资源简介

第一部分 幂函数、指数函数和对数函数
(一)集合
提要
(1)用描述法表示集合时，关键是归纳出集合的所有元素的共同属
性，并将这个属性用一个解析式表达出来。
(2)判断某个对象 x是否为某个集合 A的元素，就是看 x是否具备 A
中元素的公共属性。
(3)根据子集和集合相等的定义，判断两个集合之间的关系是通过间
断元素与集合的关系来进行的。例如，要确认A B，只须对任意x∈
A，证明x∈B。又如要确认A B，除了要证明A B外，还须找到一
个x0∈B，但x0 A。
(4)如集合的元素是离散的，则集合间的运算可借助维恩图的直观来
进行。
(5)如集合的元素是连续的，则集合间的运算可借助数轴的直观来完
成。
1．集合的概念、子集
例题
解 设α=x-y，β = y z，γ = z x，则有α + β + γ = 0。故
α + β γ
sin γ = sin(α + β)， sin = sin
2 2
[ ]
A．3∈A且 - 3∈A B．3∈A但 - 3 A
C．3 A且 - 3 A B．3 A但 - 3 ∈A
解 D ∵3 -1 = 2 3，∴3 A；∵ 3 1＜ 3，∴ 3∈A。
例 1-1-2 集合 A=｛(x，y)|y=-1+x-2x2，x∈R，x≠0｝，若点 P 的
坐标(x，y)∈A，则 [ ]
A．P 在第一或第二象限
B．P 在第二或第三象限
C．P 在第三或第四象限
D．P 在第四或第一象限
由已知函数的解析式得x = - 2y - y 2，对换x，y得反函数为
f 1(x) = 2x x2 ，x∈(0，1]
m
例1 -1 - 3 集合A = ｛x|x = ，m∈Z，|m|＜2，n∈N，n≤3｝用
n
2 3 4 5 6
列举法表示为 ；集合B = ｛ ， ， ， ， ｝用描述法
3 9 27 81 243
表示为 。
1 1 1 1
解 A = ｛ -1，0，1， ， ， ， ｝
2 2 3 3
n + 1
B = ｛x|x =
3n
，n∈N且n≤5｝
1
例1 -1 - 4 如果x = ，y = 3+ 2π，集合M = ｛m|m = a + b 2，
3-5 2
a∈Q，b∈Q｝，那么 x、y与集合 M的关系为 x______ M，y______ M。
1 3 5
解 ∈， 因为x = = 2，所以x∈M。但π Q，
3 -5 2 41 41
故y M。
例 1-1-5 集合 A=｛x|ax2+2x+1=0，a∈R｝中只有一个元素，则 a
的值为______。
解 0 或 1
当 ax2+2x+1=0 为一次方程时，A只有一个元素，这时 a=0。
当 ax2+2x+1=0 为二次方程时，由题设有Δ=22-4·a·1=0，这时a=1。
注 不要遗漏 a=0 的情况。
例 1-1-6 集合｛有一边长为 4、一内角为 50°的等腰三角形｝的
元素个数是______。
解 4 根据下面的作图可知：
例 1-1-7 已知集合｛1，x，x2-x｝有 3 个元素，求所有实数 x 形
成的集合。
解 由题设有
1≠x

1≠x2 - x
2
x≠x - 2
1 ± 5
解之得 x≠0，1，2，
2
1 ± 5
所以，所求x的集合为｛x|x∈R，且x≠0，1，2， ｝。
2
例 1-1-8 设 M=｛α|α=x2-y2，x，y∈Z｝，求证：
(1)一切奇数属于 M；
(2)偶数 4k-2(k∈Z)不属于 M；
(3)属于 M的两个整数，其积仍属于 M。
解 (1)设α为任意的奇数，即α=2k-1(k∈Z)。
因 2k-1=k2-(k-1)2(k，k-1∈Z)，故α∈M。
由α的任意性知，一切奇数属于 M。
(2)假设 4k-2∈M，则存在 x，y∈Z，使
4k - 2 = x2 - y 2 (x + y)(x - y) = 2(2k -1) (i)
(i)式说明 x+y 和 x-y 必有一个是偶数，另一个是奇数。但是 x+y 和
x-y
具有相同的奇偶性，这是一对矛盾。故(i)式不成立。所以，4k - 2 M。
(3)设α，β∈M则
α=x21-y21，β=x22-y22，(x1，x2，y1，y2∈Z)
进而 αβ=(x21-y21)(x22-y22)=x21x22+y21y22-x21y22-x22y21
=(x1x2-y1y2)2-(x1y2-x2y1)2
而 x1x2-y1y2∈Z，x1y2-x2y1∈Z
所以，αβ∈M。
例 1-1-9 设 A=｛正方形｝，B=｛矩形｝，C=｛平行四边形｝，D=｛梯
形｝。下列包含关系中不正确的是 [ ]
A．A B B．B C C．C D D．A C
解 C
例 1-1-10 数集 X=｛(2n+1)2｝(n∈Z)与数集 Y=｛(4k±1)2｝(k∈
Z)之间的关系是 [ ]
A．X Y B．X Y C．X = Y D．以上皆非
解 C 这是因为，当 n=2m(m∈Z)时，(2n+1)2=(4m+1)2；当 n=2m+1(m
∈Z)时，(2n+1)2=[4(m+1)-1]·2。故对任意 x∈X，有 x∈Y，
所以X Y。
又(4k+1)2=(2·2k+1)·2，(4k-1)2=[2(2k-1)+1]·2，故对任意 y
∈Y，有y∈X。所以Y X。
综上可知，X=Y。
例1-1-11 若集合X满足｛0，1｝ X ｛ - 2， -1，0，1，2｝，
则 X 的个数是 [ ]
A．2 个 B．4 个 C．6 个 D．7 个
解 D 可列出所有满足题设的 X如下：｛0，1｝，｛0，1，-2｝，｛0，
1，-1｝，｛0，1，2｝，｛0，1，-2，-1｝，｛0，1，-2，2｝，｛0，1，-1，2｝。
例 1-1-12 已知集合 A=｛(x，y)|x+2y=7，x，y∈N｝。用列举法可
将 A表示为______；集合 A的子集有______个。
解 ｛(1，3)，(3，2)，(5，1)｝；8。
例 1-1-13 已知 M=｛x|x=a2+1，a∈N｝，P=｛x|x=b2-4b+5，b∈N｝，
则 M与 P的关系是______。
解 M P
设任意 x∈N，则 x=a2+1，a∈N。由于 a2+1=(a+2)2-4(a+2)+5，
所以x∈P，所以M P。
又当b = 2时，b 2 - 4b + 4 = 1∈P，但当a∈N时，a 2 +1＞1，1 M，
所以M P。
例1 -1 -14 已知集合A = ｛x，xy， xy 1｝，B = ｛0，| x|，y｝，
A = B，求实数x，y的值。
解 要使 xy 1有意义，必须xy -1≥0，所以x≠0，y≠0，即A
中的元素 x，xy 都不可能与 B中的元素 0对应，于是只能有
xy -1 = 0 xy = 1
于是 A=｛x，1，0｝。但 A=B，所以｛x，1，0｝=｛0，|x|，y｝。
