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中考数学复习专题训练：《四边形综合 》
1．问题发现：
（1）如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝b，BC＝a，点E是AC的中点，点F在BC边上，将△ECF沿着EF折叠后得到△EPF，连接BP并使得BP最小，请画出符合题意的点P；
问题探究：
（2）如图②，已知在△ABC和△EBD中，∠ACB＝∠BDE＝90°，AC＝BC＝4，BD＝DE＝2，连接CE，点F是CE的中点，连接AF，求AF的最大值．
问题解决：
（3）西安大明宫遗址公园是世界文化遗产，全国重点文物保护单位，为了丰富同学们的课外学习生活，培养同学们的探究实践能力，周末光明中学的张老师在家委会的协助下，带领全班同学去大明宫开展研学活动．在公园开设的一处沙地考古模拟场地上，同学们参加了一次模拟考古游戏．张老师为同学们现场设计了一个四边形ABCD的活动区域，如图③所示，其中BD为一条工作人员通道，同学们的入口设在点A处，AD⊥BD，AD∥BC，∠DCB＝60°，AB＝2米．在上述条件下，小明想把宝物藏在距入口A尽可能远的C处让小鹏去找，请问小明的想法是否可以实现？如果可以，请求出AC的最大值及此时△BCD区域的面积，如果不能，请说明理由．

2．已知：如图，在菱形ABCD中，AC＝2，∠B＝60°．点E为边BC上的一个动点（与点B、C不重合），∠EAF＝60°，AF与边CD相交于点F，联结EF交对角线AC于点G．设CE＝x，EG＝y．
（1）求证：△AEF是等边三角形；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；
（3）点O是线段AC的中点，联结EO，当EG＝EO时，求x的值．

3．已知在正方形ABCD和正方形CEFG中，直线BG，DE交于点H．
（1）如图1，当B，C，E共线时，求证：BH⊥DE．
（2）如图2，把正方形CEFG绕C点顺时针旋转α度（0＜α＜90），M，N分别为BG，DE的中点，探究HM，HN，CM之间的数量关系，并证明你的结论．
（3）如图3，∠PDG＝45°，DH⊥PG于H，PH＝2，HG＝4．直接写出DH的长．

4．[问题引入]（1）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD两边上的点，且AE⊥BF，垂足为点P．求证：AE＝BF；
[类比探究]（2）如图2，把（1）中正方形ABCD改为矩形ABCD，且AD＝2AB，其余条件不变，请你推断AE、BF满足怎样的数量关系，并说明你的理由；
[实践应用]（3）如图3，Rt△ABC中，∠BAC＝30°，把△ABC沿斜边AC对折得到Rt△ADC，E、F分别为CD、AD边上的点，连接AE、BF，恰好使得AE⊥BF，垂足为点P．请求出的值．

5．如图，已知正方形ABCD中，BC＝4，AC、BD相交于点O，过点A作射线AM⊥AC，点E是射线AM上一点，联结OE交AB边于点F．以OE为一边，作正方形OEGH，且点A在正方形OEGH的内部，联结DH．
（1）求证：△HDO≌△EAO；
（2）设BF＝x，正方形OEGH的边长为y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；
（3）联结AG，当△AEG是等腰三角形时，求BF的长．

6．阅读材料：等腰三角形具有性质“等边对等角”．事实上，不等边三角形也具有类似性质“大边对大角”，如图1，在△ABC中，如果AB＞AC，那么∠ACB＞∠ABC．证明如下：将AB沿△ABC的角平分线AD翻折（如图2），因为AB＞AC，所以点B落在AC的延长线上的点B′处．于是，由∠ACB＞∠B′，∠ABC＝∠B′，可得∠ACB＞∠ABC．
（1）灵活运用：从上面的证法可以看出，折纸常常能为证明一个命题提供思路和方法．由此小明想到可用类似方法证明“大角对大边”，如图3，在△ABC中，如果∠ACB＞∠ABC，那么AB＞AC．小明的思路是：沿BC的垂直平分线翻折……请你帮助小明完成后面的证明过程．
（2）拓展延伸：请运用上述方法或结论解决如下问题：
如图4，已知M为正方形ABCD的边CD上一点（不含端点），连接AM并延长，交BC的延长线于点N．求证：AM+AN＞2BD．
7．探究：如图1和图2，四边形ABCD中，已知AB＝AD，∠BAD＝90°，点E、F分别在BC、CD上，∠EAF＝45°．
（1）①如图1，若∠B、∠ADC都是直角，把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，直接写出线段BE、DF和EF之间的数量关系　 　；
②如图2，若∠B、∠D都不是直角，但满足∠B+∠D＝180°，线段BE、DF和EF之间的结论是否仍然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
（2）拓展：如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2．点D、E均在边BC边上，且∠DAE＝45°，若BD＝1，求DE的长．
8．如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，沿对角线AC剪开，再把△ADC沿AB方向平移，得到图2，其中A'D交AC于E，A'C'交BC于F．
