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专题15
几何证明
【专题解读】几何证明题的一般结构由已知条件和求证目标两部分组成.解答几何证明题的一般步骤如下：审题，寻找证明的思路，书写证明过程，最终实现求证目标.几何证明是初中数学学习的重要组成部分，也是学好初中数学的重要一环.要学好几何证明，不但需要我们具有扎实的基础、科学的方法、良好的数学学习习惯，还需要具有敢于尝试、不怕挫折的勇气，更需要有吃苦耐劳、持之以恒的精神.
【思维索引】
例1.△ABC中，三个内角的平分线交于点O，过点O作∠ODC=∠AOC，交边BC于点D.
图1
图2
（1）如图1，求∠BOD的度数；
（2）如图2，作∠ABC外角∠ABE的平分线交CO的延长线于点F.
①求证：BF∥OD；
②若∠F=50°，求∠BAC的度数；
③若∠F=∠ABC=40°，将△BOD绕点O顺时针旋转一定角度后得△B'OD'（0°<<360°），B'D'
所在直线与FC平行，请直接写出所有符合条件的旋转角度的值.
例2.如图1，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F，∠1与∠2互补.
（1）试判断直线AB与直线CD的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，EP与CD交于点G，点H是MN上一点，且
GHEG，求证：PF/∥GH；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接PH，K是GH上一点使∠PHK=∠HPK，作PQ平分∠EPK，问∠HPQ的大小是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，说明理由.
图1
图2
图3
例3.在△ABC中，∠BAC=100°，∠ABC=∠ACB，点D在直线BC上运动（不与点B、C重合），点E
在射线AC上运动，且∠ADE=∠AED，设∠DAC=n.
（1）如图①，当点D在边BC上时，且n=36°，则∠BAD=_______，∠CDE=______；
（2）如图②，当点D运动到点B的左侧时，其他条件不变，请猜想∠BAD和∠CDE的数量关系，
并说明理由；
（3）当点D运动到点C的右侧时，其他条件不变，∠BAD和∠CDE还满足（2）中的数量关系吗？
请画出图形，并说明理由.
②
③
素养提升
1.如图，，∠1=58°，FG平分∠EFD，则∠FGB的度数等于（
）
A.122°
B.151°
C.116°
D.97°
（第1题）
（第2题）
（第3题）
2.如图，直线l∥m，将含有45°角的三角形板ABC的直角顶点C放在直线m上.若∠1=25°，则∠2的度数为（
）
A.20°
B.35°
C.44°
D.67°
3.如图，在正方形网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，点A、B是方格纸中的两个格点（网格线的交点称格点），在这个7×7的方格纸中，找出格点C，使△ABC的面积为3，则满足条件的格点C的个数是（
）
A.2个
B.4个
C.5个
D.6个
4.如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则图中∠1的度数是（
）
A.15°
B.22.5°
C.30°
D.45°
5.如图，AB∥CD，OE平分∠BOC，，∠ABO=，则下列结论：①∠BOE=；②OF平分∠BOD；③∠POE=∠BOF；④∠POB=2∠DOF，其中不正确的个数有（
）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
（第4题）
（第5题）
（第6题）
6.如图，长方形ABCD中，AB=4cm，BC=3cm，点E是CD的中点，动点P从A点出发，以每秒1cm
的速度沿A→B→C→E运动，最终到达点E.若点P运动的时间为x秒，那么当x=_______时，△APE的面积等于5.
7.各边长度都是整数、最大边长为8的三角形共有_______个.
