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直线和圆，圆和圆位置关系问题的类型与解法
直线和圆，圆和圆位置关系问题是近几年高考的热点内容之一。纵观近几年的高考数学试卷，归结起来直线和圆，圆和圆的位置关系问题主要包括：①判定直线与圆的位置关系；②已知直线与圆的位置关系，求直线方程或圆方程中参数的值或取值范围；③判定圆与圆的位置关系；④已知圆与圆的位置关系，求圆方程中参数的值或取值范围等几种类型。各种类型问题结构上具有一定的特征，解答方法也各不相同，那么在实际解答直线和圆，圆和圆位置关系问题时，到底应该如何抓住问题的结构特征，快捷，准确地给予解答呢？下面通过典型例题的详细解析来回答这个问题。
【典例1】解答下列问题：
1、设直线kx-y+1=0被圆O：=4所截弦的中点的轨迹为C，则曲线C与直线x+y-1=0的位置关系为（
）
A
相交
B
相切
C
相离
D
不确定
【解析】
【知识点】①求点轨迹方程的基本方法；②判定直线与圆位置关系的基本方法。
【解题思路】运用求点轨迹方程的基本方法求出曲线C的方程，利用判定直线与圆位置关系的基本方法就可得出选项。
【详细解答】直线kx-y+1=0过定点（0，1），把点（0，1）代入圆O：=4可知点（0，1）在圆O内，所截弦中点与点（0，1）的连线垂直过弦中点的直径，所截弦的中点的轨迹C是以点（0，0）和点（0，1）为直径的圆，曲线C的方程为：+=，
点（0，）到直线x+y-1=0的距离d=
=
<
，曲线C与直线x+y-1=0相交，A正确，选A。
2、与曲线=（y-1）(3-y)相切，且在两坐标轴上的截距相等的直线共有
条；
【解析】
【知识点】①判定直线与圆位置关系的基本方法；②求直线方程的基本方法。
【解题思路】设直线的方程为x+y=a，运用直线与曲线相切的性质得到关于参数a的方程，求解方程求出参数a的值，从而得到符合问题条件的直线方程就可得出结论。
【详细解答】设直线的方程为x+y=a，直线与曲线=（y-1）(3-y)相切，（0，2）到直线x+y=a的距离为：d=
=
=1，a=2-或a=2+，当a=0时，有两条直线与曲线=（y-1）(3-y)相切，符合问题条件的直线有4条。
3、已知直线l：2mx-y-8m-3=0和圆C：-6x+12y+20=0。
（1）mR时，证明：l与C总相交；
（2）m取何值时，l被C截得的弦长最短？求此时弦长。
【解析】
【知识点】①判定直线与圆位置关系的基本方法；②点到直线的距离公式及运用；③圆的定义与性质。
【解题思路】（1）运用判定直线与圆位置关系的基本方法，结合问题条件就可证明结论；（2）运用点到直线的距离公式和圆的性质得到关于参数m的方程，求解方程求出m的值，从而求出此时的弦长。
【详细解答】（1）圆C：-6x+12y+20=0
+
=25，直线l：2mx-y-8m-3=0过定点（4，-3），把点（4，-3）代入圆的方程得：1+9=10<25，点（4，-3）在圆C的内部，
mR时，直线l：2mx-y-8m-3=0与
圆C总相交；（2）设直线l与圆C相较于A，B两点，当直线l：2mx-y-8m-3=0垂直于过点（4，-3）的直径时，l被C截得的弦长最短，2m.
=-1，m=-，当m=-时，l被C截得的弦长最短，此时点（3，-6）到直线l的距离为：d==，+10=25，|AB|=2。
『思考问题1』
（1）【典例1】是直线与圆的位置关系判定的问题，解决这类问题需要掌握判定直线与圆位置关系的基本方法；
（2）判定直线与圆的位置关系主要有两种方法：①代数方法；②几何方法；
（3）代数方法的基本方法是：①由直线方程与圆方程联立消去y得到关于x的一元二次方程；②求出一元二次方程判别式的值；③根据一元二次方程判别式的值确定一元二次方程解的情况；④得出结果；
（4）几何方法的基本方法是：①把圆方程化为标准方程；②确定圆心坐标和圆的半径；③运用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离；④将求出距离与圆半径比较并得出结果；
（5）在实际解决问题时，到底选用哪种方法，应该根据题给条件来确定：①如果圆心坐标容易求出，则首先考虑几何判断法；②如果圆心坐标不容易求出，则首先考虑代数判断法。
〔练习1〕解答下列问题：
1、求与直线x+y-2=0和圆-12x-12y+54=0都相切，且半径最小的圆的方程；
2、已知圆C：=25，直线L：（2m+1）x+(m+1)y-7m-4=0(m∈R).