（1）在图2中，除△ABC与△C'DA'外，指出还有哪几对全等三角形（不能添加辅助线和字母），并选择一对加以证明；
（2）设AA'＝x．
①当x为何值时，四边形A'ECF是菱形？
②设四边形A'ECF的面积为y，求y的最大值．
9．在正方形ABCD中，BD为对角线，点E在BD上，过点E作EF⊥CE，交AB于点F，连接CF．
（1）如图①，求证：∠ECF＝45°；
（2）如图②，作FG⊥AB，交BD于点G，求证：DE＝GE；
（3）在（2）的条件下，如图③，延长FG交CE于点K，延长CE交AD于点M，连接MG、BK，若MG＝2EK，GK＝2，求线段BK的长．

10．如图，在正方形ABCD中，M、N分别是射线CB和射线DC上的动点，且始终∠MAN＝45°．
（1）如图1，当点M、N分别在线段BC、DC上时，请直接写出线段BM、MN、DN之间的数量关系；
（2）如图2，当点M、N分别在CB、DC的延长线上时，（1）中的结论是否仍然成立，若成立，给予证明，若不成立，写出正确的结论，并证明；
（3）如图3，当点M、N分别在CB、DC的延长线上时，若CN＝CD＝6，设BD与AM的延长线交于点P，交AN于Q，直接写出AQ、AP的长．
11．如图，菱形ABCD中，AB＝10，连接BD，点P是射线BC上一点（不与点B重合），AP与对角线BD交于点E，连接EC．
（1）求证：AE＝CE；
（2）若sin∠ABD＝，当点P在线段BC上时，若BP＝4，求△PEC的面积；
（3）若∠ABC＝45°，当点P在线段BC的延长线上时，请直接写出△PEC是等腰三角形时BP的长．
12．如图，在正方形ABCD中，P是边BC上的一动点（不与点B，C重合），点B关于
直线AP的对称点为E，连接AE．连接DE并延长交射线AP于点F，连接BF．
（1）若∠BAP＝α，直接写出∠ADF的大小（用含α的式子表示）；
（2）求证：BF⊥DF；
（3）连接CF，用等式表示线段AF，BF，CF之间的数量关系，并证明．
13．已知正方形OABC在平面直角坐标系中，点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，等腰直角三角形OEF的直角顶点O在原点，E，F分别在OA，OC上，且OA＝4，OE＝2．将△OEF绕点O逆时针旋转，得△OE1F1，点E，F旋转后的对应点为E1，F1．
（Ⅰ）①如图①，求E1F1的长；
②如图②，连接CF1，AE1，求证△OAE1≌△OCF1；
（Ⅱ）将△OEF绕点O逆时针旋转一周，当OE1∥CF1时，求点E1的坐标（直接写出结果即可）．

14．菱形ABCD中，E，F为边AB，AD上的点，CF，DE相交于点G．
（1）如图1，若∠A＝90°，DE＝CF，求证：DE⊥CF；
（2）如图2，若∠EGC+∠B＝180°．求证：DE＝CF；
（3）如图3，在（1）的条件下，平移线段DE到MN，使G为CF的中点，连接BD交MN于点H，若∠FCD＝15°，BN＝，请直接写出FG的长度．

15．我们定义：对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）如图1，垂美四边形ABCD的对角线AC，BD交于O．求证：AB2+CD2＝AD2+BC2；
（2）如图2，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连结BE，CG，GE．
①求证：四边形BCGE是垂美四边形；
②若AC＝4，AB＝5，求GE的长．

16．（1）观察猜想
如图①，点B、A、C在同一条直线上，DB⊥BC，EC⊥BC且∠DAE＝90°，AD＝AE，则△ADB和△EAC是否全等？　 　（填是或否），线段AB、AC、BD、CE之间的数量关系为　 　．
（2）问题解决
如图②，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝6，AB＝6，以AC为直角边向外作等腰Rt△DAC，连接BD，求BD的长．
（3）拓展延伸
如图③，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，AB＝5，AD＝，DC＝DA，CG⊥BD于点G，求CG的长，

17．已知，在?ABCD中，AB⊥BD，AB＝BD，E为射线BC上一点，连接AE交BD于点F．
（1）如图1，若点E与点C重合，且AF＝2，求AD的长；
（2）如图2，当点E在BC边上时，过点D作DG⊥AE于G，延长DG交BC于H，连接FH．求证：AF＝DH+FH；
（3）如图3，当点E在射线BC上运动时，过点D作DG⊥AE于G，M为AG的中点，点N在BC边上且BN＝1，已知AB＝4，请直接写出MN的最小值．
18．如图，在矩形ABCD中，E是AB边上的一个动点，把△BCE沿CE折叠，使点B落在点F处，过点F作GH∥CE，分别交AB、CD于点G、H．
（1）求证：△EFG是等腰三角形；
（2）如图①，若F是GH中点，求∠FGE的度数；
（3）如图②，若点G与点A重合，AB＝30，BC＝20，求FH的长．
19．在平面直角坐标系中，已知A（﹣4，0），B（4，0），点C，D在x轴上方，且四边形ABCD的面积为32，
（1）若四边形ABCD是菱形，求点D的坐标．
（2）若四边形ABCD是平行四边形，如图1，点E，F分别为CD，BC的中点，且AE⊥EF，求AE+2EF的值．
