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椭圆问题的类型与解法
椭圆问题是近几年高考的热点内容之一。可以这样毫不夸张地说，高考试卷中，每卷必有椭圆问题。从题型上看，不是小题就是大题，难度为中档或高档。纵观近几年高考试卷，归结起来椭圆问题主要包括：①求椭圆的标准方程；②椭圆定义与几何性质的运用；③求椭圆离心率的值或取值范围；④与椭圆相关的最值问题；⑤直线与椭圆位置关系问题等几种类型。各种类型问题结构上具有一定的特征，解答方法也各不相同。那么在实际解答椭圆问题时到底应该如何抓住问题的结构特征，快捷，准确的解答问题呢？下面通过典型例题的详细解析来回答这个问题。
【典例1】解答下列问题：
D
1、如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，
M
M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹
平纸片，折痕为CD，设CD与OM相交于点P，则点P
的轨迹是（
）
A
椭圆
B
双曲线
C
抛物线
C
D
圆
【解析】
【知识点】①椭圆的定义与性质；②圆的定义与性质；③求点的轨迹方程的基本方法。
【解题思路】设点P（x，y），运用椭圆的定义与性质，结合问题条件可知点P的轨迹是一个椭圆，从而得出选项。
【详细解答】设点P（x，y），纸片折叠后M与F重合，折痕为CD，CD与OM相交于点P，|PM|=|PF|，|PF|+|PO|=|PM|+|PO|=|OM|是圆O的半径为一个定值，点P的轨迹是以2c=|OF|，2a=|OM|的椭圆，A正确，选A。
2、根据下列条件求椭圆的标准方程：
（1）焦点在x轴上，且过点（2,0）和点（0,1）；
（2）焦点在y轴上，与y轴的一个交点为P（0，-10），P到它较近一个焦点的距离等于2；
（3）已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别是和，过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点；
（4）已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，且过点A（3,0），并且以坐标轴为对称轴，求椭圆的标准方程。
【解析】
【知识点】①椭圆的定义与性质；②求椭圆标准方程的基本方法。
【解题思路】（1）由题意设椭圆的标准方程为：+=1（a>b>0），根据问题条件得到关于，的方程组，求解方程组求出，的值就可求出椭圆的标准方程；（2）由题意设椭圆的标准方程为：+
=1（a>b>0），根据问题条件得到关于a，c的方程组，求解方程组求出a，c的值，运用椭圆的性质求出b的值就可求出椭圆的标准方程；（3）问题没有确定椭圆焦点在哪个坐标轴上，应该分焦点在X轴上或在Y轴上两种情况考虑，分别求出相应椭圆的标准方程；（4）问题没有确定椭圆焦点在哪个坐标轴上，可设椭圆的方程为：A+B=1，（A＞0，B＞0，A
B），根据问题条件得到关于A，B的方程组，求解方程组求出A，B的值，代入假设式得到椭圆的方程，再把方程化为椭圆标准方程。
【详细解答】（1）由题意设椭圆的标准方程为：+=1（a>b>0），椭圆过点（2,0）和点（0,1），+0=1，=4，所求椭圆的标准方程为：+=1；（2）由题
0+=1，
=1，意设椭圆的标准方程为：+
=1（a>b>0），
椭圆与y轴的一个交点为P（0，-10），P到它较近一个焦点的距离等于2，
a=10，
a=10，=-=100-64=36，所求椭圆的标准方程为：+=1；
a-c=2，
c=8，（3）①当焦点在X轴上时，设椭圆的标准方程为：+=1（a>b>0），
点P到两焦点的距离分别是和，过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，
2a=+=2，
a=，=-=5-=，所求椭圆的标准方程为：
2c==，
c=，+=1；②当焦点在Y轴上时，设椭圆的标准方程为：+=1（a>b>0），由①知所求椭圆的标准方程为：+=1；（4）由题意设椭圆的方程为：A+B=1，（A＞0，B＞0，A
B），椭圆的长轴长是短轴长的3倍，且过点A（3，0），9A+0=1，A=，①若A>B，则=9=81，B=；②若A3、已知椭圆的离心率为，一条准线的方程为x=2，求椭圆的方程；
【解析】
【知识点】①椭圆离心率，准线的定义与性质；②求椭圆标准方程的基本方法。
