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2009年高考全国百所名校数学压轴题精选
AAA. 【青岛市2009年高三教学统一质量检测（理）22．】（本小题满分14分）已知等比数列的前项和为
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设数列满足，为数列 的前项和，试比较 与 的大小，并证明你的结论．
【解析】：（Ⅰ）由得:时，
………………………2分
是等比数列，，得 ……4分
（Ⅱ）由和得……………………6分
……10分
………………………11分
当或时有，所以当时有
那么同理可得：当时有，所以当时有………………………13分
综上：当时有；当时有………………………14分
.【皖东十校09届第一次联考试卷数学（理）22】已知椭圆的离心率为，直线:与以原点为圆心、以椭圆的短半轴长为半径的圆相切.
（I）求椭圆的方程；
（II）设椭圆的左焦点为，右焦点，直线过点且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直于点，线段垂直平分线交于点，求点的轨迹的方程；
（III）设与轴交于点，不同的两点在上，且满足求的取值范围.
【解析】：（Ⅰ）∵
∵直线相切，
∴ ∴ …………3分
∵椭圆C1的方程是 ………………6分
（Ⅱ）∵MP=MF2，
∴动点M到定直线的距离等于它到定点F1（1，0）的距离，
∴动点M的轨迹是C为l1准线，F2为焦点的抛物线 ………………6分
∴点M的轨迹C2的方程为 …………9分
（Ⅲ）Q（0，0），设
∴
∵
∴
∵，化简得
∴ ………………11分
∴
当且仅当 时等号成立 …………13分
∵
∴当的取值范围是……14分
2.【江苏省姜堰中学高三数学阶段调研试卷】（本小题满分16分）函数其中为常数，且函数和的图像在其与坐标轴的交点处的切线互相平行
（1）、求函数的解析式
（2）、若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围。
【解析】：（1） ------2
的图像与坐标轴的交点为，的图像与坐标轴的交点为
由题意得即， ------3
又
------4
（2）由题意
当时，-------6
令
------7
令 ------9
当时，
单调递增。
------10
由在上恒成立，
得 ------12
当时， ------13
可得
单调递增。------14
由在上恒成立，得 ------15
综上，可知 ------16
3.【湖南省长沙一中2008-2009学年高三第八次月考数学（文科）21．】（本小题满分13分）如图，在矩形ABCD中，已知A（2，0）、C（－2，2），点P在BC边上移动，线段OP的垂直平分线交y轴于点E，点M满足
（Ⅰ）求点M的轨迹方程；
（Ⅱ）已知点F（0，），过点F的直线l交点M的轨迹于Q、R两点，且求实数的取值范围.
【解析】：（I）依题意，设P（t,2）（－2≤t≤2），M（x，y）.
当t=0时，点M与点E重合，则M=（0，1）；
当t≠0时，线段OP的垂直平分线方程为：
显然，点（0，1）适合上式 .故点M的轨迹方程为x2=－4(y－1)( －2≤x≤2)
（II）设得x2+4k－2=0.
设Q（x1,y1）、R（x2,y2），则
,.消去x2，得.
解得
4. 【湖北省2009届高三八校联考第二次（理）21.】（本小题满分14分）已知数列中，，，其前项和满足.令.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若，求证：（）；
（Ⅲ）令（），求同时满足下列两个条件的所有的值：①对于任意正整数，都有；②对于任意的，均存在，使得时，.
【解】（Ⅰ）由题意知即……1′
∴
……2′
检验知、时，结论也成立，故.…………3′
（Ⅱ）由于
故
.…………6′
（Ⅲ）（ⅰ）当时，由（Ⅱ）知：，即条件①满足；又，
∴.
取等于不超过的最大整数，则当时，.…9′
（ⅱ）当时，∵，，∴，∴.
∴.
由（ⅰ）知存在，当时，，
故存在，当时，，不满足条件. …12′
（ⅲ）当时，∵，，∴，∴.
∴.
取，若存在，当时，，则.
∴矛盾. 故不存在，当时，.不满足条件.
