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圆中的相似专题
课前热身
1．如图，AB是半圆O的直径，OD⊥AC，OD=8，则弦BC的长为
．
16
2.如图．AB为⊙O的直径，AC交⊙O于E点，BC交⊙O于D点,则CA·
CE
____CB·CD
=
若CD=BD，则CA·
CE
____CB·ED
=
3.如图，△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC于D．
E为弧AD上一点，连结AE，BE，BE交AC于点F，且AE2=EF?EB，若AE=6，则DE=
____
6
4.如图，在△ABC中，∠C=90°，以AB上的一点O为圆心．OA长为半径的圆与BC相切于点D，分别交AC、AB于点E、F．若BO=8，AC=6，则⊙O半径为____
4
典型例题
1．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点D、E分别在AC、BC上，且CD·CB＝CA·CE，以E为圆心，DE长为半径作圆，⊙E经过点B，与AB、BC分别交于点F、G．
（1）求证：AC是⊙E的切线；
（2）若AF＝4，CG＝5，求⊙E的半径；
证明：
（1）∵CD?BC=AC?CE，
∴
，
∵∠DCE=∠ACB，
∴△CDE∽△CAB，
∴∠EDC=∠A=90°，
∴ED⊥AC，
∵点D在⊙E上，
∴AC是⊙E的切线；
（2）如图，过E作EH⊥AB于H，
∴BH=FH，
∵∠A=∠AHE=∠ADE=90°，
∴四边形AHED是矩形，
∴ED=AH，ED∥AB，
∴∠B=∠DEC，
设⊙E的半径为r，则EB=ED=EG=r，
∴BH=FH=AH﹣AF=DE﹣AF=r﹣4，
EC=EG+CG=r+5，
在△BHE和△EDC中，
∵∠B=∠DEC，∠BHE=∠EDC=90°，
∴△BHE∽△EDC，
∴
，即
，
∴r=20，
∴⊙E的半径为20；
2.如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是直径，点D在⊙O上，OD∥BC，过点D作DE⊥AB，垂足为E，连接CD交OE边于点F．
（1）求证：∠ODF=∠BDE；
（2）求证：△DOE∽△ABC；
（3）连接OC，设△DOE的面积为S1，四边形BCOD的面积为S2，若
，求
的值．
（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵DE⊥AB，
∴∠DEO=90°，
∴∠DEO=∠ACB，
∵OD∥BC，
∴∠DOE=∠ABC，
∴△DOE～△ABC；
∴∠ODE=∠A，
∵∠A和∠BDC是
所对的圆周角，
∴∠A=∠BDC，
∴∠ODE=∠BDC，
∴∠ODF=∠BDE；
（2）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵DE⊥AB，
∴∠DEO=90°，
∴∠DEO=∠ACB，
∵OD∥BC，
∴∠DOE=∠ABC，
∴△DOE～△ABC；
（3）解：∵
，
∴设OE=2a，OD=3a，
∴OB=OC=OD=3a，AB=2OD=6a，
∵△DOE～△ABC，
∴
=（
）2
=
即S△ABC=4S△DOE=4S1，
∵OA=OB，
∴S△BOC=
S△ABC，
即S△BOC=2S1，
∵DE⊥AB，
∴∠BED=90°，
∵BE=OB﹣OE=3a﹣2a=a，
∴S△DBE=
BE×DE=
a×DE=
×
×2a×DE=
×
×DE=
S1，
∵S2=S△BOC+S△DOE+S△DBE=2S1+S1+
S1=
S1，
∴
=
=
3.如图，AB是⊙O的直径，D、E为⊙O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD=BD，连接AC交⊙O于点F，连接AE、DE、DF．
（1）证明：∠E=∠C；
（2）设DE交AB于点G，若DF=4，cosB=
，E是
的中点，求EG?ED的值．
（1）证明：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，
∵CD=BD，
∴AD垂直平分BC，
∴AB=AC，
∴∠B=∠C，
又∵∠B=∠E，
∴∠E=∠C；
（3）解：连接OE，
∵∠CFD=∠E=∠C，
∴FD=CD=BD=4，
在Rt△ABD中，cosB=
，BD=4，
∴AB=6，
∵E是
的中点，AB是⊙O的直径，
∴∠AOE=90°，
∵AO=OE=3，
∴AE=3
，
∵E是
的中点，
∴∠ADE=∠EAB，
∴△AEG∽△DEA，
∴
=
，即EG?ED=AE2=18．
小试牛刀
1．如图，已知AD是△ABC的角平分线，⊙O经过A、B、D三点，过点B作BE∥AD，交⊙O于点E，连接ED．
（1）求证：ED∥AC；
（2）连接AE，试证明：AB?CD=AE?AC．
（3）若BD=2CD，设△EBD的面积为
，△ADC的面积为
，且
，求△ABC的面积．
2.如图，AB是⊙O的直径，点C是的弧AB中点，点D是⊙
外一点，AD=AB
,
AD交⊙O于F,BD交⊙O于E
，连接CE交AB
于G
.
(1)证明:
;
(2)若
，求
的度数;
(3)若
，求
的值.
3．如图，A
是以
BC为直径的⊙O
上一点，AD⊥BC
于点
D，过点B
作
⊙O的切线，与CA
的延长线相交于点E，G
是AD
的中点，连结CG
并延长与BE
相交于点F
，延长AF
与CA
的延长线相交于点P
．
(1)求证：BE=EF
；
(2)求证：PA
是⊙O
的切线；
(3)若FG=BF
，且⊙O
的半径长为
，求BD
和
FG的长度．
课堂小结

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