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抛物线问题的类型与解法
抛物线问题是近几年高考的热点内容之一。高考试卷中，很多试卷都有抛物线问题。从题型上看，不是小题就是大题，难度为低档或中档。纵观近几年高考试卷，归结起来抛物线问题主要包括：①求抛物线的标准方程；②抛物线定义与几何性质的运用；③与抛物线相关的最值问题；④直线与抛物线位置关系问题等几种类型。各种类型问题结构上具有一定的特征，解答方法也各不相同。那么在实际解答抛物线问题时到底应该如何抓住问题的结构特征，快捷，准确的解答问题呢？下面通过典型例题的详细解析来回答这个问题。
【典例1】解答下列问题：
1、已知双曲线：=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，若抛物线：=2py
(p＞0)的焦点到双曲线的渐近线的距离为2，则抛物线的方程为（
）
A
=y
B
=y
C
=8y
D
=16y
【解析】
【知识点】①双曲线的定义与性质；②双曲线离心率的定义与性质；③抛物线的定义与性质；④求抛物线标准方程的基本方法。
【解题思路】运用双曲线的性质，双曲线离心率的定义，结合问题条件求出双曲线的渐近线方程，根据点到直线的距离公式得到关于p的方程，求解方程求出p的值得出抛物线的方程就可得出选项。
【详细解答】双曲线：=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，
=2，
=4，=-=3，=，双曲线的渐近线方程为：y=
x，抛物线：=2py
(p＞0)的焦点为F（0，），===2，p=8，抛物线的方程为
：=16y，D正确，选D。
2、设抛物线C:=3px（p≥0）的焦点为F，点M在C上，|MF|=5，若以MF为直径的圆过点（0,2），则C的方程为（
）
A
=8x
或=4x
B
=8x或=2x
C=4x
或=16x
D=2x或=16x
【解析】
【知识点】①抛物线的定义与性质；②圆的定义与性质；③求抛物线标准方程的基本方法。
【解题思路】如图，过点M作MN垂直抛物线的准线于点N，运用抛物线的性质，结合问题条件求出点M的坐标，从而得到以MF的为直径的圆的方程，根据点（0,2）在圆上，得到关于p的方程，求解方程求出p的值得出抛物线的方程就可得出选项。
【详细解答】如图，过点M作MN垂直抛物线的
y
准线于点N，点M是抛物线C:=3px（p≥0）
N
M
上一点，焦点为F，|MF|=5，+=MF=5，
0
F
x
=5-，=，以MF为直径的圆的方程为：
+=，圆过点（0,2），+=，p=或p=，
抛物线C的方程为：=4x或=16x，C正确，选C。
3、分别求出满足下列条件的抛物线的标准方程：
（1）过点（-3，2）；
（2）焦点在直线x-2y-4=0上。
【解析】
【知识点】①抛物线的定义与性质；②求抛物线标准方程的基本方法。
【解题思路】（1）由题意设抛物线的方程为：=-2px（p>0）或=2py（p>0），根据点（-3，2）在抛物线上得到关于p的方程，求解方程求出p的值就可求出抛物线的标准方程；（2）根据焦点在直线x-2y-4=0上分别求出抛物线在X轴和Y轴上的焦点，从而得到抛物线的标准方程。
【详细解答】（1）由题意设抛物线的方程为：=-2px（p>0）或=2py（p>0），点（-3，2）在抛物线上，4=6p或9=4p，p=或p=，抛物线的标准方程为：=-x或
=y；（2）抛物线的焦点在直线x-2y-4=0上，令y=0得x=4，令x=0得y=-2，抛物线的焦点分别为（4，0），（0，-2），抛物线的标准方程为：=16x或=-8y。
5、抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线=1的一个焦点，并且这条准线与双曲线的两个焦点连线垂直，又抛物线与双曲线交于点（，），求抛物线和双曲线的方程。
【解析】
【知识点】①双曲线的定义与性质；②求双曲线标准方程的基本方法；③抛物线的定义与性质；④求抛物线标准方程的基本方法。
【解题思路】由题意设抛物线的标准方程为：=2px（p>0），由抛物线的性质和求抛物线标准方程的基本方法，结合已知求出抛物线的标准方程，从而得到双曲线交点的坐标，结合已知得到关于，的方程组，求解方程组得到，的值就可求出双曲线的标准方程。
【详细解答】由题意设抛物线的标准方程为：=2px（p>0），抛物线与双曲线交于点（，），6=3p，p=2，抛物线的标准方程为：=4x；抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线=1的一个焦点，c=1①，抛物线与双曲线交于点（，），
-=1②，联立①②解得：=，=，双曲线的标准方程为：-=1。
5、已知定点A（0，t）(t≠0)，点M在抛物线=x上，A关于M的对称点N。
（1）求点N的轨迹方程；
（2）设（1）所求轨迹与抛物线=x交于B、C两点，当AB⊥AC时，求t的值.
