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2020年九年级中考数学复习专题训练：《相似综合 》
1．如图1，点P从菱形ABCD的顶点B出发，沿B→D→A匀速运动到点A，BD的长是；图2是点P运动时，△PBC的面积y（cm2）随时间x（s）变化的函数图象．
（1）点P的运动速度是　 　cm/s；
（2）求a的值；
（3）如图3，在矩形EFGH中，EF＝2a，FG﹣EF＝1，若点P、M、N分别从点E、F、G三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，当点M到达点G（即点M与点G重合）时，三个点随之停止运动；若点P不改变运动速度，且点P、M、N的运动速度的比为2：6：3，在运动过程中，△PFM关于直线PM的对称图形是△PF'M，设点P、M、N的运动时间为t（单位：s）．
①当t＝　 　s时，四边形PFMF'为正方形；
②是否存在t，使△PFM与△MGN相似，若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．
2．如图1，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AD＝3，AB＝4，BC＝6，动点P从点A出发以1个单位/秒的速度沿AB运动，动点Q同时从点C出发以2个单位/秒的速度沿CB运动，过点P作EP⊥AB，交BD于E，连接EQ．当点Q与点B重合时，两动点均停止运动，设运动的时间为t秒．
（1）当t＝1时，求线段EP的长；
（2）运动过程中是否存在某一时刻，使△BEQ与△ABD相似？若存在，请求出所有满足要求的t的值；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，连接CE，求运动过程中△CEQ的面积S的最大值．
3．如图1，在△ABC中，AB＝AC＝10，，点D为BC边上的动点（点D不与点B，C重合）．以D为顶点作∠ADE＝∠B，射线DE交AC边于点E，过点A作AF⊥AD交射线DE于点F，连接CF．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）当DE∥AB时（如图2），求AE的长；
（3）点D在BC边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得DF＝CF？若存在，求出此时BD的长；若不存在，请说明理由．
4．如图（1），在矩形ABCD中，AD＝nAB，点M，P分别在边AB，AD上（均不与端点重合），且AP＝nAM，以AP和AM为邻边作矩形AMNP，连接AN，CN．
【问题发现】
（1）如图（2），当n＝1时，BM与PD的数量关系为　 　，CN与PD的数量关系为　 　．
【类比探究】
（2）如图（3），当n＝2时，矩形AMNP绕点A顺时针旋转，连接PD，则CN与PD之间的数量关系是否发生变化？若不变，请就图（3）给出证明；若变化，请写出数量关系，并就图（3）说明理由．
【拓展延伸】
（3）在（2）的条件下，已知AD＝4，AP＝2，当矩形AMNP旋转至C，N，M三点共线时，请直接写出线段CN的长．
5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，D、E分别是AB、BC的中点．连接DE．动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿AB向终点B运动．同时，动点Q从点C出发，沿折线CE﹣ED向终点D运动，在CE、ED上的速度分别是每秒3个单位长度和4个单位长度，连接PQ，以PQ、PD为边作?DPQM．设?DPQM与四边形ACED重叠部分图形的面积是S（平方单位），点P的运动时间为t（s）．
（1）当点P在AD上运动时，PQ的长为　 　（用含t的代数式表示）；
（2）当?DPQM是菱形时，求t的值；
（3）当0＜t＜2时，求S与t之间的函数关系式；
（4）当△DPQ与△BDE相似时，直接写出t的值．

6．如图，在平行四边形ABCD中，AC为对角线，过点D作DE⊥DC交直线AB于点E，过点E作EH⊥AD于点H，过点B作BF⊥AD于点F．
（1）如图1，若∠BAD＝60°，AF＝3，AH＝2，求AC的长；
（2）如图2，若BF＝DH，在AC上取一点G，连接DG、GE，若∠DGE＝75°，∠CDG＝45°﹣∠CAB，求证：DG＝CG．

7．（1）问题引入：如图1所示，正方形ABCD和正方形AEFG，则BE与DG的数量关系是　 　，＝　 　；
