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第五章
曲线运动知识点总结
§5-1
曲线运动
&
运动的合成与分解
一、曲线运动
1.定义：物体运动轨迹是曲线的运动。
2.条件：运动物体所受合力的方向跟它的速度方向不在同一直线上。
3.特点：①方向：某点瞬时速度方向就是通过这一点的曲线的切线方向。
②运动类型：变速运动（速度方向不断变化）。
③F合≠0，一定有加速度a。
④F合方向一定指向曲线凹侧。
⑤F合可以分解成水平和竖直的两个力。
4.运动描述——蜡块运动
二、运动的合成与分解
1.合运动与分运动的关系：等时性、独立性、等效性、矢量性。
2.互成角度的两个分运动的合运动的判断：
①两个匀速直线运动的合运动仍然是匀速直线运动。
②速度方向不在同一直线上的两个分运动，一个是匀速直线运动，一个是匀变速直线运动，其合运动是匀变速曲线运动，a合为分运动的加速度。
③两初速度为0的匀加速直线运动的合运动仍然是匀加速直线运动。
④两个初速度不为0的匀加速直线运动的合运动可能是直线运动也可能是曲线运动。当两个分运动的初速度的和速度方向与这两个分运动的和加速度在同一直线上时，合运动是匀变速直线运动，否则即为曲线运动。
三、有关“曲线运动”的两大题型
（1）小船过河问题
模型一：过河时间t最短：
模型二：直接位移x最短：
模型三：间接位移x最短：
（2）绳杆问题(连带运动问题)
1、实质：合运动的识别与合运动的分解。
2、关键：①物体的实际运动是合速度，分速度的方向要按实际运动效果确定；②沿绳（或杆）方向的分速度大小相等。
模型四：如图甲，绳子一头连着物体B，一头拉小船A，这时船的运动方向不沿绳子。
甲
乙
处理方法：如图乙，把小船的速度vA沿绳方向和垂直于绳的方向分解为v1和v2，v1就是拉绳的速度，vA就是小船的实际速度。
§5-2
平抛运动
&
类平抛运动
一、抛体运动
1.定义：以一定的速度将物体抛出，在空气阻力可以忽略的情况下，物体只受重力的作用，它的运动即为抛体运动。
2.条件：①物体具有初速度；②运动过程中只受G。
二、平抛运动
1.定义：如果物体运动的初速度是沿水平方向的，这个运动就叫做平抛运动。
2.条件：①物体具有水平方向的加速度；②运动过程中只受G。
3.处理方法：平抛运动可以看作两个分运动的合运动：一个是水平方向的匀速直线运动，一个是竖直方向的自由落体运动。
4.规律：
5.应用结论——影响做平抛运动的物体的飞行时间、射程及落地速度的因素
a、飞行时间：，t与物体下落高度h有关，与初速度v0无关。
b、水平射程：由v0和h共同决定。
c、落地速度：，v由v0和vy共同决定。
三、平抛运动及类平抛运动常见问题“斜面问题：
§5-3
圆周运动
&
向心力
&
生活中常见圆周运动
一、匀速圆周运动
1.定义：物体的运动轨迹是圆的运动叫做圆周运动，物体运动的线速度大小不变的圆周运动即为匀速圆周
运动。
2.特点：①轨迹是圆；②线速度、加速度均大小不变，方向不断改变，故属于加速度改变的变速曲线运动，
匀速圆周运动的角速度恒定；③匀速圆周运动发生条件是质点受到大小不变、方向始终与速度方向垂直
的合外力；④匀速圆周运动的运动状态周而复始地出现，匀速圆周运动具有周期性。
3.描述圆周运动的物理量：
（1）线速度v是描述质点沿圆周运动快慢的物理量，是矢量；其方向沿轨迹切线，国际单位制中单位符
号是m/s，匀速圆周运动中，v的大小不变，方向却一直在变；
（2）角速度ω是描述质点绕圆心转动快慢的物理量，是矢量；国际单位符号是rad／s；
（3）周期T是质点沿圆周运动一周所用时间，在国际单位制中单位符号是s；
（4）频率f是质点在单位时间内完成一个完整圆周运动的次数，在国际单位制中单位符号是Hz；
（5）转速n是质点在单位时间内转过的圈数，单位符号为r/s，以及r/min．
