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第3讲　整式及其运算
一、考点知识精讲
1．单项式和多项式统称整式．单项式是指用乘号把数和字母连接而成的式子，而多项式是指几个单项式的和．
2．单项式中的数字因数叫做单项式的系数；单项式中所有字母的指数和叫做单项式的次数．
3．多项式中，每一个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项；多项式中次数最高项的次数就是这个多项式的次数．
1．整式的加减
(1)同类项与合并同类项
所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的单项式叫做同类项．把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项，合并的法则是系数相加，所得的结果作为合并后的系数，字母和字母的指数不变．
(2)去括号与添括号
①括号前是“＋”号，去掉括号和它前面的“＋”号，括号里的各项都不改变符号；括号前是“－”号，去掉括号和它前面的“－”号，括号里的各项都改变符号．
②括号前是“＋”号，括到括号里的各项都不改变符号；括号前是“－”号，括到括号里的各项都改变符号．
(3)整式加减的实质是合并同类项．
2．幂的运算
同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即am·an＝am＋n(m、n都是整数)．
幂的乘方，底数不变，指数相乘，即(am)n＝amn(m、n都是整数)．
积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所有的幂相乘，即(ab)n＝anbn(n为整数)．
同底数幂相除，底数不变，指数相减，即am÷an＝am－n(a≠0，m、n都为整数)．
3．整式的乘法
单项式与单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式，只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mc.
多项式与多项式相乘，先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，即(m＋n)(a＋b)＝ma＋mb＋na＋nb.
4．整式的除法
单项式除以单项式，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．
多项式除以单项式，把这个多项式的每一项除以这个单项式，然后把所得的商相加
5．乘法公式
(1)平方差公式
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差，即(a＋b)(a－b)＝a2－b2.
(2)完全平方公式
两数和(或差)的平方，等于它们的平方和加上(或减去)它们的积的2倍，即(a±b)2＝a2±2ab＋b2.
二、中考典例精析
(1)(2010·台州)下列运算正确的是(　　)
A．a·a2＝a2　　 　　　　　B．(ab)3＝ab3
C．(a2)3＝a6 D．a10÷a2＝a5
(2)(2010·济南)下列各选项的运算结果正确的是(　　)
A．(2x2)3＝8x6 B．5a2b－2a2b＝3
C．x6÷x2＝x3 D．(a－b)2＝a2－b2
(3)(2010·眉山)下列运算中正确的是(　　)
A．3a＋2a＝5a2
B．(2a＋b)(2a－b)＝4a2－b2
C．2a2·a3＝2a6
D．(2a＋b)2＝4a2＋b2
【解答】(1)C　(2)A　(3)B
三、举一反三
ACDDA 2 9x＋7 2
四、考点训练CBDBD CADCD DBACB
16. 【解析】∵a2－a－1＝0，∴a2－a＝1，∴a2－a＋2 009＝2 010. 【答案】2 010
17. 【答案】－　3 18.1 19 .1131 20.5 21.7
22 【解析】(3a＋b)(a＋2b)＝3a2＋7ab＋2b2 【答案】3　7　2
23. 【答案】(a＋b)(a－b)＝a2－b2
24. 解：原式＝a2－4－a2－a＝－4－a.
25. 解：原式＝a2－4b2－ab＋4b2＝a2－ab.
26. 解：2a(a＋b)－(a＋b)2＝2a2＋2ab－a2－2ab－b2＝a2－b2　当a＝，b＝时，原式＝()2－()2＝3－5＝－2.
27. 解：x2(x＋1)－x(x2－1)－x－7＝x3＋x2－x3＋x－x－7＝x2－7　当x2－4＝0即x2＝4时，原式＝4－7＝－3.
28.解：(3＋m)(3－m)＋m(m－6)－7＝9－m2＋m2－6m－7＝2－6m　当m＝时，原式＝2－6×＝2－3＝－1.
29. 解：(1)a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2　当a＝3，b＝4时，原式＝(3＋4)2＝72＝49　(2)答案不唯一，举例如下：选a2和2ab，a2＋2ab＝a(a＋2b)．
三、举一反三
1．下列运算中，正确的是(　 　)
A．x3·x2＝x5　　　　　　　B．x＋x2＝x3
C．2x3÷x2＝x D．()3＝
2．下列运算正确的是(　 　)
A．a3·a4＝a12 B．a6÷a3＝a2
C．2a－3a＝－a D．(a－2)2＝a2－4
3．下列运算正确的是(　 　)
A．2x5－3x3＝－x2
B．(－2x2y)3·4x－3＝－24x3y3
C．(x－3y)(－x＋3y)＝x2－9y2
D．(3a6x3－9ax5)÷(－3ax3)＝3x2－a5
4．如果a－3b＝－3，那么代数式5－a＋3b的值是(　 　)
A．0　　　　B．2　　　　C．5　　　　D．8
5．如果代数式4y2－2y＋5的值为7，那么代数式2y2－y＋1的值等于(　 　)
A．2 B．3 C．－2 D．4
6．若m2－n2＝6，且m－n＝3，则m＋n＝---.