（1）证明不论m取什么实数，直线L与圆恒相交；
（2）求直线被圆C截得的弦长最小时，直线L的方程；
3、已知圆C：-2x-2y+1=0，直线L与圆C相切，且交X轴、Y轴于A、B两点，O为坐标原点，且|OA|=a，|OB|=b（a＞2,b＞2）。
（1）求证圆C与直线L相切的条件是(a-2)(b-2)=2；
（2）求线段AB的中点的轨迹方程；
（3）求面积的最小值；
【典例2】解答下列问题：
1、y=kx+3与圆+=4相交于M、N两点，若|MN|2，则k的取值范围是（
）
A
（-
，-
］
B
［-
,0］
C
［-
,
］
D
[-，0]
【解析】
【知识点】①判定直线与圆位置关系的基本方法；②圆的定义与性质。
【解题思路】运用直线与圆相交的性质和圆的性质，结合问题条件得到关于参数k的不等式组，求解不等式组求出参数k的取值范围就可得出选项。
【详细解答】
直线y=kx+3与圆+=4相交于M、N两点，|MN|2，点（3，2）到直线y=kx+3的距离d=
=
，<2且16-
12，-k0，k的取值范围是[-，0]，D正确，选D。
2、a，b为正实数，x+y+a=0与圆+=2相切，则的最小值是
A
2
B
4
C
6
D
8
【解析】
【知识点】①判定直线与圆位置关系的基本方法；②基本不等式及运用。
【解题思路】运用直线与圆相切的性质，结合问题条件得到关于参数a，b的等式，利用基本不等式求出的最小值直线就可得出选项。
【详细解答】
x+y+a=0与圆+=2相切，点（b，1）到直线x+y+a=0的距离d=
=
=
，a+b=1，
a，b为正实数，1-b>0，
===2（1-b）+2+2+
22+24，的最小值,4，B正确，选B。
3、若直线x-y+m=0与圆-2x-2=0相切求实数m的值；
【解析】
【知识点】①圆标准方程与一般方程互化的基本方法；②判定直线与圆位置关系的基本方法。【解题思路】运用圆标准方程与一般方程互化的基本方法把圆的方程化为标准方程，根据直线与圆相切的性质，结合问题条件得到关于参数m的方程，求解方程就可求出m的值。
【详细解答】圆-2x-2=0
+
=3，直线x-y+m=0与圆-2x-2=0相切，点（1，0）到直线x-y+m=0的距离d==
=，m=或m=-3，实数m的值为m=或m=-3。
4、已知点M（3，1），直线ax-y+4=0及圆+=4。
（1）求过点M的圆的切线方程；
（2）若直线ax-y+4=0与圆相切，求a的值；
（3）若直线ax-y+4=0与圆相交于A，B两点，且弦AB的长为2，求a的值。
【解析】
【知识点】①求圆切线方程的基本方法；②判定直线与圆位置关系的基本方法；③圆的定义与性质。
【解题思路】（1）运用求圆相切的基本方法，结合问题条件就可求出所求切线的方程；（2）运用直线与圆相切的性质得到关于参数a的方程，求解方程就可求出参数a的值；（3）利用直线与圆相交的性质和圆的性质得到关于参数a的方程，求解方程就可求出参数a的值。
【详细解答】（1）设过点M（3，1）的切线方程为：x=my+2，直线x=my+2与圆+=4相切，点（1，2）到直线x=my+2的距离d=
=
=2，m=，过点M的圆的切线方程为：4x-3y-8=0；（2）直线ax-y+4=0与圆相切，
点（1，2）到直线ax-y+4=0的距离d===2，a=0或a=，a的值为a=0或a=；（3）若直线ax-y+4=0与圆相交于A，B两点，且弦AB的长为2，
点（1，2）到直线ax-y+4=0的距离d==，3+=4，a=-，a的值为-。
『思考问题2』
（1）【典例2】是已知直线与圆的位置关系，求直线方程或圆方程中参数的值或取值范围的问题，解决这类问题的主要依据是直线与圆的位置关系的类型及特征；
（2）求过已知点与圆相切的直线方程的问题包括两种类型：①已知的在圆上；②已知点在圆外；所以解决这类问题时首先要判断已知点在圆上还是在圆外确定问题的类型，再按类型的特征并结合直线方程的求法解答问题；