（3）若四边形ABCD是矩形，如图2，点M为对角线AC上的动点，N为边AB上的动点，求BM+MN的最小值．
20．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，正方形OABC与长方形DEFG的位置如图所示，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，点B的横坐标为a，点D，E在x轴的负半轴上（点E在点D的右侧），点G的坐标为（b，﹣b），DE＝OA，实数a，b的值满足．
（1）求点F的坐标；
（2）长方形DEFG以每秒1个单位长度的速度向右平移t（t＞0）秒得到矩形D'E'F'G'，点D'，E'，F'，G'分别为点D，E，F，G平移后的对应点，设矩形D'E'F'G'与正方形OABC重合部分的面积为S，用含t的式子表示S，并直接写出相应的t的范围；
（3）在（2）的条件下，在长方形DEFG出发运动的同时，点P从点O出发，沿正方形的边以每秒2个单位长度的速度顺时针方向运动（即O→C→B→A→O→C），连接PD'，PG'，当三角形PD'G'的面积为15时，求S＞0时相应的t值，并直接写出此时刻S值及点P的坐标．

参考答案
1．解：（1）如图①中，点P即为所求．当E，P，B共线时，BP的值最小．
（2）如图②中，取BC的中点P，连接PA，PF．
∵∠BDE＝90°，BD＝DE＝2，
∴BE＝BD＝4，
∴CF＝EF，CP＝PB＝2，
∴PF＝BE＝2，
∵∠ACP＝90°，AC＝4，CP＝2，
∴PA＝＝＝2，
∵AF≤PA+PF，
∴AF≤2+2，
∴AF的最大值为2+2．
（3）如图③中，作△ABD的外接圆⊙O交CD于E，连接OE，EB，AC．
∵∠DBC＝90°，∠DCB＝60°，
∴∠CDB＝30°，
∴∠EOB＝60°，
∵EO＝EB，
∴△EOB是等边三角形，BE＝OB＝，
∵∠ECB＝60°，
∴点C的运动轨迹是圆弧，不妨设圆心为P，连接PC，PE，PB，则∠EPB＝2∠ECB＝120°，
作PT⊥BE于T，在Rt△PET中，∠PET＝30°，ET＝BT＝BE＝，
∴PE＝PB＝PC＝＝，
∵∠EBO＝60°，∠EBP＝30°，
∴∠ABP＝90°，
在Rt△ABP中，AP＝＝＝13，
∵AC≤PA+PC，
∴AC≤13+，
∴AC的最大值为13+，此时A，P，C共线，如图③﹣1中，作CW⊥AB于W．
∵PB∥CW，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴CW＝+1，BW＝2，
∴BC＝＝＝，
∴S△BCD＝?BC?BD＝?BC?BC＝×（26+2）＝13+．
2．（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝BC，
∵∠B＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝60°，AC＝AB，
∴∠BAE+∠EAC＝60°，
∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠ACF＝60°，
∵∠EAF＝60°，即∠EAC+∠CAF＝60°，
∴∠BAE＝∠CAF，
在△AEB和△AFC中，
，
∴△AEB≌△AFC（ASA），
∴AE＝AF，
∴△AEF为等边三角形；
（2）解：过点A作AH⊥BC于点H，
∵△AEF为等边三角形，
∴AE＝EF＝，∠AEF＝60°，
∵∠ABH＝60°，
∴，BH＝HC＝1，
∴EH＝|x﹣HC|＝|x﹣1|，
∴EF＝＝，
∵∠AEF＝∠B＝60°，
∴∠CEG+∠AEB＝∠AEB+∠BAE＝120°，
∴∠CEG＝∠BAE，
∵∠B＝∠ACE＝60°，
∴△BAE∽△CEG，
∴，
∴，
∴y＝EG＝（0＜x＜2），
（3）解：∵AB＝2，△ABC是等边三角形，
∴AC＝2，
∴OA＝OC＝1，
∵EG＝EO，
∴∠EOG＝∠EGO，
∵∠EGO＝∠ECG+∠CEG＝60°+∠CEG，
∠CEA＝∠CEG+∠AEF＝60°+∠CEG，
∴∠EGO＝∠CEA，
∴∠EOG＝∠CEA，
∵∠ECA＝∠OCE，
∴△COE∽△CEA，
∴，
∴CE2＝CO?CA，
∴x2＝1×2，
∴x＝（x＝﹣舍去），
即x＝．
3．（1）证明：∵在正方形ABCD和正方形CEFG中，BC＝CD，CG＝CE，∠BCG＝∠DCE＝90°，
∴△BCG≌△DCE（SAS），
∴∠CBG＝∠CDE，
∵∠CDE+∠DEC＝90°，
∴∠HBE+∠BEH＝90°，
∴∠BHE＝90°，
∴BH⊥DE；
（2）解：MH2+HN2＝2CM2，
理由：∵在正方形ABCD和正方形CEFG中，BC＝CD，CG＝CE，∠BCD＝∠GCE＝90°，
∴∠BCG＝∠DCE，
∴△BCG≌△DCE（SAS），
∴∠CBG＝∠CDE，BG＝DE，
∵∠DPH＝∠CPM，
∴∠DHP＝∠BCP＝90°，
∴∠MHN＝90°，
∵M，N分别为BG，DE的中点，
∴BM＝BG，DN＝DE，
∴BM＝DN，
∵BC＝CD，
∴△BCM≌△DCN（SAS），
∴CM＝CN，∠BCM＝∠DCN，
∴∠MCN＝∠BCP＝90°，
∴MH2+HN2＝CM2+CN2＝2CM2；
（3）解：∵DH⊥PG，
∴∠DHP＝∠DHG＝90°，
把△PDH沿着PD翻折得到△APD，把△GDH沿着DG翻折得到△DGC，
