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第5讲　分式及其运算
考点知识精讲
形如(A、B是整式，且B中含有字母，B≠0)的式子叫做分式．
(1)分式有无意义：B＝0时，分式无意义；B≠0时，分式有意义．
(2)分式值为0：A＝0且B≠0时，分式的值为0.
分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变．
①＝，＝(m≠0)；
＝＝－.
②通分的关键是确定n个分式的最简公分母确定最简公分母的一般步骤是：当分母是多项式时，先因式分解，再取系数的最小公倍数，所有不同字母(因式)的最高次幂的积为最简公分母．
③约分的关键是确定分式的分子与分母中的最大公因式．确定最大公因式的一般步骤是：当分子、分母是多项式时，先因式分解，取系数的最大公约数，相同字母(因式)的最低次幂的积为最大公因式．
1．分式的加减法
同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减，即±＝.异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后相加减，即±＝.
2．分式的乘除法
分式乘以分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母，即·＝.分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即÷＝·＝.
3．分式的乘方
分式的乘方是把分子、分母各自乘方，即()k＝(k是正整数)．
4．分式的混合运算
在分式的混合运算中，应先算乘方，再算乘除，进行约分化简后，最后进行加减运算，遇到有括号的，先算括号里面的．运算结果必须是最简分式或整式．
分式的求值方法很多，主要有三种：①先化简，后求值；②由值的形式直接转化成所求的代数式的值；③式中字母表示的数未明确告知，而是隐含在方程等题设条件中．解这类题，一方面从方程中求出未知数或未知代数式的值；另一方面把所求代数式化简．只有双管齐下，才能获得简易的解法．
二、中考典例精析
(1)(2010·芜湖)要使分式有意义，a的取值范围是(　　)
A．a≠0　　　　　　　　　　B．a>－2且a≠0
C．a>－2或a≠0　　 D．a≥－2且a≠0
(2)(2009·台州)化简(－)÷的结果是(　　)
A．－a－1 B．－a＋1
C．－ab＋1 D．－ab＋b
(3)(2010·黄冈)化简(－)·(x－3)的结果是(　　)
A．2 B.
C. D.
【点拨】(1)由题意得a＋2≥0且a≠0，即有a≥－2且a≠0.
(2)原式＝－·＝－(a－1)＝－a＋1.
(3)原式＝[－]·(x－3)＝(－)·(x－3)＝1－＝.
【解答】(1)D　(2)B　(3)B
计算：
(1)(2010·陕西)－＋；
(2)(2010·咸宁)先化简，再求值：
(1＋)÷，其中a＝－3.
【解答】(1)原式＝－＋
＝＝＝.
(2)原式＝×＝.
当a＝－3时，原式＝＝.
三、举一反三（答案）
DDBDAB 解：原式＝　当a＝－1，原式＝
四、考点训练（答案）
选择： AABBA BBAAA CABAD
11. 【解析】原式＝－＝－＝＝1.
13 【解析】1米质量为m克，则每克长米，n克是米，则原来这卷电线的总长度是(＋1)米．
14解析】原式＝＝＝.
16.-2 17.2/3 18. 19.-6 20.-7
21解：(1)原式＝－＝－＝＝＝
(2)原式＝÷＝·＝＝
22. 解：(1)原式＝÷＝·＝　当x＝2时，原式＝＝
(2)原式＝÷＝·＝·＝－x－4　当x＝－4＋时，原式＝－(－4＋)－4＝4－－4＝－
(3)原式＝·(x－y)＝
当x－3y＝0时，x＝3y，原式＝＝＝
(4)原式＝－＝x－1－(1－x)＝x－1－1＋x＝2x－2　当x＝2时，原式＝2×2－2＝4－2＝2
注意：x的值需满足所有分式都有意义，即x≠0且x≠－1.
23解：(1)－
(2)证明：－＝－＝＝
(3)原式＝1－＋－＋－＋…＋－＝1－＝
24. 解：选第一种形式：(A－B)÷C＝(－)÷＝　当x＝3时，原式＝1；选第二种形式：A－B÷C＝－÷＝　当x＝3时，原式＝.