【解析】
【知识点】①抛物线的定义与性质；②求轨迹方程的基本方法；③对称点的定义与性质；④两直线垂直的充分必要条件；⑤设而不求，整体代入数学思想的运用。
【解题思路】（1）设点N（x，y），根据对称点的性质求出点M关于x，y的坐标，利用点M在抛物线=x上就可求出点N的轨迹方程；（2）设B（，），C（，），运用设而不求，整体代入数学思想得到关于参数t的方程，求解方程就可求出t的值。
【详细解答】（1）设点N（x，y），A关于M的对称点N，==，
=，点M（，），点M在抛物线=x上，点N的轨迹方程为：
=2x（x>0）；（2）设B（，），C（，），由
=x，得：-2ty-=0，+
=2x，=2t，.=-，
.===，=(，-t），
=（，-t），AB⊥AC，
.
=.+（-t））（-t）=.+.-t（+）+=--2+=-2=0，
t=0或t=
，t≠0，
t=
。
6、如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标
y
P
原点，点P(1,2)，A（），B（）均在抛物
线上。
0
x
（1）求抛物线的方程及其准线方程；
A
（2）当PA与PB的斜率存在，且倾斜角互补时，
求+的值及直线AB的斜率；
B
【解析】
【知识点】①抛物线的定义与性质；②求抛物线标准方程的基本方法；③直线倾斜角的定义与性质；④已知直线倾斜角，求直线斜率的基本方法。
【解题思路】（1）由题意设抛物线的标准方程为：=2px（p>0），根据点P（1，2）在抛物线上，得到关于p的方程，求解方程求出p的值就可得到抛物线的标准方程；（2）由点A（，），B（，）在抛物线上，得到关于，，，的式子，运用已知直线倾斜角，求直线斜率的基本方法，结合已知得到又一个关于，，，的式子，联立两个式子就可求出+的值及直线AB的斜率。
【详细解答】（1）由题意设抛物线的标准方程为：=2px（p>0），点P（1，2）在抛物线上，4=2p，p=2，抛物线的标准方程为：=4x；==
=，===，直线PA与直线PB的倾斜角互补，+=+==0，=0，+=-4，点A（），B（）在抛物线=4x上，=4，=4，（+）（-）=4（-），===-1。
『思考问题1』
（1）【典例1】是求抛物线标准方程的问题，解答这类问题应该注意抛物线的标准方程有四种不同的形式及各种形式标准方程的特征；
（2）求抛物线方程的常用方法有：①待定系数法；②定义法（即求点的轨迹方程法）；
（3）抛物线的焦点位置确定后，设抛物线的标准方程时还需要考虑其开口方向；如果开口方向不确定，则标准方程可设为:
=2ax(a0)(焦点在X轴上)，或=2ay(a0)(焦点在Y轴上)；
（4）求抛物线标准方程的基本方法是：①确定抛物线焦点的位置和开口方向；②设抛物线的标准方程；③根据条件求出参数p的值；④得到抛物线的标准方程。
〔练习1〕解答下列问题：
1、已知抛物线的准线方程为x=-7，则抛物线的标准方程为（
）
A
=-28y
B
=28x
C
=-28x
D
=28y
2、以双曲线-=1的中心为顶点，左焦点为焦点的抛物线方程是
；
3、求满足下列条件抛物线的标准方程：
（1）
过点（3，-2）；
（2）
焦点在直线2x+y-6=0上；
4、已知抛物线S的顶点在原点，焦点在X轴上，ABC的重心为抛物线的焦点，若BC所在直线的方程为l：4x+y-20=0，求抛物线的方程。
【典例2】按要求解答下列各题：
1、设圆C与圆+=1外切，与直线y=0相切，则C的圆心轨迹为（
）
A
抛物线
B
双曲线
C
椭圆
D
圆
【解析】
【知识点】①抛物线的定义与性质；②圆的定义与性质；③求点轨迹方程的基本方法。
【解题思路】设C（x，y），根据圆与圆，圆与直线相切的性质，得到关于x，y的式子，利用抛物线的定义判断C的圆心轨迹就可得出选项。
【详细解答】设C（x，y），圆C的半径为R，圆+=1的圆心为M（0，3），半径为1，|CM|==
，=|y|=R，圆C与圆+=1外切，与直线y=0相切，|CM|=1+=|y|，=，C的圆心轨迹方程为：=8（y-1）或=4（y-2）均为抛物线，A正确，选A。
2、已知抛物线关于X轴对称，它的顶点坐标在原点，并且经过点M（2，），若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|=（
）
A
2
B
2
C
4
D
2
【解析】
【知识点】①抛物线的定义与性质；②求抛物线标准方程的基本方法。
【解题思路】运用求抛物线标准方程的基本方法得到含的抛物线标准方程，根据抛物线的性质得到关于的方程，求解方程得出的值求出|OM|的值就可得出选项。
【详细解答】如图，过点M作MN垂直抛物线
N
y
M
准线于点N，由题意设抛物线的标准方程为：
=2px（p>0），点M（2，）在抛物线上，
0
F
x
=4p，p=，抛物线的标准方程为：=x，
|MF|=3，2+=3，=2，|OM|==
2，B正确，选B。
3、F是抛物线=2x的焦点，A、B是抛物线上的两点，|AF|+|BF|=6，则线段AB的中点到Y轴的距离为
；
【解析】
【知识点】①抛物线的定义与性质；②梯形的定义与性质。