∴AD＝DH＝CD，∠A＝∠C＝∠DHP＝90°，∠ADP＝∠HDP，∠GDH＝∠GDC，AP＝PH＝2，CG＝HG＝4，
∵∠PDG＝45°，
∴∠ADC＝90°，
延长AP，CG交于B，
则四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝90°，
设DH＝AD＝AB＝BC＝x，
∴PB＝x﹣2，BG＝x﹣4，
∵PG2＝PB2+BG2，
∴62＝（x﹣2）2+（x﹣4）2，
解得：x＝3+（负值舍去），
∴DH＝3+．
4．证明：[问题引入]（1）∵正方形ABCD，
∴∠ABC＝∠C，AB＝BC，
∵AE⊥BF，
∴∠APB＝∠BAP+∠ABP＝90°，
∵∠ABP+∠CBF＝90°，
∴∠BAP＝∠CBF，
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（ASA），
∴AE＝BF；
（2）BF＝2AE，
理由如下：∵矩形ABCD，
∴∠ABC＝∠C，AD＝BC＝2AB，
∵AE⊥BF，
∴∠APB＝∠BAP+∠ABP＝90°，
∵∠ABP+∠CBF＝90°，
∴∠BAP＝∠CBF，且∠ABE＝∠BCF＝90°，
∴△ABE∽△BCF，
∴＝2，
∴BF＝2AE；
（3）如图3，过点B作BH⊥AD于H，连接BD，
∵把△ABC沿斜边AC对折得到Rt△ADC，
∴AD＝AB，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠DAC＝∠BAC＝30°，
∴∠DAB＝60°，
∴△ABD是等边三角形，且BH⊥AD，
∴AD＝AB＝2AH，BH＝AH，
∴，
∵∠ADC+∠EPF+∠DEA+∠DFB＝360°，
∴∠DEA+∠DFB＝180°，且∠DFB+∠BFA＝180°，
∴∠DEA＝∠BFH，
∵∠BHF＝∠ADE＝90°，
∴△ADE∽△BHF，
∴＝＝
5．解：（1）∵在正方形ABCD中，AC⊥BD，
∴∠AOD＝90°，AO＝OD，
∵四边形OEGH是正方形，
∴∠EOH＝90°，OE＝OH，
∴∠AOE＝∠DOH，
∴△HDO≌△EAO（SAS）；
（2）如图1，过O作ON⊥AB于N，
则AN＝BN＝ON＝AB＝2，
∵BF＝x，
∴AF＝4﹣x，
∴FN＝2﹣x，
∴OF＝＝＝，
∴EF＝y﹣，
∵AM⊥AC，
∴AE∥OB，
∴，
∴＝，
∴；
（3）①当AE＝EG时，△AEG是等腰三角形，
则AE＝OE，
∵∠EAO＝90°，
∴这种情况不存在；
②当AE＝AG时，△AEG是等腰三角形，
如图2，过A作AP⊥EG于P，
则AP∥OE，
∴∠PAE＝∠AEO，
∴△APE∽△EAO，
∴＝，
∵AE＝AG，
∴PE＝y＝，AE＝＝，
∴＝，
解得：x＝2，
②当GE＝AG时，△AEG是等腰三角形，
如图3，过G作GQ⊥AE于Q，
∴∠GQE＝∠EAO＝90°，
∴∠GEQ+∠EGQ＝∠GEQ+∠AEO＝90°，
∴∠EGQ＝∠AEO，
∵GE＝OE，
∴△EGQ≌△OEA（AAS），
∴EQ＝AO＝2，
∴AE＝2EQ＝4＝，
∴x＝，
∴BF＝2或．
6．解：（1）将∠B沿BC的中垂线DE翻折（如图3），使点B落在点C处．
∵∠ACB＞∠ABC，
∴CD在△ABC的内部，D落在AB上．
连接DC，
∵DE为BC的中垂线，
∴DB＝DC，
在△ADC中，AD+DC＞AC，
∴AD+DB＞AC，
即AB＞AC；
（2）如图4，延长DC到点E，使得CE＝CN，连接AE交BC于点F，连接AC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACD＝∠ACB＝45°，
∴∠ACE＝∠ACN＝135°，
∵AC＝AC，
∴△ACE≌△ACN（SAS），
∴AE＝AN，
过点C作PQ⊥AC，分别交AN、AE于点P、Q，
由∠ACP＝∠ACQ＝90°可知AP＞AC、AQ＞AC，
∴AP+AQ＞2AC，
∵∠ACD＞∠E，∠ACD＝45°，∠QCE＝45°，
∴∠QCE＞∠E，
∴QE＞CQ，
同理可得PC＞PM，
由全等或对称性可得PC＝CQ，
∴QE＞PM．
∴AM+AN＝AM+AE＝AM+AQ+QE＞AM+AQ+PM＝AP+AQ，
又∵AP+AQ＞2AC，
∴AM+AN＞2AC，
∵正方形ABCD中，AC＝BD．
∴AM+AN＞2BD．
7．解：（1）①如图1，
∵把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，BE＝DG，∠B＝∠ADG＝90°，
∵∠ADC＝90°，
∴∠ADC+∠ADG＝90°
∴F、D、G共线，
∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，
∴∠BAE+∠DAF＝45°，
∴∠DAG+∠DAF＝45°，
即∠EAF＝∠GAF＝45°，
在△EAF和△GAF中，
∵，
∴△EAF≌△GAF（SAS），
∴EF＝GF，
∵BE＝DG，
∴EF＝GF＝DF+DG＝BE+DF，
故答案为：EF＝BE+DF；
②成立，
理由：如图2，把△ABE绕A点旋转到△ADG，使AB和AD重合，
则AE＝AG，∠B＝∠ADG，∠BAE＝∠DAG，
∵∠B+∠ADC＝180°，
∴∠ADC+∠ADG＝180°，
∴C、D、G在一条直线上，
与①同理得，∠EAF＝∠GAF＝45°，
在△EAF和△GAF中，
∵，
∴△EAF≌△GAF（SAS），
∴EF＝GF，
