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第5章 二次函数 复习课件
一、知识结构
实际问题
二次函数
y=ax2+bx+c
图象
性质
归纳
抽象
实际问题
的答案
利用二次函数的图象和性质求解
目标
二、知识梳理
一般地，形如y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数。特别地，当b=0，c=0时，y=ax2；当b=0时，y=ax2+c。
1、二次函数的定义
y = ax2
y = ax2 + k
y = a(x – h )2
y = a( x – h )2 + k
上下
平移
上下 平移
2、各种形式的二次函数的关系
左右
平移
左右 平移
y=a(x-h)2+k (a≠0)
a>0
a<0
图象
开口
对称轴
顶点
最值
增减性
向上
向下
直线x=h
直线x=h
(h，k)
(h，k)
当x=h时，y最小值=k
当x=h时，y最大值=k
当x当x3、二次函数的图象和性质
抛物线
开口
对称轴
顶点
最值
增减性
y=ax2+bx+c(a>0)
y=ax2+bx+c(a<0)
向上
向下
在对称轴的左侧，y随着x的增大而减小。 在对称轴的右侧， y随着x的增大而增大。
在对称轴的左侧，y随着x的增大而增大。在对称轴的右侧， y随着x的增大而减小。
4、二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和x轴交点的三种情况与一元二次方程根的关系：
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点
一元二次方程ax2+bx+c= 0的根
一元二次方程ax2+bx+c= 0根的判别式Δ=b2-4ac
有两个交点
有两个不等的实数根
只有一个交点（顶点）
有两个相等的实数根
没有交点
没有实数根
b2 – 4ac > 0
b2 – 4ac = 0
b2 – 4ac < 0
(1)关键是求出待定系数____________的值。
(2)设解析式的三种形式：
①一般式：______________，当已知抛物线上三个点时，用一般式比较简便；
②顶点式：______________ ，当已知抛物线的顶点时，用顶点式较方便；
③交点式(两根式)：__________________，当已知抛物线与 x 轴的交点坐标(x1，0)，(x2，0)时，用交点式较方便。
a，b，c
y＝ax2＋bx＋c
y＝a(x－h)2＋k
y＝a(x－x1)(x－x2)
5、求二次函数 y＝ax?＋bx＋c 的解析式
例1 用配方法求出函数 y = -2x 2 - 4x + 6 的图象的对称轴、顶点坐标，画出函数图象，并说明图象是由抛物线y = -2x 2 经过怎样的平移得到的。
（-1，8）
（x + 1）+8
2
y = -2
对称轴是 x = -1。
是由抛物线 y = -2x 2 向左
平移 1 个单位，向上平移
8 个单位得到的。
y
8
6
4
2
-2
-4 -2　　　 2 4　 x
O
例题学习
例2
已知二次函数
（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标；（2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点求C，A，B的坐标；
（3）x为何值时，y随x的增大而减少，x为何值时，y有最大（小）值，这个最大（小）值是多少？
（4）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0？
例3 根据下列条件，求出二次函数的解析式。
图象经过（-1，1），（1，3），（0，1）三点；
(2)图象的顶点为（-1，-8），且过点（0，-6）；
（x + 1）-8
2
y = 2
例4：某商场购进一批单价为16元的日用品，经实
验发现若按每件20元的价格销售时，每月能卖360
件，若按每件25元的价格销售时，每月能卖210件，假设每月销售件数为y(件)是价格x(元/件)的一次函数。
(1)试求y与x之间的函数关系式。
(2)在商品不积压，且不考虑其他因素的条件下，问：销售价格定为每件多少时，才能使每月获得最大利润？每月的最大利润是多少？
解:
(1)y=kx+b
把x=20时，y=360；x=25时，y=210分别代入上式
得 ：
360=20k+b 210=25k+b
解得：
k=30，b=960
所以y与x之间的函数关系式为y=-30x+960(x≥16，且x为整数)
（2）设每月利润为P元，
P=y(x-16)=(30x+960)(x-16)
=-30x?+1440x-15360
P为最大值：（-30×24+960）（24-16）=1920（元）
答：当销售价格为每件24元时，每月利润最大，最大利润为1920元。
应用训练
1.在二次函数y=ax2+bx+c中，ac ＞0，则它的图像与x轴的关系是( )
A. 没有交点 B. 有两个交点
C. 有一个交点 D. 不能确定
B
2.已知抛物线y=x2+px+q经过点(5，0)，(-5，0)，则 p+q=( )
A. 0 B. 25 C. -25 D. 5
C
3.若二次函数 y=ax2 +bx+c 的图象如下，与x轴的一个交点为(1，0)，则下列各式中不成立的是( )
A. b2-4ac>0 B. abc>0
C. a+b+c=0 D. a-b+c<0
1
x
y
o
-1
B
4.方程x2-3x=0的两根是x1=0，x2=3，抛物线
与x轴交点坐标是 ( )
A. (0，0) (3，0) B. (0，0) (0，3)
C. (0，0) (-3，0) D. (0，0) (0，-3)
A
一、选择题
C
5.二次函数y=x2-x-2的图象如图所示，则函数值y＜0时x的取值范围是( )
(A). x＜-1 (B) x＞2
(C). -1＜x＜2 (D) x＜-1或x＞2
x
y
o
-1
2
6.如图，两条抛物线y1= - x2+1，y2= - x2-1与分别经过点(-2，0)，(2，0)且平行于y轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为( )
(A)8 (B)6 (C)10 (D)4
2
1
2
1
A
7.如图，点A，B的坐标分别为(1， 4)和(4， 4)，抛物线y=a(x-m)2+n的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C、D两点(C在D的左侧)，点C的横坐标最小值为-3，则点D的横坐标最大值为( )
(A)-3 (B)1 (C)5 (D)8
x
y
o
A(1，4)
B(4，4)
C
D
D
1.已知二次函数y=x2+mx+2的图像与x轴的一个交点是(2，0)，则与x轴另一个交点_______，m=_________。
(1，0)
-3
二、填空题
2.当m______时，抛物线y=4x2-4x+m与x轴只有一个交点，交点是________。
=1
( ，0)
2
1
3. 若二次函数y=kx2+3x-5的图像与x轴有两个交点，则k的取值范围是__________________。
k>- 且k≠0
20
9
4.如果关于x的一元二次方程 x2-2x+m=0有两个相等的实数根，则m=＿，此时抛物线 y=x2-2x+m与x轴有＿＿个交点。
1
1
5.已知实数x，y满足x2+3x+y-3=0，则x+y的最大值为_____。
4
6.已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图，用不等式连结下列各式：a __0，b __0，c ___0，
b2-4ac___0 a+b+c___0，a-b+c___0。
>
>
>
>
<
<
1
-1
x
y
o
7.若二次函数y=-x2+2x+k的部分图象如图所示，关于x的一元二次方程-x2+2x+k=0的一个解x1=3，另一个解x2=_____。
-1
8.已知二次函数的图象的顶点坐标为(-2，-3)，且图象过点(-3，-2)，则此二次函数的解析式 ；设此二次函数的图象与x轴交于A，B两点，O为坐标原点，则线段OA，OB的长度之和是 。
9.某商场将进价40元一个的某种商品按50元一个售出时，能卖出500个，已知这种商品每个涨价1元，销量减少10个，设每个涨价x元，销售价可以表示为 ，一个商品所获利润可以表示为 ，销售量可以表示为 ________，利润可以为 ，因此，定价是 元时，最大利润是 元。
(50+x)元
(50+x-40)元
(500-10x) 个
(50+x-40)(500-10x)