而 x≠1，故 y≠1。故只有|x|=1，即 x=-1(x≠1)。所以 y=-1。
这时 A=B=｛-1，1，0｝。
注 若 x=1，则由 xy=1 有 y=1，这时集合 A，B中就各有两个相同的
元素，与集合元素的互异性矛盾。
例 1-1-15 已知集合 A=｛y|y=x2+2x+4，x∈R｝，B=｛y|y=ax2-
2x + 4a，x∈R｝，A B。求实数a的取值范围。
解 由 y=x2+2x+4=(x+1)2+3≥3 得 A=[3，+∞)。
当a = 0时，B = R，符合A B；
1
当a＜0时，B = (-∞，4a - ]，这时A B不成立；
a
1 1
当a＞0时，B =[4a - ， +∞)，由[+， +∞) [4a - ， + ∞)得4a -
a a
1
≤3，解得0＜a≤1。
a
综上所述，a的取值集合为｛a|0≤a≤1｝。
注 不要把 y=ax2-2x+4a 简单地看成二次函数。事实上，当 a=0 时，
它是一次函数 y=-2x。
例 1-1-16 设函数 f(x)=x2+ax+b(a，b∈R)，集合 A=｛x|x=f(x)，
x∈R｝，B=｛x|x=f[f(x)]，x∈R｝。
(1)证明：A B
(2)当 A=｛-1，3｝时，求 B。
解 (1)设任意的 x0∈A，则 x0=f(x0)。而 f[f(x0)]=f[x0]=x0，故
x0∈B，
从而A B。
(2)x=f(x)，即 x2+(a-1)x+b=0。因 A=｛-1，3｝，所以
(-1)
2 + (a -1)(-1) + b = 0
2
3 + (a -1)·3+ b = 0
解得 a=-1，b=-3。故 f(x)=x2-x-3。
由 x=f[f(x)]，得
(x2-x-3)2-(x2-x-3)-x-3=0
解得x = -3，3，± 3。
T
数)的最小正周期是 。
k
例 1-1-17 设 S 是数集合｛1，2，3， ，1989｝的一个子集合，
且 S中任意两个数的差不等于 4或 7。问 S最多可以包含多少个数？
解 1，4，6，7，9 这五个数中任何两个的差都不是 4或 7。各加11
得 12，15，17，18，20，显然也是这样的数，而且各与前 5个数中任一
个的差也不是 4或 7，这样类推，每次连续十一个数中可取五个，一起组
成集合 S(注意 1989=11×180+9，最后只有九个数 1981， ，1989，但仍
可取五个数 1981，1984，1986，1987，1989)。那么S包含的数的个数是
5×181=905。
现证 S 不可能包含更多的数。若不然，则上述 181 组数中至少有一
组可以从取六个数，使得两两的差不是 4或 7。不妨考虑 1，2， 11 这
组数，把它划分成五个小组：
(4，7，11)，(3，10)，(2，6)，(5，9)，(1，8)
其中至少要求有一个小组要取出两个数。显然后面四对数的每一对都不
能同时取出，只能在第一小组中取 4，7。于是(3，10)中只能取 10，(2，
6)中只能取 2，(5，9)中只能取 5，(1，8)中两个数都不能取，也就是不
可能取得第六个数。从而得证。
习题
1-1-1 设集合 M=｛直角三角形｝，N=｛小于 6 的整数｝，P=｛比-1
大 5 的数｝，Q=｛大于 0且小于 1的有理数｝，其中无限集是
[ ]
A．M，N，P B．M，N，Q
C．M，P，Q D．N，P，Q
1-1-2 集合 A=｛x2，3+x+2，5y2-x｝，B=｛周长等于 20 厘米的三
角形｝，C=｛x|x-3＜2，x∈R｝，D=｛(x，y)|y=x2-x-1｝中描述法表示的
集合有 [ ]
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
1-1-3 集合 A=｛(x，y)|xy≤0，x，y∈R｝表示坐标平面上
[ ]
A．第二象限的点组成的集合
B．第四象限的点组成的集合
C．第二以及第四象限的点组成的集合
D．第二、四象限以及 x轴、y轴上的点组成的集合
1-1-4 用描述法可将集合｛1，-3，5，-7，9，-11， ｝表示为______。
1-1-5 绝对值不大于 6的偶数集用列举法可以表示为______。
1-1-6 设有命题 P：“若 x∈A，则 8-x∈A”。在由正整数组成的集
合中：
(1)满足命题 P的一元集 A有______个，是______；
(2)满足命题 P的二元集 A有______个，是______；
(3)满足命题 P的集合 A共有______个。
y -1
1 -1 - 7 设a = ，且a∈｛x|1＜x＜3｝，求y的取值范围。
y
1 -1 - 8 设S = ｛x|x = m + n 2，m，n∈Z｝，
(1)若 a∈Z，则 a是否是集合 S的元素？
(2)对 S 中任意两个元素 x1，x2，x1+x2，x1·x2 是否属于集合 S？
(3)对于给定的整数n，试求满足0＜m + n 2＜1的S中元素的个数。
1 -1 - 9 已知集合M = ｛x|x≥3 3，x∈R｝及a = 2 7，则下列各式
中正确的是 [ ]
A．a M B．｛a｝∈M
C．a M D．｛a｝ M
y
1 -1 -10 设集合A = ｛(x，y)|y = x｝，B = ｛(x，y)| = 1｝，则集合
x
A，B 间的关系是 [ ]
A．A B B．A B
C．A = B D．以上都不对
1-1-11 设集合 M=｛(x，y)|x+y＞0，xy＞0｝，N=｛(x，y)|x＞0，
且 y＞0｝，那么 M，N之间的关系是 [ ]
A．M N B．M N
C．M = N D．以上都不对
1 1
1 -1 -12 已知x = ，y = ，集合A =｛x|x2 -1＜0｝，则x，
3 - 3 3 2
y 与集合 A的关系是 x______ A，y______ A。
1-1-13 数集 X=｛x|x=12m+8n，m，n∈Z｝与数集Y=｛x|x=20p+16q，
p，q∈Z｝之间的关系是______。
1-1-14 集合 M=｛1，2，(1，2)｝有______个子集，它们是______。
1-1-15 已知集合 M=｛a，a+d，a+2d｝，N=｛a，aq，aq2｝，其中 a
≠0，若 M=N，求 q的值。
1-1-16 已知集合
A=｛(x，y)|2x+y-2=0｝
B=｛(x，y)|2x2-ay2-(2a-1)xy+4ay-2=0｝
若A B，求实数a的值。
1-1-17 集合 A 由不同的自然数构成，其元素个数大于 7，且各个
元素的最小公倍数为 210，每两个元素的最大公约数大于 1，若 A中所有
元素之积能被 1920 整除，并且不是完全平方数，求 A的各个元素。
