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(共13张PPT)
9.2　正弦定理与余弦定理的应用
实际测量中的有关名称、术语
名称
定义
图示
仰角
在同一铅垂平面内,视线在水平线上方时与水平线的夹角
名称
定义
图示
俯角
在同一铅垂平面内,视线在水平线下方时与水平线的夹角
名称
定义
图示
方向角
从指定方向线到目标方向线的水平角(指定方向线是指正北或正南或正东或正西,方向角小于90°)
名称
定义
图示
方位角
从正北的方向线按顺时针到目标方向线所转过的水平角
【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)已知三角形的三个角,能够求其三条边
(　　)
(2)两个不可到达的点之间的距离无法求得
(　　)
(3)方位角和方向角是一样的
(　　)
提示:(1)×.要解三角形,至少知道这个三角形的一条边长.
(2)×.两个不可到达的点之间的距离我们可以借助第三个点和第四个点量出角度、距离求得.
(3)×.方位角是指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角,而方向角是以观测者的位置为中心,将正北或正南方向作起始方向旋转到目标方向线所成的角(一般指锐角).
2.如图,在河岸AC测量河的宽度BC,测量下列四组数据,较适宜的是
(　　)
A.γ,c,α
B.b,c,α
C.c,α,β
D.b,α,γ
【解析】选D.a,c均隔河,故不易测量,测量b,α,γ更合适.
3.两灯塔A,B与海洋观察站C的距离都等于a
km,灯塔A在C北偏东30°,B在C南偏东60°,则A,B之间的距离为
(　　)
【解析】选A.在△ABC中,AC=BC=a
km,∠ACB=90°,所
以AB=
a
km.9.2
正弦定理与余弦定理的应用
课堂检测·素养达标
1.学校体育馆的人字屋架为等腰三角形,如图,测得AC的长度为4
m,∠A=30°,则其跨度AB的长为
(　　)
A.12
m
B.8
m
C.3
m
D.4
m
【解析】选D.由题意知,∠A=∠B=30°,
所以∠C=180°-30°-30°=120°,
由正弦定理得=,
即AB===4m.
2.(2019·洛阳高二检测)一艘船自西向东匀速航行,上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68
n
mile的M处,下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处,则这只船的航行速度为
(　　)
A.
n
mile/h
B.34
n
mile/h
C.
n
mile/h
D.34
n
mile/h
【解析】选A.如图所示,在△PMN中,=,
所以MN==34,所以v==
n
mile/h.
3.(2019·杭州高一检测)如图所示,设A,B两点在河的两岸,一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C,测出AC的距离为50
m,∠ACB=45°,∠CAB=105°后,就可以计算出A,B两点的距离为
(　　)
A.50
m
B.50
m
C.25
m
D.
m
【解析】选A.由正弦定理得=,
又因为∠ABC=30°,所以AB===50(m).
4.如图,某人向正东方向走了x千米,然后向右转120°,再朝新方向走了3千米,结果他离出发点恰好千米,那么x的值是________.?
【解析】由余弦定理得x2+9-3x=13,
整理得x2-3x-4=0,解得x=4(舍负).
答案:4
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1
-9.2
正弦定理与余弦定理的应用
关键能力·素养形成
类型一　测量高度问题
【典例】(2019·东莞高一检测)如图,测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个观测点C与D,测得∠BCD=15°,∠BDC=30°,CD=30,并在点C测得塔顶A的仰角为60°,则塔高AB等于
(　　)
A.5
B.15
C.5
D.15
【思维·引】在△BCD中,由正弦定理求BC,在Rt△ABC中,求塔高AB.
【解析】选D.在△BCD中,∠CBD=180°-15°-30°=135°.
由正弦定理得=,所以BC=15.
在Rt△ABC中,∠ACB=60°,AB=BCtan
∠ACB=15×=15.
【内化·悟】
1.求高度问题一般应用什么思想方法?
提示:应用转化的思想方法,把立体问题平面化,即转化到三角形中来解决问题.
