：选BCD.由于a、b两点在同一球体上，因此a、b两点的角速度ω相同，选项B正确．而据v＝ωr可知va＜vb，选项A错误，由几何关系有ra＝rb·cos θ，当θ＝30°时，ra＝rb，则va∶vb＝∶2，选项C正确，由a＝ω2r，可知aa∶ab＝ra∶rb＝∶2，选项D正确．
10.
有一种杂技表演叫“飞车走壁”，由杂技演员驾驶摩托车沿圆台形表演台的侧壁，做匀速圆周运动．图中粗线圆表示摩托车的行驶轨迹，轨迹离地面的高度为h.则下列说法中正确的是(　　)
A．h越高，摩托车对侧壁的压力将越大
B．h越高，摩托车做圆周运动的向心力将越大
C．h越高，摩托车做圆周运动的周期将越大
D．h越高，摩托车做圆周运动的线速度将越大
解析：选CD.摩托车只受重力mg和支持力FN，所以摩托车的向心力应为重力和支持力的合力，根据题意可知F向＝mgtan θ，可见摩托车对侧壁的压力、摩托车做圆周运动的向心力保持不变．因h越高，摩托车的轨道半径越大，由F向＝m得h越高，v越大；由F向＝mr得h越高，T越大．故选C、D.
三、非选择题
质量m＝2.0×104 kg的汽车以不变的速率先后驶过凹形桥面和凸形桥面，两桥面的圆弧半径均为20 m．如图所示，如果桥面承受的压力不得超过3.0×105 N，(取g＝10 m/s2)则：
(1)汽车允许的最大速率是多少？
(2)若以所求速率行驶，汽车对桥面的最小压力是多少？
解析：(1)重力和支持力的合力提供向心力，通过凹形桥时，N1－mg＝eq \f(mv,R)，得
v1＝≤ m/s＝10 m/s.
通过凸形桥时，mg－N2＝eq \f(mv,R)
因N2≥0，得
v2＝≤＝10 m/s.
因v1(2)汽车经过凸形桥时，对桥面的压力最小．
由mg－N3＝eq \f(mv,R)，得
N3＝mg－eq \f(mv,R)＝1.0×105 N.
答案：(1)10 m/s　(2)1.0×105 N
12．如图所示，轻质棒一端固定有质量为m的小球，棒长为R，今以棒的另一端O为圆心，使之在竖直平面内做圆周运动，那么当球至最高点，求：
(1)ω等于多少时，小球对棒的作用力为零；
(2)ω等于多少时，小球对棒的压力为mg；
(3)ω等于多少时，小球对棒的拉力为mg.
解析：(1)在最高点，如果小球对棒作用力为零．小球做圆周运动的向心力由重力充当mg＝mωR，ω1＝.
(2)在最高点小球对棒压力为mg时，小球向心力为
mg－mg＝mωR，ω2＝ .
(3)在最高点小球对棒拉力为mg时，小球向心力为
mg＋mg＝mωR，ω3＝ .
答案：(1)　(2) 　(3)

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