2．交集、并集、补集
例题
例 1-1-18 设集合 A=｛(x，y)|3x+2y=7｝，B=｛(x，y)|2x+3y=8｝，
则 A∩B= [ ]
A．(1，2) B．｛x=1｝∩｛y=2｝
C．｛1，2｝ D．｛(1，2)｝
3x +2y = 7
解 D 解方程组 得(x，y) = (1，2)。所以A∩B = ｛(1，2)｝。
2x +3y = 8
例 1-1-19 设集合 X=｛0，1，2，4，5，7｝，Y=｛1，3，6，8，9｝，
Z=｛3，7，8｝，那么集合(X∩Y)∪Z= [ ]
A．｛0，1，2，6，8｝
B．｛3，7，8｝
C．｛1，3，7，8｝
D．｛1，3，6，7，8｝
解 C
例 1-1-20 若方程 x2-px+6=0 的解集是 M，方程 x2+6x-q=0 的解集
是 N，且 M∩N=｛2｝，那么 p+q= [ ]
A．21 B．8 C．6 D．7
解 A 因为 M∩N=｛2｝，所以 22-p·2+6=0，22+6·2-q=0，即 p=5，
q=16。所以 p+q=21。
例 1-1-21 满足 A∪B=｛a1，a2｝的集合 A，B的组数为
[ ]
A．5 B．7 C．9 D．10
解 C ∵｛a1a2｝∪｛a1，a2｝∪｛a1｝
=｛a1｝∪｛a1a2｝=｛a1，a2｝∪｛a2｝=｛a2｝∪｛a1，a2｝=｛a1，
a2｝∪ = ∪｛a1，a2｝=｛a1｝∪｛a2｝=｛a2｝∪｛a1｝=｛a1，a2｝
∴满足要求的 A、B有 9组。
例 1-1-22 S、T 是两个非空集合，且 S T，T S，若 X=∩T，那么
S∪X=______。
解 S 由右边的维恩图即知。
｛(x，y)|(a2-1)x+(a-1)y=15｝，则 a的值为______。
5
解 1， -1， ， - 4．
2
当 x≠2时，将 y=(a+1)(x-2)+3 代入(a2-1)x+(a-1)y=15，得
2(a2-1)x=(2a-1)(a-1)+15
当 a=±1 时此方程无解．
当 x=2 时，将 x=2，y=3 代入(a2-1)x+(a-1)y=15，得
(a2-1)·2+(a-1)·3=15
5
解得a = -4或a = ．此时，(2，3)∈N，但(2，3) M，故M∩N = ．
2
5
综上所述，当a = ±1或a = -4或a = 时，M∩N = ．
2
y 3
= a + 1
注 此例即求方程组 x 2 无解的条件．
(a
2 1)x + (a 1)y = 15
例 1-1-24 已知集合 A={a2，a+1，-3}，B={a-3，2a-1，a2+1}．若
A∩B={-3}，求实数 a的值．
解 因为-3∈B，而 a2+1＞0，所以有两种可能：
(i)a-3=-3 (ii)2a-1=-3
由(i)得 a=0，这时 a+1=1，a2+1=1，即 1∈(A∩B)，与已知 A∩B={-3}
矛盾．
由(ii)得 a=-1，这时 A={1，0，-3}，B={-4，-3，2}，满足题设．
综上，a=-1．
例1 -1 - 25 已知A = {x| x2 + (p +2)x +1= 0，x∈R}．若A∩R+ = ，
求 p 的取值范围．
解 因为A∩R + = ，所以：(i)A = 或(ii)方程x2 + (p + 2)x +1= 0
实根为非正数．
由(i)，△=(p+2)2-4＜0，解得-4＜p＜0．
由(ii)，有
△ = (p + 2)2 4≥0

(p + 2)≤0
解得 p≥0．
综上，p＞-4．
注 容易漏掉A = 的情况．
例 1-1-26 设以实数集 R 为全集，A={x|-3＜x≤3}，B={x|x≤
-3，}C={x|x＞3}，则 A是 B和 C的 [ ]
A．交集 B．并集
C．交集的补集 D．并集的补集
解 D ∵B∪C = {x| x≤ - 3或x＞3}，∴A = (B∪C)．
例 1-1-27 设全集 I={x|1≤x＜9，x∈N}，则满足{1，3，5，
7，8}∩B = {1，3，5，7}的所有集合B的个数是 [ ]
A．1 个 B．4 个
C．5 个 D．8 个
解 D 因为B≠B，故只需考虑B的个数．
因为I = {1，2，3，4，5，6，7，8}，故满足题设的B有{1，3，
5，7}，{1，3，5，7，2}，{1，3，5，7，4}，{1，3，5，7，6}，{1，3，
5，7，2，4}，{1，3，5，7，2，6}，{1，3，5，7，4，6}，{1，3，5，
7，2，4，6}，共 8个．所以满足题设的 B有 8个．
例 1-1-28 由 A∪B=A∪C 可以推出 [ ]
A．B=C
B．A∩B=A∩C
C．A∩B = A∩C
D．A∩B = A∩C
解 C 采用特例法．取 A={1，2，3，4}，B={1，2}，C={3，4}，知
A，B，D不成立，从而知 C成立．
例 1-1-29 设全集 I={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合
A∩B = {2}，A∩B = {1，9}，A∩B = {4，6，8}，那么A = ，
B=______．
解 A={2，3，5，7}，B={2，4，6，8}．
用维恩图来推求．如图，两圆分别表示 A与 B．在图上分别标出
A∩B，A∩B，A∩B，A∩B，并把A∩B = {2}，A∩B = {1，9}，A∩
B = {4，6，8}填入．从图上可得出A∩B = {3，5，7}．所以A = {2，3，
5，7}，B={2，4，6，8}．
例 1-1-30 用集合的交、并、补表示下列图形中阴影部分为：
(1)______；(2)______；(3)______．
解 (1)(A∩B)∪(B∩C) (2)A∪B (3)A∩B
注 表示方法不惟一，比如(3)也可表示为(A∪B)∩A．
例1 -1 - 31 设全集I = {2，3，a 2 + 2a - 3}，A = {b，2}，A = {5}，
求实数 a和 b的值．
解 由A∪A = I得{b，2，5} = {2，3，a 2 + 2a - 3}．所以
b = 3且a 2 + 2a - 3 = 5 a = 2或 - 4，b = 3
例1 -1 -32 设全集I = {x| x为小于20的正偶数}，若A∩B = {12，14}，
A∩B = {2，4，16，18}，A∩B = ，求集合A与集合B．
解 由下图知A∩B = B = {12，14}．又
I={2，4，6，8，10，12，14，16，18}
所以 B={2，4，6，8，10，16，18}
同理可得
A={6，8，10，12，14}
注 本题中因为A∩B = ，所以A∪B = ，可知A∪B = I．因此