（3）若已知点在圆上，可按如下步骤求出过已知点与圆相切的直线方程：①求出已知点与圆心连线的斜率；②根据切线与连线垂直得到切线的斜率；③运用点斜式求出切线的方程；
（4）若已知点在圆外，可按如下步骤求出过已知点与圆相切的直线方程：①分切线的斜率存在和不存在两种情况考虑；②切线的斜率不存在时，切线方程为x=t(t是已知点的横坐标)；③当切线的斜率存在时，处理方法有几何法和代数法两种；④几何法，设切线的斜率为k，由点斜式写出切线带参数k的方程；根据圆心到切线的距离等于半径得到含k的方程，解方程求出k的值，再把它代入切线方程即可；⑤代数法，设切线的斜率为k，由点斜式写出切线带参数k的方程；由切线方程和圆的方程组成方程组，消去y得到关于x的一元二次方程；根据直线与圆相切的特征可知该方程有相等的两个实数根，从而推出判别式等于0，得到关于k的方程，解方程求出k的值，再把它代入切线方程即可；
(5)与圆的弦长相关的问题解决的方法有几何法和代数法两种；
（6）几何法是把问题转化到由弦长的一半，半径和圆心到弦所在直线的距离组成的直角三角形，借助于勾股定理来解答问题；
（7）代数法是由切线方程和圆的方程组成方程组，消去y得到关于x的一元二次方程；设该方程的两根分别为，，利用韦达定理得到+和，再运用弦长公式：|AB|=
（其中k为切线的斜率）。
〔练习2〕解答下列问题：
1、若圆+
=
（r＞0）上有且仅有两点到直线4x+3y+2=0的距离等于1，则实数r的取值范围为（
）
A
（4，6）
B
［4,6］
C
［5,7］
D
（5，7）
2、若过点A（4，0）的直线L与圆=1有公共点，求直线L斜率的取值范围；
3、若直线y=x+b与曲线y=3-
恰有两个不同的公共点，则b的取值范围是
（成都实验外语学校西区2016—2017学年度上期高二数学期中考试）
4、已知圆C：-2x-2y+1=0，直线L与圆C相切，且交X轴、Y轴于A、B两点，O为坐标原点，且|OA|=a，|OB|=b（a＞2,b＞2）。
（1）求证圆C与直线L相切的条件是(a-2)(b-2)=2；
（2）求线段AB的中点的轨迹方程；
（3）求面积的最小值；
【典例3】解答下列问题：
1、圆+=4与圆+=9的位置关系是（
）
A
内切
B
相交
C
外切
D
相离
【解析】
【知识点】①判定圆与圆位置关系的基本方法；②两点之间的距离公式及运用。
【解题思路】运用两点之间的距离公式求出圆心距，利用判定圆与圆位置关系的基本方法判定两圆的位置关系就可得出选项。
【详细解答】点（-2，0）和点（2，1）之间的距离3-2=1=
<2+3=5，圆+=4与圆+=9相交，B正确，选B。
2、一动圆过点A（0，0）且与圆=4（a＞0,c＞0,且a≠c）相切，求动圆圆心的轨迹方程；
【解析】
【知识点】①判定圆与圆位置关系的基本方法；②求点轨迹方程的基本方法。
【解题思路】设动圆圆心的坐标为M（x，y），已知圆心B（-c，0），运用两圆相切的性质，结合问题条件就可得到点M（x，y）的轨迹方程。
【详细解答】设动圆圆心的坐标为M（x，y），已知圆心B（-c，0），①当c>a时，圆M与圆B外切，
|MB|=
=
，|MA|=
=
，=+2a，-=2a，点M（x，y）的轨迹方程为：-
=1；②当c=2a-，+=2a，点M（x，y）的轨迹方程为：
+=1。
『思考问题3』
(1)
【典例3】是与两圆的位置关系相关的问题，解决这类问题需要掌握判定圆与圆位置关系的基本方法，分辨清楚圆与圆关系五种类型的基本特征；
（2）圆与圆的位置关系问题中涉及到两圆的圆心距和两圆的半径，实际解答问题时应该考虑把圆的方程都化成标准方程的形式。
〔练习3〕解答下列问题：
1、圆：=1与圆：-6x+8y+9=0，则两圆的位置关系为（
）
A
相交
B
外切
C
内切
D
相离
2、已知圆：+=1，圆：+=9，M，N分别是圆，上的动点，P为X轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为（
）
A
5-