8．如图，点A、C、F、B在同一直线上，CD平分∠ECB，FG//CD．若∠ECA为a，则∠GFB为
．
（第8题）
（第9题）
（第10题）
9．如图，∠ABC=∠ACB，BD、CD、BE分别平分△ABC的内角∠ABC、外角∠ACP、外角∠MBC．以下结论：①AD//BC；②DB⊥BE：③∠BDC+∠ABC=90°；④∠A+2∠BEC=180°；⑤DB平分∠ADC．其中正确的结论有：
（填序号）．
10．如图，若平面内有点P1、P2、P3、P4、P5、P6、P7、P8，连接P1P3、P2P4、P3P5、P4P6、P5P7、P6P8、P7P1、P8P2，则∠P1+∠P2+∠P3+∠P4+∠P5+∠P6+∠P7+∠P8的度数是
．
11．在△ABC中，∠ACB=90°，BD是△ABC的角平分线，P是射线AC上任意一点（不与A、D、C三点重合），过点P作PQ⊥AB，垂足为Q，交直线BD于E．
（1）如图1，当点P在线段AC上时，说明∠PDE=∠PED．
（2）作∠CPO的角平分线交直线AB于点F，则PF与BD有怎样的位置关系？画出图形并说明理由．
12．探究与发现：如图1，在△ABC中，∠B=∠C=45°，点D在BC边上，点E在AC边上，且∠ADE=∠AED，连接DE．
（1）当∠BAD=60°时，求∠CDE的度数；
（2）当点D在BC（点B、C除外）边上运动时，试探究∠BAD与∠CDE的数量关系；
（3）深入探究：如图2，若∠B=∠C，但∠C≠45°，其它条件不变，试继续探究∠BAD与∠CDE的数量关系．
13．如图，AC⊥CB，垂足为C点，AC=CB=8cm，点Q是AC的中点，动点P由B点出发，沿射线BC方向匀速移动．点P的运动速度为2cm/s．设动点P运动的时间为t
s．为方便说明，我们分别记三角形ABC面积为S，三角形PCQ的面积为S1，三角形PAQ的面积为S2，三角形ABP的面积为S3．
（1）S3=
cm2（用含t的代数式表示）；
（2）当点P运动几秒，S1=，说明理由；
（3）请你探索是否存在某一时刻，使得S1=S2=S3？若存在，求出t值；若不存在，说明理由．
14．某课题研究小组就图形面积问题进行专题研究，他们发现如下结论：
（1）有一条边对应相等的两个三角形面积之比等于这条边上的对应高之比；
（2）有一个角对应相等的两个三角形面积之比等于夹这个角的两边乘积之比；
……
现请你继续对下面问题进行探究，探究过程可直接应用上述结论．（S表示面积）
问题1：如图1，现有一块三角形纸板ABC，P1、P2三等分边AB，R1、R2三等分边AC．经探究知四边形P1P2R2R1的面积恰为△ABC的面积的，请证明．
问题2：若有另一块三角形纸板，可将其与问题1中的拼合成四边形ABCD，如图2，Q1、Q2三等分边DC．请探究四边形P1Q1Q2P2的面积与四边形ABCD的面积之间的关系．
问题3：如图3，P1，P2，P3，P4五等分边AB，Q1，Q2，Q3，Q4五等分边DC．若S四边形ABCD=1，求四边形P2Q2Q3P3的面积.
问题4：如图4，P1，P2，P3四等分边AB，Q1，Q2，Q3四等分边DC，P1Q1，P2Q2，P3Q3将四边形ABCD分成四个部分，面积分别为S1，S?，S3，S4．
请直接写出含有S1，S?，S3，S4的一个等式．
专题15几何证明
【思维索引】
例1．(1)∠BOD＝90°；
(2)．①略
②∠BAC＝2∠F＝100°
③x＝30°，210°
例2．略
例3．(1)64°，32°
(2)∠BAD＝2∠CDE
(3)∠BAD＝2∠CDE
【素养提升】
1．B；
2．A；
3．C；
4．A；
5．A；
6．或5；7．20；8．90°－：9．①②③④；10．720°；
11．(1)略；
(2)当P在线段AC上时，此时PF∥BD，当P在线段AC的延长线上时，PF⊥BD；
12．(1)30°；
(2)∠EDC＝∠BAD；
(3)∠EDC＝∠BAD；
13．(1)8t；
(2)当点P运动2秒或6秒时，S1＝；
(3)当时，S1＝S2＝S3；
14．(1)
；
(2)
；
(3)
；
(4)S2＋S3＝S1＋S4．
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