从维恩图上可以直接看出A∩B = B，A∩B = A．
例 1-1-33 50 名学生做物理、化学两种实验．已知物理实验做得正
确的有40人，化学实验做得正确的有31人，两种实验都做错的有4人．问
这两种实验都做对的有几人？
解 设学生集合为全集 I，做对物理实验的学生为集合 A，做对化学
实验的学生为集合 B，则都做对的学生的集合为 A∩B，设其元素个数为
x．由图可见，只做对物理实验的人数为 40-x，只做对化学实验的人数为
31-x．故 x+(40-x)+(31-x)+4=50，解之，得 x=25(人)．
注 如用符号 n(E)表示有限集 E的元素个数，那么，若 A，B为有限
集，则
n(A∪B)=n(A)+n(B)-n(A∩B)
习题
1-1-18 若 A={1，3，x}，B={x2，1}，且 A∪B={1，3，x}，则这样
的 x的不同值有 [ ]
A．1 个 B．2 个
C．3 个 D．4 个
1-1-19 已知集合 P满足 P∩{4，6}={4}，P∩{8，10}={10}，P
∩{2，12} = {2}，P {2，4，6，8，10，12}，则P = [ ]
A．{2，4}
B．{2，4，10}
C．{6，8，12}
D．{2，4，6，8，10，12}
y
1 -1 - 20 设集合A = {(x，y)| 2 = 1，x，y∈R}，B = {(x，y)|y = 1 - x
1- x2，x，y∈R}，C = {(x，y)|(x，y)∈B，但(x，y)∈A}，则B∩C =
[ ]
A．{(1，-1)}
B．{(-1，0)，(1，0)}
C．
D．{(-1，1)}
1-1-21 数集{x|15≤x≤125}∩{x|x=4n+1，n∈N}中，所有元素的
和等于______．
1-1-22 若 a＜0＜b＜|a|，A={x|a≤x≤b，x∈R}，B={x|-b≤x≤
-a，x∈R}，则 A∩B=______，A∪B=______．
1-1-23 已知集合 A={x|x2-3x+2=0}，B={x|x2-ax+(a-1)=0}，
C={x|x2-mx+2=0}，且 A∪B=A，A∩C=C，求 a，m．
1-1-24 已知集合 A={(x，y)|ax+y=1}，B={(x，y)|x+ay=1}，C={(x，
y)|x2+y2=1}，问：
(1)当 a 取何值时，(A∪B)∩C 为含有两个元素的集合？
(2)当 a 取何值时，(A∪B)∩C 为含有三个元素的集合？
1 -1 - 25 设I是全集，非空集A，B满足A B，则下列集合中为空
集的是 [ ]
A．A∩B B．A∩B C．A∩B D．A∩B
1-1-26 如果 I={a，b，c，d，e}，M={a，c，d}，N={b，d，
e}，其中I是全集，那么M∩N = [ ]
A． B．{d} C．{a，e} D．{b，e}
1-1-27 若集合 A∪B=I(I 为全集)，则下列关系式中一定正确的是
[ ]
A．B A B．A∩B = C．B A D．A∩B = I
1 -1 - 28 设I = {a，b，c，d，e，f，g，h}，已知A∪B = {a，b，
c，e，f，g，h}，A∩B = {a，e}，A∩B = {c，g}，B∩A = {b，f，
h}，则 A=______，B=______．
1-1-29 某年级有 52 人参加了数学或英语小组，其中参加数学小组
的有 32 人，参加英语小组的有 40 人，那么同时参加数学和英语小组的
有______人．
1 -1 -30 已知全集I = {2，3，a2 + 2a -3}，A = {|a +1|，2}，A = {5}，
求实数 a的值．
1-1-31 设 I=R，P={y|y=-x2，x∈R}，Q={y|y=|x|-1，x∈R}，求
P∩Q，P∪Q，P∪Q与P∩Q．
1-1-32 (1)A={x|x=28m+20n，m，n∈Z}，B={x|x=12m+18n，m，n
∈Z}，求属于 A∩B的最小的正整数．
(2)设集合 A的元素是正整数的平方除以 8得到的余数，集合B的元
素是正整数的平方除以6得到的余数，用列举法表示集合A∪B，A∩
B．
（二）一元二次不等式
提要
(1)解不等式|f(x)|＜c 与|f(x)|＞c(c＞0)主要依据
|f(x)|＜c -c＜f(x)＜c
与 |f(x)|＞c f(x)＜ - c或f(x)＞c
将绝对值不等式转化为非绝对值不等式(组)后求解．
(2)可将(1)的依据推广为
|f(x)|＜g(x) -g(x)＜f(x)＜g(x)
与 |f(x)|＞g(x) f(x)＜ - g(x)或f(x)＞g(x)
(3)型如|f(x)|＜|g(x)|的不等式可通过对其两边平方后化为
[f(x)]2＜[g(x)]2 求解．
(4)型如 a|x-x1|+b|x-x2|＜c(x1＜x2，a，b≠0)的不等式可通过分
区间(-∞，x1)，(x1，x2)，(x2，+∞)去绝对值符号后求解．
(5)一元二次不等式 ax2+bx+c＞0(a≠0)的解集实际上就是使一元二
次函数 f(x)=ax2+bx+c 的函数值为正的自变量 x 的取值范围，故可利用
二次函数的图形直观地得到一元二次不等式的解．
(6)已知一元二次不等式 ax2+bx+c＞0(a≠0)的解集，确定不等式的
系数可采用比较系数法，即作出一个解集为已知集合的一元二次不等式
a1x2+b1x+c1＞0(a1≠0)，然后与所求不等式比较系数：
a b c
= = (a与a 同号)
a1 b1 c
1
1
1．|ax+b|＜c，|ax+b|＞c(c＞0)型不等式
例题
1＜ |x|
例1 -2 -1 不等式组 的解集为 [ ]
|x|＜2
A．{x|-1＜x＜1}
B．{x|-2＜x＜-1 或 1＜x＜2}
C．
D．{x|-2＜x＜2}
解 B 由 1＜|x|得 x＜-1 或 x＞1；由|x|＜2 得-2＜x＜2，所以原
不等式组的解为-2＜x＜-1 或 1＜x＜2．
例 1-2-2 不等式|x-1|+|x+2|＜5 的解集是 [ ]
A．{x|-3＜x＜2}
B．{x|-1＜x＜2}
C．{x|-2＜x＜1}
3 1
D．{x|- ＜x＜ }
2 2
解 A 分区间讨论．当 x＜-2 时，原不等式化为-(x-1)-(x+2)＜5，
即 x＞-3，此时原不等式的解为-3＜x＜-2；
当-2≤x＜1 时，原不等式化为-(x-1)+(x+2)＜5，即 x∈R，此时原
不等式的解为-2≤x＜1；
当 x≥1 时，原不等式化为(x-1)+(x+2)＜5，即 x＜2，此时原不等式
的解为 1≤x＜2．
综上可知，原不等式的解集是{x|-3＜x＜2}．
3 | x|
例1 -2 - 3 使 有意义的x的取值范围是 [ ]