（2）类比探究：如图2所示，O为AD、HG的中点，正方形EFGH和正方形ABCD中，判断BE和CF的数量关系，并求出的值；
（3）解决问题：
①若把（1）中的正方形都改成矩形，且＝＝，则（1）中的结论还成立吗？若不能成立，请写出BE与GD的关系，并求出值；
②若把（2）中的正方形也都改成矩形，且＝＝2n，请直接写出BE和CF的关系以及的
8．在正方形ABCD中，点E是直线AB上动点，以DE为边作正方形DEFG，DF所在直线与BC所在直线交于点H，连接EH．
（1）如图1，当点E在AB边上时，延长EH交GF于点M，EF与CB交于点N，连接CG，
①求证：CD⊥CG；
②若tan∠HEN＝，求的值；
（2）当正方形ABCD的边长为4，AE＝1时，请直接写出EH的长．
9．如图a，在正方形ABCD中，E、F分别为边AB、BC的中点，连接AF、DE交于点G．
（1）求证：AF⊥DE；
（2）如图b，连接BG，BD，BD交AF于点H．
①求证：GB2＝GA?GD；
②若AB＝10，求三角形GBH的面积．

10．如图1，在矩形ABCD中，P为CD边上一点（DP＜CP），∠APB＝90°．将△ADP沿AP翻折得到△AD′P，PD′的延长线交边AB于点M，过点B作BN∥MP交DC于点N．
（1）求证：AD2＝DP?PC；
（2）请判断四边形PMBN的形状，并说明理由；
（3）如图2，连接AC分别交PM、PB于点E、F．若AD＝3DP，探究EF与AE之间的的数量关系．

11．△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AC＝2cm．长为1cm的线段MN在△ABC的边AB上沿AB方向以1cm/s的速度向点B运动（运动前点M与点A重合）．过M，N分别作AB的垂线交直角边于P，Q两点，线段MN运动的时间为ts．
（1）当0≤t≤1时，PM＝　 　，QN＝　 　（用t的代数式表示）；
（2）线段MN运动过程中，四边形MNQP有可能成为矩形吗？若有可能，求出此时t的值；若不可能，说明理由；
（3）t为何值时，以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？

12．如图，四边形ABCD是矩形，AB＝6，BC＝4，点E在边AB上（不与点A、B重合），过点D作DF⊥DE，交边BC的延长线于点F．
（1）求证：△DAE∽△DCF．
（2）设线段AE的长为x，线段BF的长为y，求y与x之间的函数关系式．
（3）当四边形EBFD为轴对称图形时，则cos∠AED的值为　 　．

13．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，点M在BC上，连接AM，作∠AMN＝∠AMB，点N在直线AD上，MN交CD于点E．
（1）求证：△AMN是等腰三角形；
（2）求证：AM2＝2BM?AN；
（3）当M为BC中点时，求ME的长．

14．如图，在平面直角坐标系中，过原点O及A（8，0）、C（0，6）作矩形OABC，连接AC，一块直角三角形PDE的直角顶点P始终在对角线AC上运动（不与A、C重合），且保持一边PD始终经过矩形点B，PE交x轴于点Q
（1）＝　 　；
（2）在点P从点C运动到点A的过程中，的值是否发生变化？如果变化，请求出其变化范围，如果不变，请说明理由，并求出其值；
（3）若将△QAB沿直线BQ折叠后，点A与点P重合，则PC的长为　 　．

15．如图，在矩形OABC中，点A，B的坐标分别为A（4，0），B（4，3），动点N，P分别从点B，A同时出发，点N以1单位/秒的速度向终点C运动，点P以5/4单位/秒的速度向终点C运动，连结NP，设运动时间为t秒（0＜t＜4）
（1）直接写出OA，AB，AC的长度；
（2）求证：△CPN∽△CAB；
（3）在两点的运动过程中，若点M同时以1单位/秒的速度从点O向终点A运动，求△MPN的面积S与运动的时间t的函数关系式（三角形的面积不能为0），并直接写出当S＝时，运动时间t的值．

16．如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上（不与点C，D重合），连结AE，BD交于点F．
（1）若点E为CD中点，AB＝2，求AF的长．
（2）若tan∠AFB＝2，求的值．
（3）若点G在线段BF上，且GF＝2BG，连结AG，CG，＝x，四边形AGCE的面积为S1，△ABG的面积为S2，求的最大值．