三、举一反三
1．要使式子有意义，x的取值范围是(　 　)
A．x≠1 B．x≠0
C．x＞－1且x≠0 D．x≥－1且x≠0
2．下列运算中，错误的是(　 　)
A.＝(c≠0) B.＝－1
C.＝ D.＝
3．若分式的值为0，则x的值为(　 　)
A．±1　　　　B．－1　　　　C．1　　　　D．0
4．分式，，的最简公分母为(　 　)
A．(a2－b2)(a＋b)(b－a) 　　　B．(a2－b2)(a＋b)
C．(a2－b2)(b－a) 　　　 D．a2－b2
5．如果把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值(　 　)
A．扩大3倍 　　　B．缩小3倍
C．扩大9倍 　　　D．不变
6．化简(a－)的结果是(　 　)
A．a－b　　　B．a＋b　　　C.　　　D.
7．先化简，再求值：(1－)÷，其中a＝－1.
四、考点训练
一、选择题(每小题3分，共45分)
1．(2010·株洲)若分式有意义，则x的取值范围是(　　)
A．x≠5　　　B．x≠－5　　　C．x>5　　　D．x>－5
2．(2010·黄冈)函数y＝的自变量x的取值范围是(　　)
A．x≥3 B．x≥3且x≠－1
C．x≠－1 D．x>3
3．(2009中考变式题)化简的结果为(　　)
A. B. C. D．－b
4．(2010·河北)化简－的结果是(　　)
A．a2－b2 B．a＋b C．a－b D．1
5．(2010·玉溪)若分式的值为0，则b的值为(　　)
A．1 B．－1 C．±1 D．2
6．(2010·苏州)化简÷的结果是(　　)
A. B．a C．a－1 D.
7．(2011中考预测题)下列各式是最简分式的是(　　)
A. B. C. D.
8．(2009中考变式题)计算：÷＝(　　)
A. B. C. D.
9．(2009中考变式题)已知－＝4，则的值等于(　　)
A．6 B．－6 C. D．－
10．(2011中考预测题)化简(－)·的结果是(　　)
A．－4 B．4 C．2a D．－2a
11．(2009中考变式题)学完分式运算后，老师出了一道题“化简＋”，小明的做法是：原式＝－＝＝；小亮的做法是：原式＝(x＋3)(x－2)＋(2－x)＝x2＋x－6＋2－x＝x2－4；小芳的做法是：原式＝－＝－＝＝1，其中正确的是(　　)
A．小明 B．小亮
C．小芳 D．没有正确的
12．(2011中考预测题)下列等式中，不成立的是(　　)
A.＝x－y B.＝x－y
C.＝ D.－＝
13．(2009中考变式题)如果从一卷粗细均匀的电线上截取1米长的电线，称得它的质量为m克，再称得剩余电线的质量为n克，那么原来这卷电线的总长度是(　　)
A.米 B．(＋1)米
C．(＋1)米 D．(＋1)米
14．(2011中考预测题)化简－的结果是(　　)
A. B. C. D．a＋b
15．(2011中考预测题)分式，，的最简公分母是(　　)
A．5abx B．15abx5 C．15abx D．15abx3
二、填空题(每小题3分，共15分)
16．(2010·哈尔滨)当x＝______时，分式没有意义．
17．(2010·天津)若a＝，则＋的值为________．
18．(2010·昆明)化简：(1－)÷a＝________.
19．(2010·黄冈)已知ab＝－1，a＋b＝2，则式子＋＝________.
20．(2011中考预测题)已知＝，则＝________.
21．(6分)化简．
(1)(2010·青岛)＋；
(2)(2011中考预测题)÷(y＋2－)．
22．(20分)先化简，再求值．
(1)(2010·重庆)(1－)÷，其中x＝2.
(2)(2010·莱芜)(x－2－)÷，其中x＝－4＋.
(3)(2010·毕节)已知x－3y＝0，求(x－y)的值．
(4)(2011中考预测题)请你先将分式－化简，再选取一个使原式有意义，而你又喜爱的数代入求值．
23．(8分)(2010·济宁)观察下面的变形规律：
＝1－；＝－；＝－；……
解答下面的问题：
(1)若n为正整数，请你猜想＝________；
(2)证明你猜想的结论；
(3)求和：＋＋＋…＋.
24．(6分)(2010·河南)已知A＝，B＝，C＝.将它们组合成(A－B)÷C或A－B÷C的形式，请你从中任选一种进行计算．先化简，再求值，其中x＝3.

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