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2020广东省中考数学试卷25题第三问分析
原创：中数君
呈现2020
广东省中考数学压轴题之---代数与几何（代几）综合题25
试题情境分析
首先谈一谈各省市中考数学卷中以“二次函数”为背景的代数（几何）综合题的状况。往往以探索性问题（动点、动线导致的）作为压轴大戏，举例：探索三角形相似、全等，探索平行四边形存在性、探索等腰三角形存在性、探索三角形面积的最值问题、探索函数的取值范围等等。
对于此类压轴题的设计题材背景一般有以下显著特点：
1.一般试题背景考生都很熟悉（以平面直角坐标系为依托），本着有易到难，利于学生们入题上手，渐入佳境的原则题目的设问层层推进，难度结构合理，多数设问为“常规题”，，体现了中考试题的学业水平检测功能，但随着问题解决的推进，解决问题难度逐步上升，体现了中考试题的选拔性。
2.有些试题背景的设计考生不很熟悉，那些题目一般是新定义或新情境问题（首都中考数学试题常见），但相对于任何学生而言是公平的，人人不熟悉情境和人人熟悉情境同一道理，很好体现了中考试题的公平性。
3.命题者对于此类题目的设计非常注意各小问解题方法的多样性和灵活性，但不同的解题方法繁简程度可能大相径庭，充分照顾了不同数学学习层次能力的学生，通过检测让不同的学生得到不同的收获，但有保证优秀学生的脱颖而出。
对于此类压轴题的问题设计中考查的知识点或区域一般有以下几个：
利用待定系数法求函数解析式
利用两个函数解析式联立方程组（直线或抛物线）求点坐标方法
抛物线的性质、点关于直线对称。
直线的平移，点的平移（图形三大变换：对称、旋转、平移）
两个三角形相似，对应边上的高特性
三角形全等、相似
平面直角坐标系中不规则四边形面积求法
一次、二次函数与圆相结合的题目，考查圆的知识（与圆有“缘”），2003年新课改后此类题目一般不多见。因为新课标上建了一些圆的知识。
再看本题，它以平面直角坐系为依托，全面覆盖了对学生初中阶段与一次、二次函数学习相关的基本知识、基本技能、基本数学思想方法和基本数学活动经验的考查。同时还对于三角形相似及相似三角形的有关性质和勾股定理、二次根式的计算做了重点考查。下面对于本题的各问中涉及的考查点和集体思路进行具体分析。
（1）求b、c的值。而b、c恰为二次函数解析式中两个系数，二次函数解析式中共有三个系数，要求其中两个系数，就应该想到首先求出抛物线上两点的坐标。有题目知3AO=BO=3，可以很容易得出A、B两点坐标。代入解析式即可求出。该小问重点考查了待定系数法求函数解析式（二次函数表达式中特定项的系数）、坐标轴上点的坐标特点。
（2）着重考查待定系数法求一次函数解析式方法以及点在抛物线上求点坐标方法。难点是如何求出点D坐标（点的坐标特点）？通过由D点向坐标轴（x或y轴）作垂线段构造相似三角形是主要解决问题的途径。通过相似三角形的知识求出D点的横坐标或纵坐标，再由D点在抛物线上，将D点的横坐标或纵坐标代入函数解析式从而得出D点的坐标。求点D坐标，学生的方法可能很多，注意繁简程度不一，从而答卷时间使用不同，对于后续答题情绪有影响。还有本题计算量牵扯二次根式的化简，也给学生们造成一定的压力。知道点D、B坐标,直线BD（因为两点确定一条直线，所以知道点D、B坐标,可求直线BD）解析式可以迎刃而解了。
从而可见压轴题25题中前面的两小问都是常规题目，非常符合压轴题设计的个别显著特点。
（3）对于第三问是以动点为背景进行考查相关知识的题目，其实也是中考复习中大多数教师常规备考的题型---三角形相似的探索问题，只不过平时备考的三角形相似题目多数是一个动点问题导致相似的分类讨论，这次考题是两个动点导致相似三角形的探索分类而已，从而加大了解题难度（难点很多该问，分析完后一并总结），即使会分类有解答方法也不一定完美得出答案，关键还有二次根式部分知识的过硬功底方可。
由题意知△BDA形状、大小、位置均固定（△BDA非等腰、直角三角形，前面两小问可以求得）。而△BPQ中点B固定，点B、P是动点。从而导致△BPQ的三个内角不是定值。若△BDA与△BPQ相似，必然两上三角形的3个内角会对应相等。两个三角形相似对应角相等那么对应点应该与对应角相等的角的顶点对应。由此若△BDA与△BPQ相似，理论上应该分别会有六种不同的对应情况。△BDA中点B、D、A分别对应△BPQ的点B、P、Q情况图表。
