资源简介

《集合》
一
相关知识点
1．集合的有关概念
(1)集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．
(2)集合与元素的关系：若a属于集合A，记作a∈A；若b不属于集合A，记作b?A.
(3)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法．
(4)常见数集的记法
集合
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N
(或N＋)
Z
Q
R
2．集合间的基本关系
表示
关系　　
文字语言
记法
集合间的基本关系
子集
集合A中任意一个元素都是集合B中的元素
A?B或B?A
真子集
集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A
AB或BA
相等
集合A中的每一个元素都是集合B中的元素，集合B中的每一个元素也都是集合A中的元素
A?B且B?A?A＝B
空集
空集是任何集合的子集
??A
空集是任何非空集合的真子集
?B且B≠?
3.集合的子集、真子集的个数
含有n(n∈N
)个元素的集合有2n个子集，有2n－1个非空子集，有2n－1个真子集，有2n－2个非空真子集．
4.集合的基本运算
表示
运算　　
文字语言
符号语言
图形语言
记法
交集
属于A且属于B的元素组成的集合
{x|x∈A且x∈B}
A∩B
并集
属于A或属于B的元素组成的集合
{x|x∈A或x∈B}
A∪B
补集
全集U中不属于A的元素组成的集合
{x|x∈U，x?A}
?UA
5.集合基本运算的常见性质
(1)A∩A＝A，A∩?＝?.
(2)A∪A＝A，A∪?＝A.
(3)A∩?UA＝?，A∪?UA＝U，?U(?UA)＝A.
(4)A?B?A∩B＝A?A∪B＝B??UA??UB?A∩(?UB)＝?.
《命题及其关系、充分条件与必要条件》
一
相关知识点
1．命题：可以判断真假，用文字或符号表述的语句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．
2．四种命题及其相互关系
(1)四种命题间的相互关系
(2)四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．
3．充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p?q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件
p?q且qp
p是q的必要不充分条件
pq且q?p
p是q的充要条件
p?q
p是q的既不充分也不必要条件
pq且qp
4．充分条件、必要条件的两个结论
(1)若p是q的充分不必要条件，q是r的充分不必要条件，则p是r的充分不必要条件；
(2)若p是q的充分不必要条件，则﹁q是﹁p的充分不必要条件．
5．充分条件、必要条件与集合的关系
p成立的对象构成的集合为A，q成立的对象构成的集合为B
p是q的充分条件
A?B
p是q的必要条件
B?A
p是q的充分不必要条件
AB
p是q的必要不充分条件
BA
p是q的充要条件
A＝B
《简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词》
一
相关知识点
1.简单的逻辑联结词
(1)常用的简单的逻辑联结词有“且”“或”“非”．
(2)命题p且q，p或q，﹁p的真假判断
p
q
p且q
p或q
﹁p
真
真
真
真
假
真
假
假
真
假
假
真
假
真
真
假
假
假
假
真
2.常用结论
（1）含有逻辑联结词的命题真假的判断规律：
p或q：有真则真；
p且q：有假则假；
p与﹁p：真假相反．
（2）含一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”．
（3）命题p且q的否定是“﹁p或﹁q”；命题p或q的否定是“﹁p且﹁q”．
3．全称量词与全称命题
(1)“所有”“每一个”“任何”“任意一条”“一切”都是在指定范围内，表示整体或全部的含义，这样的词叫作全称量词．
(2)含有全称量词的命题，叫作全称命题．
4．存在量词与特称命题
(1)“有些”“至少有一个”“有一个”“存在”都有表示个别或一部分的含义，这样的词叫作存在量词．
(2)含有存在量词的命题，叫作特称命题．
5．全称命题和特称命题的否定
命题
命题的否定
任意x∈M，p(x)
存在x∈M，﹁p(x)
存在x∈M，p(x)
任意x∈M，﹁p(x)
《函数及其表示》
一
相关知识点
1．函数与映射的概念
函数
映射
两集合A，B
设A，B是两个非空的数集
设A，B是两个非空的集合
对应关系f：A→B
如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应
如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应
名称
称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射
记法
y＝f(x)，x∈A
对应f：A→B
2.函数的有关概念
(1)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．
(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．
(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．
二、定义域相关知识点
1．常见基本初等函数定义域的基本要求
(1)分式函数中分母不等于零．
(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.
(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.
(4)y＝x0的定义域是{x|x≠0}．
(5)y＝ax(a>0且a≠1)，y＝sin
x，y＝cos
x的定义域均为R.
(6)y＝logax(a>0且a≠1)的定义域为(0，＋∞)．
(7)y＝tan
x的定义域为.
2．方法技巧：
（1）根据具体的函数解析式求定义域的策略
已知解析式的函数，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求解时只要根据函数解析式列出自变量满足的不等式(组)，得出不等式(组)的解集即可．
（2）求抽象函数的定义域的策略
(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出；
(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域．
3．求函数定义域应注意的问题
(1)不要对解析式进行化简变形，以免定义域发生变化；
(2)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．　　
《函数的单调性与最值》
一
相关知识点
1．函数的单调性
(1)增、减函数
增函数
减函数
定义
在函数y＝f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两个数x1，x2∈A
当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么，就称函数y＝f(x)在区间A上是增加的，有时也称函数y＝f(x)在区间A上是递增的
当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么，就称函数y＝f(x)在区间A上是减少的，有时也称函数y＝f(x)在区间A上是递减的
(2)单调区间和函数的单调性
①如果函数y＝f(x)在区间A上是增加的或是减少的，那么称A为单调区间．
②如果函数y＝f(x)在定义域的某个子集上是增加的或是减少的，那么就称函数y＝f(x)在这个子集上具有单调性．
(3)单调函数
如果函数y＝f(x)在整个定义域内是增加的或是减少的，我们分别称这个函数为增函数或减函数，统称为单调函数．
2．函数的最值
前提
函数y＝f(x)的定义域为D
条件
(1)存在x0∈D，使得f(x0)＝M；
(1)存在x0∈D，使得f(x0)＝M；
(2)对于任意x∈D，都有f(x)≤M
(2)对于任意x∈D，都有f(x)≥M
结论
M为最大值
M为最小值
求函数最值的五种常用方法及其思路
(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．
(2)图像法：先作出函数的图像，再观察其最高点、最低点，求出最值．
(3)基本不等式法：先对解析式变形，具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值．
(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值．
(5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．
3．函数单调性常用结论
(1)对任意x1，x2∈D(x1≠x2)，＞0?f(x)在D上是增函数，＜0?f(x)在D上是减函数．
(2)对勾函数y＝x＋(a＞0)的增区间为(－∞，－]和[，＋∞)，
减区间为[－，0)和(0，]．
(3)在区间D上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数．
(4)复合函数f(g(x))的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”．
《函数的奇偶性和周期性》
一
奇偶性相关知识点
1．奇函数、偶函数的概念
(1)图像关于原点对称的函数叫作奇函数．
(2)图像关于y轴对称的函数叫作偶函数．
2．判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件
(1)
定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；
(2)
判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系：
若f(－x)＝－f(x)，则这个函数是奇函数；
若f(－x)＝f(x)，则这个函数是偶函数
3．函数奇偶性的常用结论
(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．
(2)奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性．
(3)如果奇函数y＝f(x)在原点有定义，则f(0)＝0.
(4)在公共定义域内有：奇±奇→奇，偶±偶→偶，奇×奇→偶，偶×偶→偶，奇×偶→奇．
二
周期性相关知识点
1．周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
2．最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
3．函数周期性的三个常用结论
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a；
(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a；
(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a.(a>0).
(4)偶函数y＝f(x)满足f(x＋a)＝f(－x＋a)，则T＝2a.(a>0).
(5)奇函数y＝f(x)满足f(x＋a)＝f(－x＋a)，则T＝4a.(a>0).
《二次函数与幂函数》
一
相关知识点
1．幂函数的定义
形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数．对于幂函数，只讨论α＝1,2,3，，－1时的情形．
2．五种幂函数的图象
3．五种幂函数的性质
函数
性质
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝x
y＝x－1
定义域
R
R
R
[0，＋∞)
(－∞，0)∪(0，＋∞)
值域
R
[0，＋∞)
R
[0，＋∞)
(－∞，0)∪(0，＋∞)
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
单调性
增
x∈[0，＋∞)时，增；x∈(－∞，0]时，减
增
增
x∈(0，＋∞)时，减；x∈(－∞，0)时，减
4．幂函数y＝xα(α∈R)的图像特征
(1)幂函数的图像一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性．
(2)幂函数的图像过定点(1,1)，如果幂函数的图像与坐标轴相交，则交点一定是原点．
(3)当α＞0时，y＝xα在[0，＋∞)上为增加的；当α＜0时，y＝xα在(0，＋∞)上为减少的．
《指数与指数函数》
一
相关知识点
1．根式
(1)根式的概念：若xn＝a，则x叫做a的n次方根，其中n＞1且n∈N
.式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
(2)a的n次方根的表示；xn＝a?