综上所述：只有时满足条件，故.…………14′
5.【河南省普通高中2009年高中毕业班教学质量调研考试（文）22.】（本小题满分12分）已知点A是抛物线y2＝2px（p>0）上一点，F为抛物线的焦点，准线l与x轴交于点K，已知｜AK｜＝｜AF｜，三角形AFK的面积等于8．
（1）求p的值；
（2）过该抛物线的焦点作两条互相垂直的直线l1，l2，与抛物线相交得两条弦，两条弦
的中点分别为G，H.求｜GH｜的最小值．
【解析】：22．解：（Ⅰ）设，
因为抛物线的焦点，
则.……………………………1分
，………2分
，而点A在抛物线上，
.……………………………………4分
又故所求抛物线的方程为.6分
（2）由，得，显然直线，的斜率都存在且都不为0.
设的方程为，则的方程为.
由 得，同理可得.……………8分
则
=.（当且仅当时取等号）
所以的最小值是8.……………………………………12分
6.【河南省普通高中2009年高中毕业班教学质量调研考试（理）22.】（本小题满分12分）
已知数列满足
（1）求；
（2）已知存在实数，使为公差为的等差数列，求的值；
（3）记，数列的前项和为，求证：.
【解析】：22．解：（1），由数列的递推公式得
，，.……………………………………………………3分
（2）
=
==.……………………5分
数列为公差是的等差数列.
由题意，令，得.……………………7分
（3）由（2）知，
所以.……………………8分
此时=
=，……………………10分
=
>.……………………12分
7.【河北省石家庄市2009年高中毕业班复习教学质量检测（一）22．】（本题满分12分）【理科】已知函数
（I）求的极值；
（II）若的取值范围；
（III）已知
【解析】：（Ⅰ）令得 ……………2分
当为增函数；
当为减函数，
可知有极大值为…………………………..4分
（Ⅱ）欲使在上恒成立，只需在上恒成立，
设
由（Ⅰ）知，，
……………………８分
（Ⅲ），由上可知在上单调递增，
①，
同理 ②…………………………..10分
两式相加得
……………………………………12分
8.【河北省石家庄市2009年高中毕业班复习教学质量检测（一）22．】（本题满分12分）【文科】已知椭圆，双曲线C与已知椭圆有相同的焦点，其两条渐近线与以点为圆心，1为半径的圆相切。
（I）求双曲线C的方程；
（II）设直线与双曲线C的左支交于两点A、B，另一直线l经过点及AB的中点，求直线l在y轴上的截距b的取值范围。
【解析】：（本小题满分12分）（I）设双曲线C的焦点为：
由已知，
，　　　　　　　　　……………2分
设双曲线的渐近线方程为，
依题意，，解得．
∴双曲线的两条渐近线方程为．
故双曲线的实半轴长与虚半轴长相等，设为，则，得，
∴双曲线C的方程为 　　　　　　　　　　　　……………６分.
（II）由，
直线与双曲线左支交于两点，
因此 ………………..９分
又中点为
∴直线的方程为，
令x=0，得，
∵ ∴
∴故的取值范围是． ………………12分．
9.【东北育才学校2009届高三第三次模拟考试（文）22.】 (本小题满分14分)设等比数列{}的前项和，首项，公比.
(Ⅰ)证明：；
(Ⅱ)若数列{}满足，，求数列{}的通项公式；
(Ⅲ)若，记，数列{}的前项和为，求证：当时，.
【解析】：(Ⅰ) ……2分
而 ……………………………………………3分
所以 …………………………………………4分
(Ⅱ),, ……………………………6分
是首项为,公差为1的等差数列,
,即. ………………………………8分
(Ⅲ) 时, , …………………………9分
相减得
, …………………………12分
又因为,单调递增,
故当时, . ……………………………………………………14分
10.【东北育才学校2009届高三第三次模拟考试（理）24.】如右图（1）所示，定义在区间上的函数，如果满足：对，常数A，都有成立，则称函数在区间上有下界，其中称为函数的下界. （提示：图(1)、（2）中的常数、可以是正数，也可以是负数或零）
（Ⅰ）试判断函数在上是否有下界？并说明理由；
（Ⅱ）又如具有右图（2）特征的函数称为在区间上有上界.