17．如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是边BC，AC上的点，且∠ADE＝∠B．
（1）求证：AB?CE＝BD?CD；
（2）若AB＝5，BC＝6，求AE的最小值；
（3）如图2，若△ABC为等边三角形，AD⊥DE，BE⊥DE，点C在线段DE上，AD＝3，BE＝4，求DE的长．

18．如图，△ABC中，AB＝AC，点P为BC边上一动点（不与B，C重合），以AP为边作∠APD＝∠ABC，与BC的平行线AD交于点D，与AC交于点E，连结CD．
（1）求证：△ABP∽△DAE．
（2）已知AB＝AC＝5，BC＝6．设BP＝x，CE＝y．
①求y关于x的函数表达式及自变量x的取值范围；
②当S△ACD＝时，求CE的值．


19．如图，在矩形ABCD的边AB上取一点E，连接CE并延长和DA的延长线交于点G，过点E作CG的垂线与CD的延长线交于点H，与DG交于点F，连接GH．
（1）当tan∠BEC＝2且BC＝4时，求CH的长；
（2）求证：DF?FG＝HF?EF；
（3）连接DE，求证：∠CDE＝∠CGH．
20．定义：若一个四边形能被其中一条对角线分割成两个相似三角形，则称这个四边形为“友好四边形”．
（1）如图1，在4×4的正方形网格中，有一个网格Rt△ABC和两个网格四边形ABCD与ABCE，其中是被AC分割成的“友好四边形”的是　 　；
（2）如图2，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A'B'C，点B'落在边AC，过点A作AD∥A'B'交CA'的延长线于点D，求证：四边形ABCD是“友好四边形”；
（3）如图3，在△ABC中，AB≠BC，∠ABC＝60°，△ABC的面积为6，点D是∠ABC的平分线上一点，连接AD，CD．若四边形ABCD是被BD分割成的“友好四边形”，求BD的长．

参考答案
1．解：（1）由图2可知，s点P从点B运动到点D，
∵BD＝，
∴点P的运动速度＝÷＝1（cm/s），
故答案为：1；
（2）如图1，作DQ⊥BC于点Q，
当点P在BD上时，a＝×BC×DP，
∵四边形ABCD为菱形，点P的运动速度为1，
∴AD＝BC＝1×a＝a，
∴a＝×a×DP，
解得，DQ＝2，
在Rt△BDQ中，BQ＝＝1，
∴CQ＝a﹣1，
在Rt△CDQ中，CD2＝CQ2+DQ2，即a2＝（a﹣1）2+22，
解得，a＝；
（3）①∵点P的运动速度1cm/s，点P、M的运动速度的比为2：6
∴点M的运动速度3cm/s，
由题意得，EF＝2a＝5，
∵FG﹣EF＝1，
∴FG＝6，
∴PF＝5﹣t，FM＝3t，
由翻转变换的性质可知，PF＝PF′，FM＝FM′，
当PF＝FM时，PF＝PF′＝FM＝FM′，
∴四边形PFMF'为菱形，
又∠F＝90°，
∴四边形PFMF'为正方形，
∴5﹣t＝3t，即t＝1.25时，四边形PFMF'为正方形，
故答案为：1.25；
②存在，
∵点P的运动速度1cm/s，点P、M、N的运动速度的比为2：6：3，
∴点M的运动速度3cm/s，点N的运动速度1.5cm/s，
∴PF＝5﹣t，FM＝3t，GN＝1.5t，
∵点M的运动速度3cm/s，FG＝6，
∴0≤t≤2，
当△PFM∽△MGN时，＝，即＝，
解得，t＝，
当△PFM∽△NGM时，＝，即＝，
解得，t1＝﹣7﹣（舍去），t2＝﹣7+，
综上所述，当t＝或﹣7+时，△PFM与△MGN相似．
2．解：（1）当t＝1时，则AP＝1，
∴BP＝AB﹣AP＝3，
∵EP⊥AB，
∴∠EPB＝∠A＝90°，
∴EP∥AD，
∴△BPE∽△BAD，
∴，
∴，
∴EP＝；
（2）∵∠A＝90°，AD＝3，AB＝4，
∴BD＝＝＝5，
∵EP⊥AB，
∴∠EPB＝∠A＝90°，
∴EP∥AD，
∴△BPE∽△BAD，
∴，
∴，
∴BE＝5﹣t，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠EBQ，
若∠BEQ＝∠A＝90°，
∴△BAD∽△QEB，
∴，
∴＝，
∴t＝28（不合题意舍去），
若∠BQE＝∠A＝90°，
∴△BAD∽△EQB，
∴，
∴t＝，
（3）∵S＝×CQ×PB＝×2t×（4﹣t）＝﹣（t﹣2）2+4，
∴当t＝2时，S最大值为4，
∴△CEQ的面积S的最大值为4．
3．证明：（1）∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵∠ADE+∠CDE＝∠B+∠BAD，∠ADE＝∠B，
∴∠BAD＝∠CDE，