【解题思路】运用椭圆离心率，准线的定义与性质，结合问题条件得到关于a，c的方程组，求解方程组求出a，c的值，从而求出的值就可得出椭圆的标准方程。
【详细解答】由题意设椭圆的标准方程为：+=1（a>b>0），e=
=，=2，
a=，c=1，=-=2-1=1，所求椭圆的标准方程为：+=1。
4、椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率e=，椭圆上各点到直线L：x-y++=0的最短距离为1，求椭圆的方程。
【解析】
【知识点】①椭圆离心率的定义与性质；②求椭圆标准方程的基本方法；③点到直线的距离公式及运用。
【解题思路】如图，运用椭圆离心率的定义与性质，结合问题条件得到关于a，b的等式，根据椭圆上各点到直线L：x-y++=0的最短距离为1求出点P的坐标，由点P在椭圆上得到关于，的方程，联立之前的等式求出，的值就可得出椭圆的标准方程。
【详细解答】如图，由题意设椭圆的标准方程为：
y
B
x-y++=0
+=1（a>b>0），e=
=，
=，=-=，
设
A
x
点P（acos，bsin）是椭圆上任意一点，
点P到直线l：x-y++=0的最短距离为1，d=
=
（其中tan=
），
=1，
=，+=5或+=13+4，=4，=1或
=，=，<=7+2，=4，=1，
所求椭圆的标准方程为：+=1。
5、若椭圆a+b=1与直线x+y=1交于A、B两点，M为AB的中点，直线OM（O为坐标原点）的斜率为，且OA⊥OB，求椭圆的方程；
【解析】
【知识点】①直线与椭圆相交的定义与性质；②已知直线上两点的坐标，求直线斜率的基本方法。
【解题思路】设A（，），B（，），M（，），由椭圆方程与直线方程联立消去y得到关于x的一元二次方程，运用韦达定理，结合问题条件求出，关于a，b的表达式，从而得出点M的坐标，利用已知直线上两点的坐标，求直线斜率的基本方法，结合问题条件得到关于a，b的方程组，求解方程组得出a，b的值就可求出椭圆的方程。
【详细解答】设A（，），B（，），M（，），由a+b=1，得：
x+y=1，（a+b）-2bx
+b-1=0，+=，.=，+=2-（+）=2-=，
==，==，M（，），
OM（O为坐标原点）的斜率为，且OA⊥OB，=，.=.+.=2.-（+）+1
=-+1==0，a=2（-1），b=2（2-），椭圆的方程为：2（-1）+2（2-）=1，即：+
=1·。
『思考题1』
（1）【典例1】是求椭圆的标准方程的问题，解答这类问题应该注意掌握求椭圆标准方程常用的基本方法：①定义法；②待定系数法；
（2）采用定义法，需要注意2a>2c这一条件，【典例1】中的1是通过求点的轨迹方程来求椭圆标准方程的问题，在实际解答问题时，运用椭圆的定义，采用定义法会使解答更简捷。
（3）【典例1】中的2求椭圆的方法称为待定系数，待定系数法的基本步骤是：①作判断，判断椭圆焦点所在的坐标轴；②设方程，=1（a＞b＞0）或
=1（a
＞b＞0）或A+B=1，（A＞0，B＞0，A
B）；③找关系建立方程或方程组；④解方程或方程组，将结果代入假设方程；其中设椭圆方程时可以按照如下思路进行：①如果明确椭圆的焦点在X轴上，方程设为=1（a＞b＞0）；②如果明确椭圆的焦点在Y轴上，方程设为=1（a＞b＞0）；③如果椭圆中心在原点，焦点位置不确定在X轴上还是在Y轴上，方程设为A+B=1，（A＞0，B＞0，A
B）；
（4）【典例1】中的3，4，5是利用椭圆的定义及几何性质求椭圆方程的问题，解答基本方法是：①根据动点满足等式的几何意义设出椭圆的标准方程；②建立关于a、b、c、e的
方程或方程组；③求解方程或方程组求出a，b的值；④将结果代入假设方程。
〔练习1〕解答下列问题：
1、已知圆A：=36，圆A内一点B（2,0），圆P过点B且与圆A内切，求圆心P的轨迹方程；
2、一动圆与已知圆：+=1外切，与圆：+=81内切，求动圆圆心的轨迹方程；
3、⊿ABC的两个顶点A、B的坐标分别是（-6,0）、（6,0），边AC、BC所在直线的斜率之积等于-，求顶点C的轨迹方程；
4、根据下列条件求椭圆的标准方程：
（1）两准线间的距离为，焦距为2；
（2）和椭圆=1共准线，且离心率为；
（3）和椭圆+=1共准线，且离心率为。
5、已知椭圆的离心率为，一条准线方程为x=16求椭圆的方程。
【典例2】解答下列问题：
1、椭圆+=1的焦距是（
）
A
4
B
8
C
2
D
与m有关
【解析】
【知识点】①椭圆的定义与性质；②求椭圆焦距的基本方法。
【解题思路】运用椭圆的定义与性质，结合问题条件求出，从而求出c的值，利用椭圆焦距的定义求出椭圆的焦距就可得出选项。