请你类比函数有下界的定义，给出函数在区间上有上界的定义，并判断（Ⅰ）中的函数在上是否有上界？并说明理由；
（Ⅲ）若函数在区间上既有上界又有下界，则称函数在区间上有界，函数叫做有界函数．试探究函数 （是常数）是否是（、是常数）上的有界函数？
【解析】：24．（I）解法1：∵，由得，
∵， ∴，-----------------2分
∵当时，，∴函数在（0，2）上是减函数；
当时，，∴函数在（2，＋）上是增函数；
∴是函数的在区间（0，＋）上的最小值点，
∴对，都有，------------------------------------4分
即在区间（0，＋）上存在常数A=32,使得对都有成立，
∴函数在（0，＋）上有下界. ---------------------5分
[解法2：
当且仅当即时“＝”成立
∴对，都有，
即在区间（0，＋）上存在常数A=32,使得对都有成立，
∴函数在（0，＋）上有下界.]
（II）类比函数有下界的定义，函数有上界可以这样定义：
定义在D上的函数，如果满足：对，常数B，都有≤B成立，则称函数在D上有上界，其中B称为函数的上界. -----7分
设则，由（1）知，对，都有，
∴，∵函数为奇函数，∴
∴，∴
即存在常数B=－32，对，都有,
∴函数在（－， 0）上有上界. ---------9分
（III）∵，
由得，∵
∴ ∵ ， ∴，----------10分
∵当时，，∴函数在（0，）上是减函数；
当时，，∴函数在（，＋）上是增函数；
∴是函数的在区间（0，＋）上的最小值点，
---------------------11分
①当时，函数在上是增函数；
∴
∵、是常数，∴、都是常数
令,
∴对，常数A,B,都有
即函数在上既有上界又有下界-------------------------12分
②当 时函数在上是减函数
∴对都有
∴函数在上有界.-------------------------13分
③当时，函数在上有最小值
＝
令,令B=、中的最大者
则对，常数A,B,都有
∴函数在上有界.
综上可知函数是上的有界函数--------------14分
11.【东北育才、天津耀华、大连育明、哈三中2009年四校第一次高考模拟联考（理）22．】（本小题满分12分）如图，已知双曲线=1的两个焦点为F1，F2，两个顶点为A1，A2，点是
（I）求实数的取值范围；
（II）直线PF1，PF2分别与双曲线各交于两点，求以这四个交点为顶点的四边形的面积S的取值范围。
【解析】：（1）A1（-1，0），A2（1，0），F1（-2，0），F2（2，0）
…………4分
（II）设
直线PF1与双曲线交于
直线PF2与双曲线交于
令
…………6分
而
直线PF1与双曲线交于两支上的两点，同理直线PF2与双曲线交于两支上的两点
则…………8分
…………10分
令
递增
又
…………12分
12.【安徽省示范高中皖北协作区2009年高三联考（理）22】（本小题14分）设函数
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）当时，若方程在上有两个实数解，求实数t的取值范围；
（Ⅲ）证明：当m>n>0时，。
【解析】：22、（Ⅰ）
①时， ∴在（—1，+）上市增函数
②当时，在上递增，在单调递减
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在上单调递增，在上单调递减
又 ∴
∴当时，方程有两解
（Ⅲ）要证：只需证
只需证
设， 则
由（Ⅰ）知在单调递减
∴，即是减函数，而m>n
∴，故原不等式成立。
13.【安徽省合肥七中2009届高三第五次月考（理）22．】 (本小题满分14分)
椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，过F1的直线l与椭圆交于A、B两点.
（1）如果点A在圆（c为椭圆的半焦距）上，且|F1A|=c，求椭圆的离心率；
（2）若函数的图象，无论m为何值时恒过定点（b，a），
求的取值范围。
【解析】：（1）∵点A在圆，
由椭圆的定义知：|AF1|+|AF2|=2a，
（2）∵函数
∴
点F1（－1，0），F2（1，0），
①若，
∴
②若AB与x轴不垂直，设直线AB的斜率为k，则AB的方程为y=k（x+1）
由…………（*）
方程（*）有两个不同的实根.