∴△BAD∽△DCE；
（2）如图2中，作AM⊥BC于M．
在Rt△ABM中，设BM＝4k，
∵＝，
∴，
由勾股定理，得到AB2＝AM2+BM2，
∴102＝（3k）2+（4k）2，
∴k＝2或﹣2（舍弃），
∴AM＝6，BM＝8，
∵AB＝AC，AM⊥BC，
∴BC＝2BM＝2×2k＝16，
∵DE∥AB，
∴∠BAD＝∠ADE，
∵∠ADE＝∠B，∠B＝∠ACB，
∴∠BAD＝∠ACB，
∵∠ABD＝∠CBA，
∴△ABD∽△CBA，
∴，
∴＝，
∵DE∥AB，
∴，
∴＝．
（3）点D在BC边上运动的过程中，存在某个位置，使得DF＝CF．
理由：作FH⊥BC于H，AM⊥BC于M，AN⊥FH于N．则∠NHM＝∠AMH＝∠ANH＝90°，
∴四边形AMHN为矩形，
∴∠MAN＝90°，MH＝AN，
∵AB＝AC，AM⊥BC，
∵AB＝10，
∴BM＝CM＝8，
∴BC＝16，
在Rt△ABM中，由勾股定理，得AM＝6，
∵AN⊥FH，AM⊥BC，
∴∠ANF＝90°＝∠AMD，
∵∠DAF＝90°＝∠MAN，
∴∠NAF＝∠MAD，
∴△AFN∽△ADM，
∴，
∴，
∴CH＝CM﹣MH＝CM﹣AN＝8﹣＝，
当DF＝CF时，由点D不与点C重合，可知△DFC为等腰三角形，
∵FH⊥DC，
∴CD＝2CH＝7，
∴BD＝BC﹣CD＝16﹣7＝9，
∴点D在BC边上运动的过程中，存在某个位置，使得DF＝CF，此时BD＝9．
4．解：（1）BM＝PD，，
理由如下：
当n＝1，则AD＝AB，AP＝AM，
∴AD﹣AP＝AB﹣AM，
∴DP＝BM，
∵四边形ABCD是矩形，四边形AMNP是矩形，
∴AD＝CD＝AB，AP＝AM＝NP，∠ADC＝∠APN＝90°，
∴AC＝AD，AN＝AP，
∴AC﹣AN＝（AD﹣AP），
∴CN＝PD，
故答案为：BM＝PD，；
（2）CN与PD之间的数量关系发生变化，，
理由如下：如图（1）在矩形ABCD和矩形AMNP中，
∵当n＝2．AD＝2AB，AP＝2AM，
∴，，
∴.，
如图（3）连接AC，
∵矩形AMNP绕点A顺时针旋转，
∴∠NAC＝∠PAD，
∴△ANC∽△APD，
∴，
∴；
（3）如图，当点N在线段CM上时，
∵AD＝4，AD＝2AB，
∴AB＝CD＝2，
∴AC＝＝＝，
∵AP＝2，AP＝2AM，
∴AM＝1，
∴CM＝＝＝，
∴CN＝CM﹣MN＝﹣2；
如图，当点M在线段CN上时，
同理可求CM＝，
∴CN＝CM+MN＝+2；
综上所述：线段CN的长为或．
5．解：（1）∵∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，
∴BC＝＝＝6，
∵D、E分别是AB、BC的中点．
∴DE∥AC，DE＝AC＝4，BD＝AD＝5，BE＝CE＝3，
∵动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿AB向终点B运动，
∴AP＝5t，
∴BP＝10﹣5t，
∵DE∥AC，
∴△BPQ∽△BAC，
∴，
∴
∴PQ＝8﹣4t，
故答案为：8﹣4t；
（2）当点P在AD上运动时，
∵四边形DPQM是菱形，
∴PD＝PQ，
∴5﹣5t＝8﹣4t，
∴t＝﹣3（不合题意舍去），
当点P在BD上运动时，过点P作PH⊥DQ于H，
∵四边形DPQM是菱形，
∴PD＝PQ，且PH⊥DQ，
∴DH＝HQ＝DQ＝[4﹣4（t﹣1）]＝4﹣2t，
∵DE∥AC，
∴∠DEB＝∠ACB＝90°＝∠PHD，
∴PH∥BE，
∴△PDH∽△BDE，
∴，
∴，
∴t＝，PH＝3t﹣3，
综上所述：当t＝时，?DPQM是菱形；
（3）当0＜t＜1时，
S＝×（8﹣4t+4）×（3﹣3t）＝6t2﹣24t+18，
当t＝1时，不能作出?DPQM，
当1＜t＜2时，
S＝×（8﹣4t）×（3t﹣3）＝﹣6t2+18t﹣12；
（4）当点P在AD上时，不存在△DPQ与△BDE相似，
当点P在BD上时，则∠PDQ＝∠BDE，
若∠PQD＝∠DEB＝90°时，
∴△PDQ∽△BDE，
∴，
∴
∴t＝，
若∠DPQ＝∠DEB＝90°时，
∴△QPD∽△BED，
∴，
∴
∴t＝
综上所述：当t＝或时，△DPQ与△BDE相似．
6．解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，CD＝AB，CD∥AB，
∵BF⊥AD于F，
∴∠AFB＝90°，
∵∠BAD＝60°，
∴AB＝2AF＝6，BF＝AF＝3，
∵EH⊥AD于H，
∴AE＝2AH＝4，EH＝AH＝2，