【解题思路】如图，运用抛物线的性质，结合已知条件求出|MN|的值，从而求出线段AB中点M到Y的距离。
C
y
A
【详细解答】如图，设线段AB的中点为M，分别
过点A，B，M作AC垂直抛物线准线于点C，BD
N
M
垂直抛物线准线于点D，MN垂直抛物线准线于点N，
0
F
x
F是抛物线=2x的焦点，A、B是抛物线上的两
D
B
点，|AF|+|BF|=6，|AC|+|BD|=6，M是线段AB的中点，|MN|==3，点M到Y轴的距离为：3-=，线段AB中点到Y轴的距离是。
4、求证：以抛物线的焦点弦为直径的圆一定和准线相切；
【解析】
【知识点】①抛物线的定义与性质；②梯形的定义与性质。
【解题思路】如图，设抛物线的标准方程为：=2px（p>0），线段AB为抛物线的焦点弦，运用抛物线的性质得到|MN|===，从而结论得证。
【详细解答】证明：如图，设线段AB的中点为M，
C
y
A
分别过点A，B，M作AC垂直抛物线准线于点C，BD
垂直抛物线准线于点D，MN垂直抛物线准线于点N，
N
M
F是抛物线=2px的焦点，A、B是抛物线上的两
0
F
x
点，|AF|+|BF|=
|AC|+|BD|，M是线段AB的中点，
D
B
|MN|===，以|AB|为直径的圆与直线CD相切，
以抛物线的焦点弦为直径的圆一定和准线相切。
y
B
5、如图直线和相交于点M，⊥，点N∈，
A
以定点A、B为端点的曲线段C上任一点到的距离与
M
0
N
x
它到定点N的距离相等，若为锐角三角形，|
AM|=，|AN|=3，|BN|=6，求曲线段C的方程。
【解析】
【知识点】①抛物线的定义与性质；②建立直角坐标系的基本方法；③求点轨迹方程的基本方法。
【解题思路】如图，作线段MN的垂直平分线l，以直线l与线段MN的交点O为原点，直线为X轴，直线l为Y轴建立直角坐标系xoy，设P(x，y)为曲线段C上任意一点，由题意曲线段C是抛物线=2px（p>0）的一部分，结合已知条件求出点M，N，A，B的坐标就可求出曲线段C的方程。
【详细解答】如图，作线段MN的垂直平分线l，以直线l与线段MN的交点O为原点，直线为X轴，直线l为Y轴建立直角坐标系xoy，设P(x，y)为曲线段C上任意一点，曲线段C的方程为：=2px（p>0），M（-，0），N（，0），A（，），B（，），|
AM|=，|AN|=3，|BN|=6，+=17，+=9，
+=36，=2，p=2或p=4，=2或=4，当p=2时，在AMN中，
|
AM|=，|AN|=3，|MN|=2，cosANM==-<0，ANM是钝角，与为锐角三角形矛盾，=2，p=4，
=4，
M（-2，0），N（2，0），A（1，2），B（4，4），曲线段C的方程为：=8x（1x4，y>0）。
『思考问题2』
（1）【典例2】是与抛物线的定义相关的问题，解答这类问题需要理解抛物线的定义，并注意定义中的定点不能在定直线上这一隐含条件；
（2）抛物线的定义中到定点与到定直线的距离相等表明抛物线的离心率e=1，在解决抛物线定义的运用问题时往往把到定点的距离转化为到定直线的距离。
〔练习2〕解答下列问题：
1、给定抛物线=2x，设A（a,0）（a＞0），P是抛物线上的一点，且|PA|=d，试求d的最小值；
2、已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点在Y轴上，抛物线上的点M（m，-2）到焦点的距离为4，求m的值；
3、由点（-2,0）向抛物线=4x引弦AB，求弦AB的中点M的轨迹方程；
4、过抛物线=2px
(p＞0)的焦点F的弦AB，
y
A
点A、B在抛物线准线上的射影分别为、。
求
。
0
F
x
【典例3】解答下列问题：
B
1、抛物线y=a的准线方程为y=2，则a的值为（
）
A
B
-
C
8
D
-8
【解析】
【知识点】①抛物线的定义与性质；②抛物线准线方程的定义与求法。
【解题思路】运用抛物线的性质，求抛物线准线方程的基本方法，结合已知条件得到关于参数a的方程，求解方程求出a的值就可得到选项。
【详细解答】抛物线y=a，=，抛物线的准线方程为：y=-=2，a
=
-，B正确，选B。
2、以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点，已知AB=4，
DE=2，则C的焦点到准线的距离为（
）
A
2
B
4
C
6
D
8
【解析】
【知识点】①抛物线的定义与性质；②圆的定义与性质。
【解题思路】如图，设抛物线C的方程为：=2px（p>0），圆O的方程为：+=，点A（，2），D（-，），运用抛物线的性质，圆的性质，结合已知条件得到关于，p，r的方程组，求解方程组求出p的值就可得到选项。
y
【详细解答】如图，设抛物线C的方程为：=2px
D
A
（p>0），圆的方程为：+=，点A（，2），
x
D（-，），点A既在抛物线C，又在圆O上，
点D在圆O上，8=2p①，+8=②，+5=③，联立①②③解得p=4，抛物线C焦点到准线的距离为4，B正确，选B。
3、已知抛物线=2px
(p＞0)的焦点为F，
A(，)，B（，）是过F的直线与抛物线的两个交点，求证：