2．有理数指数幂
幂的有关概念
正分数指数幂：a＝(a＞0，m，n∈N
，且n＞1)
负分数指数幂：a＝＝(a＞0，m，n∈N
，且n＞1)
0的正分数指数幂等于_0_，0的负分数指数幂无意义
有理数指数幂的性质
aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)
(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)
(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)
3．指数函数的图象
函数
y＝ax(a>0，且a≠1)
0a>1
图象
图象特征
在x轴上方，过定点(0,1)
当x逐渐增大时，图象逐渐下降
当x逐渐增大时，图象逐渐上升
（1）画指数函数图象的三个关键点
画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，.
（2）指数函数的图象与底数大小的比较
如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b.
由此我们可得到以下规律：在y轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大．
4．指数函数的性质
函数
y＝ax(a>0，且a≠1)
0a>1
性质
定义域
R
值域
(0，＋∞)
单调性
在R上是减函数
在R上是增函数
函数值变化规律
当x＝0时，y＝1
当x<0时，y>1；
当x>0时，0当x<0时，0当x>0时，y>1
《对数与对数函数》
一
相关知识点
1．对数的概念、性质及运算
概念
如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，logaN叫做对数式
性质
对数式与指数式的互化：ax＝N?x＝logaN
loga1＝0，logaa＝1，＝N，logaab＝b
运算法则
loga(M·N)＝logaM＋logaN
a>0，且a≠1，M>0，N>0
loga＝logaM－logaN
logaMn＝nlogaM(n∈R)
2．重要公式
(1)换底公式：logab＝(a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0)；
(2)logab＝，推广logab·logbc·logcd＝logad.
(3)logmbn＝logab
3．对数函数的图象
函数
y＝logax，a>1
y＝logax,0图象
图象特征
在y轴右侧，过定点(1,0)
当x逐渐增大时，图象是上升的
当x逐渐增大时，图象是下降的
（1）底数的大小决定了图象相对位置的高低
不论是a＞1还是0＜a＜1，在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，
如图，0在x轴上侧，图象从左到右相应的底数由小变大；在x轴下侧，图象从右到左相应的底数由小变大．
（2）指数函数与对数函数的关系
指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．
4．对数函数的性质
函数
y＝logax(a>0，且a≠1)
a>1
0性质
定义域
(0，＋∞)
值域
R
单调性
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数
函数值变化规律
当x＝1时，y＝0
当x>1时，y>0；
当0当x>1时，y<0；当00
《函数的图像及其应用》
一
相关知识点
1．利用描点法画函数图象的流程
2．利用图象变换法作函数的图象
(1)平移变换
①y＝f(x)
y＝f(x－a)；
②
y＝f(x)
y＝f(x)＋b.
(2)伸缩变换
①y＝f(x)的图像
y＝f(ax)的图像；
②y＝f(x)的图像
y＝af(x)的图像．
(3)对称变换
①y＝f(x)的图像y＝－f(x)的图像；
②y＝f(x)的图像y＝f(－x)的图像；
③y＝f(x)的图像y＝－f(－x)的图像；
④y＝ax(a＞0，且a≠1)的图像y＝logax(a＞0，且a≠1)的图像．
(4)翻折变换
①y＝f(x)的图像y＝|f(x)|的图像；
②y＝f(x)的图像y＝f(|x|)的图像
二
常用结论
1．一个函数图像的对称关系
(1)函数f(x)满足关系f(a＋x)＝f(b－x)，则f(x)的图像关于直线x＝对称；
特别地，当f(a＋x)＝f(a－x)时，函数f(x)的图像关于直线x＝a对称．
(2)函数f(x)满足关系f(a＋x)＝－f(b－x)，则f(x)的图像关于点对称．
2．两个函数图像的对称关系
(1)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图像关于直线x＝a对称．
(2)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图像关于点(a，b)中心对称．
另解：(1)关于点(a,0)对称
①若两个函数f(x)与g(x)的图像关于(a,0)对称，则有f(x)＝－g(2a－x)．
②函数y＝f(x)的图像关于(a,0)对称，则有f(x)＝－f(2a－x)
(2)关于直线x＝a对称
①函数f(x)的图像关于直线x＝a对称，则有f(a＋x)＝f(a－x)或f(2a－x)＝f(x)
②若两个函数f(x)与g(x)的图像关于直线x＝a对称，则有g(x)＝f(2a－x)
③偶函数f(x)的图像关于直线x＝a对称，则函数f(x)是周期为2a的周期函数
④奇函数g(x)的图像关于直线x＝a对称，则函数g(x)是周期为4a的周期函数
《函数与方程》
一
相关知识点
1．函数的零点
(1)函数零点的定义：把函数y＝f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点．
(2)几个等价关系
方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点．
(3)函数零点的判定(零点存在性定理)
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
注意点：函数零点的两个易错点
(1)函数的零点不是点，是方程f(x)＝0的实根．
(2)函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件．
《导数的概念及运算》
一
相关知识点
1．导数与导函数的概念
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数
称函数y＝f(x)在x0点的瞬时变化率为函数y＝f(x)在点x0处的导数，用f
′(x0)表示，
记作f
′(x0)＝
.
(2)导数的几何意义
函数f(x)在点x0处的导数f
′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f
′(x0)(x－x0)．
(3)函数f(x)的导函数
如果一个函数f(x)在区间(a，b)上的每一点x处都有导数，导数值记为f
′(x)：
f
′(x)＝
，则f
′(x)是关于x的函数，称f
′(x)为f(x)的导函数，通常也简称为导数．
2．导数公式表
函数
导函数
函数
导函数
y＝c(c是常数)
y′＝0
y＝sin
x
y′＝cos
x
y＝xα(α是实数)
y′＝αxα－1
y＝cos
x
y′＝－sin
x
y＝ax
(a＞0，a≠1)
y′＝axln
a；特别地(ex)′＝ex
y＝tan
x
y′＝
y＝logax
(a＞0，a≠1)
y′＝；特别地(ln
x)′＝
y＝cot
x
y′＝－
3.导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝f
′(x)±g′(x)；
(2)[f(x)·g(x)]′＝f
′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
(3)′＝(g(x)≠0)．
《导数与函数的单调性》
一
相关知识点
1.函数f(x)在某个区间(a，b)内的单调性与f′(x)的关系
(1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间上是单调递增．
(2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间上是单调递减．
(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数．
2．利用导数判断函数单调性的一般步骤
(1)求f′(x)．
(2)在定义域内解不等式f′(x)>0或f′(x)<0.
(3)根据结果确定f(x)的单调性及单调区间．
3．常用结论
（1）在某区间内f
′(x)>0(f
′(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．
（2）可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是：对任意x∈(a，b)，都有f
′(x)≥0(f
′(x)≤0)，且f
′(x)在(a，b)的任何子区间内都不恒为零．
《利用导数研究函数的极值》
一
相关知识点
1、导数与函数的极值
(1)函数的极大值与导数的关系
x
(a，x0)
极大值点x0
(x0，b)
f′(x)
＋
0
－
y＝f(x)
↗
极大值
↘
图示
(2)函数的极小值与导数的关系
x
(a，x0)
极小值点x0
(x0，b)
f′(x)
－
0
＋
y＝f(x)
↘
极小值
↗
图示
2、注意：(1)极值点不是点，若函数f(x)在x1处取得极大值，则x1为极大值点，极大值为f(x1)；在x2处取得极小值，则x2为极小值点，极小值为f(x2)．极大值与极小值之间无确定的大小关系．
(2)极值一定在区间内部取得，有极值的函数一定不是单调函数．
(3)f′(x0)＝0是x0为f(x)的极值点的必要而非充分条件．例如，f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是极值点．
《利用导数研究函数的最值》
一
相关知识点
1、在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．
2、若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．
3、求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤
(1)求函数在(a，b)内的极值．
(2)求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b)．
(3)将函数f(x)的极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
《任意角和弧度制、任意角的三角函数》
一
角的相关知识点
1．定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．
2．角的分类
3．终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：
S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}或{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}．
4．象限角及终边相同的角
(1)要使角β与角α的终边相同，应使角β为角α与π的偶数倍(不是整数倍)的和．
(2)注意锐角(集合为{α|0°<α<90°})与第一象限角(集合为{α|k·360°<α<90°＋k·360°，k∈Z})的区别，锐角是第一象限角，仅是第一象限角中的一部分，但第一象限角不一定是锐角．
5．象限角的两种判断方法
(1)图象法：在直角坐标系中作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角．
(2)转化法：先将已知角化为k·360°＋α(0°≤α<360°，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角．
6．求或nθ(n∈N
)所在象限的方法
(1)将θ的范围用不等式(含有k，且k∈Z)表示．
(2)两边同除以n或乘以n.
(3)对k进行讨论，得到或nθ(n∈N
)所在的象限．
二
弧度制的定义和公式
(1)定义：在以单位长为半径的圆中，单位长度的孤所对的圆心角为1弧度的角，它的单位符号是rad，读作弧度．正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0.