4.各运动参量之间的转换关系：
5.三种常见的转动装置及其特点：
模型一：共轴传动
模型二:皮带传动
模型三：齿轮传动
二、向心加速度
1.定义：任何做匀速圆周运动的物体的加速度都指向圆心，这个加速度叫向心加速度。
注：并不是任何情况下，向心加速度的方向都是指向圆心。当物体做变速圆周运动时，向心加速度的一个分加速度指向圆心。
2.方向：在匀速圆周运动中，始终指向圆心，始终与线速度的方向垂直。向心加速度只改变线速度的方向而非大小。
3.意义：描述圆周运动速度方向方向改变快慢的物理量。
4.公式：
5.两个函数图像：
三、向心力
1.定义：做圆周运动的物体所受到的沿着半径指向圆心的合力，叫做向心力。
2.方向：总是指向圆心。
3.公式：
4.几个注意点：①向心力的方向总是指向圆心，它的方向时刻在变化，虽然它的大小不变，但是向心力也是变力。
②在受力分析时，只分析性质力，而不分析效果力，因此在受力分析是，不要加上向心力。
③描述做匀速圆周运动的物体时，不能说该物体受向心力，而是说该物体受到什么力，这几个力的合力充当或提供向心力。
四、变速圆周运动的处理方法
1.特点：线速度、向心力、向心加速度的大小和方向均变化。
2.动力学方程：合外力沿法线方向的分力提供向心力：。合外力沿切线方向的分力产生切线加速度：FT=mωaT。
3.离心运动：
（1）当物体实际受到的沿半径方向的合力满足F供=F需=mω2r时，物体做圆周运动；当F供（2）离心运动并不是受“离心力”的作用产生的运动，而是惯性的表现，是F供（3）
5、圆周运动的典型类型
类型
受力特点
图示
最高点的运动情况
用细绳拴一小球在竖直平面内转动
绳对球只有拉力
①若F＝0，则mg＝，v＝②若F≠0，则v>
小球固定在轻杆的一端在竖直平面内转动
杆对球可以是拉力也可以是支持力
①若F＝0，则mg＝，v＝②若F向下，则mg＋F＝m，v>③若F向上，则mg－F＝或mg－F＝0，则0≤v<
小球在竖直细管内转动
管对球的弹力FN可以向上也可以向下
依据mg＝判断，若v＝v0，FN＝0；若vv0，FN向下
球壳外的小球
在最高点时弹力FN的方向向上
①如果刚好能通过球壳的最高点A，则vA＝0，FN＝mg②如果到达某点后离开球壳面，该点处小球受到壳面的弹力FN＝0，之后改做斜抛运动，若在最高点离开则为平抛运动
六、有关生活中常见圆周运动的涉及的几大题型分析
（1）解题步骤：
①明确研究对象；
②定圆心找半径；③对研究对象进行受力分析；
④对外力进行正交分解；
⑤列方程：将与和物体在同一圆周运动平面上的力或其分力代数运算后，另得数等于向心力；
⑥解方程并对结果进行必要的讨论。
（2）典型模型：
I、圆周运动中的动力学问题
谈一谈：圆周运动问题属于一般的动力学问题，无非是由物体的受力情况确定物体的运动情况，或者由物体的运动情况求解物体的受力情况。解题思路就是，以加速度为纽带，运用那个牛顿第二定律和运动学公式列方程，求解并讨论。
模型一：火车转弯问题：
模型二：汽车过拱桥问题：
II、圆周运动的临界问题
A.常见竖直平面内圆周运动的最高点的临界问题
谈一谈：竖直平面内的圆周运动是典型的变速圆周运动。对于物体在竖直平面内做变速圆周运动的问题，中学物理只研究问题通过最高点和最低点的情况，并且经常出现有关最高点的临界问题。
模型三：轻绳约束、单轨约束条件下，小球过圆周最高点：
模型四：轻杆约束、双轨约束条件下，小球过圆周最高点：
模型五：小物体在竖直半圆面的外轨道做圆周运动：
B.物体在水平面内做圆周运动的临界问题
谈一谈：在水平面内做圆周运动的物体，当角速度ω变化时，物体有远离或向着圆心运动（半径变化）的趋势。这时要根据物体的受力情况判断物体所受的某个力是否存在以及这个力存在时方向如何（特别是一些接触力，如静摩擦力、绳的拉力等）。
模型六：转盘问题
