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与圆锥曲线焦点弦相关的一个优美结论
众所周知，焦点弦的性质能够体现圆锥曲线几何特征，是研究圆锥曲线时的主要对象之一，在历届高考中也占有重要的地位．笔者根据焦点弦所在直线的倾斜角、焦点分焦点弦所成的比以及圆锥曲线的离心率之间的关系得出一个优美结论，并结合高考试题彰显了它的重要作用，希望能和读者共勉．
一．结论及证明
定理
已知焦点在轴上的圆锥曲线，经过其焦点的直线交曲线于、两点，直线的倾斜角为，，则曲线的离心率满足等式：
．
下面以椭圆为例证明之．
证明：如图1，弦过椭圆的左焦点，左准线为，由
可设，()，
当直线的倾斜角为锐角时，如图（），显然，
分别过两点作、，垂足分别为，
过点作，由椭圆的第二定义可得
，
在中，，故，
如果点、的位置互换，则，则有．
当直线的倾斜角为钝角时，如图（），显然，
同理在中，可得，故，
如果点、的位置互换，则，则有．
当直线的倾斜角为直角时，显然且，等式成立；
当直线的倾斜角时，弦为椭圆长轴，显然易得原等式也成立．
综上，在椭圆中等式恒成立．证毕．
当圆锥曲线为双曲线（如图2）时，同样可以证明等式成立；当曲线为抛物线（如图3）时，离心率，等式简化为（其中）．
总之，在任意圆锥曲线中，对于其焦点弦所在直线的倾斜角，焦点分对应弦的比值（），总有等式成立，它将看似没有必然联系的三个量有机地结合在一起，显得如此和谐、优美，更加体现了数学的魅力．
由于在解决具体的数学问题中，大多遇到的焦点弦的斜率是存在且不为0的，所以，根据直线的倾斜角和斜率的关系，不难得出：
推论1
已知焦点在轴上的圆锥曲线，经过其焦点的直线交曲线于、两点，直线的斜率为（），，则曲线的离心率满足等式
．
当圆锥曲线的焦点在轴上时，同理还可得
推论2
已知焦点在轴上的圆锥曲线，经过其焦点的直线交曲线于、两点，若直线的倾斜角为，斜率为（），，则曲线的离心率满足等式，．
（推论的证明从略，读者可以自行完成．）
二．结论的应用
例1．（2008年全国Ⅱ卷）已知是抛物线的焦点，过且斜率为1的直线交于，两点设，则与的比值等于
．
解析：焦点弦所在直线的倾斜角为，，则由定理可得，
所以．
例2．（2008年江西卷）过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，与抛物线分别交于、两点（在轴左侧），则
．
解析：根据抛物线的对称性知，设，由推论2可得，
所以．
例3．（2009年全国Ⅰ卷）已知双曲线的右焦点为，过且斜率为的直线交于两点，若，则的离心率为
（
）
A．
B．
C．
D．
解析：由推论1得，故选A．
例4．（2010全国Ⅱ卷文理）已知椭圆的离心率为，过右焦点且斜率为（）的直线与相交于两点若，则（
）
A．1
B．
C．
D．2
解析：由推论1得，解得，故选B．
例5．（2010全国Ⅰ卷文理）已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交于点，且，则的离心率为
．
解析：如图4，由题意可得，，
设直线的倾斜角为，则，
由定理可得，
所以．
由此可见，本文的结论在解决与圆锥曲线焦点弦相关的问题时非常快捷，既避免了繁琐的代数运算，又节省了不少时间，可谓是圆锥曲线有力工具之一．
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