设点A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2是方程（*）的两个根
由①②知
14.【2009年天津市高三年级能力测试（河东卷.理）22. 】（本小题满分14分）如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点，平行于的直线在轴上的截距为，交椭圆于两个不同点
（1）求椭圆的方程；
（2）求的取值范围；
（3）求证直线与轴始终围成一个等腰三角形。
【解析】：（1）设椭圆方程为
则解得所以椭圆方程
（2）因为直线平行于OM，且在轴上的截距为
又，所以的方程为：
由
因为直线与椭圆交于两个不同点，
所以的取值范围是。
（3）设直线的斜率分别为，只要证明即可
设，则
由
可得
而
故直线MA、MB与轴始终围成一个等腰三角形。
15.【2009年上海市普通高等学校春季招生考试20.】设函数，其中为正整数.
（1）判断函数的单调性，并就的情形证明你的结论；
（2）证明：；
（3）对于任意给定的正整数，求函数的最大值和最小值.
【解析】（1）在上均为单调递增的函数. …… 2分
对于函数，设 ，则
，
，
函数在上单调递增. …… 4分
（2） 原式左边
. …… 6分
又原式右边.
. …… 8分
（3）当时，函数在上单调递增，
的最大值为，最小值为.
当时，， 函数的最大、最小值均为1.
当时，函数在上为单调递增.
的最大值为，最小值为.
当时，函数在上单调递减，
的最大值为，最小值为. …… 11分
下面讨论正整数的情形：
当为奇数时，对任意且
，
以及 ，
，从而 .
在上为单调递增，则
的最大值为，最小值为. …… 14分
当为偶数时，一方面有 .
另一方面，由于对任意正整数，有
，
.
函数的最大值为，最小值为.
综上所述，当为奇数时，函数的最大值为，最小值为.
当为偶数时，函数的最大值为，最小值为. …… 18分
16.【2009年高考桂林市、崇左市、贺州市、防城港市联合调研考试(文)22.】（本小题满分12分）
已知点，点在轴上，点在轴的正半轴上，点在直线上，且
满足.
（Ⅰ）当点在轴上移动时，求点的轨迹的方程；
（Ⅱ）设、为轨迹上两点，且>1, >0,，求实数，
使，且.
【解析】：解：（Ⅰ）设点，由得. …………2分
由,得，即. …………… 4分
又点在轴的正半轴上，∴.故点的轨迹的方程是
. …………………………………………………………6分
（Ⅱ）由题意可知为抛物线：的焦点，且、为过焦点的直线与抛物
线的两个交点,所以直线的斜率不为. ……………………………………7分
当直线斜率不存在时，得，不合题意； ……8分
当直线斜率存在且不为时，设，代入得
，
则，解得. …………10分
代入原方程得，由于，所以，由,
得，∴. ……………………………………………………12分
17.【东北三省四市长春、哈尔滨、沈阳、大连第一次联合考试数学(理)22.】 (本小题满分12分) 已知为坐标原点，点、分别在轴、轴上运动，且，动点满足，设点的轨迹为曲线，定点，直线交曲线于另外一点．
(1)求曲线的方程；
(2)求面积的最大值．
【解析】：本小题主要考查直线、椭圆等平面解析几何的基础知识，考查轨迹的求法以及综合解题能力。
解：(1)设，则
∵,∴，∴，
又，∴
∴曲线的方程为
(2)由(1)可知， (4，0)为椭圆的右焦点，设直线方程为
，由消去得，，
∴
∴
，
当，即时取得最大值，
此时直线方程为.
18.【2009年安庆市高三模拟考试（二模）（文）22.】 （本小题满分13分）如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M（2，1），平行于OM的直线L在y轴上的截距为m(m≠0)，L交椭圆于A、B两个不同点。
（1）求椭圆的方程；
（2）求m的取值范围；
（3）求证直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形。
【解析】：（1）设椭圆方程为,则.