点B
点D
点A
△BDA与△BPQ相似对应情况
对应点B
对应点P
对应点Q
△BDA?△BPQ
对应点B
对应点Q
对应点P
△BDA?△BQP
点B
点D
点A
△BDA与△BPQ相似对应情况
对应点P
对应点B
对应点Q
△BDA?△PBQ
对应点P
对应点Q
对应点B
△BDA?△PQB
根据题意知△BDA与△BPQ相似时，点P
在抛物线的对称轴上且位于x轴下方，而点Q在射线BA上，从而知∠QBP总小余90度，而∠BAD由题意知识钝角，所以
上表中△BDA?△PQB不成立。
点B
点D
点A
△BDA与△BPQ相似对应情况
对应点Q
对应点P
对应点B
△BDA?△QPB
对应点Q
对应点B
对应点P
△BDA?△QBP
根据题意知△BDA与△BPQ相似时，点P
在抛物线的对称轴上且位于x轴下方，而点Q在射线BA上，从而知∠QBP总小余90度，而∠BAD由题意知识钝角，所以
上表中△BDA?△QPB不成立。
分析得出若△BDA与△BPQ相似，由题意知会有四种情况存在。△BDA?△BPQ、△BDA?△BQP、△BDA?△QBP、△BDA?△PBQ。
对于动点问题，构成的图形会时刻发生变化，我们一般情况解决此类分类讨论问题采用“一类、一图、一解”的方法。
对于本题第三问由于题干只与点B、A、D和平面直角坐系及抛物线对称轴还有点C有直接联系,其它无关元素可以剔除，删繁就简。
△BDA?△BPQ情况如图所示：由于点P在对称轴上，若△BDA?△BPQ则有∠BDA=∠BPQ,
∠BAD=∠BQP,
∠DBA=∠PBQ,令对称轴与直线BD相交于点M,过点M作MQ∥DA交x轴于点Q，可得△BDA?△BMQ.根据图形的对称性，作△BMQ关于x轴的对称图形△BPQ即可知△BDA?△BPQ，从而可以求得点Q的坐标。红色三角形与绿色三角形关于x轴对称。
此类情况学生们容易想到，有的分的可能性，为什么这样说呢？关键还要会解答出点Q的坐标。怎么解答呢？绿色三角形与三角形BAD相似，根据相似三角形对应边上的高得以相似比，可以得到BQ:BA=点M的纵坐标：点D的纵坐标.
BA的长度与点D的纵坐标已经知道，关键求出点M的纵坐标。点M在直线BD上又知道点M在抛物线对称轴上{点M的横坐标知道}。到此你会解答了吧。试一试吧。
②△BDA?△BQP情况，我们可以根据“母子三角形相似”的情况推出，过点P作PQ∥BD交x轴于点Q，易得三角形BPQ与红色三角形相似，从而得出△BDA?△BQP
③若△BDA?△QBP，只有两个三角形全等，全等三角形是相似三角形的特殊情况。
如图所示：由三角形三边关系理论大角对大边得出线段AD﹤AB﹤BD.
△BDA?△QBP只有△BDA≌△QBM.在x轴上作BQ=BD,在作BM=AD,QM=AB(分别以点B、Q为圆心以BD、AD长为半径画弧，两弧教育抛物线对称轴上的点M),从而做出△QBM，而后作△QBM关于x轴对称的△QBP。【绿色三角形】
绿色三角形与浅红色三角形关于x轴对称。
△BDA?△PBQ的情况，我们可以根据“母子三角形相似”的情况推出，过点P作PQ1(绿色实线)∥AD交x轴于点Q1，易得三角形BQ1Q与绿色三角形相似，从而得出△BDA?△PBQ1
对于后三类情况点Q坐标的解答方法用到三角形的相似、勾股定理，求两直线的交点坐标【联立方程组】、直线平移后函数解析式（一次函数解析式中k的意义）的写法还有二次根式的化简知识。自己试一试吧。计算量不仅仅很大，并且数值还是根式的情况。一种情况画一个图形，画一个图形而后进行解答，不至于图形画在一张上，难于看清，切记分类讨论的压轴题目要采用“一类、一图、一解”的套路解答，易于得分。做出一种情况得一部分。
备注：所有图形均由几何画板完成，先复制25
题题目图形而后用几何画板作点、线构图，为此有不妥之处在所难免，希望大家发现后及时留言沟通，共同商榷。
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精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
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