(2)公式
角α的弧度数公式
|α|＝(弧长用l表示)
角度与弧度的换算
①1°＝
rad；②1
rad＝°
弧长公式
弧长l＝|α|r
扇形面积公式
S＝lr＝|α|r2
三
任意角的三角函数
三角函数
正弦
余弦
正切
定义
设α是一个任意角，它的终边任意一点坐标P(x，y)，那么
y叫作α的正弦，记作sin
α
x叫作α的余弦，记作cos
α
y/x叫作α的正切，记作tan
α
各象限符号
Ⅰ
＋
＋
＋
Ⅱ
＋
－
－
Ⅲ
－
－
＋
Ⅳ
－
＋
－
三角函数线
有向线段MP为正弦线
有向线段OM为余弦线
有向线段AT为正切线
注：三角函数值在各象限的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦（全是天才）．　　
4.任意角的三角函数的定义(推广)
设P(x，y)是角α终边上异于顶点的任一点，其到原点O的距离为r，
则sin
α＝，cos
α＝，tan
α＝(x≠0)．
《同角三角函数的基本关系与诱导公式》
一
同角三角函数基本关系相关知识点
1．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1(α∈R)．(2)商数关系：tan
α＝.
2．同角三角函数基本关系式的应用技巧
技巧
解读
适合题型
切弦互化
主要利用公式tan
θ＝化成正弦、余弦，或者利用公式＝tan
θ化成正切
表达式中含有sin
θ，cos
θ与tan
θ
“1”的变换
1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝(sin
θ±cos
θ)2?2sin
θcos
θ＝tan
表达式中需要利用“1”转化
和积转换
利用关系式(sin
θ±cos
θ)2＝1±2sin
θcos
θ进行变形、转化
表达式中含有sin
θ±cos
θ或sin
θcos
θ
3．利用“切弦互化”的技巧
(1)弦化切：把正、余弦化成切的结构形式，统一为“切”的表达式，进行求值．常见的结构有：①sin
α，cos
α的二次齐次式(如asin2α＋bsin
αcos
α＋ccos2α)的问题常采用“切”代换法求解；②sin
α，cos
α的齐次分式的问题常采用分式的基本性质进行变形．
(2)切化弦：利用公式tan
α＝，把式子中的切化成弦．一般单独出现正切、余切的时候，采用此技巧．　　
二
三角函数诱导公式相关知识点
组序
一
二
三
四
五
六
角
2kπ＋
α(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
－α
＋α
正弦
sin
α
－sin
α
－sin
α
sin
α
cos
α
cos_α
余弦
cos
α
－cos
α
cos
α
－cos_α
sin
α
－sin
α
正切
tan
α
tan
α
－tan
α
－tan_α
cot
α
－cot
α
口诀
函数名不变，符号看象限
函数名改变，符号看象限
口诀：“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍、偶数倍，变与不变指函数名称是否变化
三
同角三角函数的基本关系式的几种变形
(1)(sin
α±cos
α)2＝1±2sin
αcos
α.
(2)sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos
α)(1－cos
α)．
(3)cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin
α)(1－sin
α)．
(4)sin
α＝tan
αcos
α.
《和差角、倍角与三角恒等变换》
一
相关知识点
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
(1)sin(α±β)＝sin
αcos
β±cos
αsin
β；
(2)cos(α±β)＝cos
αcos
β?sin
αsin
β；
(3)tan(α±β)＝.
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin
2α＝2sin
αcos
α；
(2)cos
2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
(3)tan
2α＝.
二
常用结论
1．公式T(α±β)的变形：
(1)tan
α＋tan
β＝tan(α＋β)(1－tan
αtan
β)；
(2)tan
α－tan
β＝tan(α－β)(1＋tan
αtan
β)．
2．降幂公式：
(1)sinαcosα=sin2α；
(2)
sin2α＝；
(3)
cos2α＝．
3．公式逆用：
(1)sin＝cos；
(2)sin＝cos；
(3)sin＝cos.
4．辅助角公式
asin
x＋bcos
x＝sin(x＋φ)
（其中sin
φ＝，cos
φ＝，tan
φ＝）
特别的：sin
α±cos
α＝sin；sin
α±cos
α＝2sin；sin
α±cos
α＝2sin.
《三角函数的图像与性质》
一
相关知识点
1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
正弦函数y＝sin
x，x∈[0,2π]图像五个关键点：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．
余弦函数y＝cos
x，x∈[0,2π]图像五个关键点：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)．
2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像与性质
函数
y＝sin
x
y＝cos
x
y＝tan
x
图像
定义域
R
R
值域
[－1,1]
[－1,1]
R
周期性
周期为2π
周期为2π
周期为π
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
单调性
递增区间：，
k∈Z，
递减区间：
，
k∈Z
递增区间：
[2kπ－π，2kπ]，
k∈Z，
递减区间：
[2kπ，2kπ＋π]，
k∈Z
递增区间
，
k∈Z
对称性
对称中心
(kπ，0)，k∈Z
对称中心
，k∈Z
对称中心
，k∈Z
对称轴
x＝kπ＋(k∈Z)
对称轴
x＝kπ(k∈Z)
3．对称与周期相关结论
(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期．
(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期．
4．奇偶性相关结论
(1)若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则
①f(x)为偶函数的充要条件是φ＝＋kπ(k∈Z)；②f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)．
(2)若f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，则
①f(x)为奇函数的充要条件：φ＝kπ＋，k∈Z；②f(x)为偶函数的充要条件：φ＝kπ，k∈Z.
《y＝Asin(ωx＋φ)的图像及三角函数模型的简单应用》
一
相关知识点
1．函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
y＝Asin(ωx＋φ)
振幅
周期
频率
相位
初相
(A>0，ω>0)
A
T＝
f＝＝
φ
2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图
用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：
ωx＋φ
2π
x
－
－
－
y＝Asin(ωx＋φ)
0
A
0
－A
0
3.由函数y＝sin
x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种方法
4.图像变换的相关结论
(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图像平移的规律：“左加右减，上加下减”．
(2)y＝sin
ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度．
(3)函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋，k∈Z确定；对称中心由ωx＋φ＝kπ，k∈Z确定其横坐标．
《正、余弦定理，三角形中的几何计算》
一
相关知识点
1．正弦定理和余弦定理
定理
正弦定理
余弦定理
内容
＝＝＝2R
(其中R是△ABC外接圆的半径)
a2＝b2＋c2－2bccos
A；
b2＝a2＋c2－2accosB；
c2＝a2＋b2－2abcosC　
变形形式
(1)a＝2Rsin
A，b＝2RsinB，c＝2RsinC；
(2)sin
A＝；sin
B＝；sin
C＝；
(3)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；
(4)asin
B＝bsin
A，bsin
C＝csin
B，asin
C＝csin
A；
(5)＝2R
cos
A＝；
cos
B＝；
cos
C＝
2.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式
a＝bsin
A
bsin
A＜a＜b
a≥b
a＞b
解的个数
一解
两解
一解
一解
3．三角形中常用的面积公式
(1)S＝ah(h表示边a上的高)；
(2)S＝bcsin
A＝acsinB＝absin
C＝；
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．
4．在△ABC中，常有以下结论
(1)
三角形内角和定理：∠A＋∠B＋∠C＝π，变形：＝－
(2)sin
A＝sin(B＋C)，cos
A＝－cos(B＋C)，tan
A＝－tan(B＋C)；
(3)sin＝cos
；(4)cos＝sin
.
(4)
在三角形中大边对大角，大角对大边．A>B?a>b?sin
A>sin
B?cos
A(5)sin
2A＝sin
2B?A＝B或A＋B＝.
(6)三角形射影定理：a＝bcos
C＋ccos
B；b＝acos
C＋ccos
A；c＝acos
B＋bcos
A．
(7)tan
A＋tan
B＋tan
C＝tan
A·tan
B·tan
C.
(8)合比定理：＝＝2R.
(9)在锐角三角形中①A＋B>；②若A＝，则《解三角形的实际应用举例》
一
相关知识点
1．仰角和俯角
在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角．(如图①)．
2．方位角和方向角
(1)方位角：从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．
方位角θ的范围是0°≤θ＜360°
(2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°等．
3．坡角与坡度
坡角：坡面与水平面所成的二面角叫作坡角(如图③，角θ为坡角．)
坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图③，i为坡度)．
③
《平面向量的概念及线性运算》
一
相关知识点
1．平面向量的概念
名称
定义
备注
向量
既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)
平面向量是自由向量，平面向量可自由平移
零向量
长度为0的向量；其方向是任意的
记作0
单位向量
长度等于1个单位的向量
非零向量a的单位向量为±
平行向量
方向相同或相反的非零向量，又叫做共线向量
0与任一向量平行或共线
相等向量
长度相等且方向相同的向量
两向量只有相等或不等，不能比较大小
相反向量
长度相等且方向相反的向量
0的相反向量为0
2．向量的线性运算
向量运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算
交换律：
a＋b＝b＋a；
结合律：
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法
求a与b的相反向量－b的和的运算
a－b＝a＋(－b)
数乘
求实数λ与向量a的积的运算
|λa|＝|λ||a|，当λ＞0时，λa与a的方向相同；当λ＜0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0
λ(μ
a)＝(λ
μ)a；
(λ＋μ)a＝λa＋μa；
λ(a＋b)＝λa＋λb
平面向量的线性运算：应用平面向量的加法、减法和数乘运算的法则即可．
(1)加法的三角形法则要求“首尾相接”，加法的平行四边形法则要求“起点相同”；
(2)减法的三角形法则要求“起点相同”且差向量指向“被减向量”；
(3)数乘运算的结果仍是一个向量，运算过程可类比实数运算
3．平面向量共线定理
向量b与a(a≠0)共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa.