∴椭圆方程为 ……………………4分
（2）∵直线l平行于OM，且在y轴上的截距为m, 又KOM=,
，联立方程有
， ∵直线l与椭圆交于A．B两个不同点，
…………8分
（3）设直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，只需证明k1+k2=0即可
设，
则 由
而
故直线MA，MB与x轴始终围成一个等腰三角形. ……………………13分
19.【2009届重庆市南开中学高三总复习检测题（六）】已知数列(错误！不能通过编辑域代码创建对象。)与{错误！不能通过编辑域代码创建对象。)有如下关系：错误！不能通过编辑域代码创建对象。
(1)求数列(错误！不能通过编辑域代码创建对象。}的通项公式。
(2)设错误！不能通过编辑域代码创建对象。是数列{错误！不能通过编辑域代码创建对象。}的前n项和，当n≥2时，求证错误！不能通过编辑域代码创建对象。：
【解析】：（1）错误！不能通过编辑域代码创建对象。错误！不能通过编辑域代码创建对象。
错误！不能通过编辑域代码创建对象。错误！不能通过编辑域代码创建对象。
错误！不能通过编辑域代码创建对象。错误！不能通过编辑域代码创建对象。 （4分）
（2）错误！不能通过编辑域代码创建对象。当n≥2时，错误！不能通过编辑域代码创建对象。,（当且仅当错误！不能通过编辑域代码创建对象。时取等号）且错误！不能通过编辑域代码创建对象。
故错误！不能通过编辑域代码创建对象。
以上式子累和得错误！不能通过编辑域代码创建对象。
错误！不能通过编辑域代码创建对象。错误！不能通过编辑域代码创建对象。
错误！不能通过编辑域代码创建对象。错误！不能通过编辑域代码创建对象。
错误！不能通过编辑域代码创建对象。错误！不能通过编辑域代码创建对象。＜错误！不能通过编辑域代码创建对象。+n
错误！不能通过编辑域代码创建对象。错误！不能通过编辑域代码创建对象。（错误！不能通过编辑域代码创建对象。）得证.
20.【2009届山东省实验中学高三年级第四次综合测试(理)22.】（本小题满分13分） 已知函数
上恒成立.
（1）求的值；
（2）若
（3）是否存在实数m，使函数上有最小值－5？若存在，请求出实数m的值；若不存在，请说明理由.
【解析】：（1）
恒成立
即恒成立
显然时，上式不能恒成立
是二次函数
由于对一切于是由二次函数的性质可得
即
．
（2）
即
当，当．
（3）
该函数图象开口向上，且对称轴为
假设存在实数m使函数区间 上有
最小值－5.
①当上是递增的.
解得舍去
②当上是递减的，而在
区间上是递增的，
即
解得
③当时，上递减的
即
解得应舍去.
综上可得，当时，
函数
21.【2009年3月四县(市)高三调研考试.（文）21．】（本小题满分13分）设三次函数，在处取得极值，其图像在处的切线的斜率为。
（1）求证：；
（2）若函数在区间上单调递增，求的取值范围。
【解析】：（1），由题设，得 ①
②
, ∴
∵， ∴,∴,
由①代入②得，∴，
得，∴或 ③
将代入中，得 ④
由③、④得； 7分
（2）由（1）知， ，
∴方程的判别式有两个不等实根，，
又，∴，，，
当或时，，当时，
∴函数单调增区间是，∴，
由知。
∵函数在区间上单调递增，∴，
∴，即的取值范围是。 13分
22.【2009年3月四县(市)高三调研考试.（理）21．】本小题满分13分）
已知函数
（1）为定义域上的单调函数，求实数的取值范围
（2）当时，求函数的最大值
（3）当时，且，证明：
【解析】：（1）， ∴
因为对，有
∴不存在实数使，对恒成立 2分
由恒成立，∴，
而，所以
经检验，当时，对恒成立。
∴当时，为定义域上的单调增函数 4分
（2）当时，由，得
当时，，当时，
∴在时取得最大值，∴此时函数的最大值为 7分
（3）由（2）得，对恒成立，当且仅当时取等号
当时，，∵，
∴
∴
同理可得，，，
∴
法二：当时（由待证命题的结构进行猜想，辅助函数，求差得之），在上递增
令
在上总有，即在上递增
当时，
即
令由（2）它在上递减 ∴
即
∵
∴，综上成立，其中。
23.【中山市2009届高三第二学期2月四校联考（理）】(本小题满分14分，第Ⅰ小题5分，第Ⅱ小题4分，第Ⅲ小题5分).