【详细解答】椭圆+=1，=+12，=-4，=-=+12
-（-4）=16，c=4，2c=8，B正确，选B。
2、已知椭圆+（m+3）=m（m＞0）的离心率是，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长，焦点和顶点的坐标；
【解析】
【知识点】①椭圆的定义与性质；②椭圆离心率的定义与性质；③求椭圆长轴，短轴，焦距和顶点坐标的基本方法。
【解题思路】运用椭圆的定义与性质，结合问题条件求出，，，从而求出a，b，c的值，利用椭圆长轴，短轴，焦距，顶点坐标的定义就可求出椭圆的长轴，短轴，焦距和顶点的坐标。
【详细解答】椭圆+（m+3）=m
，
+
=1，m＞0，=m，=，=-=m-=，椭圆的离心率e=
=，==
==，m=1，
a=1，b=，c=，椭圆的长轴为2a=2，短轴为2b=1，焦距为2c=，顶点坐标分别为：（-1，0），（1，0），（0，），（0，-）。
3、已知F是椭圆5+9=45的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1,1)是一定点。
（1）求|PA|+|PF|的最小值，并求出P点的坐标；
（2）求|PA|+|PF|的最大值和最小值。
【解析】
【知识点】①椭圆的定义与性质；②椭圆离心率的定义与性质；③三角形三边关系定理及运用。
【解题思路】（1）如图，运用椭圆的定义与性质，椭圆离心率的定义与性质得到|PA|+|PF|=|PA|+=|PA|+|PQ|，就可求出|PA|+|PF|的最小值和P点的坐标；（2）如图，取椭圆的右焦点，连接P，A，根据椭圆的定义得到|P|=6-|PF|，利用三角形三边关系定理得到关于|PA|+|PF|的不等式，求解不等式就可求出|PA|+|PF|的最大值和最小值。
【详细解答】（1）如图，椭圆5+9=45，
y
+=1，=9，=5，=-=9-5
P
=4，a=3，c=2，
e=
=
，|PA|+|PF|
x
=|PA|+=|PA|+|PQ|，当P，A，Q三点共线
时，|PA|+|PF|=|PA|+=|PA|+|PQ|=|AQ|=1+=为|PA|+|PF|的最小值，此时点P的坐标为（-，1），（2）如图，取椭圆的右焦点，连接P，A，|PF|+|P|=6，
|A|==，|P|=6-|PF|，在AP中，||PA|-|P||=||PA|+|PF|-6|
|A|，6-|PA|+|PF|6+，|PA|+|PF|的最大值为6+，最小值为
6-。
4、如图设曲线C：=1（a＞b＞0）的焦点为
y
P
，，且P∈C，=2。
x
求证：的面积。
【解析】
【知识点】①椭圆的定义与性质；②余弦定理及运用；③三角形面积公式及运用。
【解题思路】运用椭圆的定义与性质，余弦定理，结合问题条件得到关于|P|，||P|的等式，从而求出|P|.||P|关于的三角函数式，利用三角形的面积公式通过运算就可证明结论。
【详细解答】曲线C：=1（a＞b＞0）的焦点为，，且P∈C，=2，
|P|+||P|-2|P|.||P|cos2=||，-2|P|.||P|（cos2
+1）=4，|P|.||P|===，=|P|.||P|son2
=sincos=。
『思考题2』
（1）【典例2】涉及到椭圆上的点到焦点或准线距离的问题，解决这类问题常常可直接利用椭圆的定义与性质；
（2）运用椭圆的定义与性质解答问题时，需要认真理解椭圆的两个定义，注意两个定义之间的相互关系；
（3）在实际解答该类问题时，应该根据题给的条件和问题的特征正确选择椭圆两个定义中的某一个或两个。
〔练习2〕解答下列问题：
1、如图所示，已知椭圆C：+=1，
y
D
N
的左右焦点分别为，，点M与C
的焦点不重合，分别延长M，M到
x
P、Q，使得=，=，
Q
D是椭圆C上一点，延长MD到N，若=+，则|PN|+|QN|=（
）
A
10
B
5
C
6
D
3
2、设椭圆=1上一点P到左准线的距离为10，F是该椭圆的左焦点，若点M满足=，则||=
；
3、已知P是椭圆=1上的一点，、是两个焦点，且，求的面积；
【典例3】解答下列问题：
1、已知、是椭圆两个焦点，过且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若AB是正三角形，则这个椭圆的离心率是（
）
A
B
C
D
【解析】
【知识点】①椭圆的定义与性质；②正三角形的定义与性质；③勾股定理及运用。
【解题思路】运用椭圆的定义与性质，正三角形的定义与性质，结合问题条件得到|A|，||A|关于a的式子，利用勾股定理得到关于a，c的等式，从而求出椭圆的离心率就可得出选项。