4
B
-1
C
6-2
D
【典例4】解答下列问题：
1、若圆=1与圆-6x-8y+m=0外切，则m=（
）
A
21
B
19
C
9
D
-11
【解析】
【知识点】①判定圆与圆位置关系的基本方法；②圆标准方程与一般方程互化的基本方法；③两点之间的距离公式及运用。
【解题思路】运用圆标准方程与一般方程互化的基本方法把圆化为标准方程，利用两圆外切的性质，结合问题条件得到关于参数m的方程，求解方程求出参数m的值就可得出选项。
【详细解答】圆-6x-8y+m=0
+
=25-m，圆=1与圆-6x-8y+m=0外切，点（0，0）与点（3，4）之间的距离d=
=5=1+，m=9，若圆=1与圆-6x-8y+m=0外切，则m=9，
C正确，选C。
2、已知圆：+=与圆：+=外切，则圆与圆的周长之和为（
）
A
6
B
12
C
18
D
24
【解析】
【知识点】①判定圆与圆位置关系的基本方法；②两点之间的距离公式及运用。
【解题思路】运用两点之间的距离公式求出两圆的圆心距，利用两圆外切的性质，结合问题条件得到关于参数，的等式，根据这个等式通过运算求出圆与圆的周长之和就可得出选项。
【详细解答】点（-2，0）与点（4，0）之间的距离d=4-（-2）=4+2=6，圆：+=与圆：+=外切，,+=6，圆的周长为2，圆的周长为2，
圆与圆的周长之和=2+2=2（+）=12，B正确，选B。
『思考问题4』
(1)
【典例4】是已知两圆的位置关系，求圆方程中参数的值或取值范围的问题，解决这类问题需要掌握判定圆与圆位置关系的基本方法，分辨清楚圆与圆关系五种类型的基本特征；
（2）圆与圆的位置关系问题中涉及到两圆的圆心距和两圆的半径，实际解答问题时应该考虑把圆的方程都化成标准方程的形式；
（3）解答该类问题时，通常用到解方程和解不等式的基本方法，掌握方程和不等式的基本知识点是解答问题的基础，应该引起重视。
〔练习4〕解答下列问题：
1、若⊙O：=5与⊙：=20（m∈R）相交于A、B两点，且两圆在A点处的切线互相垂直，则线段AB的长度是
；
2、若圆=4与圆+2ay-6=0(a＞0)的公共弦长为2，则a=
。
【典例5】解答下列问题：
1、已知曲线C：x=1+cos（为参数），若直线x+y=2与曲线C相交于点A，B，
y=sin，则|AB|的值为（
）
A
B
C
1
D
【解析】
【知识点】①参数方程化普通方程的基本方法；②判定直线与圆位置关系的基本方法；③计算弦长的基本方法。
【解题思路】运用参数方程化普通方程的基本方法把曲线C化为普通方程，根据直线与圆相交的性质，结合问题条件，利用特殊直角三角形求出|AB|的值就可得出选项。
【详细解答】曲线C：x=1+cos（为参数），+=1，点（1，0）到直线
y=sin，x+y=2的距离d==，
+=1，|AB|=1，C正确，选C。,
2、已知a
R，且为常数，圆C：+2x+-2ay=0，过圆C内一点(1，2)的直线l与圆C相较于A，B两点，当ACB最小时，直线l的方程为2x-y=0，则a的值为（
）
A
2
B
3
C
4
D
5
【解析】
【知识点】①圆标准方程与一般方程互化的基本方法；②判定直线与圆位置关系的基本方法；③求直线方程的基本方法。
【解题思路】运用圆标准方程与一般方程互化的基本方法把圆C化为标准方程，根据直线与圆相交的性质，结合问题条件，利用特殊直角三角形得到关于参数a的方程，求解方程求出参数a的值就可得出选项。
y
【详细解答】如图，设M（1，2），当CM
AB时，
A
ACB最小，圆C：+2x+-2ay=0，+
=1+，C（-1，a），2=-1，
x
a=3，B正确，选B。
B
3、直线x+y+2=0分别与X轴，Y轴交于A，B两点，点P在圆+=2上，则ABP面积的取值范围是（
）
A
［2
，6］
B
［4
，8］
C
（，3）
D
［2
，3］
【解析】
【知识点】①圆标准方程与参数方程互化的基本方法；②点到直线的距离公式及运用；③求三角函数最值的基本方法；④计算三角形面积的基本方法。