（1）=-，=；
（2）+为定值；
（3）以AB为直径的圆与抛物线的准线相切。
【解析】
【知识点】①抛物线的定义与性质；②圆的定义与性质；③设而不求，整体代入数学思想。
【解题思路】（1）如图，设A(，)，B（，），过抛物线C焦点F的直线方程为：
x=my+，联立抛物线和直线方程得到关于y的一元二次方程，运用设而不求，整体代入数学思想就可证明结论；（2）如图，分别过点A，B作AD垂直抛物线C准线于点D，BE垂直抛物线C准线于点E，根据抛物线的性质，结合已知条件得到|FA|+
|FB|，|FA|.|FB|关于p，m的式子，从而证明+为定值；（3）如图，设线段AB的中点为M，过点M作MN垂直抛物线准线于点N，运用抛物线的性质得到|MN|==
=，从而结论得证。。
y
【详细解答】（1）证明：如图，设A(，)，B（，
D
A
），过抛物线C焦点F的直线方程为：x=my+，由
0
F
x
x=my+，得：-2pmy-=0，+=2pm，
E
B
=2px，.=-，.=.+（+）+=-+
+=，=-，=；（2）如图，分别过点A，B作AD垂直抛物线C准线于点D，BE垂直抛物线C准线于点E，|FA|=+，
|FB|=+，|FA|+
|FB|=+，
++=++p=m（+）+2p=2p（1+），|FA|.
|FB=（+）（+）=.
+（+）+=+（2p+p）+=（1+），+
===为定值；（3）如图，设线段AB的中点为M，过点M作MN垂直抛物线C准线于点N，|MN|===，以|AB|为直径的圆与直线DE相切，
以|AB|为直径的圆与抛物线C的准线相切。
『思考问题3』
（1）【典例3】是与抛物线的几何性质相关的问题，解答这类问题首先需要理解抛物线的几何性质，再分辨清楚问题与抛物线的哪一几何性质相关；
（2）设AB是过抛物线=2px
(p＞0)焦点F的弦，A(，)，B（，），则：=；=-；弦长|AB|=++p=
（为弦AB的倾斜角）；+=；
以弦AB为直径的圆与抛物线准线相切；过抛物线焦点且垂直于对称轴的弦，叫做抛物线的通径，且它等于2p；
（3）设抛物线方程为=2px
(p＞0)焦点为F，过点F的直线交抛物线于，A(，)，B（，），分别过A、B两点作抛物线的切线，，两切线相交于M，则：；点M的坐标为M（，）。
〔练习3〕解答下列问题：
1、抛物线y=2的焦点坐标是（
）
A
（0，）
B
（，0）
C
（0，）
D
（，0）
2、对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：①焦点在Y轴上；②焦点在X轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④抛物线的通经长为5；⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2,1）。其中适合抛物线=10x的体积是（要求填写适合条件的序号）
；
3、若抛物线=4x上一点P到其焦点的距离为3，延长PF交抛物线于点Q，若O为坐标原点，则=
。
【典例4】解答下列问题：
1、已知抛物线=2x
的焦点是F，点P是抛物线上的动点，若点A（3，2）则|PA|+|PF|取最小值时，点P的坐标为
；
【解析】
【知识点】①抛物线的定义与性质；②线段公理及运用。
【解题思路】如图，过点P作PQ垂直抛物线准线于点Q，运用抛物线的性质得到|PA|+|PF|=
|PA|+|PQ|，利用线段公理就可得出当Q，P，A三点共线时|PA|+|PF|取最小值，从而求出点P的坐标。
y
【详细解答】如图，过点P作PQ垂直抛物线准线
Q
P
于点Q，抛物线=2x
的焦点是F，点P是抛物
A
线上的动点，|PA|+|PF|=|PA|+|PQ|，当Q，P，A
0
F
x
三点共线时|PA|+|PF|取最小值，此时点P的坐标为：
P（2，2），|PA|+|PF|取最小值时，点P的坐标为（2，2）。
2、过抛物线=2px的焦点F作倾斜角为的直线交抛物线于A、B两点，设AOB的面积为S（O为坐标原点）。
（1）用，p表示S；
（2）求S的最小值；若最小值为4时，求此时的抛物线方程。
【解析】
【知识点】①抛物线的定义与性质；②直线倾斜角的定义与性质；③设而不求，整体代入数学思想及运用；④三角形面积公式及运用；⑤求三角函数最值的基本方法。
【解题思路】（1）如图，设A(，)，B（，），运用直线倾斜角的性质，结合已知条件得到直线的方程，由直线方程，抛物线方程联立得到关于x的一元二次方程，根据设而不求，整体代入数学思想将|AB|，表示为关于，p的式子，利用三角形面积公式就可把S表示成关于，p的式子；（2）运用求三角函数最值的基本方法求出S的最小值，根据最小值为4得到关于p的方程，求解方程求出p的值就可得到抛物线的标准方程。
【详细解答】（1）如图，设A(，)，B（，），
y
A
①当时，直线的倾斜角为，且过点F（，
0），直线的方程为：y=tan(x-)，由
=2px，得：
0
F
x
y=tan(x-)，
B
tan
-p（tan
+2）x
+tan
，+=，.=
=，|AB|=.=2|p|.=2|p|
=，===，S=..