70
9000
10.不论x为何值时，函数y=ax2+bx+c（a≠0）的值永远为正的条件是____　　　　　_ 。
a>0， b?-4ac<0
y=x2+4x+1
2√3
1.已知二次函数y=ax2+bx+c的最大值是2，图象顶点在直线y=x+1上，并且图象经过点（3，-6）。求a、b、c。
三、解答题：
∵二次函数的最大值是2∴抛物线的顶点纵坐标为2
顶点在直线y=x+1上
当y=2时，x=1。∴顶点坐标为（ 1 ， 2）
设解析式为y=a(x-1)2+2
∴a=-2 y=-2(x-1)2+2 y=-2x2+4x
2.已知抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2-3x+7的形状相同，顶点在直线x=1上，且顶点到x轴的距离为5，请写出满足此条件的抛物线的解析式。
a=1或a=-1
又∵顶点在直线x=1上，且顶点到x轴的距离为5，
? 顶点为(1，5)或(1，-5)
所以其解析式为:
(1) y=(x-1)2+5 (2) y=(x-1)2-5
(3) y=-(x-1)2+5 (4) y=-(x-1)2-5
3.已知二次函数y= x2+x-
（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。
（2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C，
A，B的坐标。
（3）画出函数图象的示意图。
（4）求ΔMAB的周长及面积。
（5）x为何值时，y随x的增大而减小，x为何值时，y有最大
（小）值，这个最大（小）值是多少？
（6）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0？
2
1
2
3
对称轴x=-1，顶点坐标M（-1，-2）
与x轴交点A（-3，0）B（1，0）C(0， )
2
3
图略
ΔMAB的周长=2MA+AB=2√2 ×2+4=4√2+4
ΔMAB的面积= AB×MD= ×4×2=4
2
1
2
1
当x<-1时，y随x的增大而减小；
当x=-1时，y最小值=-2
当x< -3或x>1时，y > 0
当-3 < x < 1时，y < 0
4.已知二次函数y=(x-2a)2+(a-1)(a为常数)，当a取不同的值时，
其图像构成一个“抛物线系”。下图分别是a=-1，a=0，a=1，
a=2时二次函数的图像。它们的顶点在一直线上，
求这条直线的解析式。
x
y
O
a=-1
a=2
a=1
a=0
由题意知，
二次函数的顶点坐标是(2a，a-1)
代入各个a的值，即可得直线解析式
或设x=2a，y=a-1，消去a，即得：y= x-1
2
1
5.已知抛物线y=x2-2x-8，
（1）求证：该抛物线与x轴一定有两个交点；
（2）若该抛物线与x轴的两个交点分别为A、B，且它的顶点为P，求△ABP的面积。
x
y
o
A
P
B
△=22-4×(-8)=36>0
x2-2x-8=0
解方程得:x1=4， x2=-2
∴AB=4-(-2)=6 而P点坐标是(1，-9)
∴S△ABC=27
6、抛物线 y=-2x2+4x+6 顶点为A，与x轴交于B、C两点，与y轴交于D点，求四边形ABCD的面积。
y=-2x2+4x+6=-2(x-1)2+8，图像如图
A(1，8) B(-1，0) C(3，0) D(0，6)
3
-1
x
y
o
D
C
B
A
E
S四边形ABCD=SΔBOD+S梯形OEAD+SΔAEC
18
7.丁丁推铅球的出手高度为1.6m，如图所示，铅球的运行
路线近似为抛物线y=-0.1(x-k)2+2.5
①求k的值
②求铅球的落点与丁丁的距离。
③一个1.5m的小朋友跑到离原点6米的地方(如图)，他会受到伤害吗？
x
y
O
B
(0，1.6)
①当x=0时，y=1.6
k=±3
对称轴是在y轴的右侧，即x=k>0，k=3
②-0.1(x-3)2+2.5=0得，x1 =8，x2 =-2所以，OB=8，故铅球的落点与丁丁的距离是8米。
③当x=6时，y=-0.1(6-3)2+2.5=1.6
>1.5
所以，这个小朋友不会受到伤害。
9、已知二次函数y=ax2-5x+c的图象如图。
（1） 当x为何值时，y随x的增大而增大；
（2） 当x为何值时，y<0；
（3）求它的解析式和顶点坐标。