【详细解答】如图，、是椭圆两个焦点，过
y
且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，AB
A
是正三角形，|A|=a，||A|=a，在RtA
x
中，
|A|+||A|=||，+4=，
B
==，e=，C正确，选C。
2、椭圆=1（a＞b＞0）的右焦点F，其右准线与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P，满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是（
）
A
(0，〕
B
(0，〕
C
〔-1，1）
D
〔，1)
【解析】
【知识点】①椭圆的定义与性质；②椭圆离心率的定义与求法；③线段垂直平分线的定义与性质；
【解答思路】题中焦点在X轴上已经确定，由问题条件得到关于a，c的齐次不等式，进一步化为关于e的一元二次（或一元一次）不等式，然后求解不等式，根据椭圆离心率的取值范围得出结果；
【详细解答】如图,连接PF，线段PA的垂直平分线过
y
P
点F，|PF|=|FA|，|PF|+|OF|=|OF|+|FA|=|OA|=，
A
x
P是椭圆上一点，a-c|PF|a+c，a|PF|+|OF|
=|OF|+|FA|=|OA|a+2c，aa+2c，acac+2，e12+e，
e-1或e1，椭圆离心率e满足：03、如图所示从椭圆=1（a＞b＞0）上一点M
向x轴作垂线恰好通过椭圆的左焦点，且它的长
M
y
B
Q
轴端点A及短轴端点B的连线AB∥OM，（O为椭圆
的中心）。
（1）求椭圆的离心率；
A
X
（2）设Q是椭圆上一点，当Q⊥AB时，延长Q
P
与椭圆交于另一点P，若的面积为20，求此椭圆的方程。
【解析】
【知识点】①椭圆的定义与性质；②椭圆离心率的定义与求法；③两线段平行的充分必要条件；④三角形面积公式与计算的基本方法。
【解答思路】（1）运用椭圆的定义与性质，结合问题条件求出点M，A，B的坐标，根据两线段平行的充分必要条件得到关于a，c的等式，从而求出椭圆的离心率；（2）根据问题条件求出直线PQ的方程，利用三角形面积公式得到关于的方程，求解方程求出的值，从而求出的值就可求出椭圆的方程。
【详细解答】（1）如图，M垂直于X轴，点M在椭圆=1（a＞b＞0）上，A，B分别是椭圆长轴，短轴的端点，M（-c，），A（a，0），B（0，b），
AB∥OM，
-==-，b=c，-=，==e=；（2）设P（，），Q（，），由（1）知e=，=
-=，在椭圆=1，
+=1，Q⊥AB，延长Q与椭圆交于另一点P，直线PQ的方程为：y=
x-
a，由
y=x-a，得5-4ax+=0，+=a，.=，|PQ|=
+=1，=.=a，==，
=|PQ|.=a
==20，=50，==25，
椭圆的方程为：+=1。
『思考题3』
（1）【典例3】是求椭圆离心率的问题，这类问题主要包括两种题型：①求椭圆离心率的值；②求椭圆离心率的取值范围；
（2）若给定椭圆的方程，可根据椭圆的焦点位置确定，，进一步求出a，c，再运用公式e=求解；
（3）若椭圆方程未知，应根据题给条件与几何图形建立a，b，c满足的等式，进一步化为关于a，c的齐次方程求出a，c的关系或化为e的方程求解。
〔练习3〕解答下列问题：
1、已知椭圆两个焦点和短轴的两个端点恰好为一个正方形的四个顶点，则该椭圆的离心率为（
）
A
B
C
D
2、设椭圆的两个焦点分别为，，过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若P为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（
）
A
B
C
2-
D
-1
3、椭圆焦点为，，过的最短弦PQ长为10，PQ的周长为36，则此椭圆的离心率为（
）
A
B
C
D
4、已知O为坐标原点，F是椭圆C：=1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别是椭圆C左右顶点，P为椭圆C上一点，且PFX轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与Y轴交于点E，若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（
）
A
B
C
D
5、已知，是椭圆的两个焦点，满足.=0，的点M总在椭圆内部，则椭圆的离心率的取值范围是（
）
A
(0，1〕
