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　　例1　如图甲所示,用铁架台、弹簧和多个已知质量且质量相等的钩码探究在弹性限度内弹簧弹力与弹簧伸长量的关系。
(1)为完成实验,还需要的实验器材有:　。?
(2)实验中需要测量的物理量有:　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　。?
(3)为完成该实验,设计的实验步骤如下:
A.以弹簧伸长量为横坐标,以弹力为纵坐标,描出各组(x,F)对应的点,并用平滑的曲线连接起来;
B.记下弹簧不挂钩码时其下端在刻度尺上对应的刻度l0;
C.将铁架台固定于桌子上,并将弹簧的一端系于横梁上,在弹簧附近竖直固定一把刻度尺;
D.在弹簧下端依次挂上1个、2个、3个、4个……钩码,并分别记下钩码静止时弹簧下端所对应的刻度,并记录在表格内,然后取下钩码;
E.以弹簧伸长量为自变量,写出弹力与弹簧伸长量的关系式。首先尝试写成一次函数,如果不行,则考虑二次函数;
F.解释函数表达式中常数的物理意义;
G.整理仪器。
请将以上步骤按操作的先后顺序排列出来:　　　　　　。?
(4)图乙是弹簧弹力F与弹簧伸长量x的F-x图线,由此可求出弹簧的劲度系数为　　　　N/m。?
答案　(1)刻度尺　(2)弹簧原长、弹簧所受外力与对应的伸长量(或与弹簧对应的长度)　(3)CBDAEFG　(4)200
　　变式1　弹簧的劲度系数与弹簧的材质、弹簧丝的粗细、单位长度内的匝数及弹簧的原长等因素有关,为了探究弹簧劲度系数与弹簧原长的关系,某同学设计了如下实验:
(1)实验器材:刻度尺、原长约30
cm的轻弹簧一根、质量适当且相同的钩码5个、剪刀一把(用来剪断弹簧),除以上器材外,还需要的器材是　　　　　。?
(2)简要实验步骤如下,请完成相应填空:
a.将轻弹簧A悬挂在铁架台上,用刻度尺测量弹簧的原长L0;
b.在弹簧的下端挂上钩码,记下钩码的个数n(n分别取1、2、3、4、5),并待钩码静止时测出　　　　　　　　　,计算出弹簧的伸长量x;?
c.改变钩码个数,重复实验步骤b;
d.将弹簧A剪成长度不同的两段B和C,测出B和C的原长之比为2∶1,分别用B和C代替A重复实验步骤a、b、c。
(3)根据实验测量的数据,以所挂钩码个数n为横坐标,以弹簧伸长量x为纵坐标,得到上述A、B、C三个弹簧的x-n图像如图所示,根据图像可得出的实验结论为　　　　　　　　　,图线A的上部发生弯曲的原因是　。?
答案　(1)铁架台　(2)弹簧的长度　(3)劲度系数与弹簧原长成反比　弹簧形变超过其弹性限度
解析　(1)弹簧和刻度尺都要固定在铁架台上。
(2)实验中一定要待钩码静止时,测出弹簧长度,进而算出其伸长量。
(3)令单个钩码重力为G,由题图知,当弹力一定(均为4G)时,A、B、C三根弹簧的伸长量之比为3∶2∶1,则劲度系数之比为1∶2∶3,而A、B、C三根弹簧的原长之比为L0∶L0∶L0=3∶2∶1,所以弹簧劲度系数与弹簧原长成反比,图线A的上部发生弯曲的原因是弹簧形变超过其弹性限度,胡克定律不再成立。
考点二　实验数据处理和误差分析
　　例2　(2018课标Ⅰ,22,5分)如图(a),一弹簧上端固定在支架顶端,下端悬挂一托盘;一标尺由游标和主尺构成,主尺竖直固定在弹簧左边;托盘上方固定有一能与游标刻度线准确对齐的装置,简化为图中的指针。
现要测量图(a)中弹簧的劲度系数。当托盘内没有砝码时,移动游标,使其零刻度线对准指针,此时标尺读数为1.950
cm;当托盘内放有质量为0.100
kg的砝码时,移动游标,再次使其零刻度线对准指针,标尺示数如图(b)所示,其读数为　　　　cm。当地的重力加速度大小为9.80
m/s2,此弹簧的劲度系数为　　　　N/m(保留3位有效数字)。?
