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专题16
折叠问题
【专题解读】
折叠问题是近几年来中考出现频率较高的一类题型，同学们往往由于对折叠的本质理解不够透彻，因此难以找到解题的方向.折叠是现实生活常见的操作活动，而初中几何学习中，以折叠为活动载体的问题很多，这类问题一般都要经历操作、观察、比较、概括、交流、猜想、推理等过程.研究折叠问题，可以帮助学生提高观察能力、动手能力、想象能力、综合运用知识的能力，发展合情推理和演绎推理能力．
【思维索引】
例1．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．小明在草稿纸上画了一条数轴进行操作研究：
操作一：（1）折叠纸面，使1表示的点与-1表示的点重合，则-2表示的点与
表示的点重合；
操作二：（2）折叠纸面，使1表示的点与-3表示的点重合，若数轴上A、B两点之间的距离为8（A在B的左侧），且A、B两点经折叠重合，则A、B两点表示的数分别是
、
；
操作三：（3）在数轴上剪下9个单位长度（从-1到8）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图所示），若这三条线段的长度之比为1：1：2，求折痕处对应的点所表示的数？
例2．如图，ABCD是一张矩形纸片，AD=BC=1，AB=CD=5．在矩形ABCD的边AB上取一点M，在CD上取一点N，将纸片沿MN折叠，使MB与DN交于点K，得到△MNK．
（1）若∠1=70°，求∠MKN的度数．
（2）△MNK的面积能否小于？若能，求出此时∠1的度数；若不能，试说明理由．
（3）如何折叠能够使△MNK的面积最大？请你利用备用图探究可能出现的情况，画出相应的图形．
素养提升
1．如图，把△ABC沿EF对折，叠合后的图形如图所示．若∠A=60°，∠1=95°，则∠2的度数为（
）
A．24°
B．25°
C．30°
D．35°
2．如图，将△ABC沿DE、EF翻折，顶点A、B均落在点O处，且EA与EB重合于线段EO，若∠CDO+∠CFO=98°，则∠C的度数为（
）
A．40°
B．41°
C．42°
D．43°
3．如图，四边形ABCD中，点M、N分别在AB、BC上，将△BMN沿MN翻折，得△FMN，若MF/∥AD，FN//DC，则∠D的度数为（
）
A．115°
B．105°
C．95°
D．85°
4．如图，四边形ABCD纸片中，已知∠A=160°，∠B=30°，∠C=60°，四边形ABCD纸片分别沿EF，GH，OP，MN折叠，使A与A'、B与B'、C与C'、D与D'重合，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7-∠8的值是（
）
A．600°
B．700°
C．720°
D．800°
5．如图1是AD∥BC的一张纸条，按图1→图2→图3，把这一纸条先沿EF折叠并压平，再沿BF折叠并压平，若图3中∠CFE=18°，则图2中∠AEF的度数为（
）
A．108°
B．114°
C．116°
D．120°
6．一根长30cm、宽3cm的长方形纸条，将其按照图示的过程折叠，为了美观，希望折叠完成后纸条两端超出点P的长度相等，则最初折叠时，MA的长应为
cm．
7．如图，将四边形纸片ABCD沿MN折叠，点A、D分别落在点A1、D1处，若∠1+∠2=140°，则∠B+∠C=
．
8．如图1，ABCD是长方形纸带，∠DEF=23°，将纸带沿EF折叠成图2，再沿BF折叠成图3，则图3中的∠CFE的度数是
．
9．如图，△ABC中，∠A=30°，E是AC边上的点，先将△ABE沿着BE翻折，翻折后△ABE的AB边交AC于点D，又将△BCD沿着BD翻折，C点恰好落在BE上，此时∠CDB=82°，则原三角形中的∠B的度数为
．
10．如图1，在长方形ABCD中，E点在AD上，并且∠ABE=30°，分别以BE、CE为折痕进行折叠并压平，如图2．若图3中∠AED=n°，则∠BCE的度数为
（用含n的代数式表示）．
11．如图1，把△ABC纸片沿DE折叠，点A落在四边形BCDE内部，我们知道∠A与∠1、∠2之间有一定的数量关系；
（1）如图2，BI平分∠ABC，CI平分∠ACB，把△ABC纸片沿DE折叠，使点A与点I重合，若∠1+∠2=130°，求∠BIC的度数；
（2）如图3，在锐角△ABC中，BF⊥AC于点F，CG⊥AB于点G，BF、CG交于点H，把△ABC纸片沿DE折叠，使点A与点H重合，试探究∠BHC与∠1+∠2的关系，并证明你的结论．
12．如图1，△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重叠部分：将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重叠部分；…将余下部分沿∠BnAnC的平分线AnBn+1折叠，点Bn与点C重合．无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，我们就称∠BAC是△ABC的好角．
小丽展示了确定∠BAC是△ABC的好角的两种情形．
情形一：如图2，沿等腰三角形ABC顶角∠BAC是平分线AB1折叠，则等腰三角形的两个点B与点C重合（因为等腰三角形的两个底角是相等的）；
情形二：如图3，沿△ABC的∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重叠部分；将余下的部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合．
探究发现
（1）△ABC中，∠B=2∠C，经过两次折叠，∠BAC是不是△ABC的好角？
（填“是”“不是”）
（2）小丽经过三次折叠发现了∠BAC是△ABC的好角，请探究∠B与∠C（不妨设∠B>∠C）之间的等量关系，写出探究过程．
根据以上内容猜想：若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C（不妨设∠B>∠C）之间的等量关系是
；
应用提升
（3）在三个角都不相等的三角形中，小丽找到一个三角形，三个角分别为4，16°，160°，发现此三角形的三个角都是好角．你能尝试再构造两组三个角都不相等，并且都是好角的三角形吗？写出具体角度即可．
专题16折叠问题．
【思维索引】
例1．(1)2；
(2)－5，3
；
(3)
，，；
例2．(1)40°；
(2)不能，大于；
(3)略；
【素养提升】
1．B；
2．B；
3．C；
4．A；
5．B；
6．10.5；
7．110°；
8．111°；
9．78；
10．30＋；
11．(1)∠BIC＝122.5°；
(2)∠BHC＝180°－5(∠1＋∠2)；
12．(1)是；
(2)∠B＝3∠C；∠B＝n∠C；
(3)答案不唯一，只需要满足三点：和为180°，各不相等，以及任意两个角之间都存在整数倍关系；
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