∵BE＝DG，
∴EF＝GF＝BE+DF；
（2）解：∵△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝∠C＝45°，
由勾股定理得：BC＝＝4，
如图3，把△AEC绕A点旋转到△AFB，使AB和AC重合，连接DF．
则AF＝AE，∠FBA＝∠C＝45°，∠BAF＝∠CAE，
∵∠DAE＝45°，
∴∠FAD＝∠FAB+∠BAD＝∠CAE+∠BAD＝∠BAC﹣∠DAE＝90°﹣45°＝45°，
∴∠FAD＝∠DAE＝45°，
在△FAD和△EAD中，
∴△FAD≌△EAD（SAS），
∴DF＝DE，
设DE＝x，则DF＝x，
∵BC＝4，
∴BF＝CE＝4﹣1﹣x＝3﹣x，
∵∠FBA＝45°，∠ABC＝45°，
∴∠FBD＝90°，
由勾股定理得：DF2＝BF2+BD2，
x2＝（3﹣x）2+12，
解得：x＝，
即DE＝．
8．解：（1）△AA′E≌△C′CF，△A′BF≌△CDE，
由题意得，四边形A′DCB是矩形，
∴A′B＝DC，
∴AA′＝CC′，
∵AB∥CD，
∴∠BA′F＝∠C′，
由题意得，∠BA′F＝∠A，
∴∠A＝∠C′，
在△AA′E和△C′CF中，，
∴△AA′E≌△C′CF（ASA）；
（2）①设A′E＝a，A′F＝b，
∵A′F∥AC，
∴＝，即＝，
解得，b＝，
同理＝，
解得，a＝x，
当A′E＝A′F时，四边形A′ECF是菱形，
∴＝x，
解得，x＝，
∴当x＝时，四边形A′ECF是菱形；
②由①得，四边形A′ECF的面积为y＝3×（4﹣x）﹣×（3﹣x）×（4﹣x）×2＝﹣x2+3x＝﹣（x﹣2）2+3，
∴当x＝2时，y的最大值为3．
9．解：（1）如图①，连接AE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝AD＝CD，∠ABD＝∠CBD＝45°，且BE＝BE，
∴△ABE≌△CBE（SAS）
∴AE＝CE，∠BAE＝∠BCE，
∵∠ABC+∠FEC+∠BCE+∠EFB＝360°，
∴∠BCE+∠BFE＝180°，∠BFE+∠AFE＝180°，
∴∠AFE＝∠BCE，
∴∠BAE＝∠AFE，
∴EF＝AE＝EC，且∠FEC＝90°，
∴△EFC是等腰直角三角形，
∴∠ECF＝45°；
（2）如图②，延长FG交CD于H，
∵GF⊥AB，∠ABC＝∠BCD＝90°，
∴四边形BCHF是矩形，
∴FH＝BC＝CD，∠FHC＝90°，
∵∠AFE＝∠BCE，
∴∠EFH＝∠ECH，且EF＝EC，FH＝CD，
∴△EFH≌△ECD（SAS）
∴∠FHE＝∠CDE＝45°，且∠FHD＝90°，
∴∠FHE＝∠CDE＝∠DGH＝∠DHE＝45°，
∴EG＝EH，EH＝DE，
∴EG＝DE；
（3）如图③，延长FK交CD于H，连接FM，过点M作MP⊥FH于P，
∵AD∥BC∥FH，
∴∠MDE＝∠KGE，且DE＝EG，∠MED＝∠GEK，
∴△MED≌△KEG（ASA）
∴ME＝EK＝MK，MD＝GK＝2，
∵MG＝2EK，
∴MK＝MG，且MP⊥FH，
∴GP＝PK＝1，
∵∠ADH＝∠DHF＝∠MPH＝90°，
∴四边形MDHP是矩形，
∴MD＝PH＝2，
∴GH＝3，
∴FH＝BC＝AB＝AD＝3+FG，
∴AM＝1+FG，
∵FG⊥AB，∠ABD＝45°，
∴△BFG是等腰直角三角形，
∴BF＝FG，
∴AF＝3，
∵ME＝EK，EF⊥MK，
∴FM＝FK＝FG+2，
∵FM2＝AM2+AF2，
∴（FG+2）2＝（FG+1）2+9，
∴FG＝3，
∴BK＝＝．
10．解：（1）BM+DN＝MN，理由如下：
如图1，在MB的延长线上，截取BE＝DN，连接AE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝∠ABC＝∠D＝90°，
∴∠ABE＝90°＝∠D，
在△ABE和△ADN中，，
∴△ABE≌△ADN（SAS），
∴AE＝AN，∠EAB＝∠NAD，
∴∠EAN＝∠BAD＝90°，
∵∠MAN＝45°，
∴∠EAM＝45°＝∠NAM，
在△AEM和△ANM中，，
∴△AEM≌△ANM（SAS），
∴ME＝MN，
又∵ME＝BE+BM＝BM+DN，
∴BM+DN＝MN；
故答案为：BM+DN＝MN；
（2）（1）中的结论不成立，DN﹣BM＝MN．理由如下：
如图2，在DC上截取DF＝BM，连接AF，
则∠ABM＝90°＝∠D，
在△ABM和△ADF中，，
∴△ABM≌△ADF（SAS），
∴AM＝AF，∠BAM＝∠DAF，
∴∠BAM+∠BAF＝∠BAF+∠DAF＝∠BAD＝90°，
即∠MAF＝∠BAD＝90°，
∵∠MAN＝45°，
∴∠MAN＝∠FAN＝45°，
在△MAN和△FAN中，，
∴△MAN≌△FAN（SAS），
∴MN＝NF，
∴MN＝DN﹣DF＝DN﹣BM，
∴DN﹣BM＝MN．
（3）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝AD＝CD＝6，AD∥BC，AB∥CD，∠ABC＝∠ADC＝∠BCD＝90°，
∴∠ABM＝∠MCN＝90°，
∵CN＝CD＝6，
∴DN＝12，
∴AN＝＝＝6，
∵AB∥CD，
∴△ABQ∽△NDQ，
∴＝＝＝＝，
∴＝，
∴AQ＝AN＝2；
由（2）得：DN﹣BM＝MN．
设BM＝x，则MN＝12﹣x，CM＝6+x，
