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微元法处理关联速度类问题
因高中教材不讲授相对运动，关联速度也较少进行理论分析，因此，当学生遇到稍微复杂点儿的关联速度类试题时，普遍感觉理解和分析的困难，即便教师着意补充了前两个方面的内容，很多学生还是觉得难以想象。
其实，所有这类问题，全部可以用微元法——用几何图示的方法——直观的展现和计算，这对绝大部分学生来说，就比相对运动、关联速度的思路容易理解得多。
【例1】如图1所示，当小车A以恒定的速度v向左运动时，对于B物体，下列说法正确的是(　　)
A．匀加速上升
B．B物体受到的拉力大于B物体受到的重力
C．匀速上升
D．B物体受到的拉力等于B物体受到的重力
[解析]本题是很常规的绳连接问题，将A车的速度沿绳、垂直绳分解，用沿绳方向分速度相等即可轻松解决。下面以微元法来解本题。
设A车在极短时间内向左运动一小段距离xA，则B的位移与A的位移关系如图所示，由几何关系，有：
两边除以，得
在此基础上，易得B答案正确。
【例2】如图所示，细绳一端固定在天花板上的O点，另一端穿过一张CD光盘的中央小孔后拴着一个橡胶球，橡胶球静止时，竖直悬线刚好挨着水平桌面的边沿．现将CD光盘按在桌面上，并沿桌面边缘以速度v匀速移动，移动过程中，CD光盘中央小孔始终紧挨桌面边线，当悬线与竖直方向的夹角为θ时，小球上升的速度大小为（　　）
A．vsinθ
B．vcosθ
C．vtanθ
D．vcotθ
[解析]本题按常规思路，需要用到相对运动和运动的分解合成，对很多学生来说这是有一定理解困难的。若是采用微元法，则问题却变得简单而直接。
设光盘在极短时间内向右运动一小段位移x，由几何关系易知，小球水平位移也为x，竖直位移为
两边除以时间，得小球上升的速度（竖直速度）为
小球的位移为
两边除以，得小球的速度为
【例3】如图3所示，顶角θ＝60°、光滑V字形轨道AOB固定在竖直平面内，且AO竖直．一水平杆与轨道交于M、N两点，已知杆自由下落且始终保持水平，经时间t速度由6
m/s增大到14
m/s(杆未触地)，则在0.5t时，触点N沿倾斜轨道运动的速度大小为(g取10
m/s2)(　　)
A．10
m/s??
B．17
m/s??
C．20
m/s??
D．28
m/s
[解析]本题按常规思路，需要用到相对运动和运动的分解合成，对很多学生来说这是有一定理解困难的。若是采用微元法，则问题却变得简单而直接。
杆做自由落体运动，0.5t时刻，其竖直下落的速度为
设杆在极短时间内竖直下落位移为x，则由几何关系，有触点N沿倾斜轨道运动的位移为
两边除以，得
【例4】如图所示为竖直黑板，下边为黑板的水平槽，现有一三角板ABC，∠C=30?．三角板上A处固定一大小不计的滑轮，现让三角板竖直紧靠黑板，BC边与黑板的水平槽重合，将一细线一端固定在黑板上与A等高的Q点，另一端系一粉笔头（可视为质点）．粉笔头最初与C重合，且细线绷紧。现用一水平向左的力推动三角板向左移动，保证粉笔头紧靠黑板的同时，紧靠三角板的AC边，当三角板向左移动的过程中，粉笔头会在黑板上留下一条印迹，关于此印迹，以下说法正确的是：（）
A．若匀速推动三角板，印迹为一条直线
B．若匀加速推动三角板，印迹为一条曲线
C．若变加速推动三角板，印迹为一条曲线
D．无论如何推动三角板，印迹均为直线，且印迹与AC边成75?角
[解析]教学实践表明，用相对运动固然简洁明快，但是很多学生无法理解老师究竟在讲什么，而如果采用微元法讲解本题，学生普遍觉得好理解。
如右图所示，设三角板在极短时间内向左运动位移为x，则粉笔头沿斜面上升的距离也为x，粉笔头对地的位移为，则由几何关系易知，无论如何向左推动三角板，印迹均为直线，且印迹与AC边成75?角。
【例5】在一大型超市小偷被保安发现，小偷一以不变速度v1沿着直线AB逃跑，保安以不变的速率v2追击，其运动方向始终对准小偷．某时刻小偷在F处，保安在D处，FD⊥AB（如图），试求此时保安的加速度的大小．(弧可以看成圆周运动的一部分)
[解析]要解决这个问题，高中阶段几乎只能用微元法。
经过一段极短的时间，保安和小偷各运动一段路程后，两者的位置如图所示，则有
，
且
联立，得保安轨迹半径为：
则此时保安的加速度的大小为：
【例6】如图所示，将质量为2m的重物悬挂在轻绳的一端，轻绳的另一端系一质量为m的小环，小环套在竖直固定的光滑直杆上，光滑定滑轮与直杆的距离为d.
现将小环从与定滑轮等高的A处由静止释放，B处在A处正下方距离为d处，则下列说法正确的是
A．小环刚释放时轻绳中的张力一定大于2mg
B．小环在B处的速度与重物上升的速度大小之比等于
C．小环下降速度最大时，轻绳中的张力一定等于2mg
D．小环从A处开始能够下降的最大高度为
[解析]本题B、D选项学生基本上都能应付，笔者在此着重分析A、C选项。
按常规思路，我们需要根据机械能守恒定律和牛顿定律，算出小环、重物速度随时间变化的函数，然后对时间求导。但是，若用微元法，则更简单直接。
（1）A选项：
设小环经过一段极短的时间t下落一小段距离y，小环的速度增加为v1，此时重物上升的速度为v2，则有：
，
而，则有：
则重物上升的加速度为：
当取t→0时，易知a=0.
则绳中张力等于2mg.
（2）C选项：
当小环速度最大时，小环加速度为零，经过一段极短的时间，小环的速度和重物的速度关系及其变化如图所示，由图极易看出，重物速度v2的大小增大了，即重物具有竖直向上的加速度，则绳中张力大于2mg.
更细致的分析如下：
将v1垂直于绳方向分速度vτ的变化量Δvτ分解为Δvτ1、Δvn1，v1沿绳方向分速度vn的变化量Δvn分解为Δvτ2、Δvn2，由于小环的加速度为0，必有：
Δvτ＝－Δvn
则有：
Δvτ1＝－Δvτ2，Δvn1＝－Δvn2
其中，Δvn1产生的加速度大小为：
方向由小环指向滑轮，即为向心加速度。
Δvn2产生的加速度大小为：
其中负号表示该加速度沿绳向左下方。
故此时重物上升的加速度为：，可知绳中张力大于2mg.
xA
xB
xB
θ
θ
y
θ
θ
y
x’
x
N
xN
x
θ
x
θ
x
Δx
x
ρ
θ
x1
θ
x2
v2
d
θ
v2
v1
y
vτ’
d
θ
v2
v1
y
v1
v2
v2’
v1
v2’
vτ
l
vτ
Δvτ
vτ’
d
θ
v2
v1
y
v1
v2
v2’
v1
v2’
vτ
l
vτ
Δvτ1
Δvn1
Δvn
Δvτ2
Δvn2

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