2.解三角形时,如何根据条件选择应用正弦定理和余弦定理?
提示:根据题目条件和所求,以及定理的作用选用.如已知三边求角,可以用余弦定理.
【类题·通】
　测量高度问题的解题策略
(1)“空间”向“平面”的转化:测量高度问题往往是空间中的问题,因此先要选好所求线段所在的平面,将空间问题转化为平面问题.
(2)“解直角三角形”与“解斜三角形”结合,全面分析所有三角形,仔细规划解题思路.
【习练·破】
　如图所示,D,C,B在地平面同一直线上,DC=10
m,从D,C两地测得A点的仰角分别为30°和45°,则A点离地面的高AB等于
(　　)
A.10
m　　　　　　　　
B.5
m
C.5(-1)
m
D.5(+1)
m
【解析】选D.方法一:设AB=x
m,则BC=x
m.
所以BD=(10+x)m.所以tan
∠ADB===.
解得x=5(+1).所以A点离地面的高AB=5(+1)m.
方法二:因为∠ACB=45°,所以∠ACD=135°,
所以∠CAD=180°-135°-30°=15°.
由正弦定理得AC=·sin
∠ADC
=·sin
30°=
m,
所以AB=ACsin
45°=5(+1)m.
类型二　测量角度问题
【典例】(2019·合肥高二检测)甲船在A点发现乙船在北偏东60°的B处,乙船以每小时a海里的速度向北行驶,已知甲船的速度是每小时a海里,问甲船应沿着什么方向前进,才能最快与乙船相遇?
世纪
【思维·引】假设两船在C点相遇,甲船沿方向行驶,把问题转化为在三角形ABC内求∠CAB来求解.
【解析】如图所示.
设经过t小时两船在C点相遇,
则在△ABC中,BC=at(海里),AC=at(海里),
B=90°+30°=120°,由正弦定理=,得
sin
∠CAB====,
因为0°<∠CAB<90°,所以∠CAB=30°,
所以∠DAC=60°-30°=30°,所以甲船应沿着北偏东30°的方向前进,才能最快与乙船相遇.
【类题·通】
　测量角度问题的技巧
(1)测量角的大小,可利用测角仪及测距离的钢卷尺等工具结合正弦定理及余弦定理解三角形,能够解决不能直接测得的角的大小的问题.
(2)在利用正弦定理、余弦定理解决航海问题中的综合题时,要根据实际,找出等量关系,画示意图时,要注意方向角的画法.
【习练·破】
　在海岸A处,发现北偏东45°方向,距离A处(-1)n
mile的B处有一艘走私船,在A处北偏西75°的方向,距离A
2
n
mile的C处的缉私船奉命以
10
n
mile/h的速度追截走私船.此时,走私船正以10
n
mile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜,问缉私船沿什么方向能最快追上走私船?
【解析】设缉私船用t
h在D处追上走私船,画出示意图,则有CD=10t,BD=10t,
在△ABC中,因为AB=-1,AC=2,∠BAC=120°,
所以由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos
∠BAC=(-1)2+22-2×(-1)×
2·cos
120°=6,
所以BC=且sin
∠ABC=·sin
∠BAC=×=,
所以∠ABC=45°,BC与正北方向成90°角.
因为∠CBD=90°+30°=120°,在△BCD中,
由正弦定理得sin
∠BCD===,所以∠BCD=30°.
即缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船.
类型三　测量距离问题
角度1　两点不可到达的距离问题
【典例】如图,A,B两点都在河的对岸(不可到达),设计一种测量A,B两点间距离的方法.
世纪
【思维·引】在岸边选定两点C,D,分别在△ADC和△BDC中,构建方程求解.
【解析】测量者可以在河岸边选定两点C,D,测得CD=a,
并且在C,D两点分别测得∠BCA=α,∠ACD=β,
∠CDB=γ,∠BDA=δ,
在△ADC和△BDC中,应用正弦定理得
AC==,
BC==.
