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中考二次函数重要题型透视
翻开前几年的全国部分省市的中考试卷，不看不知道，一看真的不得了了，有关二次函数的试题卷卷都有，题型颇多，足以说明二次函数不仅是初中数学中的主要内容，也是历年各地中考试卷中的重要考点，更是综合题和压轴题的热点.为了方便同学们的学习，让我们一起到前年的中考试卷中看看今年有哪些重要题型.
一、与方程联姻型
例1（北京市）已知关于x的一元二次方程2x2+4x+k－1＝0有实数根，k为正整数.
（1）求k的值；
（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数y＝2x2+4x+k－1的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；
（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象.请你结合这个新的图象回答：当直线y＝x+b(b＜k)与此图象有两个公共点时，b的取值范围.
分析（1）一元二次方程有实数根，则其根的判别式是一个非负数，由此可以确定k的取值范围，而k为正整数，进而可以讨论求得.（2）由（1）求得二次函数的解析式，由于只是对抛物线进行向下平移，所以只需考虑常数项，即常数项减去8即得.（3）容易求得平移后的抛物线与x轴的交点坐标，通过画出草图，可由图象帮助求解.
解（1）由题意，得Δ＝16－8(k－1)≥0，所以k≤3，而k为正整数，所以k＝1，2，3.
（2）当k＝1时，方程2x2+4x+k－1＝0有一个根为0；
当k＝2时，方程2x2+4x+k－1＝0无整数根；
当k＝3时，方程2x2+4x+k－1＝0有两个非0整数根；
综上所述，k＝1和k＝2时，不合题意，舍去，k＝3符合题意.
当k＝3时，二次函数为y＝2x2+4x+2，把它的图象向下平移8个单位，得到的图象的解析为y＝2x2+4x－6.
（3）设二次函数为y＝2x2+4x－6的图象与x轴交于A，B两点，则A(－3，0)，B(1，0).依题意，得翻折后的图象如图所示，当直线y＝x+b经过点A时，可求得b＝；当直线y＝x+b经过点B时，可求得b＝－.由图象可知，符合题意的b(b＜3)的取值范围为－＜b＜.
说明　本题是一元二次方程、一次函数、二次函数以及图形的变换的综合题，但其难度中等，只要同学们能灵活运用所学知识即可快速求解.
二、实际应用型
例2（吉林省）某数学研究所门前有一个边长为4米的正方形花坛，花坛内部要用红、黄、紫三种颜色的花草种植成如图所示的图案，图案中AE＝MN.准备在形如Rt△AEH的四个全等三角形内种植红色花草，在形如Rt△AEH的四个全等三角形内种植黄色花草，在正方形MNPQ内种植紫色花草，每种花草的价格如下表：
品种 红色花草 黄色花草 紫色花草
价格（元/米2） 60 80 120
设AE的长为x米，正方形EFGH的面积为S平方米，买花草所需的费用为W元，解答下列问题：
（1）S与x之间的函数关系式为S＝＿＿＿；
（2）求W与x之间的函数关系式，并求所需的最低费用是多少元；
（3）当买花草所需的费用最低时，求EM的长.
分析（1）正方形EFGH的面积等于边长EF的平方，而EF又等于Rt△AEH的斜边，依题意即得.（2）分别求出红、黄、紫的各自面积，再运用表中的信息，即得到W与x 之间的函数关系式，进而利用配方求解.（3）设EM＝a米，在Rt△EMH中，由勾股定理构造方程求解.
解（1）依题意，结合图形，S＝EH2＝AE2+AH2＝x2+(4－x)2，即2x2－8x+16.
（2）W＝60×4S△AEH+80×(S正方形EFGH－S正方形MNPQ)+120×S正方形MNPQ＝60×4×x(4－x)+80×[x2+(4－x)2－x2]+120x2＝80x2－160x+1280＝80(x－1)2+1200，
所以当x＝1时，W最小值＝1200元.
（3）设EM＝a米，则MH＝(a+1)米..在Rt△EMH中，由勾股定理，得a2+(a+1)2＝12+32.
解得a＝，而a＞0，所以a＝，即EM的长为米.