|2x + 1| 4
3 5
A． 3≤x＜ B． ＜x≤3
2 2
5 3
C． 3≤x＜ 或 ＜x≤3 D． 3≤x≤3
2 2
3 |x|≥0
解 C 解不等式组 得x的取值范围．
|2x + 1| 4＞0
3x + 14
例1 -2 - 4 不等式|x + 2|＞ 的解是 [ ]
5
A．x＜-3 或 x＞2
B．-3＜x＜2
C．-2＜x＜0
D．0＜x＜2
解 A 原不等式同解于
3x + 14 3x + 14
x + 2＜ 或x + 2＞ x＜ 3或x＞2．
5 5
3x + 14 3x + 14
注 显然原不等式可分为 ＜0或 ≥0两种情况求解，
5 5
但没有上述解法简便．
5|x|-1
例1 -2 - 5 (1) + 1＜3的解集为_ _ _ _ _ _；
2
(2)5≤|5x 3|≤10的解集为_ _ _ _ _ _．
解 (1){x|-1＜x＜1}
7 2 8 13 |5x 3|≤10
(2){x|- ≤x≤ 或 ≤x≤ }．解不等式组 即得．
5 5 5 5 |5x 3|≥5
|x 1| 2
例1 -2 - 6 不等式 ＞0的解集是_ _ _ _ _ _．
|x + 3|
解 {x|x＜-3 或-3＜x＜-1 或 x＞3}
原不等式同解于不等式组
|x -1|-2＞0

x + 3≠0
解之，得原不等式的解集为{x|x＜-3 或-3＜x＜-1 或 x＞3}．
3 x
例1 -2 - 7 设A = x | x -2|≤| | ，B = {x |x 1|＜a}．如果
2 2
A∩B = B，求a的取值范围．
3 x
解 对| x 2|≤| |两边平方得
2 2
3 x
( x 2)2 ≤( ) 2 (x 1)(x 2)≤0
2 2
所以 A=[1，2]．
1
中a和 的几何意义来判断．
a
A B C 1
sin sin sin ≤
2 2 2 8
解得 a≤0．但 a＞0，故此种情形不成立．
综合(i)、(ii)知，所求 a的取值范围为 a≤0．
例1 -2 - 8 设a是给定的正数，且2a≥ 2，如果对满足不等式| x - a|
1
＜b的一切实数x，不等式| x2 - a 2 |＜ 都成立，求正数b的取值范围．
2
解 | x - a|＜b(b＞0) a - b＜x＜a + b (i)
1 1
|x2 - a 2 |＜ a 2 - ＜x2
1
＜a 2 + (ii)
2 2 2
1
因为2a≥ 2，所以a 2 - ≥0，所以(ii)的解为
2
2 1 2 1 1 1 a + ＜x＜ a 或 a 2 ＜x＜ a2 +
2 2 2 2
满足(i)的一切实数 x满足(ii)，其条件是
2 1 1a ≤a b且a + b≤ a2 +
2 2
1 1
0＜b≤a a 2 且0＜b≤ a 2 + a
2 2
1 1
因为 2 ＜ 2 2
1 1
，所以 a + a＜a a 2 ．
1 1 2 2
a 2 + + a a + a 2
2 2
1
故0＜b≤ a 2 + a为所求．
2
习题
1-2-1 若|x|≤1，则 [ ]
A．x2≤1 B．x≤1
C．x≤-1 D．x≤-1 或 x≥1
1 1
1 -2 - 2 如果不等式 ＜2和 |x|＞ 同时成立，那么x满足
x 3
[ ]
1 1 1 1
A． ＜x＜ B．x＞ 或x＜
3 2 2 3
1 1 1
C．x＞ D．x＜ 或x＞
2 3 3
1-2-3 不等式 1≤|x-2|≤7 的解集是 [ ]
A．3≤x≤9
B．-5≤x≤1
C．-5≤x≤9
D．-5≤x≤1 或 3≤x≤9
1-2-4 (1)|2-x|＜1 的整数解为______．
(2)5+|x|＜2x-4 的解集为______．
1 -2 - 5 若 |3x -1|＜3，化简 9x 2 24x + 16 + 9x2 + 12x + 4的结果
是______．
1-2-6 不等式|2x+3|-|4x-3|≥0 的解集是______．
1-2-7 解关于 x的不等式 a|x-1|＞2+a．
1-2-8 已知 a＞0，不等式|x-4|+|x-3|＜a 在 R 上的解集不是空集，
求 a的取值范围．
2．一元二次不等式
例题
例 1-2-9 下列不等式中无解的一个是 [ ]
A．2x2-3x+2＞0
B．x2+4x+4≤0
C．4-4x-x2＜0
D．-2+3x-2x2＞0
解 D △=32-4(-2)(-2)=-7＜0
(2 x 1)(x 3)＞ 2

例1 - 2 -10 若x是不等式组 5x + 6 的解，则P
2(x + 2)＜ + 1 3
(x+2，x-2)在 [ ]
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解 C 不等式组的解为 x＜-3，所以 x+2＜0，x-2＜0．
例 1-2-11 已知不等式
(i)x2-4x+3＜0 (ii)x2-6x+8＜0 (iii)2x2-9x+a＜0
要使满足(i)、(ii)的 x 也满足(iii)，则 [ ]
A．a＞9 B．a=9
C．a≤9 D．0＜a≤9
解 C (i)的解是1＜x＜3，(ii)的解是2＜x＜4．所以同时满足(i)，
(ii)的 x 的值 2＜x＜3．
f(2)≤0
设f(x) = 2x2 - 9x + a，要使2＜x＜3是(iii)的解，只要使 成
f(3)≤0
立，解得 a≤9．
注 本例可理解为：不等式组(i)、(ii)的解是不等式(iii)的解集
的子集．
例 1-2-12 或关于 x 的不等式 ax2+bx+c＜0 的解集为(-∞，α)∪
(β，+∞)，则与不等式 ax2+bx+c＞0 同解的不等式(组)是 [ ]
A．(x-α)（x-β）＞0
B．(x-α)（x-β）＜0
x - α＞0
C．
x - β＞0
x -α＜0
D．
x -β＜0
解 B 由题设可知 a＜0．
注 结合二次函数的图象更容易理解此题．
例 1-2-13 不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4＜0 对 x∈R 恒成立，则 a 的
取值范围是 [ ]
A．(-∞，2) B．(-2，2)
C．(-2，2) D．(-∞，-2)
解 B 由已知条件得
a - 2＜0

△ = [2(a - 2)]
2 - 4(a - 2)(a - 4)＜0
解得-2＜a＜2．
又当 a=2 时，原不等式化为-4＜0，恒成立．
所以 a的取值范围是(-2，2)．
例 1-2-14 二次函数 y=x2+(m-3)x+1 的图象与 x轴的两个交点的横
坐标分别为 x1，x2，且 x1＜2，x2＞2，则 m的取值范围是______．
1 1