(1)向量共线的充要条件中，当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，注意待定系数法和方程思想的运用．
(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线．
(3)直线的向量式参数方程：A，P，B三点共线?＝(1－t)·＋t
(O为平面内任一点，t∈R)．
平面向量共线定理的3个应用
证明向量共线
对于非零向量a，b，若存在实数λ，使a＝λb，则a与b共线
证明三点共线
若存在实数λ，使＝λ，与有公共点A，则A，B，C三点共线
求参数的值
利用向量共线定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值
4．向量的中线公式及三角形的重心
(1)向量的中线公式：若P为线段AB的中点，O为平面内一点，则＝(＋)．
(2)三角形的重心：
已知平面内不共线的三点A，B，C，＝(＋＋)?G是△ABC的重心．
特别地，＋＋＝0?P为△ABC的重心．
(3)＝x＋y(x，y为实数)，若点A，B，C共线，则x＋y＝1.
《平面向量基本定理及坐标表示》
一
相关知识点
1．平面向量基本定理
(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，存在唯一一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
(2)基底：不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
2．平面向量的坐标表示
在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，该平面内的任一向量a可表示成a＝xi＋yj，把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)．
3．平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝.
4．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a，b共线?x1y2－x2y1＝0.
5．常用结论
(1)若a与b不共线，且λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.
(2)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，如果x2≠0，y2≠0，则a∥b?＝.
(3)已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则P点坐标为；已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标为
《平面向量的数量积与平面向量应用举例》
一
相关知识点
1.向量的夹角
(1)定义：已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角．
(2)范围：设θ是向量a与b的夹角，则0°≤θ≤180°.
(3)共线与垂直：若θ＝0°，则a与b同向；若θ＝180°，则a与b反向；若θ＝90°，则a与b垂直．
2．平面向量的数量积
(1)射影的定义
设θ是a与b的夹角，则|b|cos
θ叫作向量b在a方向上的射影，|a|cos
θ叫作向量a在b方向上的射影．
(2)平面向量的数量积
定义
设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|·cos
θ叫作a与b的数量积，记作a·b
投影
|a|cos
θ叫作向量a在b方向上的投影，
|b|cos
θ叫作向量b在a方向上的投影
几何
意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos
θ的乘积
注意：(1)数量积a·b也等于b的长度|b|与a在b方向上的投影|a|cos
θ的乘积，这两个投影是不同的．
(2)a在b方向上的投影也可以写成，投影是一个数量，可正可负也可为0，它的符号取决于θ角的范围．
3．向量数量积的性质
设a，b是两个非零向量，e是单位向量，α是a与e的夹角，于是我们就有下列数量积的性质：
(1)e·a＝a·e＝|a||e|cos
α＝|a|cos
α.
(2)a⊥b?a·b＝0.
(3)a，b同向?a·b＝|a||b|；
a，b反向?a·b＝－|a||b|.
特别地a·a＝|a|2＝a2或|a|＝.
(4)若θ为a，b的夹角，则cos
θ＝.
(5)|a·b|≤|a|·|b|.
(6)
(a±b)2＝|a±b|2＝|a|2±2a·b＋|b|2＝a2±2a·b＋b2；
4．平面向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a(交换律)．(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·λ(b)(结合律)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．
5．平面向量数量积的性质及其坐标表示
设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ＝〈a，b〉．
结论
几何表示
坐标表示
模
|a|＝
|a|＝
数量积
a·b＝|a||b|cos
θ
a·b＝x1x2＋y1y2
夹角
cos
θ＝
cos
θ＝
a⊥b
a·b＝0
x1x2＋y1y2＝0
|a·b|与|a||b|的关系
|a·b|≤|a||b|
|x1x2＋y1y2|
≤·
常用结论
1．两个向量a，b的夹角为锐角?a·b＞0且a，b不共线；
2．两个向量a，b的夹角为钝角?a·b＜0且a，b不共线．
《数列的概念与简单表示》
一
相关知识点
1．数列的定义
按照一定顺序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项)．
2．数列的通项公式
如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．
3．数列的分类
分类标准
类型
满足条件
按项数分类
有穷数列
项数有限
无穷数列
项数无限
按项与项间的大小关系分类
递增数列
an＋1>an
其中n∈N
递减数列
an＋1常数列
an＋1＝an
按其他标准分类
有界数列
存在正数M，使|an|≤M
摆动数列
从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项
4．数列的递推公式
如果已知数列{an}的第1项(或前几项)，且任何一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，即an＝f(an－1)(或an＝f(an－1，an－2)等)，那么这个式子叫做数列{an}的递推公式．
5．Sn与an的关系
已知数列{an}的前n项和为Sn，则an＝这个关系式对任意数列均成立．
Sn与an关系问题的求解思路：根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化．
(1)利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解．
(2)利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解．
《等差数列及其前n项和》
一
相关知识点
1．等差数列的有关概念
(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为an＋1－an＝d(n∈N
，d为常数)．
(2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝，其中A叫做a，b的等差中项．
2．等差数列的有关公式
(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d.
(2)前n项和公式：Sn＝na1＋d＝.
3．等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N
)．
(2)若{an}为等差数列，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N
)．
(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N
)是公差为md的等差数列．
(4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列
(5)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…(m∈N
)也是等差数列，公差为m2d.
(6)S2n－1＝(2n－1)an，S2n＝n(a1＋a2n)＝n(an＋an＋1)，遇见S奇，S偶时可分别运用性质及有关公式求解．
(7)若{an}，{bn}均为等差数列且其前n项和为Sn，Tn，则＝.
(8)若{an}是等差数列，则也是等差数列，其首项与{an}首项相同，公差是{an}的公差的.
(9)若等差数列{an}的项数为偶数2n，则
①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；②S偶－S奇＝nd，＝.
(10)若等差数列{an}的项数为奇数2n＋1，则
①S2n＋1＝(2n＋1)an＋1；
②＝.
二
等差数列的常用结论
1．等差数列前n项和的最值
在等差数列{an}中，若a1＞0，d＜0，则Sn有最大值，即所有正项之和最大，若a1＜0，
d＞0，则Sn有最小值，即所有负项之和最小．
2．等差数列的前n项和公式与函数的关系：Sn＝n2＋n.
数列{an}是等差数列?Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．
《等比数列及其前n项和》
一
相关知识点
1．等比数列的有关概念
(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为＝q.
(2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项?a，G，b成等比数列?G2＝ab.
2．等比数列的有关公式
(1)通项公式：an＝a1qn－1.
(2)通项公式的推广：an＝am·qn－m(n，m∈N
)．
(2)前n项和公式：Sn＝
3．等比数列的有关性质
(1)若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq，其中m，n，p，q∈N
.特别地，若2s＝p＋r，则apar＝a，其中p，s，r∈N
.对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积即a1·an＝a2·an－1＝…＝ak·an－k＋1＝….
(2)若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{ban}，，{a}，{an·bn}，，{pan·qbn}和仍然是等比数列．(其中b，p，q是非零常数)
(3)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm(k，m∈N
)．
(4)当q≠－1或q＝－1且k为奇数时，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…是等比数列，其公比为qk.
(5)若a1·a2·…·an＝Tn，则Tn，，，…成等比数列．
4．等比数列的有关结论
(1)
“G2＝ab”是“a，G，b成等比数列”的必要不充分条件．
(2)若q≠0，q≠1，则Sn＝k－kqn(k≠0)是数列{an}成等比数列的充要条件，此时k＝.
5．等比数列{an}的单调性
(1)满足或时，{an}是递增数列．
(2)满足或时，{an}是递减数列．
(3)当时，{an}为常数列．
(4)当q<0时，{an}为摆动数列．
6．与等比数列前n项和Sn相关的几个结论
(1)项的个数的“奇偶”性质：等比数列{an}中，公比为q.
①若共有2n项，则S偶∶S奇＝q；
②若共有2n＋1项，则S奇－S偶＝(q≠1且q≠－1)，＝q.
(2)分段求和：Sn＋m＝Sn＋qnSm?qn＝(q为公比)．
《数列求和》
一
相关知识点
1．公式法
(1)等差数列的前n项和公式：Sn＝＝na1＋d；
(2)等比数列的前n项和公式：Sn＝
2．分组转化法
把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．
3．裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．
4．错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n项和可用错位相减法求解．
5．倒序相加法
如果一个数列{an}的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解．
6．并项求和法
一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．
例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12
＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5
050.
