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专题7嵌套函数与零点问题
嵌套函数成为了最近几年的热门考点,以其绕得晕和审题难而著称,嵌套函数和一些复
杂得分段函数求零点个数也是一种常考题型,零点问题不再是那么简单的“二分法”就能搞
定了,结合我们之前的二次函数分析法,参变分离和定海神针始终相伴,终究还是看函数的
综合能力
第一讲嵌套函数
在某些情况下,你可能需要将某函数作为另一函数的参数使用,这一函数就是嵌套函数
在函数里面调用另外一个函数,就叫做函数嵌套。如果调用自己本身,就叫做递归调用,也叫递归嵌套
嵌套函数解析式问题
换元法:将被嵌套的部分换为一个主元t,即求出y=f(t)解析式,属于通法
待定系数法:将被嵌套部分换成一个常数,最后解出这个常数即可
例1.(2019·北京校级期中)已知函数f(x)在定义域(0,+∞)上是单调函数,若对任意
x∈(0,+∞),都有ff(x)--]=2,则f()的值是()
解:根据题意,得若对任意x∈(0,+∞),都有ff(x)--]=2,得到f(x)--为一个常数
令(x)-x=n,则f()=2,2-n=n,:n=1,1(x)=1+￥x,:f6)=7,故选:C
例2.(2019·江阴市期中)已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)为单调函数,且f(f(x)--)=4,
则∫(1)=
解::f(x)为定义在(0.+∞)上的单调函数:∴由f(f(r4得,f(x)-4
f(x)=-+m;∴f(m)=
+m=4;解得m=2;∴:f(1)=4+2=6.故答案为:
例3.(2019·开福区校级月考)已知f(x)是定义在R上的单调函数,满足ff(x)-c]=1
且f(a)>f(b)>e,若
log,
b+loga=,则a与b的关系是()
B.
b=a
例4.(2019·西湖区校级模拟)已知定义在(O,+∞)上的函数f(x)为单调函数,且
f(x)f(f(x)+-)=2,则f()=
例5.(2018·唐山模拟)已知函数f(x)=a2-logx(a>1)有两个零点,则实数a的取值范围
A.(l,e")
B.[2,e)
解:法一:根据题意,函数f(x)=a2-
log
x(a>1)有两个零点,则函数y=a2与函数y=logx
有2个交点
设g(x)=a2,h(x)=log。x,且两个函数互为反函数,两个函数的图象关于直线y=x对称
当两个函数的图象都与直线y=x相切时,设切点的横坐标为m,g(x)=a2,则g(x)=alma,
当x=m时,g(m)=a"ha,n(x)=
log,
x,则h(xa
,则有
mina
解可得m=e,a=e;
即当a=e时,两个函数的图象只有一个交点,则当a即函数f(x)有2个零点;则实数a的取值范围是(e);故选:4
法
a>
loga
x→a“>a=x→f((x)>x→f(x)>X→a=emx→xa>加x=lna>
故a>ee.故选:A.利用递归嵌套函数,当f(f(x)>x时,一定有f(f(x)>f(x)>x,这
是不动点定理2
法三:同构,参考秒1第五章专题
嵌套函数与不动点问题
不动点:对于函数f(x)(x∈D),我们把方程f(x)=x的解x称为函数f(x)的不动点,即
y=f(x)与y=x图像交点的横坐标
例如:函数f(x)=2x-1有一个不动点为1,函数g(x)=2x2-1的不动点有两个不动点
证明:因为f(x0)=x0,所以f(f(x0)=f(x0)=x0,故x0也是函数y=f(x)的稳定点
例6:求函数f(x)=2x2-1的稳定点

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