解 m＜ 据题设应有22 + (m - 3)·2 + 1＜0，解之得m＜ ．
2 2
例 1-2-15 使抛物线 y=x2-2x-3 落在直线 y=x-5 的下方的 x的取值
范围是______．
解 1＜x＜2 由已知条件得 x2-2x-3＜x-5，解得 1＜x＜2．
x + 1
例1 -2 -16 (1)不等式 ＜1的解集是_ _ _ _ _ _．
2x 3
x + 7
(2)不等式 2 ＞1的解集是_ _ _ _ _ _． 3x + 2x + 5
3
解 (1){x| x＜ 或x＞4}
2
x + 1 x + 1 x 4
＜1 1＜0 ＞0
2x 3 2x 3 2x 3
3 3
(x 4)(x )＞0 x＜ 或x＞4
2 2
2
(2){x|-1＜x＜ } 因为3x2 + 2x + 5的判别式△＜0，所以3x2 + 2x + 5
3
恒大于 0．故原不等式可化为
2
x + 7＞3x 2 + 2x + 5 1＜x＜
3
例 1-2-17 已知 A={x|x2-x-6＜0}，B={x|x2+2x-8＞0}，C={x|x2-
4ax + 3a2＜0}．若A∩B C，求实数a的取值范围．
解 A∩B={x|-2＜x＜3}∩{x|x＞2 或 x＜-4}
={x|2＜x＜3}
由 x2-4ax+3a2＜0，得
(x-a)(x-3a)＜0
当 a＞0 时，C={x|a＜x＜3a}；
当 a＜0 时，C={x|3a＜x＜a}．
欲使A∩B C则须a＞0且a≤2，3a≥3，所以1≤a≤2．
例 1-2-18 (1)解关于 x 的不等式 2x2+(a+1)x-a(a-1)＜0，其中 a
＞0．
(2)若(1)中不等式的解集包含区间(0，1)，试求 a的取值范围．
解 (1)原不等式即
a 1
(x )(x + a)＜0．
2
1 a 1 a 1
当0＜a＜ 时， a＞ ，原不等式的解集为( ， a)；
3 2 2
1 a -1 1
当a = 时， - a = ，原不等式，即(x + ) 2 ＜0，无解；
3 2 3
1 a 1 a 1
当a＞ 时， - a＜ ，原不等式的解集为( a， )．
3 2 2
(2)当(1)中不等式的解集包含区间(0，1)，则只须分别满足下列二
组不等式
a＞0 a＞0

1a≠
1
a≠
3 3
(I) 或 (II)
- a≥1 - a≤0
a 1 a 1
≤0 ≥1
2 2
解此二组不等式，(I)组无解，(II)组解集为[3，+∞)．
合并(I)、(II)知 a 的取值范围为[3，+∞)．
2x m
例1 -2 -19 对任意实数a，方程 2 = a都有实数解，求实 x 4x + 3
数 m的取值范围．
解 当 x≠1 且 x≠3 时，原方程化为
ax2-(4a+2)x+3a+m=0
因为对任意实数 a方程都有实数解，所以
△x=[-(4a+2)]2-4a(3a+m)≥0 恒成立，
即 a2+(4-m)a+1≥0 恒成立．所以
△a = (4 - m)
2 - 4≤0 2≤m≤6
又因为 x≠1且 x≠3，易得 m≠2且 m≠6．
综上可知，2＜m＜6．
习题
x2 4x + 3＜0
1 -2 - 9 不等式组 的解集是 [ ]
2x＞5
5
A．1＜x＜3 B． ＜x＜3
2
5
C．x＜1或x＞3 D．x＜1或x＞
2
1 -2 -10 抛物线y = ax2 + bx + c与x轴的两个交点为(- 2，0)，
( 2，0)，则ax2 + bx + c＞0的解集为 [ ]
A． 2＜x＜ 2
B．x＞ 2或x＜ 2
C．x≠± 2
D．不确定，与 a的符号有关
1-2-11 若不等式 x2-px-q＜0 的解为 2＜x＜3，则不等式qx2-px-1
＞0 的解是 [ ]
A．2＜x＜3
B．-3＜x＜-2
1 1
C． ＜x＜
3 2
1 1
D． ＜x＜
2 3
1-2-12 使不等式|x|2-2|x|-15＞0 成立的负值 x的范围是
[ ]
A．x＜-3 B．x＜0
C．x＜-5 D．-5＜x＜-3
1 -2 -13 (1)不等式x2 - 2 5x + 5＞0的解集为_ _ _ _ _ _ ；
4x 2
(2)不等式 ≥1的解集为_ _ _ _ _ _ ．
3x + 1
1-2-14 已知全集 I={x|x(x-4)＞0}，集合A={x|(x+2)x＜0}，集合
B = {x|(x + 1)x＜0}，则A∪B =_ _ _ _ _ _ ；A∩B =_ _ _ _ _ _ ．
1 -2 -15 若函数f(x) = kx2 6kx + (k + 8)的定义域为R，则实数
k 的取值范围是______．
1-2-16 若方程 x2+(m+2)x+m+5=0 的两根均为正数，则 m 的取值范
围是______．
1-2-17 已知集合 A={x|x2-3x-10≤0}，集合B={x|p+1≤x≤2p-1}，
若B A，求实数p的取值范围．
1-2-18 k 为什么实数时，方程(k-1)x2+(2k-3)x+k-7=0 的两根异
号，并且负根的绝对值较大？
1-2-19 设不等式 x2-ax-8≥0 与 x2-2ax-b＜0 的解集分别为 A，B，
确定 a、b的值，使 A∩B=[4，5)并求这时的 A∪B．
1-2-20 对于满足|m|＜2 的所有实数 m，求使不等式 x2+mx+1＞2x+m
成立的 x的范围．
（三）映射与函数
提要
(1)判断一个对应是否为映射，可借助“对应图”直观进行．
(2)求函数的定义域的步骤是：先列出使函数的每一部分都有意义的
条件组(不等式组)，然后解不等式(组)．
(3)解有关分段函数的问题时应先分段讨论函数在每一段上的解析
式．
(4)作函数图象的步骤是：i)求出函数的定义域；ii)研究函数的性
质(间断点、端点、极值点、增减性、奇偶性、对称性、周期性、渐近线
等)；iii)在定义域上作图，并标明关键点(间断点、端点、与坐标轴的
交点、极值点)的坐标．
1．映射
例题
例 1-3-1 设集合 A={x|0≤x≤4}，集合 B={y|0≤y≤1}，从 A到 B
的下列各对应关系中不是映射的是 [ ]
x x
A．f：x→y = B．f：x→y =
2 3
x x
C．f：x→y = D．f：x→y =
4 5
4
解 B 4∈A , 但y = B．
3
注 如 A 中某一元素在 B中无象，则 f：A→B不能是 A到 B的映射．
例 1-3-2 从集合 A={a，b}到集合 B={x，y}可以建立的映射的个数
是 [ ]
A．1 B．2
C．3 D．4
解 D
例 1-3-3 审查下述各命题：
从集合 A到集合 B的映射中，
(1)B 中的任一元素在 A中必有原象；
(2)A 中的不同元素在 B中的象必不相同；
(3)A 中任一元素在 B中必有惟一的象；