B
(0，〕
C
（0，〕
D
〔,1)
6、已知P是以，为焦点的椭圆=1（a＞b＞0）上的一点，若.=0，tanP=，则此椭圆的离心率为
。
【典例4】解答下列问题：
1、已知，是椭圆+2=2的左右焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么|+|的最小值是（
）
A
0
B
1
C
2
D
2
【解析】
【知识点】①椭圆的定义与性质；②椭圆标准方程与参数方程互化的基本方法；③求三角函数最值的基本方法。
【解答思路】运用椭圆标准
方程与参数方程互化的基本方法，结合问题条件得到点P含参数的坐标，从而得到|+|关于参数的三角函数式，利用求三角函数最值的基本方法求出|+|的最小值就可得出选项。
【详细解答】设点P（cos，sin）是椭圆+2=2上的一个动点，+2=2，
+=1，，是椭圆+2=2的左右焦点，（-1，0），（1，0），
=（-1-cos，-
sin），=（1-cos，-
sin），+=（-2cos，-2
sin），|+|==，当且仅当=k+（kZ）时，|+|=2为最小值，|+|的最小值为2，C正确，选C。
2、如图已知椭圆=1上两个相邻的顶点
y
C
A，C，B，D为椭圆上两个动点且分别在直线AC
B
的异则，求四边形ABCD面积的最大值。
【解析】
A
x
【知识点】①椭圆的定义与几何性质；②椭圆标准
D
方程与参数方程互化的基本方法；③求三角函数最值
的基本方法；④三角形面积公式及运用。
【解答思路】运用椭圆标准
方程与参数方程互化的基本方法，结合问题条件得到点B，D分别含参数，的坐标，从而得到，分别关于，的三角函数式，利用三角形面积公式得到四边形ABCD面积关于，的三角函数式，根据求三角函数最值的基本方法就可求出四边形ABCD面积的最大值。
【详细解答】设点B（4cos，5sin），D（4cos，5sin）（其中2k<<
2k+，2k+<<
2k+2），如图，A，C为椭圆=1上两个相邻的顶点，A(4，0)，C(0，5)，|AC|==，直线AC的方程为：5x+4y-20=0，=
=，==
，=+=|AC|（+）=（
+）=（+
），当且仅当=2k+，=2k+，（kZ）时，
=（20-20+20+20）=20为最大值，的最大值为20。
3、如图P为圆M：+=24上的动点，定点Q（-，0），线段PQ的垂直平分线交线段MP于点N。
y
P
（1）求动点N的轨迹方程；
（2）记动点N的轨迹为曲线C，设圆O：
y
P
+=2的切线l交曲线C于A，B两点，
求|OA|.|OB|的最大值。
【解析】
【知识点】①椭圆的定义与性质；②求点轨迹的基本方法；
③圆的定义与性质；④求已知圆切线的基本方法；⑤求三角函数最值的基本方法。
【解答思路】（1）运用求点轨迹的基本方法，结合问题条件就可求出点N的轨迹方程；（2）
由（1）得到曲线C的方程，运用求已知圆切线的基本方法求出切线l的方程，根据设而不求，整体代入的数学思想，结合图形和平面几何知识就可求出|OA|.|OB|的最大值。
【详细解答】（1）如图，设点P（x，y），P为圆M：+=24上的动点，定点Q（-，0），线段PQ的垂直平分线交线段MP于点N，|PN|=|QN|，|QN|+|NM|=|PN|+|NM|=|PM|=2，动点N的轨迹是以Q，M为焦点的椭圆，2a=2，2c=2，a=，c=，=-=6-3=3，动点N的轨迹方程为：+=1（-x）；
y
（2）如图，设切线l与圆+=2的切点为M（cos，
A
sin），A（，），B（，），由（1）
x
知曲线C的方程为：+=1，切线l的方程为：
B
xcos+ysin-2=0，由
+=1，得：（1+）-4x+-6=0，=
xcos+ysin-2=0，=，
+==，
直线l与圆O：+=2相切，当且仅当M为线段AB的中点，即=2
cos，2cos(1-)=0，
cos=0或cos=
1，=
k+或=k（kZ）时，直线l的方程为：y=或x=，A（-，），B（，），或A（，
），B（，-
），|OA|===2，|OB|===2，
|OA|.|OB|=22=4，|OA|.|OB|的最大值为4。
『思考题4』
（1）【典例4】是求椭圆中的最值问题，解决这类问题的基本思路是：①注意椭圆几何性质中的不等关系（标准方程中x，y的取值范围，离心率的取值范围），②数形结合，函数的
问题；
（2）解决椭圆中的最值问题的常用方法有：①数形结合，几何意义，尤其是椭圆的几何性质，②利用函数，尤其是一元二次函数，③不等式，尤其是一元二次不等式，④
利用一元二次方程根的判别式；