二
相关结论
1．一些常见的数列前n项和公式：
(1)1＋2＋3＋4＋…＋n＝.
(2)1＋3＋5＋7＋…＋2n－1＝n2.
(3)2＋4＋6＋8＋…＋2n＝n(n＋1).
(4)12＋22＋…＋n2＝.
2．常用的裂项公式
(1)＝；特例：＝－；
(2)＝＝；
(3)＝－；
(4)loga＝loga(n＋1)－logan.
《不等式的性质及一元二次不等式》
一
相关知识点
1．比较两个实数大小的方法
(1)作差法(2)作商法
2．不等式的基本性质
性质
性质内容
特别提醒
对称性
a>b?b?
传递性
a>b，b>c?a>c
?
可加性
a>b?a＋c>b＋c
?
可乘性
?ac>bc
注意c的符号
?ac同向可加性
?a＋c>b＋d
?
同向同正可乘性
?ac>bd>0
?
可乘方性
a>b>0?an>bn(n∈N，n≥1)
可开方性
a>b>0?>(n∈N，n≥2)
a，b同为正数
3．一元二次不等式
（1）三个“二次”之间的关系
判别式Δ＝b2－4ac
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根
有两个相异实根x1，x2(x1＜x2)
有两个相等实根x1＝x2＝－
没有实数根
一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集
{x|xx2}
R
一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集
{x|x1＜x＜x2}
?
?
（2）不等式ax2＋bx＋c>0
(<0)恒成立的条件
(1)不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立?或
(2)不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立?或
4．不等式的一些常用性质
（1）有关分数的性质
若a＞b＞0，m＞0，则(1)＜；＞(b－m＞0)；(2)＞；＜(b－m＞0)．
（2）有关倒数的性质
①a>b，ab>0?<；②a<0b>0,0；④05．简单的分式不等式
(1)≥0?(2)＞0?
《二元一次不等式(组)
与简单的线性规划问题》
一
相关知识点
1．二元一次不等式(组)表示的平面区域
不等式
表示区域
Ax＋By＋C＞0
直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域
不包括边界直线
Ax＋By＋C≥0
包括边界直线
不等式组
各个不等式所表示平面区域的公共部分
2.确定二元一次不等式(组)表示平面区域的步骤
（1）确定二元一次不等式表示的平面区域位置的方法
把二元一次不等式Ax＋By＋C＞0(＜0)表示为y＞kx＋b或y＜kx＋b的形式．若y＞kx＋b，则平面区域为直线Ax＋By＋C＝0的上方；若y＜kx＋b，则平面区域为直线Ax＋By＋C＝0的下方．
（2）利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域：
对于Ax＋By＋C>0或Ax＋By＋C<0，则有
①当B(Ax＋By＋C)>0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的上方；
②当B(Ax＋By＋C)<0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的下方．
（3）相关结论：
点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)位于直线Ax＋By＋C＝0的两侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)＜0；位于直线Ax＋By＋C＝0同侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)＞0.
3．线性规划中的基本概念
名称
意义
约束条件
由变量x，y组成的不等式(组)
线性约束条件
由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式(组)
目标函数
关于x，y的函数解析式，如z＝2x＋3y等
线性目标函数
关于x，y的一次函数解析式
可行解
满足线性约束条件的解(x，y)
可行域
所有可行解组成的集合
最优解
使目标函数取得最大值或最小值的可行解
线性规划问题
在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题
4.简单线性规划问题的图解法
在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，用图解法求最优解的步骤概括为“画、移、求、答”．即
5．求线性目标函数最值应注意的问题
求二元一次函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式：
y＝－x＋，通过求直线的截距的最值间接求出z的最值，应注意以下两点：
(1)若b>0，则截距取最大值时，z也取最大值；截距取最小值时，z也取最小值．
(2)若b<0，则截距取最大值时，z取最小值；截距取最小值时，z取最大值．
非线性目标函数最值问题的常见类型及求法
距离平方型
目标函数为z＝(x－a)2＋(y－b)2时，可转化为可行域内的点(x，y)与点(a，b)之间的距离的平方求解
斜率型
对形如z＝(ac≠0)型的目标函数，可利用斜率的几何意义来求最值，即先变形为z＝·的形式，将问题化为求可行域内的点(x，y)与点连线的斜率的倍的取值范围、最值等
点到直线距离型
对形如z＝|Ax＋By＋C|型的目标函数，可先变形为z＝·的形式，将问题化为求可行域内的点(x，y)到直线Ax＋By＋C＝0的距离的倍的最值
《基本不等式》
一
相关知识点
1．基本不等式：≤
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．
2．几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)；
(2)a＋b≥2(a>0，b>0)．
(3)＋≥2(a，b同号且不为零)；
(4)ab≤
(a，b∈R)；
(5)≤(a，b∈R)．2(a2＋b2)≥(a＋b)2(a，b∈R)．
(6)≥≥ab(a，b∈R)．
(7)≥≥≥(a>0，b>0)．
以上不等式等号成立的条件均为a＝b.
3．算术平均数与几何平均数
设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
4．利用基本不等式求最值问题
已知x>0，y>0，则：
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2.(简记：积定和最小)
(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是.(简记：和定积最大)
5．重要不等式链
若a≥b＞0，则a≥≥≥≥≥b.
《空间几何体的结构及其三视图和直观图》
一
相关知识点
1．简单旋转体的结构特征
(1)圆柱可以由矩形绕其任一边旋转得到；
(2)圆锥可以由直角三角形绕其直角边旋转得到；
(3)圆台可以由直角梯形绕直角腰或等腰梯形绕上下底中点连线旋转得到，也可由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到；
(4)球可以由半圆或圆绕直径旋转得到．
2．旋转体的形成
几何体
旋转图形
旋转轴
圆柱
矩形
任一边所在的直线
圆锥
直角三角形
任一直角边所在的直线
圆台
直角梯形
垂直于底边的腰所在的直线
球
半圆
直径所在的直线
注意：(1)球是以半圆面为旋转对象的，而不是半圆．
(2)要注意球面上两点的直线距离、球面距离以及在相应的小圆上的弧长三者之间的区别与联系．
3．简单多面体的结构特征
(1)棱柱的侧棱都平行且相等，上下底面是全等的多边形；
(2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共点的三角形；
(3)棱台可由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到，其上下底面是相似多边形．
4.多面体的结构特征
注意：(1)棱柱的所有侧面都是平行四边形，但侧面都是平行四边形的几何体却不一定是棱柱．
(2)棱台的所有侧面都是梯形，但侧面都是梯形的几何体却不一定是棱台．
(3)注意棱台的所有侧棱相交于一点．
5．正棱柱、正棱锥的结构特征
(1)正棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．反之，正棱柱的底面是正多边形，侧棱垂直于底面，侧面是矩形．
(2)正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥．特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体．
6．直观图
(1)画法：常用斜二测画法．
(2)规则：
①在已知图形中建立直角坐标系xOy，画直观图时，它们分别对应x′轴和y′轴，两轴交于点O′，使∠x′O′y′＝45°，它们确定的平面表示水平平面；
②已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴和y′轴的线段；
③已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的.
7．斜二测画法中的“三变”与“三不变”
“三变”
“三不变”
8．常用结论
直观图与原图形面积的关系：S直观图＝S原图
，
即：(1)S直观图＝S原图形．(2)S原图形＝2S直观图．
9．三视图
(1)几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．
(2)三视图的画法
①基本要求：长对正，高平齐，宽相等．
②画法规则：正侧一样高，正俯一样长，侧俯一样宽；看不到的线画虚线.
10．常见旋转体的三视图
(1)球的三视图都是半径相等的圆．
(2)水平放置的圆锥的正视图和侧视图均为全等的等腰三角形．
(3)水平放置的圆台的正视图和侧视图均为全等的等腰梯形．
(4)水平放置的圆柱的正视图和侧视图均为全等的矩形．
《空间图形的基本关系与公理》
一
相关知识点
1．空间图形的公理
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．
公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.
2．公理2的三个推论
推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；
推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面；
推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面．
3．共面、共线、共点问题的证明方法
(1)证明点或线共面问题的两种方法：
①纳入平面法：首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；
②辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合．
(2)证明点共线问题的两种方法：
①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；
②直接证明这些点都在同一条特定直线上．
(3)证明线共点问题的常用方法：
先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．
4．空间中两直线的位置关系
(1)空间中两直线的位置关系：
5．异面直线所成的角
(1)定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．
(2)范围：.