=；②当=时，直线过点F（，0），直线方程为：x=，由
x=，得：A（，p），B
（，-p），|AB|=2p，=，S=.2p.
=，
=2px，综上所述S=
，=，（2）<<，S=，
，，当且仅当=，
S=有最小值，
=4，p=2，抛物线的方程为：=4x或=-4x。
3、已知抛物线=2px（p＞0），过动点M（a，0）且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同的两点A、B。
（1）若|AB|≤2p，求a的取值范围；
（2）若线段AB的垂直平分线交X轴于点N，求NAB面积的最大值。
【解析】
【知识点】①抛物线的定义与性质；②直线斜率的定义与性质；③设而不求，整体代入数学思想及运用；④三角形面积公式及运用；⑤求函数最值的基本方法。
【解题思路】（1）如图，设A(，)，B（，），运用直线斜率的性质，结合已知条件得到直线的方程，由直线方程，抛物线方程联立得到关于x的一元二次方程，根据设而不求，整体代入数学思想将|AB|，表示为关于a，p的式子，从而得到关于参数a的不等式，求解不等式就可得出a的取值范围；（2）运用垂直平分线的性质求出线段AB垂直平分线的方程，从而求出点N的坐标，根据三角形面积公式得到关于参数a，p的函数，利用求函数最值的基本方法就可求出NAB面积的最大值。
【详细解答】（1）如图，设A(，)，B（，
y
A
），直线l过点M（a，0）且斜率为1，直线
L的方程为：y=x-a，由y=x-a，得：-2（a+p）x+
0
F
N
=2px，=0，+
B
=2（a+p），.=，|AB|==2≤2p，a≤-，
实数a的取值范围是（-，-]；（2）设线段AB中点D（，），+=+
-2a=2（a+p）-2a=2p，==a+p，==p，D（a+p，p），线段AB垂直平分线的方程为：y-p=-(x-a-p)，x+y-a-2p，令y=0，得x=a+2p，点N（a+2p，0），==p，=.2.p=2p，当且仅当2p=，即a=时，取得最大值为4，NAB面积的最大值是4。
4、设点F是抛物线=ax
的焦点，直线AB过点F交抛物线于A、B
两点，M（a，b）满足条件=2。
（1）证明以AB为直径的圆与抛物线的准线相切；
（2）若P是抛物线上任意一点，且|PF|+|PM|的最小值是5，求a、b的值。
【解析】
【知识点】①抛物线的定义与性质；②圆的定义与性质；③设而不求，整体代入数学思想及运用；④求函数最值的基本方法。
【解题思路】（1）设线段AB的中点为D，过点D作DE垂直抛物线准线于点E，根据AB为抛物线的焦点弦，由抛物线的性质得到|DE|===，从而结论得证；（2）由条件=2可知点M在抛物线内，根据|PF|+|PM|的最小值是5，得到关于a，b的方程组，求解方程组就可求出a，b的值。
C
Y
A
【详细解答】（1）如图，设线段AB的中点为D，过
Q
P
点D作DE垂直抛物线准线于点E，过点A作AC垂
E
D
M
值抛物线准线于点C，过点B作BG垂直抛物线准线
0
F
x
于点G，点F是抛物线=ax
的焦点，直线AB过
G
B
点F交抛物线于A，B两点，|DE|===，
以|AB|为直径的圆与直线CG相切，以|AB|为直径的圆与抛物线的准线相切；（2）过点P作PQ垂直抛物线准线于点Q，
M（a，b）满足条件=2，点M在抛物线开口值内，当且仅当点Q，P，M三点共线时，据|PF|+|PM|=|MQ|=a+
为最小值，
a+
=5，=2，
a=4，b=2。
『思考问题4』
（1）【典例4】是与抛物线相关的最值问题，解答这类问题应该分辨清楚问题属于最值问题中的哪一类，再采用恰当的方法给予解答；
（2）与抛物线相关的最值问题常见的类型有：①求抛物线上一点到定直线的最小距离；
②求抛物线上一点到定点的最值；
（3）解答与抛物线相关的最值问题常用的方法是根据条件建立目标函数，转化为求函数的最值问题，再运用函数求最值的方法进行解答：①求抛物线上一点到定直线的最小距离，可运用点到直线的距离公式把所求距离表示出来转化为求函数的最值问题，也可以转化为抛物线过某点的切线与定直线平行，再求两平行直线间的距离；②求抛物线上一点到定点的最值，可以运用两点间的距离公式把所求距离表示出来转化为求函数的最值问题，但应注意抛物线上点的设法及变量的取值范围；
（4）抛物线上点的设法：①若抛物线的方程为=2px（p＞0），抛物线上的点可设为P（，）；②若抛物线的方程为=-2py(p>0），抛物线上的点可设为P（，）；