【解题思路】运用圆标准方程与参数方程互化的基本方法把圆方程化为参数方程，根据点到直线的距离公式得到点P到直线x+y+2=0距离的三角函数表示式，利用求三角函数最值的基本方法求出点P到直线x+y+2=0距离的最大值与最小值，从而求出ABP面积的取值范围就可得出选项。
x=2+cos(为参数)，
【详细解答】圆+=2，
y=sin，点P在圆+=2上，点P
(2+cos，sin)，点P到直线x+y+2=0距离为d=
=，d的最大值为3，最小值为，A（-2，0），B（0，-2），
|AB|==2，=2d=d，的最大值为
3=6，最小值为=2，ABP面积的取值范围是[2，6]，A正确，选A。
4、直线y=x+1与圆+2y-3=0交于A，B两点，则|AB|=
；
【解析】
【知识点】①圆标准方程与一般方程互化的基本方法；②判定直线与圆位置关系的基本方法；③计算弦长的基本方法。
【解题思路】运用圆标准方程与一般方程互化的基本方法把圆C化为标准方程，根据直线与圆相交的性质，结合问题条件，利用特殊直角三角形就可求出|AB|的值。
【详细解答】圆+2y-3=0，+=4，点（0，-1）到直线y=x+1的距离为：d=
=，+2=4，|AB|=2。
5、已知点A（1，2），B（2，1），C（2，3）在圆E上，过点P（1，0）的直线l与圆E相切。
（1）求圆E的方程；
（2）求直线l的方程。
【解析】
【知识点】①求圆标准方程的基本方法；②判定直线与圆位置关系的基本方法；③求直线方程的基本方法。
【解题思路】（1）运用求圆标准方程的基本方法，结合问题条件就可求出圆E的方程；（2）设过点P（1，0）的直线l的方程为：x=my+1，根据直线l
与圆E相切的性质得到关于参数m的方程，求解方程得出m的值就可求出直线l的方程。
【详细解答】（1）设圆E的方程为：+=，点A（1，2），B（2，1），C（2，3）在圆E上，+=，
a=2，圆E的方程的方程为：
+=，
b=2，+=1；（2）
+=，
=1，设过点P（1，0）的直线l的方程为：x=my+1，直线l
与圆E相切，点E（2，2）到直线l
：x=my+1的距离d=
=
=1，m=0或m=，直线l的方程为：x=1或3x-4y-3=0。
『思考问题5』
(1)
【典例5】是直线与圆和圆与圆问题在近几年的高考或高三诊断考试中出现的题型，解答这类问题需要分辨清楚问题的类型，抓住问题结构上的特征，选用恰当的方法给予解答；
（2）纵观近几年的高考数学试卷，归结起来直线和圆，圆和圆的位置关系问题主要包括：①判定直线与圆的位置关系；②已知直线与圆的位置关系，求直线方程或圆方程中参数的值或取值范围；③判定圆与圆的位置关系；④已知圆与圆的位置关系，求圆方程中参数的值或取值范围等几种类型；
（3）具体解答该类问题时，应该首先根据问题条件分辨清楚问题所属的类型，然后运用该种类型问题解答的基本方法对问题给予解答。
〔练习5〕解答下列问题：
1、设圆：=4与圆：+=9，则圆与圆的位置关系是（
）
A
外离
B
外切
C
相交
D
内含
2、已知P（1，2）点为圆+=9的弦AB的中点，则直线AB的方程为（
）
A
x-y-3=0
B
x+y+3=0
C
x+y-3=0
D
x-y+3=0
3、在平面直角坐标系XOY中，A为直线l：y=2x上在第一象限内的点，B（5，0），以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D，若.=0，则点A的横坐标为
；
4、直线y=x-1与圆-2y-3=0交于A，B两点，则|AB|=
；
5、已知直线3x-4y+m=0与圆C：+=9交于不同的两点A，B，若|+|
||，则实数m的取值范围是
；
6、若经过坐标原点O的直线l与圆-4y+3=0相交于不同的两点A，B，则弦AB的中点M的轨迹方程为
。
C
M
O

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