(4)A 中的任一元素在 B中可以有不同的象．
其中正确的有 [ ]
A．1 个 B．2 个
C．3 个 D．4 个
解 A
例 1-3-4 在给定的映射 f：(x，y)→(x+y，xy)(x，y∈R)条件下，
(7，10)的原象是 [ ]
A．(2，5)
B．(5，2)
C．(2，5)或(5，2)
D．以上都不对
解 C
例 1-3-5 设集合 A={1，2，3，4，5，6}，f 是从 A 到 B 的映射，
并且 f：x→x(x-4)，若 B中元素都有原象，则 B=______．
解 {-4，-3，0，5，12}
例 1-3-6 集合 P={(x，y)|x＜0，y＜0}，f 是集合 P到集合 Q的映
射，在 f的作用下，点(x，y)的象是(x2，|y|)，则集合 Q的元素在直角
坐标系中第______象限．
解 一 注意：x2＞0，|y|=-y＞0
例 1-3-7 已知集合 A={平面α内的三角形}，B={平面α内的圆}，
那么从 A到 B的一个映射的对应法则是______．
解 作三角形的内切圆、外接圆等．
1
例1 - 3 - 8 已知集合A到集合B的映射是f：x→ ，且B =
|x| 1
1 1
{0，1， ， }，那么集合A中的元素最多是几个？并写出元素个
2 3
数最多时的集合 A．
1
解 因为 ≠0，所以0在A中不存在原象．
| x| 1
1 1
设y = ，且y∈B，则有x = ±( + 1)．
|x|-1 y
1 1
当y分别等于1， ， 时，相应地得到x分别等于±2，±3，±4．
2 3
所以，A中元素最多 6个，这时 A={-4，-3，-2，2，3，4}．
注 如 f：A→B为 A到 B的映射，则 B中元素在 A中可有多个原象．
例 1-3-9 已知集合 A={1，2，3，k}，B={4，7，a4，a2+3a}(这里
a，k∈N)，映射f：x→y=3x+1(x∈A，y∈B)使 B 中元素在 A中都有原象，
求 a，k，A，B．
解 由对应法则知 1→4，2→7，3→10，k→3k+1．
因为 a，k∈N，所以 a4≠10，所以a2+3a=10，所以a=2(a=-5 舍去)．
又 3k+1=24=16，所以 k=5．
从而知 A={1，2，3，5}，B={4，7，10，16}．
习题
1-3-1 下列命题中正确的是 [ ]
A．若 M={整数}，N={正奇数}，则一定不能建立一个从集 M 到集 N
的映射
B．若集 A是无限集，集 B是有限集，则一定不能建立一个从集 A到
集 B的映射
C．若集合 A={a}，B={1，2}，则从集 A到集 B只能建立一个映射
D．若集合 A={1，2}，B={a}，则从集 A到集 B只能建立一个映射
1-3-2 对于从集合 A到集合 B的映射，下面说法错误的是
[ ]
A．A 中的每一个元素在 B中都有象
B．A 中的两个不同元素在 B中的象必不相同
C．B 中的元素在 A中可以没有原象
D．B 中的某一元素在 A中的原象可能不止一个
1-3-3 下列从集合 P到 Q的各对应关系 f中，是映射的是
[ ]
A．P={1}，Q={1，2，3}，f：x→y，y＞x
1
B．P = {x|0≤x≤2}，Q = {y|0≤y≤1}，f：x→y = x
3
1
C．P = {x| x∈R}，Q = {y|0≤y≤1}，f：x→y =
x
D．P={0|0≤x≤2}，Q={y|0≤y≤1}，f：x→y=(x-2)2
1-3-4 集合 A有 n个元素，集合 B有 m个元素，则由 A到 B的映射：
A→B的个数是 [ ]
A．P m B．nm C．Pn D．mnn m
1-3-5 已知(x，y)在映射 f的作用下的象是(x+y，x-y)，则在 f的
作用下，(1，2)的原象是______．
x 2 1
1 - 3 -6 设B = R，若映射f：x→ ，g：x→x -1均为从A到B
x + 1
的同一映射，则 A应满足的条件是______．
2x -1
1 -3 - 7 集合A = N，B = {y| y = ，x∈N}，f是从A到B的映射，
2x +1
2x -1
且f：x→y = ．
2x +1
(1)求 4 的象；
9
(2)求 的原象；
11
(3)集 B 的任一元素 y是否有两个或两个以上的原象？
1-3-8 设集合 M={x|1≤x≤9，x∈N}，F={(a，b，c，d)|a，b，c，
d∈M}．定义 F到 Z的映射
f：(a，b，c，d)→ab-cd
若 u，v，x，y 都是 M中的元素，且满足
f：(u，v，x，y)→39，(u，y，x，v)→66
求 x，y，u，v．
2．函数
例题
例 1-3-10 审查下面四个命题：
(i)f(x) = x - 2 + 1 x是函数；
(ii)函数是其定义域到值域的映射；
(iii)y = x与y = x2 表示同一函数；
x
(iv)y = 与y = x 0表示同一函数．
x
其中正确的有 [ ]
A．1 个 B．2 个
C．3 个 D．4 个
解 B
注 高中数学中的函数是通过映射来定义的．
|x|
例1 -3 -11 函数y =| x|+ 的图象是 [ ]
x
|x|
解 D 函数y =|x|+ 可化为
x
x +1，x＞0
y =
- x -1，x＜0
例 1-3-12 设 ak＞0，bc＜0，在同一坐标系中 y=ax2+c 与 y=kx+b
的图象应是 [ ]
解 B 由 a，k 同号排除 D；由 b，c异号排除 A，C．
cx 3
例1 -3 -13 已知函数f(x) = (x≠ )满足f(f(x)) = x，则c的值
2x + 3 2
是 [ ]
A．3 B．-3
C．3 或-3 D．不存在
解 B
cx
c·
f(f(x)) = 2x + 3cx = x x(2c + 6) = c
2 9
2· + 3
2x + 3
3
对任何x(x≠ - )成立．所以2c + 6 = c2 - 9 = 0即c = -3．
2
3x 3
而 ≠ ，故所求c = -3．
2x + 3 2
3
例1 -3 -14 函数y = 的定义域是 [ ]
1 1 x
A．(-∞，1]
B．(-∞，0)∪(0，1]
C．(-∞，0)∪(0，1]
D．无法确定
解 B 解不等式组
1 x≥0

1 - 1- x≠0
得(-∞，0)∪(0，1)，此即所求定义域．
3x - 6，x≥0
例1 -3 -15 已知函数f(x) = ，则f(f(1))的值是
x + 5，x＜0
[ ]
A．2 B．-15
C．12 D．以上都不对
解 A 因为 1＞0，所以 f(1)=3·1-6=-3．又 f(1)=-3＜0，所以
f(f(1))=f(1)+5=-3+5=2