答案　3.775　53.7
解析　此标尺为二十分度的标尺,精度为0.05
mm,所以读数37mm+15×0.05mm=
37.75
mm=3.775
cm。
当托盘中放入砝码稳定时,弹簧的伸长量Δx=3.775
cm-1.950
cm=1.825
cm。由平衡条件得F=mg,由胡克定律得F=k·Δx,联立得k=53.7
N/m。
方法技巧
　　(1)F-x(x为弹簧伸长量,下同)图像和F-l(l为弹簧长度,下同)图像中图线的斜率均表示弹簧的劲度系数。
(2)F-x图线理论上应是一条过原点的直线,但弹簧自重对实验造成的影响可引起F-x图线发生平移。
(3)F-l图线与l轴交点的横坐标表示弹簧原长。
　　变式2　在“探究弹力和弹簧伸长的关系”实验中。
(1)某同学使用两条不同的轻质弹簧a和b,得到弹力与弹簧长度的图像如图所示。下列表述正确的是(　　)
A.a的原长比b的长
B.a的劲度系数比b的大
C.a的劲度系数比b的小
D.测得的弹力与弹簧的长度成正比
(2)为了测量某一弹簧的劲度系数,将该弹簧竖直悬挂起来,在自由端挂上不同质量的钩码。实验测出了钩码质量m与弹簧长度l的相应数据,其对应点已在图上标出。作出m-l的关系图线。弹簧的劲度系数为　　　　N/m(结果保留3位有效数字)。?
(3)若悬挂的钩码的质量比所标数值偏小些,则实验测得的弹簧的劲度系数比实际劲度系数偏　　　　。?
答案　(1)B
(2)图线如图所示　0.263(0.258~0.268均正确)
(3)大
解析　(1)题图中F-l图线的斜率表示弹簧的劲度系数,所以a的劲度系数比b的大,由于图线没有通过原点,弹簧的长度等于原长加变化量,a的原长比b的短,弹簧的长度和弹力不成正比。
(2)由胡克定律F=kx得
k===g·k斜≈0.263
N/m。
(3)钩码所标数值比实际质量偏大,且所用钩码越多,偏差越大,因此所作出的m-l图线比实际情况下的图线斜率偏大,故所求得的弹簧的劲度系数也偏大。
考点三　实验拓展和实验创新
创新
角度
实验装置/原理图
创新解读
实验
原理
创新
1.弹簧水平放置,消除弹簧自身重力对实验的影响
2.改变弹簧的固定方式,研究弹簧弹力大小与压缩量之间的大小关系
实验
器材
创新
1.用橡皮筋代替弹簧做实验
2.拉力传感器显示的拉力F与橡皮筋的弹力并不相等,仅为橡皮筋弹力在水平方向的分力
实验
过程
创新
1.利用固定在弹簧上的7个指针,探究弹簧的劲度系数k与弹簧长度的关系
2.利用“化曲为直”的思想,将探究劲度系数k与弹簧圈数的关系,转化为探究与n的关系
　　例3　图甲为某同学用力传感器探究弹簧的弹力和伸长量的关系的实验情景。用力传感器竖直向下拉上端固定于铁架台的轻质弹簧,读出不同拉力下的刻度尺刻度x及拉力大小F(从电脑中直接读出)。所得数据记录在表格中:
拉力大小F/N
0.45
0.69
0.93
1.14
1.44
1.69
刻度尺刻度x/cm
57.02
58.01
59.00
60.00
61.03
62.00
丙
(1)从图乙读出刻度尺上的刻度值为　　　　cm。?
(2)根据所测数据,在图丙坐标纸上作出F与x的关系图像。
(3)由图像求出该弹簧的劲度系数为　　　　N/m,弹簧的原长为　　　　cm。(均保留三位有效数字)?