6．等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
等角定理的引申
(1)在等角定理中，若两角的两边平行且方向相同或相反，则这两个角相等．
(2)在等角定理中，若两角的两边平行且方向一个边相同，一个边相反，则这两个角互补．
7．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系
(1)空间中直线与平面的位置关系
位置关系
图形表示
符号表示
公共点
直线a在平面α内
a?α
有无数个公共点
直线在平面外
直线a与平面α平行
a∥α
没有公共点
直线a与平面α斜交
a∩α＝A
有且只有一个公共点
直线a与平面α垂直
a⊥α
(2)空间中两个平面的位置关系
位置关系
图形表示
符号表示
公共点
两平面平行
α∥β
没有公共点
两平面相交
斜交
α∩β＝l
有一条公共直线
垂直
α⊥β且
α∩β＝a
8．唯一性定理
(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．
(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直．
(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．
(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．
《直线、平面平行的判定与性质》
一
相关知识点
1．直线与平面平行的判定定理和性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
平面外一条直线与此平面内的一条
直线平行，则该直线与此平面平行
(线线平行?线面平行)
l∥a，a?α，l?α
?l∥α
性质定理
一条直线与一个平面平行，则过这条
直线的任一平面与此平面的交线与
该直线平行(线面平行?线线平行)
l∥α，l?β，
α∩β＝b?l∥b
2．平面与平面平行的判定定理和性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(线面平行?面面平行)
a∥β，b∥β，a∩b＝P，
a?α，b?α?α∥β
性质定理
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行
α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b
3．常用结论
(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.
(2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b．
(3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
(4)三种平行关系的转化：
《直线、平面垂直的判定与性质》
一
相关知识点
1．直线和平面垂直的定义
直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．
2．直线与平面垂直的判定定理与性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直
?l⊥α
性质定理
垂直于同一个平面的两条直线平行
?a∥b
3．直线与平面所成的角
(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条斜线和这个平面所成的角．
(2)线面角θ的范围：.
4．方法与技巧
证明直线与平面垂直的方法
(1)定义法：若一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于这个平面(不常用)；
(2)判定定理(常用方法)；
(3)若两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面(客观题常用)；
(4)若一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，则它必垂直于另一个平面(客观题常用)；
(5)若两平面垂直，则在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面(常用方法);
(6)若两相交平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面的交线垂直于第三个平面(客观题常用)．　　
5．直线与平面垂直的五个结论
(1)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意直线.
(2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．
(3)垂直于同一条直线的两个平面平行．
(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直．
(5)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．
6．二面角的有关概念
(1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．
(2)二面角的平面角：过二面角棱上的任一点，在两个半平面内分别作与棱垂直的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角．
(3)二面角α的范围：.
7．平面与平面垂直
(1)平面与平面垂直的定义：两个平面相交，
如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
(2)平面与平面垂直的判定定理与性质定理：
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直
?α⊥β
性质定理
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
?l⊥α
(3)面面垂直判定的两种方法与一个转化
两种方法
(1)面面垂直的定义；
(2)面面垂直的判定定理(a⊥β，a?α?α⊥β)
一个转化
在已知两个平面垂直时，一般要用性质定理进行转化．在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直
8．三种垂直关系的转化
《空间几何体的表面积、体积》
一
相关知识点
1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
圆柱
圆锥
圆台
侧面展开图　
侧面积公式　
S圆柱侧＝2πrl
S圆锥侧＝πrl
S圆台侧＝π(r1＋r2)l
2．空间几何体的表面积与体积公式
名称
几何体　　
表面积
体积
柱体(棱柱和圆柱)
S表面积＝S侧＋2S底
V＝Sh
锥体(棱锥和圆锥)
S表面积＝S侧＋S底
V＝Sh
台体(棱台和圆台)
S表面积＝S侧＋S上＋S下
V＝(S上＋S下＋)h
球
S＝4πR2
V＝πR3
3．求表面积与体积的常用方法
(1)割补法
割补法是割法与补法的总称．补法是把不规则(不熟悉的或复杂的)几何体延伸或补成规则的(熟悉的或简单的)几何体，把不完整的图形补成完整的图形．割法是把复杂的(不规则的)几何体切割成简单的(规则的)几何体．割与补是对立统一的，是一个问题的两个相反方面．割补法无论是求解体积问题还是求解空间角(或空间距离)以及证明垂直或平行关系都有简化解题过程、开阔思维的优点．
(2)等积法
等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．
4．多面体的内切球与外接球常用的结论
(1)正方体的棱长为a，球的半径为R，
①若球为正方体的外接球，则R＝a；
②若球为正方体的内切球，则
r＝；
③若球与正方体的各棱相切，则2R＝a．
(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则R＝．
(3)设正四面体的棱长为a，则它的高为a，内切球半径r＝a，外接球半径R＝a，外接球与内切球的半径之比为3∶1.
《直线的倾斜角与斜率、直线的方程》
一
相关知识点
1.平面直角坐标系中的基本公式
(1)两点的距离公式：
已知平面直角坐标系中的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则d(A，B)＝|AB|＝.
(2)中点公式：已知平面直角坐标系中的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，点M(x，y)是线段AB的中点，
则x＝，y＝.
2．直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫作直线l的倾斜角．
(2)规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0．
(3)范围：直线l倾斜角的取值范围是[0，π)．
3．斜率公式
(1)定义式：直线l的倾斜角为α，则斜率k＝tanα．
(2)坐标式：P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k＝．
4．直线方程的五种形式
名称
方程
适用范围
点斜式
y－y0＝k(x－x0)
不含垂直于x轴的直线
斜截式
y＝kx＋b
不含垂直于x轴的直线
两点式
＝
不含直线x＝x1(x1≠x2)
和直线y＝y1(y1≠y2)
截距式
＋＝1
不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式
Ax＋By＋C＝0，A2＋B2≠0
平面内所有直线都适用
5．常用结论
直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系：
(1)直线都有倾斜角，但不一定都有斜率，二者的关系具体如下：
斜率k
k＝tan
α＞0
k＝0
k＝tan
α＜0
不存在
倾斜角α
锐角
0°
钝角
90°
(2)在分析直线的倾斜角和斜率的关系时，要根据正切函数k＝tan
α的单调性，如图所示：
(1)α取值在内，由0增大到时，k由0增大并趋向于正无穷大；
(2)α取值在内，由增大到π(α≠π)时，k由负无穷大增大并趋近于0.
《两条直线的位置关系与距离公式》
一
相关知识点
1．两条直线平行与垂直的判定
(1)两条直线平行
①对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2?k1＝k2.
②当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.
(2)两条直线垂直
①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2?k1·k2＝－1.
②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2.
2．两直线平行或重合的充要条件
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行的充要条件是A1B2－A2B1＝0，A1C2≠A2C1.重合的充要条件是A1B2－A2B1＝0，A1C2＝A2C．
3．两直线垂直的充要条件
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件是A1A2＋B1B2＝0．
4．两条直线的交点的求法
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，则l1与l2的交点坐标就是方程组的解．
5．三种距离公式
(1)平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝.
(2)点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.
(3)两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离为d＝.
6．常用结论
(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．
(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R)．
(3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为：
A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2．
7．与对称问题相关的两个结论
(1)点P(x，y)关于点A(a，b)的对称点为P′(2a－x，2b－y)．
即：点P(x，y)关于A(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足
注：直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决
(2)设点P(x0，y0)关于直线y＝kx＋b的对称点为P′(x′，y′)，
则有可求出x′，y′.
即：点A(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点A′(m，n)，则有
注：直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决
《圆的方程》
一
相关知识点
1．圆的定义及方程
定义
平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)
标准方程
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)
圆心(a，b)，半径r
一般方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
(D2＋E2－4F＞0)
圆心，
半径
2.点与圆的位置关系
点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：
(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2.
(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.
(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2.
3.常用结论
(1)圆心为坐标原点，半径为r的圆的方程为x2＋y2＝r2.
(2)以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.
(3)二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件　
《直线与圆、圆与圆的位置关系》
一
相关知识点
1．判断直线与圆的位置关系常用的两种方法
(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系．
dr?相离．
(2)代数法：
2．圆与圆的位置关系
设两个圆的半径分别为R，r，R＞r，圆心距为d，则两圆的位置关系可用下表来表示：
位置关系
相离
外切
相交
内切
内含
几何特征
d＞R＋r
d＝R＋r
R－r＜
d＜R＋r
d＝R－r
0≤d＜R－r
代数特征
无实数解
一组实数解
两组实数解
一组实数解
无实数解
公切线条数
4
3
2
1
0
3．两圆相交常用结论
圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交时：
?1?将两圆方程直接作差，得到两圆公共弦所在直线方程；
?2?两圆圆心的连线垂直平分公共弦；
?3?x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ?x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2?＝0表示过两圆交点的圆系方程?不包括C2?.　
4．圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
(3)切线长
①从圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)外一点M(x0，y0)引圆的两条切线，
切线长为
.
②两切点弦长：利用等面积法，切线长a与半径r的积的2倍等于点M与圆心的距离d与
两切点弦长b的积，即b＝.
5．圆的弦问题
直线和圆相交，求被圆截得的弦长通常有两种方法：
(1)几何法：因为半弦长、弦心距d、半径r构成直角三角形，所以由勾股定理得L
＝2.