（5）解答与抛物线相关的最值问题时，应该注意抛物线几何性质的运用，尤其是范围的应用，例如对于抛物线=2px（p＞0），则有x0，0.。
〔练习4〕解答下列问题：
1、已知点A（4，-2），F为抛物线=8x的焦点，点M在抛物线上移动，当|MA|+|MF|取最小值时，求点M的坐标；
2、已知抛物线y=，直线2x-y-4=0，求抛物线上的点到直线的最短距离；
3、已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F（0，c）（c>0），到直线l：x-y-2=0的距离为，设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点。
（1）求抛物线C的方程；
（2）当点P（，）为直线l上的定点时，求直线AB的方程；
（3）当点P在直线l上运动时，求|AF|.|BF|的最小值。
y
A
【典例5】解答下列问题：
1、如图正方形ABCD在直角坐标系中，已知一条边
D
AB在直线y=x+4上，C、D两点在抛物线=x上，求
B
O
X
正方形ABCD的面积；
C
【解析】
【知识点】①抛物线的定义与性质；②正方形的定义与性质；③正方形面积公式及运用。
【解题思路】如图，设C（，），D（，），根据ABCD是正方形得到关于，的方程组，求解方程组求出，的值，从而求出\CD|就可得到正方形ABCD的面积。
【详细解答】如图，设点C（，），D（，），且<，ABCD是正方形，==1①，=②，联立①②解得：=-1，=2或=-2，=3，
|CD|=|-|=3或|CD|=|-|
=5，正方形ABCD的面积为18或50。
2、在直角坐标系XOY中，直线l过抛物线=4x的焦点F，且与该抛物线相交于A、B两点，其中点A在X轴上方，若直线l的倾斜角为，则OAF的面积为
；
【解析】
【知识点】①抛物线的定义与性质；②直线倾斜角的定义与性质；③三角形面积公式及运用。
【解题思路】如图，设A(，)，B（，），根据直线倾斜角的性质，直线l过物线=4x的焦点F得到直线l的方程，联立直线l方程与抛物线C方程得到关于x的一元二次方程，求解方程得出x，y的值，从而得到点A，的坐标，运用三角形的面积公式通过运算就可得出OAF的面积。
【详细解答】如图，
直线l过抛物线=4x的焦点F，倾斜角为，F（1，0）直线l的方程为：y
=
(x-1)①，抛物线C：=4x，=0②，联立①②得：3-10x+3=0，x=3或x=，y=2或y=-，点A
y
A
在X轴上方，A（3，2），B（，），
0
B
F
x
=12=。
3、已知抛物线C的方程是：=4x，F是抛物线的焦点。
y
P
（1）求圆心在抛物线C上，且与x轴及抛物线的准线都相切
R
的圆的标准方程；
（2）如图所示，过点A（2，0）的直线l与抛物线C交于
0
F
A
x
P，Q两点，F是抛物线的焦点，且，求点R
Q
的轨迹方程。
【解析】
【知识点】①抛物线的定义与性质；②圆的定义与性质；③求圆标准方程的基本方法；④设而不求，整体代入数学思想及运用；⑤求点轨迹方程的基本方法。
【解题思路】（1）设圆的标准方程为：+
=
，根据圆心在抛物线C上，且与x轴及抛物线的准线都相切得到关于a，b，R的方程组，求解方程组求出a，b，R的值就可得到圆的标准方程；（2）如图，设A(，)，B（，），R（x，y），运用设而不求，整体代入数学思想得到+，+关于参数m的式子，根据向量的坐标运算得到x，y关于参数m的式子，利用参数方程化普通方程的基本方法就可得到点R的轨迹方程。
【详细解答】（1）设圆的标准方程为：+
=
，圆心在抛物线C上，且与x轴及抛物线的准线都相切，=4a①，R=|b|②，a+1=R③，联立①②③解得：a=1，
R=1+1=2，b=2，圆的标准方程为：+=4，或+=4；（2））如图，设P(，)，Q（，），R（x，y），直线l过点A（2，0），直线l的方程为：x=my+2，由
x=my+2，得：-4my-8=0，+=4m，.=-8，+=m(
=4x，+)+4=4+4=4(1+)，F（1，0），=(-1，)，
=（-1，），=（x-1，y），，+=（+-2，+）
=（4+2，4m）=（x-1，y），x-1=4+2，y=4m，x=4+3，y=4m，点R的轨迹方程为：=4（x-3）（x3）。
4、已知动圆过定点P（1，0），且与定直线l：x=-1相切，点C在l上。
（1）求动圆圆心M的轨迹方程；
（2）设过点P，且斜率为-的直线与曲线M相交于A、B两点。
①问能否为正三角形？若能，求出点C的坐标；若不能说明理由；
②当为钝角三角形时，求这时点C的纵坐标的取值范围。
【解析】