答案　(1)63.60　(2)图见解析　(3)25.0　55.2
解析　(1)由题图可知,刻度尺的分度值为0.1
cm,故读数为63.60
cm。
(2)根据表中数据利用描点法得出对应的图像如图所示:
(3)由胡克定律可知,图线的斜率表示劲度系数,则可知k==
N/m=25.0
N/m;图线的横截距表示弹簧的原长,则可知原长为55.2
cm。
　　变式3　(2019安徽淮北一中期中)在探究弹力和弹簧伸长量的关系,并测量弹簧的劲度系数的实验中,实验装置如图甲所示,所用的每个钩码的重力相当于对弹簧提供了向右恒定的拉力,实验时先测出不挂钩码时弹簧的自然长度,再将5个钩码逐个挂在绳子的下端,每次测量相应的弹簧的总长度。
(1)某同学通过以上实验测量后把6组实验数据对应的点描在图乙坐标系中,请作出F-L图线。
甲
乙
(2)由此图线可得出该弹簧的原长L0=　　　　cm,劲度系数k=　　　　N/m。?
(3)试根据该同学以上的实验情况,帮助他设计一个记录实验数据的表格(不必填写其实验测得的具体数据)。
(4)该同学实验时,把弹簧水平放置与把弹簧悬挂放置相比较,
优点在于:　;?
缺点在于:　。?
答案　(1)图见解析　(2)5　20　(3)见解析　(4)可以避免弹簧自身重力对实验的影响　弹簧与桌面及绳子与滑轮间存在的摩擦会造成实验误差
解析　(1)F-L图线如图所示。
(2)图像的横截距表示弹力为零时的弹簧的长度,此时弹簧的长度为原长,所以弹簧的原长L0=5
cm,图像的斜率表示弹簧的劲度系数,故有k==
N/m=20
N/m。
(3)根据该同学的实验情况,记录实验数据的表格为:
钩码个数
0
1
2
3
4
5
弹力F/N
弹簧长度L/×10-2
m
　　(4)优点在于:可以避免弹簧自身重力对实验的影响。缺点在于:弹簧与桌面及绳子与滑轮间存在的摩擦会造成实验误差。
　　1.在探究弹力和弹簧伸长的关系时,某同学先按图1所示对弹簧甲进行探究,然后把等长的弹簧乙(直径小于甲)套在弹簧甲内,两弹簧悬挂在同一点按图2所示进行探究。在弹性限度内,将质量m=50
g的钩码逐个挂在弹簧下端,测得图1、图2中弹簧的长度L1、L2如表所示。
钩码个数
1
2
3
4
L1/cm
30.02
31.02
32.02
33.02
L2/cm
29.33
29.65
29.97
30.29
　　已知重力加速度g=9.8
m/s2,计算弹簧甲的劲度系数k1=　　　　N/m,弹簧乙的劲度系数k2=　　　　N/m。(结果保留三位有效数字)?
答案　49.0　104
解析　由表格中的数据可知,当弹力的变化量ΔF=mg=0.05×9.8
N=0.49
N时。弹簧甲的伸长量为Δx1=×[(33.02-32.02)+(32.02-31.02)+(31.02-30.02)]
cm=1.00
cm,根据胡克定律知弹簧甲的劲度系数k1===49.0
N/m。把弹簧甲和弹簧乙并起来时弹簧的伸长量Δx2=×[(30.29-29.97)+(29.97-29.65)+(29.65-29.33)]
cm=0.32
cm。根据胡克定律知弹簧甲、乙合并后的劲度系数k==≈153
N/m。根据k=k1+k2,可计算出弹簧乙的劲度系数k2=153
N/m-49.0
N/m=104
N/m。
2.(2018广东深圳模拟)某同学利用如图甲所示装置做“探究弹簧弹力大小与其长度的关系”的实验。
(1)在安装刻度尺时,必须使刻度尺保持　　　　状态(填“水平”或“竖直”)。?
(2)他通过实验得到如图乙所示的弹力大小F与弹簧长度x的关系图线。由此图线可得该弹簧的原长x0=　　　　cm,劲度系数k=　　　　N/m。?
(3)他又利用本实验原理把该弹簧做成一把弹簧测力计,当弹簧测力计的示数如图丙所示时,该弹簧的长度x=　　　　cm。?
