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关于圆锥曲线中非对称问题解法的构思
江苏南京钟浩然
在很多圆锥曲线解答题中,我们都习惯于设直线,联立,韦达定理整体代换,然后K.O.
可是能够韦达定理整体代换的前提是由椭圆上两点坐标表示的式子一定是对称的.如已
知A(X,y)B(x,y2)在椭圆上,目标可变形为x2+x2或XX2+(y1-1)(y2-1)又或者
yuya
(X+1)(x2+1)
但是从2010年的江苏高考解几到最新的2019南京三模,在十年间上百道解几题中,标
题所提到的非对称情况可谓不在少数
下面将以2017年江苏连云港三模解几为例给出非对称问题的夏姬八解,重点是想阐述
下对非对称问题的解法构思的一些过程.需要强调的是:并不是每一道非对称问题都能用
所有的解法解出来的,请根据题目本身的特点,选择合适的方法
例如图,在平面直角坐标系XOy中,已知椭圆C:+y=1的左、右
顶点分别为A,B,过右焦点F的直线与椭圆C交于P,Q两点(点P在
X轴上方).设直线AP,BQ的斜率分别为k,k2是否存在常数,使得
k1=k2?若存在,求出A的值;若不存在,请说明理由
拿到题先设出点坐标方便我们后面对条件进行表示设P(x,y),Q(x2,y2)
我们从问题本身来思考:无论面对定值问题还是范围问题,我们都应该选择一到两个核
心变量.然后用核心变量去表示其他变量,而不是胡乱列出条件.那么选择谁为核心变量呢?
这是我们遇到的最大的分歧
第一个想法是:构图上来说是联系目标k,k2的中间商.以Q的斜率为核心变量是
个不错的选择
我们先看一下目标2kA=y(x2-2)
然而下面又出现一个分歧:统一为横还是纵坐标
先试一下横坐标设直线lp:y=k(x-1),由题意k≠0.(注:斜率不存在时易得
因此=(x-2)x=(-1X-2)。=一2X-x+2
y2(X+2
XX2-X+2x2-2
现在问题出现了:毫无疑问这个就是典型的非对称结构,即我们无法用常规的韦达定理
整体代换来进行处理.然而不能韦达整体代换是不是就不能韦了呢?我们既然不能将坐标用
韦达全换成k,那么这个分式要想是定值,除了分子为0(当然本例中显然不成立),就是上下
结构一致,整体相消为定值
于是我们尝试只留一个坐标先试一试保留x,即分子分母保留成f(k)+9(X)的结构
所以我们就有了=2-2X一x2+2=Xx
X2)+2-X
X
X×2+
2)-2-3
k2-6
代入韦达定理得=-(X+x)+2-x
X1
Xx2+2(X+x2)-2-3X
12k2-18
K
O
可是是不是X特殊呢?保留X2行不行呢?我们再尝试一下
2=X-2(X+)+2+
XX2-(X+x2)-2+3×2
12k2-18
4k2+3+3x2
那是不是横坐标特殊呢?换成纵坐标行吗?我们继续尝试:
设Lo:X=ty+1(由题意斜率不为0)
所以分析目标有:=X(x-2)=y(2-1)6x=My-y
y2
y2(ty1+3
ty,y2+3y2
保留y1得
-9t
2-ty1y2-y1ex=-
ty.
y1
ty,y2+3
y1+y2)-3y1
27t
保留y2得

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