在Rt△CMN中，由勾股定理得：62+（6+x）2＝（12﹣x）2，
解得：x＝2，
∴BM＝2，
∴AM＝＝＝2，
∵BC∥AD，
∴△PBM∽△PDA，
∴＝＝＝，
∴PM＝AM＝，
∴AP＝AM+PM＝3．
11．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABE＝∠CBE，AB＝BC，
在△ABE和△CBE中，，
∴△ABE≌△CBE（SAS），
∴AE＝CE；
（2）解：连接AC，交BD于O，如图1所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，AD＝AB＝4，∠AOB＝90°，OB＝OD，OA＝OC，
∴△BEP∽△DEA，
∴＝＝，
∴＝（）2＝，
∵sin∠ABD＝＝＝，
∴OA＝2，
OB＝＝＝4，
∴BD＝2OB＝8，
∴＝，
解得：DE＝，
∴BE＝BD﹣DE＝8﹣＝，
∴S△DEA＝OA?DE＝×2×＝，
S△ABE＝OA?BE＝×2×＝＝S△BEC，
∴S△BEP＝S△DEA＝×＝，
∴S△PEC＝S△BEC﹣S△BEP＝﹣＝；
（3）解：①由（1）得：△ABE≌△CBE，
∴∠BAE＝∠BCE，
当∠BAE＝90°时，则∠BCE＝90°，
∴∠ECP＝90°，
∵∠ABC＝45°，
∴∠EBC＝22.5°，∠CPE＝45°，
∴△PEC是等腰直角三角形，
∴CE＝CP，∠BEC＝90°﹣22.5°＝67.5°，
过点E作∠FEC＝45°交BC于F，如图2所示：
则CE＝CP＝CF，EF＝CF，∠BEF＝∠BEC﹣∠FEC＝67.5°﹣45°＝22.5°，
∴∠BEF＝∠EBC，
∴EF＝BF，
∴CF+CF＝BC＝10，
∴CF＝＝10（﹣1），
∴BP＝BC+CP＝BC+CF＝10+10（﹣1）＝10；
②由（1）得：△ABE≌△CBE，
∴∠AEB＝∠CEB，
当∠BAE＝105°时，∠AEB＝180°﹣105°﹣22.5°＝52.5°，
∴∠AEC＝2∠AEB＝105°，
∴∠CEP＝75°，
∵∠APB＝180°﹣105°﹣45°＝30°，
∴∠ECP＝180°﹣75°﹣30°＝75°，
∴∠ECP＝∠CEP，
∴△PEC是等腰三角形，
过点A作AN⊥BP于N，如图3所示：
则△ABN是等腰直角三角形，
∴AN＝BN＝AB＝5，
∵∠APB＝30°，
∴tan30°＝，即＝，
∴PN＝5，
∴BP＝BN+PN＝5+5，
综上所述，△PEC是等腰三角形时BP的长为10或5+5．
12．（1）解：由轴对称的性质得：∠EAP＝∠BAP＝α，AE＝AB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，AB＝AD，
∴∠DAE＝90°﹣2α，AD＝AE，
∴∠ADF＝∠AED＝（180°﹣∠DAE）＝（90°+2α）＝45°+α；
（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，AB＝AD，
∵点E与点B关于直线AP对称，
∴∠AEF＝∠ABF，AE＝AB．
∴AE＝AD．
∴∠ADE＝∠AED．
∵∠AED+∠AEF＝180°，
∴在四边形ABFD中，∠ADE+∠ABF＝180°，
∴∠BFD+∠BAD＝180°，
∴∠BFD＝90°
∴BF⊥DF；
（3）解：线段AF，BF，CF之间的数量关系为AF＝BF+CF，理由如下：
过点B作BM⊥BF交AF于点M，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CB，∠ABC＝90°，
∴∠ABM＝∠CBF，
∵点E与点B关于直线AP对称，∠BFD＝90°，
∴∠MFB＝∠MFE＝45°，
∴△BMF是等腰直角三角形，
∴BM＝BF，FM＝BF，
在△AMB和△CFB中，，
∴△AMB≌△CFB（SAS），
∴AM＝CF，
∵AF＝FM+AM，
∴AF＝BF+CF．
13．（Ⅰ）①解：∵等腰直角三角形OEF的直角顶点O在原点，OE＝2，
∴∠EOF＝90°，OF＝OE＝2，
∴EF＝＝＝2，
∵将△OEF绕点O逆时针旋转，得△OE1F1，
∴E1F1＝EF＝2；
②证明：∵四边形OABC为正方形，
∴OC＝OA．
∵将△OEF绕点O逆时针旋转，得△OE1F1，
∴∠AOE1＝∠COF1，
∵△OEF是等腰直角三角形，
∴△OE1F1是等腰直角三角形，
∴OE1＝OF1．
在△OAE1和△OCF1中，
∴△OAE1≌△OCF1（SAS）；
（Ⅱ）解：∵OE⊥OF，
∴过点F与OE平行的直线有且只有一条，并与OF垂直，
当三角板OEF绕O点逆时针旋转一周时，
则点F在以O为圆心，以OF为半径的圆上．
∴过点F与OF垂直的直线必是圆O的切线，
又点C是圆O外一点，过点C与圆O相切的直线有且只有2条，不妨设为CF1和CF2，
此时，E点分别在E1点和E2点，满足CF1∥OE1，CF2∥OE2．
当切点F1在第二象限时，点E1在第一象限．
在直角三角形CF1O中，OC＝4，OF1＝2，
cos∠COF1＝＝＝，
∴∠COF1＝60°，
∴∠AOE1＝60°．
∴点E1的横坐标＝2cos60°＝1，
点E1的纵坐标＝2sin60°＝，
∴点E1的坐标为（1，）；
当切点F2在第一象限时，点E2在第四象限．
同理可求：点E2的坐标为（1，﹣）．
综上所述，当OE1∥CF1时，点E1的坐标为（1，）或（1，﹣）．
14．解：（1）证明：∵菱形ABCD中，∠A＝90°