∵DE⊥DC交AB于E，
∴∠DEA＝90°，
∴AD＝2AE＝8，
∴CB＝AD＝8，
如图1，作AM⊥CB于M，则∠ABM＝∠BAD＝60°，
∴BM＝（1/2）AB＝3，AM＝BM＝3，
∴CM＝CB+BM＝11，
在Rt△ACM中：AC＝＝＝2．
（2）如图2，作EN⊥AC于N，连接DN、CE，则∠CNE＝90°．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，CD＝AB，CD∥AB，
∵DE⊥DC交AB于E，
∴∠CDE＝∠DEA＝90°，
∵EH⊥AD于H，
∴∠DHD＝∠EHA＝90°，
∵BF⊥AD于F，
∴∠DFB＝∠AFB＝90°，
∴∠DHE＝∠BFA，
∵∠DEH+∠HEA＝∠HEA+∠BAF＝90°，
∴∠DEH＝∠BAF，
∵DH＝BF，
∴△DEH≌△BAF（AAS），
∴DE＝BA＝CD，
∴△CDE是等腰直角三角形，∠DCE＝∠DEC＝45°，
∵∠CDE＝∠CNE＝90°，
∴C、D、N、E四点共圆，
∴∠DNC＝∠DEC＝45°，
∵∠CDG＝45°﹣∠CAB，
∴∠CDG+∠CAB＝45°，
∵CD∥AB，
∴∠CAB＝∠DCG，
∴∠DGN＝∠DCG+∠CDG＝45°＝∠DNC，
∴△DGN是等腰直角三角形，∠GDN＝90°，DG＝DN，
∵∠CDG+∠GDE＝∠GDE+∠EDN＝90°，
∴∠CDG＝∠EDN，
∴△CDG≌△EDN（SAS），
∴EN＝CG，
∵∠CGD＝75°，
∴∠CGN＝∠CGD﹣∠DGN＝30°，
∴GN＝EN＝CG，
∴DG＝GN＝CG
7．解：（1）如图1中，连接AC，AF．
∵四边形ABCD，四边形AEFG都是正方形，
∴AB＝AD，AE＝AG，∠BAD＝∠EAG＝90°，AC＝AB，AF＝AE，∠BAC＝45°，∠EAF＝45°，
∴∠BAE＝∠DAG，
∴△BAE≌△DAG（SAS），
∴BE＝DG，
∵AC＝AB，AF＝AE，
∴＝，
∵∠BAC＝∠EAF＝45°，
∴∠BAE＝∠CAF，
∴△BAE∽△CAF，
∴＝＝，
∵DG＝BE，
∴＝．
故答案为：BE＝DG，．
（2）如图2中，连接OB，OE，OF，OC．
∵四边形ABCD是正方形，OA＝OD，
∴∠A＝∠CDO＝90°，AB＝CD，
∴△AOB≌△DOC（SAS），
∴OB＝OC，同法可证OE＝OF，
∴∠OBC＝∠OCB，∠OEF＝∠OFE，
∵BC∥AD，
∴∠CBO＝∠AOB，
∴tan∠CBO＝tan∠AOB＝2，
同法可证：tan∠FEO＝2，
∴tan∠CBO＝tan∠FEO，
∴∠CBO＝∠FEO，
∴∠OBC＝∠OCB＝∠OEF＝∠OFE，
∴∠BOC＝∠EOF，
∴∠EOB＝∠FOC，
∵OE＝OF，OB＝OC，
∴△OEB≌△OFC（SAS），
∴BE＝FC，
∵tan∠COD＝tan∠COD＝2，
∴∠FOG＝∠COD，
∴∠FOC＝∠GOD，
∵＝＝，
∴△FOG∽△GOD，
∴＝＝．
（3）①如图3中，结论不成立，BE＝3DG．连接BE，AC，AF，CF．
∵四边形ABCD，四边形AEFG都是矩形，
∴∠BAD＝∠EAG＝90°，
∴∠BAE＝∠DAG，
∵AB＝3AD，AE＝3AG，
∴＝，
∴△BAE∽△DAG，
∴＝＝3，
∴BE＝3DG，
由题意：＝，＝，
∴＝，
∴＝，
∵tan∠BAC＝tan∠EAF＝，
∴∠BAC＝∠EAF，
∴∠BAE＝∠CAF，
∴△BAE∽△CAF，
∴＝＝，
∴＝．
②如图4中，连接OE，OB，OF，OC．
由（2）可知，∠BOC＝∠EOF，OE＝OF，OB＝OC，
∴∠EOB＝∠FOC，
∴△EOB≌△FOC（SAS），
∴BE＝CF．
同法可证△FOC∽△GOD，
∴＝，
∵＝2n，
设EH＝k，则GH＝2nk，
∴OG＝nk，
∴OF＝＝?k，
∵BE＝CF，
∴＝＝．
8．证明：（1）①∵四边形ABCD和四边形DEFG是正方形，
∴∠A＝∠ADC＝∠EDG＝90°，AD＝CD，DE＝DG，
∴∠ADE＝∠CDG，
在△ADE和△CDG中，
，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴∠A＝∠DCG＝90°，
∴CD⊥CG；
②如图1，过点N作NP∥DE，
∵四边形DEFG是正方形，
∴EF＝GF，∠EFH＝∠GFH＝45°，且HF＝HF，
∴△EFH≌△GFH（SAS），
∴EH＝GH，∠HEF＝∠HGF，
∵∠HEF＝∠HGF，EF＝GF，∠EFM＝∠GFN，
∴△EFM≌△GFN（ASA），