计算出AC和BC后,再在△ABC中,
应用余弦定理计算出A,B两点间的距离
AB=.
【素养·探】
　★在利用正弦定理、余弦定理解决实际问题的过程中,经常利用核心素养中的数学建模和数学运算,通过对条件与结论的分析,建立数学模型,应用正弦定理和余弦定理,经过数学运算求解.
对于本例题,你能否给出另外一种测量方法?
【解析】测量者可以在河岸边选定点E,C,D,使A,E,C三点共线,B,E,D三点共线,测得EC=a,ED=b,并且分别测得∠BEC=∠AED=α,∠BCA=β,∠ADB=γ,
在△AED和△BEC中,应用正弦定理得
AE==,
BE==.
在△ABE中,应用余弦定理计算出A,B两点间的距离AB=
.
角度2　两点在障碍物两侧的距离问题
【典例】如图所示,要测量一水塘两侧A,B两点间的距离,先选定适当的位置C,用经纬仪测出角α,再分别测出AC,BC的长b,a,则可求出A,B两点间的距离.
即AB=.若测得CA=400
m,CB=600
m,∠ACB=60°,试计算AB的长.
世纪
【思维·引】在△ABC中,运用余弦定理求解.
【解析】在△ABC中,
由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos
∠ACB,
所以AB2=4002+6002-2×400×600cos
60°=280
000.
所以AB=200(m).
即A,B两点间的距离为200
m.
【类题·通】
　求解距离问题的方法
测量两个不可到达的点之间的距离,一般是把求距离问题转化为应用余弦定理求三角形的边长问题,然后把求未知的另外边长问题转化为只有一点不能到达的两点距离测量问题,运用正弦定理解决.
【发散·拓】
　　　当A,B两点之间的距离不能直接测量时,求A,B两点之间的距离分为以下三类:
(1)两点间不可通又不可视(如图①):可取某点C,使得A,B与C之间的距离可直接测量,测出AC=b,BC=a以及∠ACB=γ,利用余弦定理得:
AB=.
(2)两点间可视但不可到达(如图②):可选取与B同侧的点C,测出BC=a以及
∠ABC和∠ACB,先使用内角和定理求出∠BAC,再利用正弦定理求出AB.
(3)两点都不可到达(如图③):在河边测量对岸两个建筑物之间的距离,可先在一侧选取两点C,D,测出CD=m,∠ACB,∠BCD,∠ADC,∠ADB,再在△BCD中求出BC,在△ADC中求出AC,最后在△ABC中,由余弦定理求出AB.
【延伸·练】
　如图所示,某观测站C在城A的南偏西20°的方向,从城A出发有一条走向为南偏东40°的公路,在C处观测到距离C处31
km的公路上的B处有一辆汽车正沿公路向A城驶去,行驶了20
km后到达D处,测得C,D两处的距离为21
km,这时此车距离A城多少千米?
【解析】在△BCD中,BC=31
km,BD=20
km,
CD=21
km,
由余弦定理得cos
∠BDC===-.
所以cos
∠ADC=,
所以sin
∠ADC==.
在△ACD中,由条件知CD=21
km,
∠BAC=20°+40°=60°,
所以sin
∠ACD=sin(60°+∠ADC)=×+×=.
由正弦定理得=,
所以AD=×=15(km).
故这时此车距离A城15
km.
【习练·破】
　一艘海轮从A处出发,以40
n
mile/h的速度沿南偏东40°方向直线航行,
30
min后到达B处,在C处有一座灯塔,海轮在A处观察灯塔,其方向是南偏东70°,在B处观察灯塔,其方向是北偏东65°,那么B,C两点间的距离是
(　　)
A.10
n
mile
B.10
n
mile
C.20
n
mile
D.20
n
mile
【解析】选A.如图所示,
由已知条件可得∠CAB=30°,∠ABC=105°,
AB=40×=20(n
mile).
所以∠BCA=45°,所以由正弦定理可得=.
所以BC==10
(n
mile).
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