（3）解答与椭圆相关的最值问题，常用的基本方法是将椭圆上的动点表示成关于参数的形式，得到关于参数的三角函数式，利用求三角函数最值的基本方法就可求出问题所求的最值。
〔练习4〕解答下列问题：
1、过原点的直线与椭圆=1（a＞b＞0）相交于A、B两点，F（c，0）是椭圆的右焦点，求FAB面积的最大值；
2、设P是椭圆=1上任意一点，，是椭圆的左右焦点，求cosP的最小值；
3、过椭圆2+=2的一个焦点的直线交椭圆于A、B两点，求AOB面积的最大值（O为坐标原点）；
【典例5】解答下列问题：
1、已知椭圆=1（a＞b＞0）的离心率为，直线ax+y+1=0平分椭圆的一条斜率为的弦，求a的取值范围；
【解析】
【知识点】①椭圆的定义与性质；②直线与椭圆相交的定义与性质；③设而不求，整体代入数学思想及运用。
【解答思路】运用设而不求，整体代入数学思想，结合问题条件求出斜率为的弦中点的坐标，根据直线ax+y+1=0平分弦必过弦的中点得到a关于参数m的式子，利用参数m的取值范围就可求出a的取值范围。
【详细解答】设椭圆弦所在的直线方程为：y=x+m，直线与椭圆分别相较于A（，），B（，），弦AB的中点为
M（，），椭圆=1（a＞b＞0）的离心率为，=-=，题意的方程为：+=1，由
+=1，得：4+
y=x+m，4mx+4-3
=0，+=-m，=-，+=（+）+2m=m，=-m，
=m，M（-m，m），直线ax+y+1=0平分弦AB，-ma+m+1=0，m
=，A，B是不同两点，=16-64+48=-48+48>0，-a，a的取值范围是（，+）。
2、已知椭圆C的中心在原点，焦点在X轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值是3，最小值为1.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A、B两点(A、B不是左右顶点)，且以AB为直径的圆通过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标。
【解析】
【知识点】①椭圆的定义与性质；②求椭圆标准方程的基本方法；③直线与椭圆相交的定义与性质；④设而不求，整体代入数学思想及运用。
【解答思路】（1）运用求椭圆标准方程的基本方法，结合问题条件就可求出椭圆的标准方程；（2）运用设而不求，整体代入数学思想，结合问题条件得到关于k，m的等式，从而得到直线l关于参数k的方程就可证明结论，并求出该定点的坐标。
【详细解答】（1）由题意设椭圆C的标准方程为：=1（a＞b＞0），椭圆C上的点到焦点距离的最大值是3，最小值为1，a+c=3，a-c=1，a=2，c=1，=-=4-1
=3，椭圆C的标准方程为：+
=1；
y
A
（2）设A（，），B（，），椭圆C
M
x
的右顶点为M（2，0），由椭圆C：+
=1，
B
与直线l：y=kx+m联立得：（3+4）+8kmx+4-12=0，+=-，
=，.=+km（+）+=-
+=，=（-2，），=（-2，），以AB为直径的圆通过椭圆C的右顶点M，.=-2（+）+4+.=+
++==0，m=-2k或m=-k，①当
m=-2k时，直线l的方程为：y=kx-2k，令y=0得x=2，直线l过定点（2，0）；②当
m=-k时，直线l的方程为：y=kx-k，令y=0得x=，直线l过定点（，0），综上所述直线l过定点，定点的坐标是（2，0）或（，0）。
3、一动圆过定点A（-，0）且与定圆B=12相切。
（1）求动圆圆心C的轨迹方程；
（2）过点P（0,2）的直线l与轨迹C交于不同两点E、F，求的取值范围。
【解析】
【知识点】①椭圆的定义与性质；②求点轨迹方程的基本方法；③直线与椭圆相交的定义与性质；④设而不求，整体代入数学思想及运用。
【解答思路】（1）运用求点轨迹方程的基本方法，结合问题条件就可求出动圆圆心C的轨迹方程；（2）运用设而不求，整体代入数学思想，结合问题条件得到关于参数m的等式，从而求出的取值范围。
【详细解答】（1）圆圆心C（x，y），|CA|=，|CB|=，
动圆过定点A（-，0）且与定圆B=12相切，12>（2）=8，|CB|
=2-|CA|，|CA|+|CB|=2，动圆圆心C的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，a=，
c=，=-=3-2=1，动圆圆心C的轨迹方程是：+=1（-x）；
（2）设E（，），F（，），过点P（0,2）的直线l的方程为：x=my-2m，如图，由直线l的方程x=my-2m与椭圆+=1联立得：（+3）-4y+4-3=0，
