资源简介

认识三角形
三角形的定义：
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．
有关三角形的概念：
①三角形的边：即组成三角形的线段；
②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角；
③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点.
④三角形的外角：三角形的角的一边与另一边的反向延长线组成的角叫做三角形的外角．
注意：（1）三角形的定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”.
三角形外角的特征：①顶点在三角形的一个顶点上；②一条边是三角形的一边；
③另一条边是三角形某条边的延长线．
注意：（1）三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角．
三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，注意单独的△没有意义；△ABC的三边可以用大写字母AB、BC、AC来表示，也可以用小写字母a、b、c来表示，边BC用a表示，边AC、AB分别用b、c表示．
三角形的分类：
按角分
按边分
锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
三个角都是锐角
有一个角为直角
有一个角是钝角
不等边三角形
等腰三角形
等边三角形
三边不相等
有两条边相等
三条边都相等
①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形;
②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形；
③直角三角形：有一个角为90°的三角形。
①不等边三角形：三边都不相等的三角形；
②等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角;
③等边三角形：三边都相等的三角形。
三角形的三线：
三角形的中线：三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线．
这个角的顶点与交点之间的线段．
三角形的角平分线：三角形内角的平分线与对边的交点和这个内角顶点之间的线段叫三角形的角平分线．
三角形的高：过三角形顶点作对边的垂线，垂足与顶点间的线段叫做三角形的高．
注意：（1）三角形分别有三条高线，三条中线，三条角平分线；
（2）任意三角形三条角平分线，三条中线，分别交于一点，且都在三角形的内部；
（3）直角三角形的三条高线的交点就是直角顶点，钝角三角形的三条高线的交点在三角形的外部，锐角三角形的三条高线在三角形的内部。
三角形的外角和与外角和
三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．
结论：直角三角形的两个锐角互余.
考点：①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；
②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数；
③求一个三角形中各角之间的关系．
三角形的外角和：三角形的外角和等于360°.
考点：因为三角形的每个外角与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是180°，可推出三角形的三个外角和是360°．
三角形外角的性质：
（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．
三角形的三边关系
定理：三角形任意两边之和大于第三边，即a+b>c
a+c>b
b+c>a必须同时满足。
推论：三角形任意两边的之差小于第三边.
考点：
（1）理论依据：两点之间线段最短.
（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．
（3）证明线段之间的不等关系．
性质：如果三角形的三条边固定了，那么这个三角形的形状大小就确定了，三角形的这个性质叫三角形的稳定的。
确定三角形第三边的取值范围：
两边之差<第三边＜两边之和．
这也是判断三边构成三角形的条件。
注意：1、这也是判断三边构成三角形的条件。
2、第三边可以是任意一条边。
多边形
多边形的概念：
在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次连接结所组成的封闭图形叫
做多边形．其中，各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形。
（三角形是最简单的多边形）
构成多边形的元素：
边：
组成多边形的各条线段叫做多边形的边。
顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．
内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形就有n个内角.
外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.与它相
邻的内角互补,一个n边形就有n个外角。
对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．
图文：
多边形的分类:
画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形．如图：
主要研究凸多边形
多边形内角和定理：
三角形
四边形
五边形
六边形
七边形
一个三角形
二个三角形
三个三角形
四个三角形
五个三角形
由上面的归纳推理我们可以得出：
(1)过n边形的一个顶点可引(n-3)条对角线，n边形对角线的总条数为；
(2)过n边形的一个顶点的对角线可以把n边形分成(n-2)个三角形。
由（2）我们可以得出：
n边形的内角和为
：(n-2)·180°(n≥3)．
注意：(1)内角和定理的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；
②已知多边形内角和，求其边数；
(2)多边形的内角和是180?的整数倍。
(3)多边形的边每增加1条，多边形的内角和增加180°
.
(4)正多边形的每个内角都相等，都等于。
多边形的外角和定理：
多边形的外角和为360°．
注意：(1)多边形的外角和为360°的应用：
①已知各相等外角度数求多边形边数；
②已知多边形边数求各相等外角的度数．
(2)在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关；
(3)正n边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于；
(4)
一个多边形外角最多为3个钝角，或者内角最多为3个锐角。
多边形剪去一个角的情况：
图2：不经过顶点，那么就会增加一个角，增加一条边。内角和增加180°
图3：经过一个顶点，那么角的个数不变，边数也不变。内角和不变
图4：经过两个顶点，那么就会少一个角，减少一条边。内角和减少180°
以四边形举例：
总结：即一个n（n>3）边形剪去一个角后，可能是（n+1）边形、n边形、（n-1）边形.
经典例题：
一个多边形截取一个角后内角和为2340度，求原来多边形的边数：
解题思路：根据
(n-2)·180°=2340
n=15
则原多边形有三种情况：①
原多边形为14边形，不经过顶点剪，增加一条边。
②
原多边形为15边形，经过一个顶点剪，边数不变。
③
原多边形为16边形，经过两个顶点剪，减少一条边。
用正多边形铺设地面
1、用一种正多边形铺设地面：
只用一种正多边形镶嵌地面，当围绕一点拼在一起的几个正多边形的内角加
在一起恰好组成一个周角360°时，这种正多边形可以铺设地面.事实上，在正
多边形中，能用一种正多边形铺满地面的只有正三角形、正方形、正六边形的地
砖可以用.
注意：正多边形能用于铺设地面的前提条件是：这个正多边形一个内角的度数是360°的约数.正三角形的一个内角度数为180÷3=60°，是360°的约数；正方形的一个内角度数为360÷4=90°，是360°的约数；正六边形的一个内角度数为180﹣360÷6=120°，是360°的约数，所以它们都可以用于铺设地面，而其他正多边形内角不能满足这个条件，所以不能用于铺设平面.
2、用多种正多边形铺设地面：
正多边形的组合能否铺满地面，关键是看位于同一顶点处的几个正多边形的
内角之和能否为360°．若能，则说明能铺满；反之，则说明不能铺满．
（1）用两种正多边形铺设地面的组合有：①正三角形与正方形；②正三角形与正六边形；③正三角形与正十二边形；④正方形与正八边形.
（2）用三种正多边形铺设地面的组合有：①正三角形、正方形与正六边形；②正方形、正六边形与正十二边形③正三角形、正十边形与正十五边形④正方形、正五边形与正二十边形.
注意：（1）用两种正多边形铺设地面满足方程：内角度数×m
+
另一种内角度数×n=360°有正整数解（即m、n均为正整数）.
（2）用三种正多边形铺设地面满足方程：内角度数×m
+
另一种内角度数×n＋第三种内角度数×k
=360°有正整数解（即m、n、k均为正整数）.
（3）有时几种正多边形的组合能围绕一点拼成周角，但不能扩展到整个平面，即不能铺满平面.如：正五边形与正十边形的组合.
3.任意多边形平面铺设：
形状、大小完全相同的任意三角形能镶嵌成平面图形；形状、大小相同的任
意四边形（凸四边形）能镶嵌成平面图形.
注意：任意三角形、四边形（形状、大小相同）能镶嵌平面是因为：三角形内角和为180°，是360°的约数；四边形（凸四边形）的内角和是360°，也是360°的约数.所以大小形状相同任意三角形、四边形围绕一点拼在一起的几个内角加在一起恰好组成一个周角(
360°)时，就能铺满地面.
各个正多边形的内角度数：
正三角形：60°
正八边形：135°
正十五边形：156°
正四边形：90°
正九边形：140°
正十八边形：160°
正五边形：108°
正十边形：144°
正二十边形：162°
正六边形：120°
正十二边形:150°
凸多边形
凹多边形

展开更多......

收起↑