数列的各项均为正数，为其前项和，对于任意，总有成等差数列.
(Ⅰ)求数列的通项公式；
(Ⅱ)设数列的前项和为 ，且，求证:对任意实数（是常数，＝2.71828）和任意正整数，总有 2；
(Ⅲ) 正数数列中，.求数列中的最大项.
【解析】：（Ⅰ）解：由已知：对于，总有 ①成立
∴ （n ≥ 2）② …………………1分
①--②得
∴
∵均为正数，∴ （n ≥ 2）
∴数列是公差为1的等差数列 ………3分
又n=1时，， 解得=1
∴.() ……………………………………………5分
（Ⅱ）证明：∵对任意实数和任意正整数n，总有≤.……6分
∴
……………9分
(Ⅲ)解：由已知 ，
易得　
猜想 n≥2 时，是递减数列. ………………………………11分
令
∵当
∴在内为单调递减函数.
由.
∴n≥2 时, 是递减数列.即是递减数列.
又 , ∴数列中的最大项为. …………………………14分
24.【广东省茂名市2009年第一次高考模拟考试（理）21.】（本小题满分14分）
已知数列,,
（Ⅰ）求数列的通项公式
（Ⅱ）当时,求证:
（Ⅲ）若函数满足：
求证：
【解析】： (1) ,两边加得: ,
是以2为公比, 为首项的等比数列. ……①
由两边减得: 是以
为公比, 为首项的等比数列. ……②
①-②得: 所以,所求通项为…………5分
(2) 当为偶数时,
当为奇数时,,,又为偶数
由(1)知, ……………………10分
（3）证明：
又
……12分
………………-14分
25.【江门市2009年高考模拟考试（文）21.】（本小题满分14分）设，函数，，．
⑴当时，求的值域；
⑵试讨论函数的单调性．
【解析】：⑴----------1分，时，----------2分；
当时，，根据指数函数与幂函数的单调性，是单调递增函数--------3分，-------4分。所以时，的值域为-------5分。
⑵依题意-- ---6分。
①，当时，，递减，当时，，递增 ----8分。
②，当时，解得，当时，，递减，当时，，递增。当时，，递增-- ---10分。
③，当时，，递减。当时，解得，当时，，递增，当时，，递减-----12分。
④，对任意，，在每个定义域区间上递减--- --13分。
综上所述，时，在或上单调递增，在上单调递减；时，在上单调递增，在上单调递减；时，在上单调递增，在或上单调递减；时，在每个定义域区间上递减---- -14分。
26.【江门市2009年高考模拟考试（理）21.】（本小题满分12分）已知函数，是常数，．
⑴若是曲线的一条切线，求的值；
⑵，试证明，使．
【解析】：⑴-------1分，解得，或-------2分
当时，，，所以不成立-------3分
当时，由，即，得-----5分
⑵作函数-------6分
，函数在上的图象是一条连续不断的曲线------7分，
------8分
①若，，，使，
即-------10分
②若，，，
，当时有最小值，且当时-------11分，
所以存在（或）从而，使，即-------12分
27.【2009年深圳市高三年级第一次调研考试（理）21．】（本题满分14分）已知函数，为函数的导函数．
（Ⅰ）若数列满足：，（），求数列的通项；
（Ⅱ）若数列满足：，（）．
ⅰ.当时，数列是否为等差数列？若是，请求出数列的通项；若不是，请说明理由；
ⅱ.当时， 求证：．
【解析】：（Ⅰ）， …………………1分
，
即． …………………………3分
， 数列是首项为，公比为的等比数列．
，即． …………………………5分
（Ⅱ）（ⅰ），
．
当时，．
假设，则．
由数学归纳法，得出数列为常数数列，是等差数列，其通项为． …………8分
（ⅱ）， ．
当时，．
假设，则 ．
由数学归纳法，得出数列． …………………………10分
又，
，
即． …………………………12分
．
，
． 　 …………………………14分
28.【天津市汉沽一中2008~2009届第六次月考 (理)22.】（本小题满分14分）已知函数(x∈R)在区间[-1,1]上是增函数（Ⅰ）求实数a的值所组成的集合A（Ⅱ）设关于x的方程的两实数根为x1、x2.
