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数列放缩技巧大本营
证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：
一、裂项放缩
技巧积累:(1)
(2)
(3)
(4)
(5) (6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
(15)
(16)
(17)
二、函数放缩
(1)
(2)
（3）根据具体题目够造函数，利用求导判断单调性证明不等式。
三、分式放缩
“糖水”不等式:和
应用：（1），
解析:
即
（2）
解析: 运用两次次分式放缩: (加1)
(加2)
相乘即证。
四、分类放缩
（1）
（2）
五、迭代放缩
例. 已知,求证:当时,
解析:通过迭代的方法得到,然后相加就可以得到结论
例. 设,求证:对任意的正整数k,若k≥n恒有:|Sn+k－Sn|<
解析:
又 所以
六、借助数列递推关系
例.求证:
解析: 设则
,从而,相加后就可以得到
所以
例. 若,求证:
解析:
所以就有
七、分类讨论
例.已知数列的前项和满足证明：对任意的整数，有
解析:容易得到,
由于通项中含有，很难直接放缩，考虑分项讨论：
当且为奇数时
（减项放缩），于是
①当且为偶数时
②当且为奇数时（添项放缩）由①知由①②得证。
八、均值不等式放缩
例.设求证
解析: 此数列的通项为，，即
注：①应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式，若放成则得，就放过“度”了！
②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里
其中，等的各式及其变式公式均可供选用。
例.求证
解析: 不等式左
=，原结论成立.
九、二项放缩
,,
例.证明：
简证如下：利用二项展开式进行部分放缩：
只取前两项有对通项作如下放缩：
故有
例.设，求证.
解析: 观察的结构，注意到，展开得
，
即，得证.
十、部分放缩(尾式放缩)
例.求证:
解析:
例. 设求证：
解析:
又（只将其中一个变成，进行部分放缩），，
于是
例.设数列满足，当时证明对所有 有；
解析: 用数学归纳法：当时显然成立，假设当时成立即，则当时
，成立。
利用上述部分放缩的结论来放缩通项，可得
注：上述证明用到部分放缩，当然根据不等式的性质也可以整体放缩：；证明就直接使用了部分放缩的结论
十一、三角不等式的放缩
例.求证:.
解析:(i)当时, (ii)当时,构造单位圆,如图所示:
因为三角形AOB的面积小于扇形OAB的面积 所以可以得到
当时 所以当时有
(iii)当时, ,由(ii)可知: 所以综上有
十二、使用加强命题法证明不等式
(i)同侧加强 对所证不等式的同一方向(可以是左侧,也可以是右侧)进行加强.如要证明,只要证明,其中通过寻找分析,归纳完成.
(ii)异侧加强(数学归纳法)
(iii)双向加强
有些不等式,往往是某个一般性命题的特殊情况,这时,不妨”返璞归真”,通过双向加强还原其本来面目,从而顺利解决原不等式.其基本原理为:
欲证明,只要证明:.
例.已知数列满足:,求证:
解析: ,从而,所以有
,
所以
又,所以,所以有
所以
所以综上有
引申:已知数列满足:,求证: .
解析:由上可知,又,
所以
从而
又当时,,所以综上有.
同题引申: (2008年浙江高考试题)已知数列,,,.
记,.
求证:当时. (1); (2); ★(3).
解析:(1),猜想,下面用数学归纳法证明:
(i)当时,,结论成立;
(ii)假设当时,,则时,
从而,所以 所以综上有,故
(2)因为则,,…, ,相加后可以得到: ,所以,所以
(3)因为,从而,有,所以有
,从而
,所以
,所以
所以综上有.
十三、经典题目方法探究
探究1.(2008年福建省高考)已知函数.若在区间上的最小值为,令.求证:.
证明:首先:可以得到.先证明
(方法一)
所以
(方法二)因为,相乘得:
,从而.
(方法三)设A=,B=,因为A所以,从而.
下面介绍几种方法证明
(方法一)因为,所以,所以有
(方法二),因为,
所以 令,可以得到,所以有
(方法三)设所以,从而,从而
又,所以
(方法四)运用数学归纳法证明:
(i)当时,左边=,右边=显然不等式成立;
(ii)假设时,,则时,
,
所以要证明,只要证明,这是成立的.
这就是说当时,不等式也成立,所以,综上有
探究2.(2008年全国二卷)设函数.如果对任何，都有，求的取值范围．
解析:因为,所以
设,则
,
因为,所以
(i)当时, 恒成立,即,所以当时, 恒成立.
(ii)当时,,因此当时,不符合题意.
(iii)当时,令，则故当时,.
因此在上单调增加.故当时,,
即.于是，当时，
所以综上有的取值范围是
变式：若,其中且,,求证:
.
证明：容易得到由上面那个题目知道
就可以知道

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