【知识点】①圆的定义与性质；②求点轨迹方程的基本方法；③抛物线的定义与性质；④设而不求，整体代入数学思想及运用；⑤向量数量积的定义与性质。
【解题思路】（1）设M（，），动圆的标准方程为：+
=
，根据动圆过定点P（1，0），且与定直线l：x=-1相切，得到，关于R的式子，消去参数R就可得到动圆圆心M的轨迹方程；（2）①如图，设C（-1，y），能为正三角形，根据直线过点P，且斜率为-得到直线方程，联立直线方程与曲线M方程得到关于x的一元二次方程，求解方程得到A，B的坐标，利用正三角形的性质就可得出结论并求出点c的坐标；②设C（-1，y），，根据向量数量积的性质得到关于y的不等式，求解不等式就可求出点C的纵坐标的取值范围。
【详细解答】（1）设M（，），动圆的标准方程为：+
=
，动圆过定点P（1，0），且与定直线l：x=-1相切，+=①，+1=R②，联立①②得：=R-1，=4（R-1），动圆圆心M的轨迹方程为：=4x；（2）①如图，设C（-1，y），能为正三角形，直线过点P，
y
A
且斜率为-，直线的方程为：y=-(x-1)，
C
由
y=-(x-1)，得：3-10x+3=0，x=3或
0
B
P
x
=4x，x=，y=2或y=-，A（3，
2），B（，），为正三角形，|AB|==
=|AC|==|BC|=，这样的y不存在，
不能为正三角形；②设C（-1，y），若ACB为钝角，=(4，2-
y），=
（，），.=+-y+4=-y+<0，此时解集为；
若ABC为钝角，
=(
，），=（-，y-），.=-
+y-=y-<0，y<；若BAC为钝角，
=(
-，-），=（-4，y-2），.=-y+8=-y+<0，y>，综上所述，
当为钝角三角形时，点C的纵坐标的取值范围是（-，）（，+）。
『思考问题5』
（1）【典例5】是抛物线与直线相关的综合问题，解答这类问题需要理解抛物线与直线的定义，掌握处理直线与抛物线相交的基本方法；
（2）过抛物线=-2py(p>0）上两点A（，），B（，）作两条切线，，与交点的求法是：①由y=得=；②求直线与的斜率=，=；③求出直线与的方程：y-=(x-)，：y-=(x-)；④由：y-=(x-)，：y-=(x-)联立求得M（，），对于抛物线=2px（p＞0）可以得到类似的结果；
（3）若问题中涉及到过定点的直线时，应该注意分斜率存在和斜率不存在两种情况来考虑，在实际解答问题时，为避免这种解答的繁杂性，可设过定点的直线方程为：x=my+n（其中mR,，n为常数）。
〔练习5〕解答下列问题：
1、已知抛物线C：=8x与点M（-2，2），过C的焦点且斜率为k的直线与C相交于A，B两点，若.=0，则k=
；
2、一个正三角形的三个顶点都在抛物线=4x上，其中一个顶点在坐标原点，求这个正三角形的面积。
3、已知直线L：y=kx+1，抛物线C：=4x，当k为何值时，L与C有：
①一个公共点；
②两个公共点；
③没有公共点；
4、过点（1,3）作直线与抛物线y=-2x+交于一点，求此直线的方程；
5、已知正方形ABCD的顶点B、D在直线2y+x=0上，顶点A、C在抛物线=4（x+4）上，求：（1）AC所在直线的方程；
（2）正方形ABCD的面积。
6、已知抛物线C：=4x，焦点为F，准线与x轴交于点A，过A且斜率为k的直线L与抛物线C交于P、Q两点。
（1）求满足的点R的轨迹方程；
（2）若为钝角，求直线L的斜率k的取值范围。
7、已知抛物线C：=2x的焦点为F，平行于X轴的两条直线，分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点。
（1）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明：AR//FQ；
（2）若PQF的面积是ABF的面积的2倍，求AB中点的轨迹方程。
8、如图抛物线：=4y，：=-2py(p>0），点M(，)在抛物线上，过M作的切线，切点为A、B（M为坐标原点O时，A、B重合于O）当=1-时，切线MA的斜率为-。
（1）求p的值；
（2）当M在上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程（A、B重合于O时，中点为O）。
【典例6】解答下列问题：
1、（1）已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在X轴上，且抛物线C上横坐标为4的点P到焦点的距离为5，则抛物线C的标准方程是（
）
A
=8x
B
=4x
C