∴菱形ABCD是正方形
∴AD＝DC，∠A＝∠CDF＝90°
在Rt△ADE与Rt△DCF中
∴Rt△ADE≌Rt△DCF（HL）
∴∠ADE＝∠DCF
∴∠DCF+∠CDE＝∠ADE+∠CDE＝∠ADC＝90°
∴∠CGD＝90°
∴DE⊥CF
（2）证明：∵四边形ABCD是菱形
∴AD＝CD，∠B＝∠ADC，AD∥BC
∴∠A+∠B＝180°
∵∠EGC+∠B＝180°，∠EGC+∠CGD＝180°
∴∠A＝∠EGC＝∠DGF，∠CGD＝∠B＝∠ADC
∵∠A＝∠DGF，∠ADE＝∠GDF
∴△ADE∽△GDF
∴
∴
∵∠CGD＝∠CDF，∠DCG＝∠FCD
∴△DCG∽△FCD
∴
∴
∵AD＝DC
∴DE＝CF
（3）如图，过点N作NP⊥CD于点P，连接FM
∴∠CPN＝∠MPN＝90°
∵四边形ABCD是正方形
∴∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，BC＝CD
∴四边形BCPN是矩形
∴NP＝BC＝CD，PC＝BN＝
在Rt△NPM与Rt△CDF中
∴Rt△NPM≌Rt△CDF（HL）
∴PM＝DF
设PM＝DF＝x，则CM＝PC+PM＝+x
∵由（1）得MN⊥CF，G为CF中点
∴MN垂直平分CF
∴MF＝MC
∴∠MFC＝∠FCD＝15°
∴∠DMF＝∠MFC+∠FCD＝30°
∴Rt△DMF中，MF＝2DF＝2x，DM＝DF＝x
∴2x＝+x
∴x＝
∴DF＝，CM＝2，CD＝CM+DM＝2+
∵∠GCM＝∠MCF，∠CGM＝∠CDF＝90°
∴△CGM∽△CDF
∴＝
∴2CG2＝CD?CM＝（2+）＝8+4
∴CG2＝4+2＝12+2+（）2＝（1+）2
∴FG＝CG＝1+
15．（1）证明：∵垂美四边形ABCD的对角线AC，BD交于O，
∴AC⊥BD，
∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，
由勾股定理得：AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，
AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，
∴AD2+BC2＝AB2+CD2；
（2）①证明：连接BG、CE相交于点N，CE交AB于点M，如图2所示：
∵正方形ACFG和正方形ABDE，
∴AG＝AC，AB＝AE，∠CAG＝∠BAE＝90°，
∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，
在△GAB和△CAE中，，
∴△GAB≌△CAE（SAS），
∴∠ABG＝∠AEC，
∵∠AEC+∠AME＝90°，
∴∠ABG+∠AME＝90°，
∴∠ABG+∠BMN＝90°，即CE⊥BG，
∴四边形BCGE是垂美四边形；
②解：∵四边形BCGE是垂美四边形，
∴由（1）得：CG2+BE2＝CB2+GE2，
∵AC＝4，AB＝5，
∴BC＝＝＝3，
∵正方形ACFG和正方形ABDE，
∴CG＝AC＝4，BE＝AB＝5，
∴GE2＝CG2+BE2﹣CB2＝（4）2+（5）2﹣32＝73，
∴GE＝．
16．解：（1）观察猜想
结论：AB+AC＝BD+CE，理由如下：
如图①，∵DB⊥BC，EC⊥BC，
∴∠B＝∠C＝90°，∠DAE＝90°，
∴∠D+∠DAB＝∠DAB+∠EAC＝90°，
∴∠D＝∠EAC，
在△ADB和△EAC中，，
∴△ADB≌△EAC（AAS），
∴BD＝AC，EC＝AB，
∴BC＝AB+AC＝BD+CE，
故答案为：是，AB+AC＝BD+CE；
（2）问题解决
如图②，过D作DE⊥AB，交BA的延长线于E，
由（1）得：△ABC≌△DEA（AAS），
∴DE＝AB＝6，AE＝BC＝＝＝12，
Rt△BDE中，BE＝AB+AE＝18，
由勾股定理得：BD＝＝＝6；
（3）拓展延伸
如图③，过D作DE⊥BC于E，作DF⊥AB于F，
则四边形DEBF是矩形，
同（1）得：△CED≌△AFD（AAS），
∴CE＝AF，DE＝DF，
∴四边形DEBF是正方形，
设AF＝x，则BF＝DE＝DF＝x+5，
在Rt△ADF中，由勾股定理得：x2+（x+5）2＝（）2，
解得：x＝，或x＝﹣（舍去），
∴AF＝，DF＝，
∴BD＝DF＝，四边形ABCD的面积＝正方形DEBF的面积＝（）2＝，△ABD的面积＝AB×DF＝×5×＝，
∴△BCD的面积＝四边形ABCD的面积﹣△ABD的面积＝BD×CG＝﹣＝51，
∴CG＝＝6．
17．（1）解：如图1中，∵AB＝BD，∠BAD＝45°，
∴∠BDA＝∠BAD＝45°，
∴∠ABD＝90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴E、C重合时BF＝BD＝AB，
在Rt△ABF中，∵AF2＝AB2+BF2，
∴（2）2＝（2BF）2+BF2，
∴BF＝2，AB＝4，
在Rt△ABD中，AD＝＝4；
（2）证明：如图2中，在AF上截取AK＝HD，连接BK，
∵∠AFD＝∠ABF+∠2＝∠FGD+∠3，∠ABF＝∠FGD＝90°，
∴∠2＝∠3，
在ABK和△DBH中，，
∴△ABK≌△DBH，
∴BK＝BH，∠6＝∠1，AK＝DH，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠4＝∠1＝∠6＝45°，