(2)代数法：若直线y＝kx＋b与圆有两交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有：
|AB|＝|x1－x2|＝
|y1－y2|.
6．过直线Ax＋By＋C＝0和圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0?D2＋E2－4F＞0?交点的圆系方程
为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ?Ax＋By＋C?＝0.,　
《椭圆》
一
相关知识点
1．椭圆的定义
把平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合叫作椭圆．这两个定点叫作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距．
集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数．
(1)当2a>|F1F2|时，P点的集合是椭圆；
(2)当2a＝|F1F2|时，P点的集合是线段；
(3)当2a<|F1F2|时，P点不存在．
2．椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
＋＝1(a>b>0)
＋＝1(a>b>0)
图形
性
质
范围
－a≤x≤a，－b≤y≤b
－b≤x≤b，－a≤y≤a
对称性
对称轴：坐标轴，对称中心：(0,0)
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)，
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，
B1(－b,0)，B2(b,0)
轴
长轴A1A2的长为2a，短轴B1B2的长为2b
焦距
|F1F2|＝2c
离心率
e＝，e∈(0,1)
a，b，c
的关系
c2＝a2－b2
3．常用结论
i．点P(x0，y0)和椭圆的位置关系
(1)点P(x0，y0)在椭圆内?＋＜1.
(2)点P(x0，y0)在椭圆上?＋＝1.
(3)点P(x0，y0)在椭圆外?＋＞1.
ii．焦点三角形
椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，
∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆＋＝1(a＞b＞0)中：
(1)当r1＝r2时，即点P的位置为短轴端点时，θ最大；
(2)S＝b2tan
＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点P的位置为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc.
(3)
S△PF1F2＝|PF1||PF2|·sin
θ，当|y0|＝b，即P为短轴端点时，S△PF1F2取最大值为bc.
(4)焦半径公式：|PF1|＝a＋ex0，|PF2|＝a－ex0.
(5)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos
θ.
(6)a－c≤|PF1|≤a＋c.
(7)焦点三角形的周长为2(a＋c)．
(8)过点P(x0，y0)的切线方程为＋＝1.
(9)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a是斜边长，a2＝b2＋c2.
(10)已知过焦点F1的弦AB，则△ABF2的周长为4a.
4．椭圆中点弦的斜率公式
若M(x0，y0)是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的弦AB(AB不平行y轴)的中点，则有kAB·kOM＝－，
即kAB＝－.
5．弦长公式：直线与圆锥曲线相交所得的弦长
(1)|AB|＝|x1－x2|＝
＝|y1－y2|＝(k为直线斜率)．
(2)焦点弦(过焦点的弦)：最短的焦点弦为通径长，最长为
2a.
《直线与椭圆的位置关系》
一
相关知识点
1．直线与椭圆位置关系的判断
直线与椭圆方程联立方程组，消掉y，得到Ax2＋Bx＋C＝0的形式(这里的系数A一定不为0)，
设其判别式为Δ：
(1)Δ>0?直线与椭圆相交；(2)Δ＝0?直线与椭圆相切；(3)Δ<0?直线与椭圆相离．
2．弦长公式
(1)若直线y＝kx＋b与椭圆相交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则|AB|＝|x1－x2|＝
＝|y1－y2|.＝
(k为直线斜率)
(2)焦点弦(过焦点的弦)：最短的焦点弦为通径长，最长为
2a.
3．注意点
(1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，应用根与系数的关系（韦达定理），解决相关问题．涉及中点弦的问题时用“点差法”解决，往往会更简单．记住必须检验．
(2)利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式．
《双曲线》
一
相关知识点
1．双曲线的定义
(1)平面内到两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合叫作双曲线．这两个定点F1，F2叫作双曲线的焦点，两焦点之间的距离叫作双曲线的焦距．
(2)集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.
①当2a<|F1F2|时，M点的轨迹是双曲线；
②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹是两条射线；
③当2a>|F1F2|时，M点不存在．
2．双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
－＝1(a>0，b>0)
－＝1(a>0，b>0)
图形
性
质
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
y≤－a或y≥a，x∈R
对称性
对称轴：坐标轴，对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±x
y＝±x
离心率
e＝，e∈(1，＋∞)
实、虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
a，b，c的关系
c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)
3．三种常见双曲线方程的设法
(1)若已知双曲线过两点，焦点位置不能确定，可设方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)．
(2)当已知双曲线的渐近线方程bx±ay＝0，求双曲线方程时，可设双曲线方程为b2x2－a2y2＝λ(λ≠0)．
(3)与双曲线－＝1有相同的渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)．
(4)已知双曲线－＝λ(a＞0，b＞0，λ≠0)，求其渐近线的方程，只需把λ改写为0整理即可．
4．双曲线中的几个常用结论
(1)焦点到渐近线的距离为虚半轴长b.
(2)实轴长和虚轴长相等的双曲线叫作等轴双曲线，其渐近线方程为y＝±x，离心率为e＝.
(3)双曲线为等轴双曲线?双曲线的离心率e＝?双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)．
(4)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为.
(5)过双曲线焦点F1的弦AB与双曲线交在同支上，则AB与另一个焦点F2构成的△ABF2的周长为4a＋2|AB|.
(6)焦点三角形面积：S＝b2cot
《抛物线》
一
相关知识点
1．抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过F)的距离相等的点的集合叫作抛物线．点F叫作抛物线的焦点，直线l叫作抛物线的准线．
2．抛物线的标准方程与几何性质
标准
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
方程
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形
顶点
O(0,0)
对称轴
y＝0
x＝0
焦点
F
F
F
F
离心率
e＝1
准线方程
x＝－
x＝
y＝－
y＝
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
焦半径
(其中P(x0，y0))
|PF|＝x0＋
|PF|＝－x0＋
|PF|＝y0＋
|PF|＝－y0＋
3．常用结论
1．y2＝ax(a≠0)的焦点坐标为，准线方程为x＝－.
2．F的距离|PF|＝x0＋，也称为抛物线的焦半径．
4．焦点弦的常用结论
以抛物线y2＝2px(p＞0)为例，设AB是抛物线的过焦点的一条弦(焦点弦)，F是抛物线的焦点，
A(x1，y1)，B(x2，y2)，A，B在准线上的射影为A1，B1，则有以下结论：
(1)x1x2＝，y1y2＝－p2；
(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝(其中θ为直线AB的倾斜角)，
其中：抛物线的通径长为2p，通径是最短的焦点弦；
(3)＋＝为定值；
(4)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切；
(5)以AF(或BF)为直径的圆与y轴相切；
(6)以A1B1为直径的圆与直线AB相切，切点为F，∠A1FB1＝90°；
(7)A，O，B1三点共线，B，O，A1三点也共线．
(8)
《曲线与方程》
一
相关知识点
1．曲线与方程
一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下关系：
(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解.
(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫作曲线的方程，这条曲线叫作方程的曲线.
2．求动点轨迹方程的一般步骤
(1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标．
(2)写出适合条件p的点M的集合P＝{M|p(M)}．
(3)用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x，y)＝0.
(4)化方程f(x，y)＝0为最简形式．
(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．
3．圆锥曲线的共同特征
圆锥曲线上的点到一个定点的距离与它到一条定直线的距离之比为定值e.
(1)当0＜e＜1时，圆锥曲线是椭圆．
(2)当e＞1时，圆锥曲线是双曲线．
(3)当e＝1时，圆锥曲线是抛物线．
4．曲线的交点
设曲线C1的方程为F1(x，y)＝0，曲线C2的方程为F2(x，y)＝0，则C1，C2的交点坐标即为方程组的实数解．若此方程组无解，则两曲线无交点．
《随机抽样》
一
相关知识点
1．抽样调查
(1)抽样调查：通常情况下，从调查对象中按照一定的方法抽取一部分，进行调查或观测，获取数据，并以此对调查对象的某些指标作出推断，这就是抽样调查．
(2)总体和样本：调查对象的全体称为总体，被抽取的一部分称为样本．
(3)抽样调查与普查相比有很多优点，最突出的有两点：
①迅速、及时；②节约人力、物力和财力．
2．简单随机抽样
(1)根据实际需要有时需从总体中随机地抽取一些对象，然后对抽取的对象进行调查．在抽取的过程中，要保证每个个体被抽到的概率相同.这样的抽样方法叫作简单随机抽样．
(2)特点：①抽取方式：逐个不放回抽取；②每个个体被抽到的概率相同.
(3)常用方法：抽签法和随机数法.
3．分层抽样
(1)定义：将总体按其属性特征分成若干类型(有时称作层)，然后在每个类型中按照所占比例随机抽取一定的样本．这种抽样方法通常叫作分层抽样，有时也称为类型抽样．
(2)分层抽样的应用范围：
当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样．
(3)在分层抽样中：＝
4．系统抽样
系统抽样是将总体中的个体进行编号，等距分组，在第一组中按照简单随机抽样抽取第一个样本，然后按分组的间隔(称为抽样距)抽取其他样本．这种抽样方法也叫等距抽样或机械抽样．
4.1．系统抽样的步骤
假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本．
(1)先将总体的N个个体编号.