试问:
是否存在实数m,使得不等式对任意a∈A及t∈[-1,1]恒成立 若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由
【解析】：
（Ⅰ）
因为函数f(x)在区间[-1,1]上是增函数,所以f‘(x)≥0在区间x∈[-1,1]恒成立
即有x2-ax-2≤0在区间[-1,1]上恒成立。 构造函数g(x)=x2-ax-2
∴满足题意的充要条件是：
所以所求的集合A[-1，1] ………(7分)
（Ⅱ）由题意得：得到：x2-ax-2=0………(8分)
因为△=a2+8>0 所以方程恒有两个不等的根为x1、x2由根与系数的关系有：……(9分)
因为a∈A即a∈[-1，1]，所以要使不等式对任意a∈A及t∈[-1,1]恒成立，当且仅当对任意的t∈[-1,1]恒成立……(11分)
构造函数φ（x）=m2+tm-2=mt+(m2-2) ≥0对任意的t∈[-1,1]恒成立的充要条件是
m≥2或m≤-2.故存在实数m满足题意且为
{m| m≥2或m≤-2}为所求 （14分）
29.【安徽省蚌埠市第二次教学质量检查考试(理)22.】（本小题满分14分）数列和数列由下列条件确定：
①；
②当时，与满足如下条件：当时，；当时，。
解答下列问题：
（Ⅰ）证明数列是等比数列；
（Ⅱ）求数列的前n项和为；
（Ⅲ）是满足的最大整数时，用表示n的满足的条件。
【解析】：（Ⅰ）当时，
当时，
所以不论哪种情况，都有，又显然，
故数列是等比数列
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，故
所以，
所以，，
（Ⅲ）当时，
由②知不成立，故从而对于，有，于是 ，故
若，
若，则
所以，这与n是满足的最大整数矛盾。
因此n是满足的最小整数，
而
因而，n是满足最小整数。
30.【上 海 市2009年高三十四校联考模拟试卷(理) 21.】（本题20分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题6分，第4小题4分）
我们知道，判断直线与圆的位置关系可以用圆心到直线的距离进行判别，那么直线与椭圆的位置关系有类似的判别方法吗？请同学们进行研究并完成下面问题。
（1）设F1、F2是椭圆的两个焦点，点F1、F2到直线的距离分别为d1、d2，试求d1·d2的值，并判断直线L与椭圆M的位置关系。
（2）设F1、F2是椭圆的两个焦点，点F1、F2到直线 （m、n不同时为0）的距离分别为d1、d2，且直线L与椭圆M相切，试求d1·d2的值。
（3）试写出一个能判断直线与椭圆的位置关系的充要条件，并证明。
（4）将（3）中得出的结论类比到其它曲线，请同学们给出自己研究的有关结论（不必证明）。
【解析】：21．（本题20分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题6分，第4小题4分）
（1）； ………………2分
联立方程； …………3分
与椭圆M相交。 …………4分
（2）联立方程组
消去
（3）设F1、F2是椭圆的两个焦点，点F1、F2到直线
的距离分别为d1、d2，且F1、F2在直线L的同侧。那么直线L与椭圆相交的充要条件为：；直线L与椭圆M相切的充要条件为：；直线L与椭圆M相离的充要条件为：　……14分
证明：由（2）得，直线L与椭圆M相交
命题得证。
（写出其他的充要条件仅得2分，未指出“F1、F2在直线L的同侧”得3分）
（4）可以类比到双曲线：设F1、F2是双曲线的两个焦点，点F1、F2到直线距离分别为d1、d2，且F1、F2在直线L的同侧。那么直线L与双曲线相交的充要条件为：；直线L与双曲线M相切的充要条件为：；直线L与双曲线M相离的充要条件为：………………20分
（写出其他的充要条件仅得2分，未指出“F1、F2在直线L的同侧”得3分）。（持续更新优化中... ...）
20090327
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