（1）求k的取值范围；
（2）设抛物线与x轴交于A、B两点，且点A在点B的左侧，
点D是抛物线的顶点。如果△ABD是等腰直角三角形，求抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，抛物线与y轴交于点C， 点E在y轴的正半轴上且以A、O、E为顶点的三角形与△AOC相似。求点E坐标。
2
1
8、已知抛物线y= x2-x+k 与x轴有两个交点。
10.某企业投资100万元引进一条产品加工生产线，若不计维修、保养费用，预计投产后每年可创利33万。该生产线投产后，从第1年到第x年的维修、保养费用累计为y(万元)，且y=ax2+bx，若第1年的维修、保养 、费用为2万元，到第2年为6万元。
　　（1）求y的解析式；
　　（2）投产后，这个企业在第几年就能收回投资？
解:（1）由题意，x=1时，y=2；x=2时，y=2+4=6。分别代入y=ax2+bx，得a+b=2，4a+2b=6，
解得:a=1，b=1， ∴y=x2+x。
　 （2）设f＝33x-100-x2-x，则
　　f=-x2+32x-100=-(x-16)2+156。
由于当1≤x≤16时，f随x的增大而增大，故当x=4时，即第4年可收回投资。
11.李明投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯。销售过程中发现，每月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系可近似的看作一次函数：y=-10x+500。
(1)设李明每月获得利润为w(元)，当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？
(2)如果李明想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？
(3)根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低于2000元，那么他每月的成本最少需要多少元？(成本＝进价×销售量)
(1)由题意，得：w=(x-20)·y=(x-20)·(-10x+500) =-10x2+700x-10 000
答：当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润。
(2)由题意，得：-10x2+700x-10 000=2 000
解这个方程得：x1=30，x2=40。
答：李明想要每月获得2 000元的利润，销售单价应定为30元或40元。
(3)方法一：∵a=-10＜0，∴抛物线开口向下。
∴当30≤x≤40时，w≥2 000。∵x≤32，∴当30≤x≤32时w≥2000。
设成本为P(元)，由题意，得：
P=20×(-10x+500)=-200x+10 000
∵k=-200＜0，∴P随x的增大而减小。
∴当x=32时，P最小＝3600。
答：每月获得利润不低于2000元，每月成本最少为3600元。
方法二：∵a=-10＜0，∴抛物线开口向下。
∴当30≤x≤40时，w≥2000。∵x≤32，∴30≤x≤32时，w≥2000。∵y=-10x+500，k=-10＜0，∴y随x的增大而减小。∴当x=32时，y最小=180，
∵当进价一定时，销售量越小，成本越小，
∴20×180=3 600(元)
答：想要每月获得利润不低于2000元，每月成本最少为3600元。
12.用长为12 m的篱笆，一边利用足够长的墙围出一块苗圃。如图，围出的苗圃是五边形ABCDE，AE⊥AB，BC⊥AB，∠C=∠D=∠E。设CD=DE=x m，五边形ABCDE的面积为S m2问当x取什么值时，S最大？并求出S的最大值。
连结EC，作DF⊥EC，垂足为F。
∵∠DCB=∠CDE=∠DEA，
∠EAB=∠CBA=90°，
∴∠DCB=∠CDE=∠DEA=120°。
∵DE=CD，∴∠DEC=∠DCE=30°，
∴∠CEA=∠ECB=90°，
∴四边形EABC为矩形，又∵DE=x，
∴AE=6-x，DF= x，EC=√3x，
2
1
S= - x2+6√3x (03√3
4
当x=4m时，S最大=12√3m2
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