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第一章函数
专题2参变分离与定海神针
传统的函数模型重难点,无非不就是恒成立和零点分布问题,现在说到二次函数,涉及参数和变量的问题,
参与变,到底是分还是不分呢?什么情况下分离好,什么情况下不分离好呢
先看一个问题,就是参数的位置,到底是在二次项,还是在一次项,常数项?还是多处出现,这个问题值
得探讨
第一讲轴动区间定和轴定区间动
口诀:轴在区间内,顶点定;轴在区间外,单调定
例1若函数f(x)=8x2-2kx-7在门1,5]上为单调函数,则实数k的取值范围是()
A.(
B.[40,+∞)
8]∪[40,+∞)
解:由于对称轴为直线x=,区间为[,5,故根据口诀:轴在区间外,单调定,则可知道1或者2
故选C
例2已知函数y=x2-4x+5在闭区间[0,m上有最大值5,最小值1,则m的取值范围是()
C.[0,2]
例3已知f(x)=x2-x+9,若对任意x∈[,5],不等式f(x)≥0恒成立,则实数t的最大值为
例4(2020·宝安区校级月考):设函数f(x)=x2+ax+1
(1)已知函数g(x)=
loge(x)的定义域为R,求实数a的取值范围
(2)已知方程f(x)=0有两个实数根x1,x2,且x1,x2∈(0,2),求实数a的取值范围
解:(1)根据题意可得f(x)>0对R恒成立,即△=a2-4<0,-2f(0)>0(恒成立)
>0→a>
(2)法一(定海神针卡根):如图
综上可得-f(-)≤0→a22或a≤-2
2→-4例4法一图
例4法二图
法二(参变分离):根据题意得:-a=x+-在区间(0,2)有两根,其几何意义是y=-a与y=x+-在区间(0,2)
有两个交点,如图所示,当2≤-a<3时,满足题意,注意到-a=2时,原方程有两个相等的实根,故
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第一章函数
第二讲参变分离型
第一类:恒成立与能成立类型之同号型
我们规定,当决定抛物线开口符号的a与恒成立(能成立)的符号一致时,即ax2+bx+c≥0(a>0),此类
型题目基本上都是分类讨论复杂,参变分离简单,还要说明一点就是参数尽量为一次
例5:(2020长沙市月考)已知不等式1-21+a4<0对一切x∈[.+∞)恒成立,则实数a的取值范围
是
解:1-2+4·4<0可化为a2
)2,令t=2,由x∈[1.+∞),得t∈(0
则a<-12+2t,-12+2t=-(t-1)2+1在(0,上递增,当t=时-t2+2取得最大值为,t=0时,函数
取得最小值为0,所以∝≤0.实数a的取值范围是:(-∞,0].故答案为:(-∞,0
例6:(2019·嘉兴期末)已知函数f(x)=x2+ax+2
)当a=3时,解不等式f(x)<0;
(Ⅱ〕)当x∈[,2]时,f(x)≥0恒成立,求a的取值范围
例7:(2019·浙江期中)已知函数f(x)=ax2+x+1+a
(I)若函数y=f(x)+x有唯一的零点,求a的值;
(Ⅱ)设a>0,若对任意的x∈[,2],不等式2x≤f(x)恒成立,求a的取值范围
例8:(2019定州市期中)已知函数f(x)=x2-mx+2m-4m∈R
(1)当m=1时,求不等式f(x)≥0的解集
(2)当x>2时,不等式f(x)≥-1恒成立,求m的取值范围
例9:(2020·顺德区期末)设二次函数f(x)=x2+mx
(I)若对任意实数m∈[0,1,f(x)>0恒成立,求实数x的取值范围
(Ⅱ)若存在x∈[-3,4],使得f(x)≤-4成立,求实数m的取值范围
第二类:零点分布之两零点分布在同一区间型
次函数的两个零点位于同一区间或者在某个区间存在零点时,参变分离转化为区间的值域或者交点问题,
显然事半功倍
例10(2019·丰城市校级月考):已知f(x)=x2+2mx+3m+4.
(1)若m=-1且x∈[0,3],求f(x)的单调区间
(2)当m为何值时,f(x)有2个零点,且均比-1大
解:(1)由题意,可知:当m=-1时,f(x)=x2-2x+1.此时,二次函数f(x)的对称轴为x=1,且开口

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