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概率压轴 品味无穷
安徽省宿州市曹村中学 马 强
邮编： 234103
综观2010年全国各地近20份数学高考试卷，解答题的压轴题大都是函数与导数或数列与不等式，然而安徽省2010年高考数学（理）第21题，则用概率应用题来压轴，真令人拍案叫绝，品味无穷。
真题再现
品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试，一般通常采用的测试方法如下：拿出n瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这n瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这成为一轮测试，根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分.
现设n=4，分别以表示第一次排序时被排为1,2,3,4的四种酒在第二次排序时的序号，并令
则X是对两次排序的偏离程度的一种描述。
（Ⅰ）写出X的可能值集合；
（Ⅱ）假设等可能地为1.2.3.4的各种排列，求X的分布列；
（Ⅲ）某品酒师在相继进行的三轮测试中都有X≤2，
（ⅰ）试按（Ⅱ）中的结果，计算出现这种现象的概率（假定各轮测试相互独立）；
（ⅱ）你认为该品酒师的酒味鉴别功能如何？说明理由。
基本解法
（Ⅰ）X的可能值集合为{0，2，4，6，8}。在1，2，3，4中奇数与偶数各有两个，所以a2 ，a4中的奇数个数等于a1，a3中的偶数个数，因些+ 与+ 的奇偶性相同，从而X必为偶数。X的值非负，且易知其值不大于8。容易举出使得X的值等于0，2，4，6，8各值的排列的例子。
（Ⅱ）可用列表或树状图列出1，2，3，4的一共24种排列，计算每种排列下的X值，在等可能的假定下，得到
X 0 2 4 6 8
P
（Ⅲ）（ⅰ）首先P（X≤2）= P（X=0）+ P（X=2）= = ，将三轮测试都有X≤2的概率记做P，由上述结果和独立性假设，得P= =。
（ⅱ）由于P=＜是一个很小的概率，这表明如果仅凭随机猜测得到三轮测试都有X≤2的结果的可能性很小，所以我们认为该品酒师确实有良好的味觉鉴别功能，不是靠随机猜测。
亮点品味
品味1.从命题的角度看，该题以生活中的品酒师接受酒味鉴别功能为背景，考查学生的概率思想及应用，考题新颖，背景公平，不落俗套，有较好的信度。多层设问，层层递进，分步把关，既控制了试题难度，又发挥了考试的选拔功能，有较高的区分度和效度。该题在设问上小步创新，在试卷整体安排处理上大胆改革，给人以惊奇之美，让人耳目一新，很多考生走出考场的第一句便是：真没想到，压轴题居然是概率应用题。如果没有一定的阅读理解能力以及克服困难拼搏的精神，是过不了这一关的。由些可见，该题不仅考查学生的个性品质及良好的心理素质，而且又充分体现了《考试说明》，是一道高质量的好题。
品味2.从解题角度看，本题没有过多的解法。第（Ⅰ）问可通过举列验证，直接写出X的可能值的集合。第（Ⅱ）可通过列表或树状图，得到X取每个可能值的概率，进而写出分布列。第（Ⅲ）问的第（ⅰ）小问，可通过分布列写出P（X≤2），然后得结果，第（ⅱ）小问可借助（ⅰ），结合小概率事件便知结果。表面上似乎题目过于平淡，仔细品味，却能发现：第（Ⅰ）问的顺利解答需要有扎实的数学基础，一定的数学素养，才能通过特殊与一般思想、奇偶对等原理写全X可能值，同时也为第（Ⅱ）的求解提供了思路。第（Ⅱ）问考查了计数原理最原始最基本的方法——列表法或树图法，抛开了排列组合繁杂的思维计算，注重通性通法，淡化特殊技巧，体现了新课程标准理念。第（Ⅲ）问考查了互斥事件、相互独立事件、小概率事件等基础知识，运算量不大，体现了思维深刻知识不深奥原则。总之，本题在考查基础知识的同时，渗透数形结合、分类讨论、特殊与一般等思想方法，充分考查了考生采集和处理信息的能力，增强数学的应用意识。我们经常在问：高考数学考什么，怎样考？这一题就给了我们很好的诠释，那就是考基础知识，考思想方法，考能力素质！
品味3．从高考导向看，本题具有很重要的风向指标，体现在“稳”、“活”、“新”三个方面。“稳”是高考不变的主题，概率统计作为应用题的考查方式，保持了相对的稳定性并且有一定的连续性。这不仅有利于学生重视信息收集与整理，提高阅读能力，而且有利于教师重视教材、挖掘教材，从而更好地推动新课程标准的深入开展。“活”是高考命题工作者的匠心独运，概率统计问题的设计不仅可以作为选择题、填空题，而且也可以作为压轴题；不仅可以单独命题，也可以在知识网络的交汇点处命题，这就要求教师要打破传统定势思维模式，不能仅根据经验把概率题定位在解答题的第17或18题位置；要转变教学理念，把课堂教学的“填鸭式”转变成“探究式”，使学生由“死记题型”转变成“融会贯通型”，要创造条件使学生真正做到“授之以渔”，从而真正全面提升能力。“新”是高考试题的一大特色，今年在概率统计应用题上的创新，为明年高三备考指明了方向：比如应用题的考查力度与考查广度能否加强？高考应用题考什么，怎样考？会在哪些知识点上再创新？等等。总之，概率压轴，品味无穷。

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