说明　本题是一道以几何图形为背景的应用题，求解时常常需要我们依据题意，灵活运用几何知识，构造出函数模型，进而使问题获解.
三、双二次函数型
例3（江苏省）如图1，已知二次函数y＝x2－2x－1的图象的顶点为A.二次函数y＝ax2+bx的图象与x轴交于原点O及另一点C，它的顶点B在函数y＝x2－2x－1的图象的对称轴上.
（1）求点A与点C的坐标；
（2）当四边形AOBC为菱形时，求函数y＝ax2+bx的关系式.
分析（1）由二次函数y＝x2－2x－1可直接确定其顶点坐标A，而由二次函数y＝ax2+bx的图象与x轴交于原点O及另一点C，它的顶点B在函数y＝x2－2x－1的图象的对称轴上的条件可求得点C的坐标.（2）由四边形AOBC为菱形可求得点B的坐标，进而利用待定系数法求得y＝ax2+bx的解析式.
解　如图2.（1）因为y＝x2－2x－1＝(x－1)2－2，所以顶点A的坐标为(1，－2).
又因为二次函数y＝ax2+bx的图象经过原点，且它的顶点在二次函数y＝x2－2x－1图象的对称轴l上，所以点C和点O关于直线l对称，所以点C的坐标为(2，0).
（2）因为四边形AOBC是菱形，所以点B和点A关于直线OC对称，因此，点B的坐标为(1，2).
因为二次函数y＝ax2+bx的图象经过点B(1，2)，C(2，0)，
所以解得所以二次函数y＝ax2+bx的关系式为y＝－2x2+4x.
说明　本题是以两条抛物线为背景，求解时要能充分发挥二次函数的知识，利用数形结合、待定系数法的数学思想方法.
四、运动变化型
例4（长春市）如图，直线y＝－x+6分别与x轴、y轴交于A，B两点，直线y＝x与AB交于点C，与过点A且平行于y轴的直线交于点D.点E从点A出发，以每秒1个单位的速度沿x轴向左运动．过点E作x轴的垂线，分别交直线AB、OD于P、Q两点，以PQ为边向右作正方形PQMN，设正方形PQMN与△ACD重叠部分（阴影部分）的面积为S（平方单位）.点E的运动时间为t（秒）.
（1）求点C的坐标.
（2）当0＜t＜5时，求S与t之间的函数关系式.
（3）求（2）中S的最大值.
（4）当t＞0时，直接写出点(4，)在正方形PQMN内部时t的取值范围.
【参考公式：二次函数y＝ax2+bx+c图象的顶点坐标为.】
分析（1）由两条直线的解析式可直接求得点C的坐标.（2）若AE＝t，则OE＝8－t，于是所以点Q的纵坐标为(8－t)，点P的纵坐标为t，于是可构造方程求得t，进而分情况求解.（3）由二次函数的性质并利用配方分别求解，并加以比较确定S的最大值.（4）结合图形可求得.
解（1）由题意，得解得所以C(3，).
（2）根据题意，得AE＝t，OE＝8－t.所以点Q的纵坐标为(8－t)，点P的纵坐标为t，
所以PQ＝(8－t)－t＝10－2t.当MN在AD上时，10－2t＝t，解得t＝.
当0＜t≤时，S＝t(10－2t)，即S＝－2t2+10t.
当≤t＜5时，S＝(10－2t)2，即S＝4t2－40t+100.
（3）当0＜t≤时，S＝－2(t－)2+，所以t＝时，S最大值＝.
当≤t＜5时，S＝4(t－5)2，因为t＜5时，S随t的增大而减小，所以t＝时，S最大值＝.而＞，所以S的最大值为.
（4）依题意，结合图形可知，4＜t＜，或t＞6.
说明　本题意在考查平面内点的坐标的意义，二元一次方程组的应用，不等式（组）的简单应用二次函数与一元二次方程根之间的内在联系，是一道比较好的动态的二次函数综合题.
A
B
F
C
G
D
H
Q
P
N
M
红
黄
紫
E
紫
图2
图1
y
x
D
N
M
Q
B
C
O
P
E
A

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