+=，.=，=.-2（+）+4=
-+=，=（，-2），=（，-2），
=+.-2（+）+4=+-+==9-，
E，F是不同两点，=16-16+36-36=36-36>0，>1，
=9->9-=，的取值范围是（，+）。
『思考题5』
（1）【典例5】是椭圆与直线相交的综合问题，解答这类问题需要理解直线和椭圆相交的定义，掌握直线方程和椭圆方程的求法，明确处理直线与椭圆相交问题的基本思路是联立直线方程和椭圆方程消去y（或x）得到关于x（或y）的一元二次方程，再运用设而不求，整体代入数学思想；
（2）如果问题中涉及到过定点的直线时，注意需要对直线的斜率存在还是不存在的两种情况分别考虑；在实际解答该类问题时，为避免直线的斜率存在还是不存在分别考虑的繁杂过程，也可以直接设过定点的直线方程为：x=my+n。
〔练习5〕解答下列问题：
1、直线l过点M（1,1）与椭圆=1相交于A、B两点，若AB的中点是M，求直线l的方程；
2、动椭圆C以坐标原点为左焦点，以直线x=-8为左准线，点B是椭圆C的短轴的一个端点，线段BO的中点为M。
（1）求点M的轨迹方程；
（2）已知k∈R，=（1,0），=（0,1）经过点（-1，0））且以+k为方向向量的直线L与M的轨迹相交于E、F两点，又点D的坐标为（1,0）若为钝角，求k的取值范围。
【典例6】解答下列问题：
1、（1）设椭圆C：=1（a＞b＞0）的左，右顶点为A，B，P是椭圆上不同于A，B的一点，设直线AP，BP的斜率分别为m，n，则当（3-）++3（ln|m|+ln|n|）取得最小值时，椭圆C的离心率为（
）
A
B
C
D
（2）设椭圆C：=1（a＞b＞0）的左，右顶点为A，B，P是椭圆上不同于A，B的一点，设直线AP，BP的斜率分别为m，n，则当+ln|m|+ln|n|取得最小值时，椭圆C的离心率为（
）
A
B
C
D
【解析】
【考点】①椭圆的定义与性质；②直线斜率的定义与求法；③对数的定义与运算；④函数最值的定义与求法；⑤椭圆离心率的定义与求法；
【解题思路】（1）根据已知直线上两点的坐标，求直线斜率的公式，分别求出直线AP,BP的斜率m，n，把求出的m，n代入式子得到关于a，b的函数，由该函数取最小值时满足的条件求出a，b的比值，从而得到a，c之间的关系，然后求出椭圆的离心率；（2）根据已知直线上两点的坐标，求直线斜率的公式，分别求出直线AP,BP的斜率m，n，把求出的m，n代入式子得到关于a，b的函数，由该函数取最小值时满足的条件求出a，b的比值，从而得到a，c之间的关系，然后求出椭圆的离心率。
【详细解答】（1）如图，设P（x，y）是椭圆C上的一点，
y
A（-a，0），B（a，0），m==，n=
P
=，mn=.=，点P
A
B
x
（x，y）在椭圆C:
+=1（a>b>0）上，=，mn=-，（3+）-+3ln，设t=，t（1，+），f(t)=t(2+)-2+3ln=-2+3t-3ln，(t)=2-4t+3-=，设g(t)=
，（t）=6-8t+3>0在（1，+）上恒成立，
g(t)在（1，+）上单调递增，
g(2)=2
8-4
4+3
2-6=0，
g(t)
在（1，+）上存在唯一零点t=2，(t)
在（1，+）上存在唯一零点t=2，
t（1，2）时，(t)
<0，t（2，+），(t)>0，
f(t)在（1，2）上单减，在（2，+）
上单增，当t==2，即a=2b时，（3+）-+3ln取得最小=4-=3，
==，e=，D正确，选D；
（2）如图，设P（x，y）是椭圆C上的一点，A（-a，0），B（a，0），m==，n=
=，mn=.=，点P
y
（x，y）在椭圆C:
+=1（a>b>0）上，
A
B
x
=，mn=-，+ln|m|+ln|n|
=+ln，设t=，t（1，+），f(t)=t+ln=t-ln，(t)=1-=，令(t)=0得t=2，
当t（1，2）时，
(t)
<0，当t（,2，+）时，(t)
>0，
f(t)在（1，2）上单减，在（2，+）上单增，当t==2，即a=2b时，+ln取得最小值，=4-=3，==，e=，D正确，选D。
2、已知曲线C：
x=2cos，（为参数），若点P在曲线C上运动，点Q为直线l：x+2y-4
y=sin，=0上的动点，则|PQ|的最小值为
。
【解析】
【考点】①曲线参数方程的定义与性质；②点到直线的距离公式与求法；③求三角函数最值的基本方法。
【解题思路】运用曲线参数方程的性质和点到直线的距离公式，结合问题条件得到|PQ|的三角函数表示式，利用求三角函数最值的基本方法就可求出|PQ|的最小值。