∴∠5＝∠ABD﹣∠6＝45°，
∴∠5＝∠1，
在△FBK和△FBH中，，
∴△FBK≌△FBH，
∴KF＝FH，
∵AF＝AK+KF，
∴AF＝DH+FH；
（3）解：连接AN并延长到Q，使NQ＝AN，
连接GQ，取AD的中点O，连接OG，
∵∠AGD＝90°，
∴点G的轨迹是以O为圆心，以OG为半径的弧，且OG＝4，
当O，G，Q在同一条直线上时，QG的值最小，
∴OQ＝10，OG＝4，
∴GQ最小值为6，
∵MN是△AGQ的中位线，
∴MN的最小值为3．
18．解：（1）∵把△BCE沿CE折叠，使点B落在点F处，
∴∠BEC＝∠FEC，
∵GH∥CE，
∴∠FGE＝∠CEB，∠GFE＝∠FEC，
∴∠EGF＝∠EFG，
∴EG＝EF，
∴△EFG是等腰三角形；
（2）如图①，取CE的中点M，连接FM，
∵把△BCE沿CE折叠，使点B落在点F处，
∴∠EFC＝∠B＝90°，
∴EM＝FM，
∵AB∥CD，GH∥CE，
∴四边形GECH是平行四边形，
∴GH＝CE，
∵F是GH中点，
∴FG＝EM，
∴四边形GEMF是平行四边形，
∴GE＝FM，
由（1）知，GE＝EF，
∴EG＝GF＝EF，
∴△EFG是等边三角形，
∴∠FGE＝60°；
（3）由（2）知，BE＝EF，AE＝EF，
∴AE＝BE＝AB＝15，∴CH＝AE＝15，
∴DH＝30﹣15＝15，
∴AH＝＝＝25，
如图②，过E作EN⊥AF于N，
∴∠ANE＝∠B＝90°，
∵CE∥AH，
∴∠EAN＝∠BEC，
∴△AEN∽△ECB，
∴＝，
∴＝，
∴AN＝9，
∴AF＝18，
∴FH＝25﹣18＝7．
19．解：（1）如图1，过D作DH⊥AB于H，
∵A（﹣4，0），B（4，0），
∴OA＝OB＝4，
∴AB＝8，
∵四边形ABCD的面积为32
∴8DH＝32，
∴DH＝4，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB＝8，
∴AH＝＝＝4，
∴OH＝AH﹣OA＝4﹣4，
∴D（4﹣4，4）；
（2）如图1，延长EF交x轴于G，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∴∠C＝∠FBG，∠CEF＝∠FGB，
∵CF＝BF，
∴△CEF≌△BGF（AAS），
∴EF＝FG，CE＝BG，
∴EG＝2EF，
过E作EP⊥x轴于P，
∴EP＝DH＝4，
∵CD＝AB＝8，
∴设D（a，4）则C（8+a，4），
∵点E为CD的中点，
∴E（4+a，4），
∴AP＝8+a，PG＝4﹣a，
∴PE2＝AP?PG，
∴（8+a）?（4﹣a）＝16，
∴a＝2﹣2（负值舍去），
∴AP＝6+2，PG＝6﹣2，
∴AE＝＝4，EG＝＝4，
∴AE+2EF＝AE+EG＝4+8；
（3）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝8，AD＝BC＝4，
∴AC＝＝4，
作B关于AC的对称点M′，连接BM′交AC于E，
则BM′＝2BE＝2×＝2×＝，
过M′作M′N⊥AB于N交AC于M，
则此时，BM+MN的值最小，且BM+MN的最小值＝M′N，
∵∠M′EM＝∠CEB＝90°，BE＝，BC＝4，
∴CE＝，
∴CM＝2CE＝，
∴AM＝，
∴AM2﹣AN2＝BM2﹣BN2，
∴（）2﹣AN2＝42﹣（8﹣AN）2，
∴AN＝，
∴MN＝＝，
∴M′N＝，
∴BM+MN的最小值为．
20．解：（1）∵，
∴a﹣4＝0，b+6＝0，
∴a＝4，b＝﹣6，
∵四边形OABC是正方形，点B的横坐标为a，
∴OA＝4，
∵四边形DEFG为长方形，点G的坐标为（b，﹣b），
∴F的纵坐标为：﹣b＝6，
OD＝6，
∵DE＝OA，
∴OE＝OD﹣DE＝OD﹣OA＝6﹣4＝2，
∴F（﹣2，6）
（2）∵OE＝2，AD＝2OA+OE＝2×4+2＝10，AE＝OA+OE＝4+2＝6，长方形DEFG以每秒1个单位长度的速度向右平移，
∴当0＜t≤2，t≥10时，S＝0；
当2＜t≤6时，点E'在OA上，如图1所示：
S＝OC?OE′＝4（t﹣2）＝4t﹣8；
当6＜t＜10时，点D'在OA上，如图2所示：
S＝AB?AD'＝4（10﹣t）＝40﹣4t；
∴S＝；
（3）∵D′G′＝DG＝6，当三角形PD'G'的面积为15时，
∴点P到D′G′的距离为5，
∵长方形DEFG以每秒1个单位长度的速度向右平移，点P从点O出发，沿正方形的边以每秒2个单位长度的速度顺时针方向运动（即O→C→B→A→O→C），
∵当点P再次运动到AO、OC时，△PD'G'的面积＜15，
∴分两种情况：
①当t＝3s时，点P在BC的中点处，如图3所示：
即PC＝2，
DG向右平移了3个单位长度，OD′＝OD﹣3＝6﹣3＝3，
此时，PC+OD′＝2+3＝5，
即点P到D′G′的距离为5，
P的坐标为：（2，4），
OE′＝D′E′﹣OD′＝4﹣3＝1，
∴S＝OC?OE′＝4×1＝4；
②当t＝5s时，点P在AB的中点处，如图4所示：
即AP＝2，DG向右平移了5个单位长度，
OD′＝OD﹣5＝6﹣5＝1，
此时，OA+OD′＝4+1＝5，
即点P到D′G′的距离为5，
P的坐标为：（4，2），
OE′＝D′E′﹣OD′＝4﹣1＝3，
∴S＝OC?OE′＝4×3＝12．

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