∴FM＝NF，EM＝GN，
∵tan∠HEN＝＝，
∴EF＝4MF＝4NF＝GF，
∴GM＝3MF＝EN＝3NF，
∴NP∥DE，
∴△PNE∽△MFE，
∴，
∴PN＝MF，
∵NP∥DE，
∴＝，
∴；
（2）如图1，∵AD＝4，AE＝1，
∴DE＝＝＝，
∴EF＝GF＝，
∴NF＝EF＝，
∵GN2＝GF2+NF2，
∴GN＝，
∵
∴GH＝GN＝，
∴EH＝GH＝
若点E在点A左侧，如图2，设AB与DH于点O，过点F作FN⊥AB，
∵∠DEA+∠FEB＝90°，∠DEA+∠ADE＝90°，
∴∠ADE＝∠FEB，且∠DAE＝∠FNE＝90°，DE＝EF，
∴△ADE≌△NEF（AAS）
∴AE＝NF＝1，DA＝EN＝4，
∴AN＝3，BN＝1，
∵DA∥NF，
∴，
∴ON＝，
∴BO＝，
∴AO＝
∵DA∥BH，
∴，
∴BH＝，
∴EH＝＝＝
9．证明：（1）∵正方形ABCD，E、F分别为边AB、BC的中点，
∴AD＝BC＝DC＝AB，AE＝BE＝AB，BF＝CF＝BC，
∴AE＝BF，
∵在△ADE和△BAF中，
∴△ADE≌△BAF（SAS）
∴∠BAF＝∠ADE，
∵∠BAF+∠DAF＝90°
∴∠ADE+∠DAF＝90°＝∠AGD，
∴AF⊥DE；
（2）①如图b，过点B作BN⊥AF于N，
∵∠BAF＝∠ADE，∠AGD＝∠ANB＝90°，AB＝AD，
∴△ABN≌△ADG（AAS）
∴AG＝BN，DG＝GN，
∵∠AGE＝∠ANB＝90°，
∴EG∥BN，
∴，且AE＝BE，
∴AG＝GN，
∴AN＝2AG＝DG，
∵BG2＝BN2+GN2＝AG2+AG2，
∴BG2＝2AG2＝2AG?AG＝GA?DG；
②∵AB＝10，
∴AE＝BF＝5，
∴DE＝＝＝5，
∵×AD×AE＝×DE×AG，
∴AG＝2，
∴GN＝BN＝2，
∴AN＝DG＝4，
∵GE∥BN，
∴△DGH∽△BNH，
∴＝＝2，
∴GH＝2HN，且GH+HN＝GN＝2，
∴GH＝，
∴S△GHB＝×GH×BN＝××2＝．
10．（1）证明：过点P作PG⊥AB于点G，如图1所示：
则四边形DPGA和四边形PCBG是矩形，
∴AD＝PG，DP＝AG，BG＝PC，
∵∠APB＝90°，
∴∠APG+∠GPB＝∠GPB+∠PBG＝90°，
∴∠APG＝∠PBG，
∴△APG∽△PBG，
∴＝，
∴PG2＝AG?BG，
即AD2＝DP?PC；
（2）解：四边形PMBN是菱形；理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∵BM∥PN，BN∥MP，
∴四边形PMBN是平行四边形，
∵DP∥AB，
∴∠DPA＝∠PAM，
由题意可知：∠DPA＝∠APM，
∴∠PAM＝∠APM，
∵∠APB﹣∠PAM＝∠APB﹣∠APM，
即∠ABP＝∠MPB
∴AM＝PM，PM＝MB，
∴PM＝MB，
∴四边形PMBN是菱形；
（3）解：∵AD＝3DP，
∴设DP＝1，则AD＝3，
由（1）可知：AG＝DP＝1，PG＝AD＝3，
∵PG2＝AG?BG，
∴32＝1?BG，
∴BG＝PC＝9，
AB＝AG+BG＝10，
∵CP∥AB，
∴△PCF∽△BAF，
∴＝＝，
∴＝，
∵PM＝MB，
∴∠MPB＝∠MBP，
∵∠APB＝90°，
∴∠MPB+∠APM＝∠MBP+∠MAP＝90°，
∴∠APM＝∠MAP，
∴PM＝MA＝MB，
∴AM＝AB＝5，
∵AB∥CD，
∴△PCE∽△MAE，
∴＝＝，
∴＝，
∴EF＝AF﹣AE＝AC﹣AC＝AC，
∴＝＝．
11．解：（1）由题意得：AM＝t，
∵PM⊥AB，
∴∠PMA＝90°，
∵∠A＝60°，
∴∠APM＝30°，
∴PM＝AM＝t．
∵∠C＝90°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝30°，
∴AB＝2AC＝4，BC＝AC＝2，
∵MN＝1，
∴BN＝AM﹣AM﹣1＝3﹣t，
∵QN⊥AB，
∴QN＝BN＝（3﹣t）；
故答案为：tcm，（3﹣t）cm．
（2）四边形MNQP有可能成为矩形，理由如下：
由（1）得：QN＝（3﹣t）．
由条件知，若四边形MNQP为矩形，
则需PM＝QN，即t＝（3﹣t），
∴t＝．
∴当t＝s时，四边形MNQP为矩形；
（3）由（2）知，当t＝s时，四边形MNQP为矩形，此时PQ∥AB，
∴△PQC∽△ABC．
除此之外，当∠CPQ＝∠B＝30°时，△QPC∽△ABC，
此时 ＝tan30°＝．
∵＝cos60°＝，
∴AP＝2AM＝2t．