=2x
D
=x
（2）抛物线=4y的焦点坐标是（
）
A
（1，0）
B
（0，1）
C
（-1，0）
D
（0，-1）
【解析】
【知识点】①抛物线的定义与性质；②求抛物线标准方程的基本方法。
【解题思路】（1）设抛物线C的标准方程为：=2px（p>0），根据抛物线C上横坐标为4的点P到焦点的距离为5得到关于p的方程，求解方程求出p的值得到抛物线C的标准方程就可得出选项；（2）运用抛物线的性质求出抛物线=4y的焦点坐标就可得出选项。
【详细解答】（1）设抛物线C的标准方程为：=2px（p>0），如图过点P作PQ垂直抛物线C准线于点Q，抛物线C上横坐标为4的
y
点P到焦点的距离为5，4+=|PF|=5，
Q
P
P=2，抛物线C的标准方程为：=4x
，
0
F
x
B正确，选B；（2）抛物线=4y，2p=4，
=1，抛物线=4y的焦点坐标为（0，1），
B正确，选B。
2、（1）已知抛物线C：=2px(p>0)的焦点为F，准线为l，若位于X轴上方的动点A在准线l上，线段AF与抛物线C相较于点B，且-|AF|=1，则抛物线C的标准方程为
（2）已知抛物线C：=2px(p>0)的焦点为F，准线为l，过点F作倾斜角为的直线与准线相较于点A，线段AF与抛物线C相较于点B，且|AB|=，则抛物线C的标准方程为
。
【解析】
【知识点】①抛物线的定义与性质；②直线方程的定义与求法；③求抛物线标准方程的基本方法。
【解题思路】（1）设点A（-，），B（，），运用抛物线的性质，结合问题条件得到==，利用问题条件得到关于p的方程，求解方程得出p的值就可求出抛物线C的标准方程；（2）设点A（-，），B（，），运用抛物线的性质，结合问题条件得到==，利用问题条件得到关于p的方程，求解方程得出p的值就可求出抛物线C的标准方程。
【详细解答】（1）如图，设点A（-，），B（，
A
y
），F(，0)，
=，|AF|
B
=
|BF|，-|AF|=1，
|BF|=
+
0
F
x
，2（1--）=-，（p-1）（+）=0，+>0，p-1=0，
P=1，抛物线C的标准方程为：=2x；（2）如图，设点A（-，），B（，），
F(，0)，
=，|AF|
A
y
=
|BF|，-|AF|=1，
|BF|=
+
B
，2（1--）=-，（p-1）（
0
F
x
+）=0，+>0，p-1=0，P=1，抛物线C的标准方程为：=2x。
3、已知顶点在坐标原点的抛物线的焦点坐标为（0，-2），则此抛物线的标准方程为
。
【解析】
【知识点】①抛物线的定义与性质；②求抛物线标准方程的基本方法。
【解题思路】设抛物线的标准方程为：=-2py（p>0），根据抛物线焦点坐标为（0，-2），得到关于p的方程，求解方程求出p的值就可得到抛物线的标准方程。
【详细解答】由题意设抛物线的标准方程为：=-2py（p>0），抛物线的焦点坐标为（0，-2），-=-2，p=4，抛物线的标准方程为：=-8y。
『思考问题6』
（1）【典例6】是近几年高考或高三诊断考试中的问题，纵观近几年高考或高三诊断试卷，归结起来抛物线问题主要包括：①求抛物线的标准方程；②抛物线定义与几何性质的运用；③与抛物线相关的最值问题；④直线与抛物线位置关系问题等几种类型；
（2）解答问题时，首先应该根据问题的特征分辨清楚问题的类型；再运用解答该类型问题的基本思路和基本方法快捷，准确地解答问题。
〔练习6〕解答下列问题：
1、若抛物线=2px(p>0)的焦点是椭圆+=1的一个焦点，则p=（
）
A
2
B
3
C
4
D
8
2、（1）已知F为抛物线C：=4y的焦点，过F的直线l与抛物线C相较于不同的两点A，B，抛物线C在A，B两点处的切线分别是，，且，相较于点P，则|PF|+的最小值为
；
(2)
已知F为抛物线C：=4y的焦点，过F的直线l与抛物线C相较于不同的两点A，B，抛物线C在A，B两点处的切线分别是，，且，相较于点P，设|AB|=m，则|PF|的值是
（结果用m表示）。
3、（1）设p>0，动圆C经过点M（p，0），且被Y轴截得的弦长为2p，记动圆圆心C的轨迹为E。
①求轨迹E的方程；
②求证：在轨迹E上存在点A，B，使得OAB（O为坐标原点）是以A为直角顶点的等腰直角三角形。
（2）已知动点M到定点（-1，0），（1，0）的距离之和为4，记动点M的轨迹为C。
（1）求轨迹C的方程；
（2）过点且斜率为k的直线l与轨迹C相交于A，B两点，求AB面积的取值范围。
O
F

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