【详细解答】点P在曲线C上运动，点Q为直线l：x+2y-4=0上的动点，|PQ|
==，当=2k+，即=2k+
（kZ）时，
|PQ|==为最小，|PQ|的最小值为。
3、（1）如图，在ABC中，已知BAC=，其内切圆与AC边相切于点D，延长BA到E，使BE=BC，连接CE，设
以E，C
为焦
B
点且经过点A的椭圆的离心率为，以E，
C为焦点且经过点A的双曲线的离心率为
D
A
，则当+取最大值时，的值为
；
C
E
（2）如图，在ABC中，已知BAC=，其内切圆与AC边相切于点D，AD：DC=1：5，延长BA到E，使BE=BC，连接CE，设以E，C为焦点且经过点A的椭圆的离心率为，以E，C为焦点且经过点A的双曲线的离心率为，则+的值为
。
【解析】
【考点】①椭圆的定义与性质；②双曲线的定义与性质；③直线与圆相切的定义与性质；④余弦定理及运用；⑤求椭圆离心率的基本方法；⑥求双曲线离心率的基本方法。
【解题思路】（1）设AD=1，=，运用直线与圆相切的性质，余弦定理，结合问题条件分别求出CD,AC,AE,CE关于参数k的式子，从而求出c,
，关于参数k的式子，利用求椭圆和双曲线离心率的基本方法分别求出，关于参数k的式子，得到+关于参数k的函数，利用求函数最值的基本方法就可求出的值；（2）设AD=1，运用直线与圆相切的性质，余弦定理，结合问题条件分别求出CD,AC,AE,CE的值，从而求出c,
，的值，利用求椭圆和双曲线离心率的基本方法分别求出，的值就可求出+的值。
【详细解答】（1）设AD=1，=（k>1），ABC的内切圆与AC边相切于点D，BE=BC，CD=k，AC=k+1，AE=k-1，BAC=，BAC+EAC=，EAC
=，=+-2AC.AEcos=+2k+1+-2k+1-2(k+1)(k-1)
=+3，
CE=，c=，=k，=1，==，==，
+=+，设k=ttan，(，)，f()=4sin+cos
=
sin(+)（其中tan
=
），当且仅当sin(+)=1，即2sin+cos
=，
sin=，cos=，k=ttan=6时，f()=4sin+cos
取最大值，+取最大值时，=。
（2）设AD=1，ABC的内切圆与AC边相切于点D，BE=BC，AD：DC=1：5，CD=5，AC=1+5=6，AE=5-1=4，BAC=，BAC+EAC=，EAC
=，=+-2AC.AEcos=36+16-264=28，CE=2，c=，=5，=1，==，==，+=+=。
『思考题6』
（1）【典例6】是近几年高考或高三诊断考试有关椭圆的问题，解答这类问题需要抓住问题结构的特征，采用相应类型问题解答的基本方法去解答问题；
（2）纵观近几年高考试卷，归结起来椭圆问题主要包括：①求椭圆的标准方程；②椭圆定义与几何性质的运用；③求椭圆离心率的值或取值范围；④与椭圆相关的最值问题；⑤直线与椭圆位置关系问题等几种类型。解答时应该注意各种类型问题结构上的特征，采用恰当的方法给予解答。
〔练习6〕解答下列问题：
1、“4＜k＜6”是“+=1为椭圆方程”的（
）
A
充分不必要条件
B
必要不充分条件
C
充分必要条件
D
既不充分也不必要条件
2、在平面内，已知理定点A，B间的距离为2，动点P满足|PA|+|PB|=4，若APB=
，则APB的面积为（
）
A
B
C
2
D
3
3、（1）已知斜率为k的直线l与椭圆C：+=1相交于A，B两点，若线段AB的中点为M（-1，1），则k的值是
；
（2）已知斜率为k的直线l与双曲线C：-=1相交于A，B两点，若线段AB的中点为M（2，1），则k的值是
。
4、已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点F在X轴上，抛物线C上一点P（4，m）到焦点F的距离为。
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）设点M（-2，1），过点N（2，0）的直线l与抛物线C相交于A，B两点，记直线AM与直线MB的斜率分别为，，证明：+为定值。
5、已知椭圆C的焦点（-1，0），（1，0），都P（1，）在椭圆C上。
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若斜率为的直线l与椭圆C相交于A，B两点，点Q满足=2，求ABQ面积的最大值。
P
O
F
O
A
F
O
0
o
0
M
O
P
o
0
O
F
0
0
0
O
N
Q
O
M
O
O
O
P
O

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