∴CP＝2﹣2t．
∵＝cos30°＝，
∴BQ＝（3﹣t）．
又∵BC＝2，
∴CQ＝2 ．
∴．
综上所述，当s或s时，以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似．
12．证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠A＝∠BCD＝∠ADC＝90°，AD＝BC＝4，AB＝CD＝6，
∴∠ADE+∠EDC＝90°，
∵DF⊥DE，
∴∠EDC+∠CDF＝90°，
∴∠ADE＝∠CDF，且∠A＝∠DCF＝90°，
∴△DAE∽△DCF；
（2）∵△DAE∽△DCF，
∴，
∴
∴y＝x+4；
（3）∵四边形EBFD为轴对称图形，
∴DE＝BE，
∵AD2+AE2＝DE2，
∴16+AE2＝（6﹣AE）2，
∴AE＝，
∴DE＝BE＝，
∴cos∠AED＝＝，
故答案为：．
13．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠NAM＝∠BMA，
∵∠AMN＝∠AMB，
∴∠AMN＝∠NAM，
∴AN＝MN，即△AMN是等腰三角形；
（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD＝BC＝2，AB＝CD＝3，
∴∠NAM＝∠BMA，
作NH⊥AM于H，如图所示：
∵AN＝MN，NH⊥AM，
∴AH＝AM，
∵∠NHA＝∠ABM＝90°，∠NAM＝∠BMA，
∴△NAH∽△AMB，
∴＝，
∴AN?BM＝AH?AM＝AM2，
∴AM2＝2BM?AN；
（3）解：∵M为BC中点，
∴BM＝CM＝BC＝×2＝1，
由（2）得：AM2＝2BM?AN，
即：AM2＝2AN，
∵AM2＝AB2+BM2＝32+12＝10，
∴10＝2AN，
∴AN＝5，
∴DN＝AN﹣AD＝5﹣2＝3，
设DE＝x，则CE＝3﹣x，
∵AN∥BC，
∴△DNE∽△CME
∴＝，即＝，
解得：x＝，即DE＝，
∴CE＝DC﹣DE＝3﹣＝，
∴ME＝＝＝．
14．解：（1）∵A（8，0）、C（0，6），
∴OA＝8，OC＝6，
∵四边形OABC是矩形，
∴∠ABC＝∠OAB＝90°，BC＝OA＝8，AB＝OC＝6，
∴＝＝，
故答案为：；
（2）的值不发生变化，＝，理由如下：
∵∠OAB＝∠BPQ＝90°，
∴∠AOB+∠BPQ＝180°，
∴A、B、P、Q四点共圆，
∴∠PQB＝∠PAB，
∵∠ABC＝∠BPQ＝90°，
∴△PBQ∽△BCA，
∴＝＝；
（3）设BQ交AP于M，如图所示：
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝＝＝10，
由折叠的性质得：BQ⊥AP，PM＝AM，
∴∠AMB＝90°＝∠ABC，
∵∠BAM＝∠CAB，
∴△ABM∽△ACB，
∴＝，即＝，
解得：AM＝3.6，
∴PA＝2AM＝7.2，
∴PC＝AC﹣PA＝10﹣7.2＝2.8；
故答案为：2.8．
15．（1）证明：∵四边形OABC是矩形，A（4，0），B（4，3），
∴OA＝BC＝4，AB＝OC＝3，∠AOC＝90°，
∴AC＝＝＝5；
（2）解：由题意得：BN＝t，AP＝t，
∵＝，＝＝，
∴＝，
∴PN∥AB，
∴△CPN∽△CAB；
（3）解：分两种情况：
①当0＜t＜2时，延长NP交OA于D，如图1所示：
由（2）得：PD∥AB，
∴△APD∽△ACO，
∴＝＝，即＝＝，
解得：PD＝t，AD＝t，
∴PN＝3﹣t，DM＝4﹣t﹣t＝4﹣2t，
∴△MPN的面积S＝PN×DM＝×（3﹣t）×（4﹣2t）＝t2﹣t+6，
即S＝t2﹣t+6（0＜t＜2）；
②当2＜t＜4时，延长NP交OA于D，如图2所示：
由（2）得：PD∥AB，
∴△APD∽△ACO，
∴＝＝，即＝＝，
解得：PD＝t，AD＝t，
∴PN＝3﹣t，DM＝t+﹣4t＝2t﹣4，
∴△MPN的面积S＝PN×DM＝×（3﹣t）×（2t﹣4）＝﹣t2+t﹣6，
即S＝﹣t2+t﹣6（2＜t＜4）；
当S＝，0＜t＜2时，则t2﹣t+6＝，
整理得：t2﹣6t+6＝0，
解得：t＝3﹣，或t＝3+（不合题意舍去），
∴t＝3﹣；
当S＝，2＜t＜4时，则﹣t2+t﹣6＝，
整理得：t2﹣6t+10＝0，
∵△＝36﹣40＜0，
∴此方程无解；
综上所述，当S＝时，运动时间t的值为（3﹣）秒．
16．解：（1）∵点E为CD中点，AB＝AD＝CD＝2，
∴DE＝，
∴AE＝＝＝5，
∵AB∥CD，