答案　(1)竖直　(2)4　50　(3)10
解析　(1)弹簧是竖直的,要减小误差,刻度尺必须与弹簧平行,故刻度尺要保持竖直状态;
(2)弹簧处于原长时,弹力为零,故原长为4
cm;弹簧弹力为2
N时,弹簧的长度为8
cm,伸长量为4
cm,根据胡克定律F=kx,有k===50
N/m;
(3)由题图丙知弹簧的弹力为3
N,根据题图乙得到弹簧的长度为10
cm。
3.某物理学习小组用如图甲所示装置来研究橡皮筋的劲度系数(遵循胡克定律且实验中形变量始终未超过弹性限度),将一张白纸固定在竖直放置的木板上,原长为L0的橡皮筋的上端固定在O点,下端挂一重物。用与白纸平行的水平力(由拉力传感器显示其大小)作用于N点,静止时记录下N点的位置a,请回答:
甲
(1)若拉力传感器显示的拉力大小为F,用刻度尺测量橡皮筋ON的长为L及N点与O点的水平距离为x,则橡皮筋的劲度系数为　　　　　　　　　(用所测物理量表示)。?
(2)若换用另一个原长相同的橡皮筋,重复上述过程,记录静止时N点的位置b,发现O、a、b三点刚好在同一直线上,其位置如图乙所示,则下列说法中正确的是　　　　　。?
乙
A.第二次拉力传感器显示的拉力示数较大
B.两次拉力传感器显示的拉力示数相同
C.第二次所用的橡皮筋的劲度系数小
D.第二次所用的橡皮筋的劲度系数大
答案　(1)　(2)BC
解析　(1)设橡皮筋与竖直方向夹角为θ,重物重力为G,结点N在竖直拉力FT(等于重物重力G)、橡皮筋拉力T和水平拉力F作用下处于平衡状态,如图所示,则
sin
θ=,而
sin
θ=,T=k(L-L0),联立得k=。
(2)由受力图知F=G
tan
θ,两次中G、θ均相同,所以两次拉力传感器显示的拉力示数相同,A错,B对;同理,两次橡皮筋的拉力也相同,而橡皮筋的原长相同,第二次的伸长量大,由胡克定律知第二次所用的橡皮筋的劲度系数小,C对,D错。
4.某实验小组探究弹簧的劲度系数k与其长度(圈数)的关系。实验装置如图(a)所示,一均匀长弹簧竖直悬挂,7个指针P0、P1、P2、P3、P4、P5、P6分别固定在弹簧上距悬点0、10、20、30、40、50、60圈处;通过旁边竖直放置的刻度尺,可以读出指针的位置,P0指向0刻度。设弹簧下端未挂重物时,各指针的位置记为x0;挂有质量为0.100
kg的砝码时,各指针的位置记为x。测量结果及部分计算结果如表所示(n为弹簧的圈数,取重力加速度为9.80
m/s2)。已知实验所用弹簧总圈数为60,整个弹簧的自由长度为11.88
cm。
图(a)
P1
P2
P3
P4
P5
P6
x0(cm)
2.04
4.06
6.06
8.05
10.03
12.01
x(cm)
2.64
5.26
7.81
10.30
12.93
15.41
n
10
20
30
40
50
60
k(N/m)
163
①
56.0
43.6
33.8
28.8
1/k(m/N)
0.006
1
②
0.017
9
0.022
9
0.029
6
0.034
7
　　(1)将表中数据补充完整:①　　　,②　　　。?
(2)以n为横坐标,1/k为纵坐标,在图(b)给出的坐标纸上画出1/k-n图像。
图(b)
(3)图(b)中画出的直线可近似认为通过原点。若从实验中所用的弹簧截取圈数为n的一段弹簧,该弹簧的劲度系数k与其圈数n的关系的表达式为k=　　　　N/m;该弹簧的劲度系数k与其自由长度l0(单位为m)的关系的表达式为k=　　　　N/m。?
答案　(1)①81.7　②0.012
2
(2)-n图像如图所示
(3)(在~之间均可)
(在~之间均可)
解析　(1)由胡克定律有k==
N/m≈81.7
N/m,故有≈0.012
2
m/N。(2)作图过程略,图见答案。(3)-n图线是一条过原点的直线,由图可得图线的斜率约为5.71×10-4
m/N,故有=5.71×10-4×n(m/N),即k=(N/m),由题分析可知弹簧的圈数n与原长l0的关系为n=l0,故k=(N/m)。

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