P
蜡块的位置
v
vx
vy
涉及的公式：
θ
v
v水
v船
θ
，
d
d
v
v水
v船
θ
当v水，
A
v水
v船
θ
当v水>v船时，，
，
θ
v船
d
B
O
O
A
vA
θ
v1
v2
vA
甲
乙
α
（1）位移：
（2）速度：，，，
（3）推论：①从抛出点开始，任意时刻速度偏向角θ的正切值等于
位移偏向角的正切值的两倍。
证明如下：,
tanθ=2tan
②从抛出点开始，任意时刻速度的反向延长线对应的水平位移的交点为此水平位移的中点，即如果物体落在斜面上，则位移偏向角与斜面倾斜角相等。
处理方法：1.沿水平方向的匀速运动和竖直方向的自由落体运动；2.沿斜面方向的匀加速运动和垂直斜面方向的竖直上抛运动。
考点一：物体从A运动到B的时间：根据
考点二：B点的速度vB及其与v0的夹角α：
考点三：A、B之间的距离s：
A
B
r2
r1
r
R
O
B
A
A
B
O
r
R
O
等效处理：O可以看作一只手或一个固定转动点，B绕着O经长为R的轻绳或轻杆的牵引做着圆周运动。还是先对B进行受力分析，发现，上图的f在此图中可等效为绳或杆对小球的拉力，则将f改为F拉即可，根据题意求出F拉，带入公式，即可求的所需参量。
R
B
O
等效为
f
mg
N
A
O
处理方法：先对A进行受力分析，如图所示，注意在分析时不能忽略摩擦力，当然，如果说明盘面为光滑平面，摩擦力就可以忽略了。受力分析完成后，可以发现支持力N与mg相互抵销，则只有f充当该物体的向心力，则有，接着可以求的所需的圆周运动参数等。
两种情况：
（1）若使物体能从最高点沿轨道外侧下滑，物体在最高点的速度v的限制条件是
（2）若，物体将从最高电起，脱离圆轨道做平抛运动。
（1）临界条件：由于轻杆和双轨的支撑作用，小球恰能到达最高点的临街速度
（2）如图甲所示的小球过最高点时，轻杆对小球的弹力情况：①当v=0时，轻杆对小球有竖直向上的支持力FN，其大小等于小球的重力，即FN=mg；
②当时，轻杆对小球的支持力的方向竖直向上，大小随小球速度的增大而减小，其取值范围是；
③当时，FN=0；
④当时，轻杆对小球有指向圆心的拉力，其大小随速度的增大而增大。
（3）如图乙所示的小球过最高点时，光滑双轨对小球的弹力情况：
①当v=0时，轨道的内壁下侧对小球有竖直向上的支持力FN，其大小等于小球的重力，即FN=mg；
②当时，轨道的内壁下侧对小球仍有竖直向上的支持力FN，大小随小球速度的增大而减小，其取值范围是；
③当时，FN=0；
④当时，轨道的内壁上侧对小球有竖直向下指向圆心的弹力，其大小随速度的增大而增大。
乙
v
甲
v
杆O
R
绳O
O
v
v
v
（注意：绳对小球只能产生沿绳收缩方向的拉力.）
（1）临界条件：小球到达最高点时，绳子的拉力或单轨的弹力刚好等于0，小球的重力提供向心力。即：
。
（2）小球能过最高点的条件：，绳对球产生向下的拉力或轨道对球产生向下的压力。
（3）小球不能过最高点的条件：（实际上球还没到最高点时就脱离了轨道）。
a、涉及公式：,所以当，
此时汽车处于失重状态，而且v越大越明显，因此汽车过拱桥时不宜告诉行驶。
b、分析：当：
（1），汽车对桥面的压力为0，汽车出于完全失重状态；
（2），汽车对桥面的压力为。
（3），汽车将脱离桥面，出现飞车现象。
c、注意：同样，当汽车过凹形桥底端时满足，汽车对桥面的压力将大于汽车重力，汽车处于超重状态，若车速过大，容易出现爆胎现象，即也不宜高速行驶。
a、
涉及公式：①
②，由①②得：。
b、分析：设转弯时火车的行驶速度为v，则：
（1）若v>v0，外轨道对火车轮缘有挤压作用；
（2）若vL
h
mg
F合
FN
ω一定
v一定
r
r
an
an
O
O
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