∴△ABF∽△EDF，
∴，
∴AF＝2EF，且AF+EF＝5，
∴AF＝；
（2）如图1，连接AC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，BD＝AB，AO⊥BD，AO＝BO＝CO＝DO，
∴AO＝DO＝BO＝AB，
∵tan∠AFB＝＝2，
∴OF＝AO＝AB，
∴DF＝OD﹣OF＝AB，BF＝OB+OF＝AB，
∴；
（3）如图2，设AB＝CD＝AD＝a，则BD＝a，
∵＝x，
∴DE＝xa，
∴S△ADE＝×AD×DE＝xa2，
∵△ABF∽△EDF，
∴＝x，
∴DF＝x?BF，
∴S△ABF＝a2，
∵GF＝2BG，
∴S2＝S△ABG＝S△ABF＝，
∵AB＝CB，∠ABG＝∠CBG，BG＝BG，
∴△ABG≌△CBG（SAS）
∴S△ABG＝S△CBG，
∴S1＝四边形AGCE的面积＝a2﹣xa2﹣2×
∴＝﹣3x2+3x+4＝﹣3（x﹣）2+
∴当x＝时，的最大值为．
17．（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠ADC为△ABD的外角，
∴∠ADE+∠EDC＝∠B+∠DAB，
∵∠ADE＝∠B，
∴∠BAD＝∠CDE，又∠B＝∠C，
∴△ABD∽△DCE，
∴＝，
∴AB?CE＝BD?CD；
（2）解：设BD＝x，AE＝y，
由（1）得，5×（5﹣y）＝x×（6﹣x），
整理得，y＝x2﹣x+5
＝（x﹣3）2+，
∴AE的最小值为；
（3）解：作AF⊥BE于F，
则四边形ADEF为矩形，
∴EF＝AD＝3，AF＝DE，
∴BF＝BE﹣EF＝1，
设CD＝x，CE＝y，
则AF＝DE＝x+y，
由勾股定理得，AD2+CD2＝AC2，CE2+BE2＝BC2，AF2+BF2＝AB2，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，
∴32+x2＝AC2，y2+42＝BC2，（x+y）2+12＝AC2，
∴x2﹣y2＝7，y2+2xy＝8，
解得，x＝，y＝，
∴DE＝x+y＝．
18．（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠APC＝∠ABC+∠BAP，∠APC＝∠APD+∠EPC，∠APD＝∠ABC，
∴∠BAP＝∠EPC，
∴△ABP∽△PCE，
∵BC∥AD，
∴△PCE∽△DAE，
∴△ABP∽△DAE；
（2）解：①∵△ABP∽△PCE，
∴＝，即＝，
∴y＝﹣x2+x（0＜x＜6）；
②∵△ABP∽△DAE，
∴＝，即＝，
∴AD＝，
∵AD∥BC，
∴，
∵，
∴，
∴，即13x2+24x﹣100＝0，
∴x1＝2，（舍去）
∴．
19．（1）解：在Rt△BCE中，当tan∠BEC＝2，
∴＝2，即＝2，
解得，BE＝2，
由勾股定理得，CE＝＝＝2，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB∥CD，
∴∠ECH＝∠BEC，
∴tan∠ECH＝＝2，即＝2，
∴EH＝4，
∴CH＝＝10；
（2）证明：∵∠FEG＝∠FDH＝90°，∠EFG＝∠DFH，
∴△EFG∽△DFH，
∴＝，
∴DF?FG＝HF?EF；
（3）证明：∵△EFG∽△DFH，
∴∠CGD＝∠CHE，又∠GCD＝∠HCE，
∴△GCD∽△HCE，
∴＝，又∠GCD＝∠HCE，
∴△CDE∽△CGH，
∴∠CDE＝∠CGH．
20．解：（1）AB＝2，BC＝1，AD＝4，
由勾股定理得，AC＝＝，CD＝＝，
AE＝＝2，CE＝＝5，
＝＝＝，
∴△ABC∽△EAC，
∴四边形ABCE是“友好四边形”，
≠，
∴△ABC与△ACD不相似，
∴四边形ABCD不是“友好四边形”，
故答案为：四边形ABCE；
（2）证明：根据旋转的性质得，∠A'CB'＝∠ACB，∠CA'B'＝∠CAB，
∵AD∥A'B'，
∴∠CA'B'＝∠D，
∴∠CAB＝∠D，又∠A'CB'＝∠ACB，
∴△ABC∽△DAC，
∴四边形ABCD是“友好四边形”；
（3）如图3，过点A作AM⊥BC于M，
在Rt△ABM中，AM＝AB?sin∠ABC＝AB，
∵△ABC的面积为6，
∴BC×AB＝6，
∴BC×AB＝24，
∵四边形ABCD是被BD分割成的“友好四边形”，且AB≠BC，
∴△ABD∽△DBC
∴，
∴BD2＝AB×BC＝24，
∴BD＝＝2．

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