7．化简：(x＋3)2－(x－1)(x－2)．
8．先化简，再求值：
(2x－1)2－(x＋2)(x－2)－4x(x－1)，其中x＝.
四、考点训练
1．(2010·桂林)下列运算正确的是(　　)
A．a6÷a2＝a3　　　　　　　B．5a2－3a2＝2a
C．(－a)2·a3＝a5 D．5a＋2b＝7ab
2．(2010·山西)下列运算正确的是(　　)
A．(a－b)2＝a2－b2　　 B．(－a2)3＝－a6
C．x2＋x2＝x4 D．3a3·2a2＝6a6
3．(2010·黄冈)下列运算正确的是(　　)
A．3－1÷3＝1 B.＝a
C．|3.14－π|＝3.14－π D．(a3b)2＝a6b2
4．(2010·昆明)下列各式运算中，正确的是(　　)
A．(a＋b)2＝a2＋b2 B.＝3
C．a3·a4＝a12 D．()2＝(a≠0)
5．(2009中考变式题)下列运算正确的是(　　)
A．－2(a－b)＝－2a－b B．－2(a－b)＝－2a＋b
C．－2(a－b)＝－2a－2b D．－2(a－b)＝－2a＋2b
6．(2011中考预测题)下列运算正确的是(　　)
A．3a＋2a＝a5 B．a2·a3＝a6
C．(a＋b)(a－b)＝a2－b2 D．(a＋b)2＝a2＋b2
7．(2009中考变式题)已知一个多项式与3x2＋9x的和等于3x2＋4x－1，则这个多项式是(　　)
A．－5x－1 B．5x＋1
C．－13x－1 D．13x＋1
8．(2009中考变式题)如果单项式－3x4a－by2与x3ya＋b的差也是单项式，那么这两个单项式的积是(　　)
A．x6y4 B．－x3y2
C．－x3y2 D．－x6y4
9．(2009中考变式题)若a>0且ax＝2，ay＝3，则ax－y的值为(　　)
A．－1　　　　B．1　　　　C.　　　　D.
10．(2009中考变式题)计算(－3)2 009·()2 010等于(　　)
A．－3 B. C．3 D．－
11．(2010·无锡)下列运算正确的是(　　)
A．(a3)2＝a5 B．a3＋a2＝a5
C．(a3－a)÷a＝a2 D．a3÷a3＝1
12．(2010·怀化)若x＝1，y＝，则x2＋4xy＋4y2的值是(　　)
A．2 B．4 C. D.
13．(2011中考预测题)代数式3a2－4a＋6的值为9，则a2－a＋6的值为(　　)
A．7 B．8 C．12 D．9
14．(2011中考预测题)下列各式中，与x2y是同类项的是(　　)
A．xy2 B．2xy C．－x2y D．3x2y2
15．(2011中考预测题)现规定一种运算：x*y＝xy＋x－y，其中x、y为实数，则x*y＋(y－x)*y等于(　　)
A．x2－y B．y2－y C．y2 D．y2－x
16．(2010·遵义)已知a2－a－1＝0，则a2－a＋2 009＝________.
17．(2009中考变式题)单项式－m2n的系数是______，次数是________．
18．(2009中考变式题)若m、n互为倒数，则mn2－(n－1)的值为________．
19．(2010·遵义)如图，在宽为30 m、长为40 m的矩形地面上修建两条宽都是1 m的道路，余下部分种植花草．那么，种植花草的面积为________m2.
20．(2010·济宁)若代数式x2－6x＋b可化为(x－a)2－1，则b－a的值是________．
21．(2010·宁波)若x＋y＝3，xy＝1，则x2＋y2＝________.
22．(2011中考预测题)用如图所示的正方形和长方形卡片，拼成一个长为3a＋b，宽为a＋2b的矩形，需要A类卡片________张，B类卡片________张，C类卡片________张．
23．(2010·湖州)将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置，你能根据两个图形的面积关系得到的数学公式是______________．
24．(5分)(2010·宁德)化简：(a＋2)(a－2)－a(a＋1)．
25．(5分)(2009中考变式题)计算：(a＋2b)(a－2b)－b(a－8b)．
26．(5分)(2010·苏州)先化简，再求值：
2a(a＋b)－(a＋b)2，其中a＝，b＝.
27．(5分)(2009中考变式题)已知x2－4＝0，求代数式x2(x＋1)－x(x2－1)－x－7的值．
28．(5分)(2011中考预测题)先化简，再求值：
(3＋m)(3－m)＋m(m－6)－7，其中m＝.
29．(6分)(2011中考预测题)给出三个整式a2，b2和2ab.
(1)当a＝3，b＝4时，求a2＋b2＋2ab的值．
(2)在上面的三个整式中任意选择两个整式进行加法或减法运算，使所得的多项式能够因式分解．请写出你所选的式子及因式分解的过程．

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