(2)确定分组间隔K，对编号进行分组，当是整数时，取k＝，当不是整数时，随机从总体中剔除余数，再取k＝(N′为从总体中剔除余数后的总数)．
(3)在第1组用简单随机抽样确定第一个个体编号l(l
≤k)．
(4)按照一定的规则抽取样本，通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号(l＋k)，再加k得到第3个个体编号(l＋2k)，依次进行下去，直到获取整个样本．
5．三种抽样方法的比较
类别
共同点
各自特点
相互联系
适用范围
简单随机抽样
均为不放回抽样，且抽样过程中每个个体被抽取的机会相等
从总体中逐个抽取
是后两种方法的基础
总体中的个数较少
系统抽样
将总体均分成几部分，按事先确定的规则在各部分中抽取
在起始部分抽样时采用简单随机抽样
元素个数很多且均衡的总体抽样
分层抽样
将总体分成几层，分层按比例进行抽取
各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样
总体由差异明显的几部分组成
6．常用结论
(1)不论哪种抽样方法，总体中的每一个个体入样的概率都是相同的．
(2)分层抽样是按比例抽样，每一层入样的个体数为该层的个体数乘抽样比．
(3)系统抽样入样个体的编号相差分段间隔k的整数倍．
《统计图表、用样本估计总体》
一
相关知识点
1．常用统计图表
(1)频率分布表的画法：
第一步：求极差，决定组数和组距，组距＝；
第二步：分组，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间；
第三步：登记频数，计算频率，列出频率分布表．
(2)频率分布直方图：反映样本频率分布的直方图．
横轴表示样本数据，纵轴表示，每个小矩形的面积表示样本落在该组内的频率．
(3)频率分布折线图和总体密度曲线
①频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图．
②总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线．
(4)茎叶图的画法：
第一步：将每个数据分为茎(高位)和叶(低位)两部分；
第二步：将各个数据的茎按大小次序排成一列；
第三步：将各个数据的叶依次写在其茎的右(左)侧．
茎叶图的优点是可以保留原始数据，而且可以随时记录，这对数据的记录和表示都能带来方便．
2．样本的数字特征
(1)众数：一组数据中出现次数最多的那个数据，叫做这组数据的众数．
(2)中位数：把n个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数．
(3)平均数：把＝称为x1，x2，…，xn这n个数的平均数．
(4)标准差与方差：设一组数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为，则这组数据的标准差和方差分别是
s＝；
s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]．标准差是样本数据到平均数的一种平均距离
(3)方差与标准差相比，都是衡量样本数据离散程度的统计量，但方差因为对标准差进行了平方运算，夸大了样本的偏差程度．
3．常用结论
3.1
频率分布直方图中的常见结论
(1)众数的估计值为最高矩形的中点对应的横坐标．
(2)平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．
(3)中位数的估计值的左边和右边的小矩形的面积和是相等的．
(4)频率分布直方图中各小矩形的面积之和为1.
3.2
频率分布直方图与众数、中位数与平均数的关系
(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数．
(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的．
(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．
3.3
由频率分布直方图进行相关计算时，需掌握的两个关系式
(1)×组距＝频率．
(2)＝频率，此关系式的变形为＝样本容量，样本容量×频率＝频数．
3.4
利用频率分布直方图估计样本的数字特征的方法
(1)中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等，可以估计中位数的值．
(2)平均数：平均数的估计值等于每个小矩形的面积乘以矩形底边中点横坐标之和．
(3)众数：最高的矩形的中点的横坐标．　　　　
3.5
平均数、方差的公式推广
(1)若x1，x2，…，xn的平均数为，则mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均数是m＋a.
(2)数据x1，x2，…，xn的方差为s2.
①数据x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差也为s2；②数据ax1，ax2，…，axn的方差为a2s2.
《变量间的相关关系与统计案例》
一
相关知识点
1．变量间的相关关系
常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是相关关系；与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系．
2．散点图
以一个变量的取值为横坐标，另一个变量的相应取值为纵坐标，在直角坐标系中描点，这样的图形叫做散点图．
3．两个变量的线性相关
(1)正相关：在散点图中，点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关．
(2)负相关：在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域，两个变量的这种相关关系称为负相关．
(3)线性相关关系、回归直线
如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫作回归直线．
4．回归方程
(1)最小二乘法求回归直线，使得样本数据的点到它的距离的平方和最小的方法叫作最小二乘法．
(2)回归方程：直线方程
＝a＋bx，叫做Y对x的回归直线方程，b叫做回归系数．要确定回归直线方程，只要确定a与回归系数b.
方程y＝bx＋a是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的回归方程，其中a，b是待定参数．
5．回归分析
(1)定义：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．
(2)样本点的中心
对于一组具有线性相关关系的数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中(，)称为样本点的中心．
(3)相关系数
r＝，用它来衡量两个变量间的线性相关关系．
当r>0时，表明两个变量正相关；当r<0时，表明两个变量负相关.
r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强.r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系.通常|r|大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性．
重要结论：(1)回归直线必过样本点的中心(，)．
(2)当两个变量的相关系数|r|＝1时，两个变量呈函数关系．
6．独立性检验
(1)分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量．
(2)列联表：列出的两个分类变量的频数表，称为列联表．假设有两个分类变量X和Y，它们的可能取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为
y1
y2
总计
x1
a
b
a＋b
x2
c
d
c＋d
总计
a＋c
b＋d
a＋b＋c＋d
构造一个随机变量χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量．
(3)独立性检验：利用随机变量来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验．
(4)临界值附表：
P(χ2≥k0)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
当χ2>2.706时，有90%的把握说事件A与B有关；
当χ2>3.841时，有95%的把握说事件A与B有关；
当χ2>6.635时，有99%的把握说事件A与B有关；
《数系的扩充与复数的引入》
一
相关知识点
1．复数的有关概念
(1)复数的概念：
形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．
(2)分类：
满足条件(a，b为实数)
复数的分类
a＋bi为实数?b＝0
a＋bi为虚数?b≠0
a＋bi为纯虚数?a＝0且b≠0
a＋bi为非纯虚数?a≠0且b≠0
(3)复数相等：a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．
(4)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭?a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．
(5)复数的模：
向量的模r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝.
2．复数的几何意义
(1)复数z＝a＋bi
复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．
复数z＝a＋bi?a，b∈R?的对应点的坐标为?a，b?，而不是?a，bi?.
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)
平面向量.
3．复数的运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
④除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)．
(2)复数加法的运算定律
设z1，z2，z3∈C，则复数加法满足以下运算律：
①交换律：z1＋z2＝z2＋z1；
②结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
二
常用结论
(1)(1±i)2＝±2i，＝i，＝－i.
(2)－b＋ai＝i(a＋bi)．
(3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N
)；i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N
)．
(4)z·＝|z|2＝||2，|z1·z2|＝|z1|·|z2|，＝，|zn|＝|z|n.
《合情推理与演绎推理》
一
相关知识点
1．合情推理
类型
定义
特点
归纳
推理
根据一类事物的部分对象具有某种特征，推出这类事物的全部对象都具有这种特征的推理
由部分到整体、由个别到一般
类比
推理
由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理
由特殊到特殊
合情
推理
归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理
2.归纳推理的一般步骤
(1)通过观察个别情况发现某些相同性质；
(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想).
3.类比推理的一般步骤
(1)找出两类事物之间的相似性或一致性.
(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想).
4．演绎推理
(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．
(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：
①大前提——已知的一般原理，M是P；
②小前提——所研究的特殊情况，S是M；
③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断，所以，S是P.
《直接证明与间接证明》
一
相关知识点
1．直接证明
综合法
分析法
定义
从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，通过演绎推理，一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明，这样的思维方法称为综合法.
从求证的结论出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等，这样的思维方法称为分析法．
思维过程
由因导果
执果索因
证题步骤
P(已知)?P1?P2?…?Pn?Q(结论)
Q(结论)?Q1?Q2?…?Qn?P(已知)
文字语言
因为…，所以…或由…，得…
要证…，只需证…，即证…
特点
从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理，实际上是要寻找它的必要条件
从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际上是要寻找它的充分条件
符号语言
?
?
2．间接证明
反证法
定义
在证明数学命题时，先假定命题结论的反面成立，在这个前提下，若推出的结果与定义、公理、定理相矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此断定命题的结论成立．这种证明方法叫作反证法．
证明
步骤
(1)作出否定结论的假设；
(2)进行推理，导出矛盾；
(3)否定假设，肯定结论．
适用
范围
(1)否定性命题；
(2)命题的结论中出现“至少”、“至多”、“唯一”等词语的；
(3)当命题成立非常明显，而要直接证明所用的理论太少，且不容易说明，而其逆否命题又是非常容易证明的；
(4)要讨论的情况很复杂，而反面情况很少.
3.常见的结论和反设词
原结论词
反设词
原结论词
反设词
至少有一个
一个都没有
对任意x成立
存

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