注 求分段函数的函数值时，首先应清楚自变量的值在定义域的哪
一段上．
例 1-3-16 如果函数 y=f(x)的定义域是[0，1]，那么函数
f(x+a)+f(2x+a)(0＜a＜1)的定义域是______．
a 1 a
解 [ ， ] 解不等式组
2 2
0≤x + a≤1
(0＜a＜1)
0≤2x + a≤1
a≤x≤1 a

得 a 1 a (0＜a＜1)
≤x≤ 2 2
a 1 a
所以所求函数定义域为[- ， ]．
2 2
1- x2 1
例1 -3 -17 已知g(x) =1- 2x，f[g(x)] = 2 (x≠0)，则f ( )等于 ．x 2
1 1 1- x2
解 15 令g(x) = ，解得x = ．代入f[g(x)] =
2 4 x2
得
1
1 1 1 ( )
2
f[g( )] = f ( ) = 4 = 15
4 2 1( ) 2
4
1 x
例1 -3 -18 若f ( ) = x，则满足等式f(-2 - x) = m - f(x)的m的值
1 + x
是______．
1 x 1- x
解 - 2 因为f ( ) = x，所以f(x) = ．由题设得
1+ x 1+ x
1 ( 2 x) 1 x 3 + x 1 x
= m m = + = 2
1+ ( 2 x) 1+ x 1 x 1+ x
1
例1 -3 -19 设A = [1，b](b＞1)，f(x) = (x -1) 2 + 1(x∈A)．若f(x)
2
的值域也为 A，则 b的值为______．
解 3 函数 f(x)的对称轴为 x=1，而 f(1)=1，b＞1，故可令 f(b)=b，
1
即 (b -1) 2 + 1 = b，解得b = 3(b = 1舍去)．
2
例 1-3-20 已知 y是 x的函数，x=2t+2-t，y=4t+4-t-4(2t+2-t)，
t∈R 求函数 y=f(x)的解析式及其定义域．
解 y=4t+4-t-4(2t+2-t)=(2t+2-t)2-4(2t+2-t)-2=x2-4x-2
因为t∈R，所以2 t + 2 -t ≥2 2 t ·2 t = 2，即x≥2．
所以所求函数为 y=x2-4x-2(x≥2)；其定义域为[2，+∞)．
ax + b
例1 -3 - 21 设f(x) = 2 (x∈R)的值域为[-1，4]，求a，b的值． x + 1
ax + b
解 设y = 2 ，则yx
2 - ax + y - b = 0，y≠0．
x + 1
因为 x∈R，所以△=a2-4y(y-b)≥0．
a 2
即y2 by ≤0 (i)
4
易知-1≤y≤4 是不等式(y+1)(y-4)≤0 即 y2-3y-4≤0 的解，与(i)
比较系数，得 b=3，a=4．
例 1-3-22 求下列函数的值域：
(1)y = x 2 + 2x + 4
(2)y=x4+x2+1
π
由0≤x≤ ，θ为锐角得
2
解 (1)因为y = (x +1)2 + 3≥ 3，所以值域为{y|y≥ 3}．
1 3 1 3
(2)因为y = (x 2 + ) 2 + ≥ + = 1，所以值为{y|y≥1}．
2 4 4 4
3
注 此题容易误解为[ ， +∞)．
4
(3)因为x2 + 4x + 7 = (x + 2) 2
5 5
+ 3≥3，所以0＜ 2 ≤ ．x + 4x + 7 3
5
所以值域为{y|0＜y≤ }．
3
t 2 + 1
(4)令 2x 1 = t(t≥0)，则x = ，从而
2
t 2 +1 1
y = + t = (t +1)2
2 2
1 1 1
因为t≥0，所以t +1≥1．于是y = (t +1) 2≥ ，故值域为{y|y≥ }．
2 2 2
(5)函数的定义域为 x≠-1，x≠-2 的一切实数．当 x≠-1，x≠-2 时，
函数变形为
(y-1)x2+(3y+1)x+2(y+1)=0
若 y-1=0，即 y=1，由上式得 x=-1，不属于函数的定义域，故 y≠1．
因为 x∈R，所以
△=(3y+1)2-4·2(y-1)(y+1)=(y+3)2≥0
于是可知 y∈R，但 y≠1．
令 y=-3，得 x=-1，不属于函数的定义域，所以 y≠-3．
综上所述，所求值域为{y|y∈R，y≠1，y≠-3}．
例 1-3-23 已 知 f(x) 是 x 的 二 次 函 数 ， 且
f(2x)+f(3x+1)=13x2+6x-1，求 f(x)．
解 设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，则有
f(2x)=4ax2+2bx+c
f(3x+1)=9ax2+(6a+3b)x+(a+b+c)
所以 f(2x)+f(3x+1)=13ax2+(6a+5b)x+(a+b+2c)
又 f(2x)+f(3x+1)=13x2+6x-1，比较系数，得 a=1，b=0，c=-1．所
以所求函数为 f(x)=x2-1．
例 1-3-24 已知 f(x+y)=f(x)+5(x-y+1)，且 f(0)=2，求 f(x)．
解 令 y=-x，代入 f(x+y)=f(x)+5(x-y+1)，得
f(0)=f(x)+10x+5
又 f(0)=2，所以 f(x)=-10x-3．
习题
1
1 -3 - 9 函数y = 的定义域是 [ ]
x + 3 4 x
1 1
A．[-3， + ∞) B．[-3， )∪( ，0]
2 2
1 1
C．(-∞，4] D．[-3， ）∪（ ，4]
2 2
1-3-10 函数 y1=ax+b 与 y2=bx+a(a≠0，b≠0，a≠b)在同一直角
坐标系中的图象应是 [ ]
1-3-11 已知函数 f(x)=x2-4x，x∈[1，5)，则这个函数的值域是
[ ]
A．[-4，+∞) B．[-3，5)
C．[-4，5] D．[-4，5)
x -2 x - 2 1
1 -3 -12 已知f(x) = ，则使f = - x成立的实数x是
x + 2 x + 2 2
[ ]
A．4 B．2
C．-4 D．-2
x2 (x≥0) x(x≥0)
1 - 3 -13 若 (x) = ，f(x) = 2 ，则当x＜0时，
x(x＜0) - x (x＜0)
[f(x)]等于 ．
1 -3 -14 函数y = 3x + 1 - 6x的值域是
[ ]
A．(-∞，1] B．[0， +∞)
1
C．[0，1] D．[ ，1]
2
1-3-15 若 3x2+2y2=6x，则 x2+y2 的值域是______．
1-3-16 A={(x，y)|y=a|x|}，B={(x，y)|y=x+a}，C=A∩B，且 C中
恰有两个元素，则实数 a的取值范围是______．
kx + 7
1 -3 -17 当k为何值时，函数f(x) = 2 的定义域为实数集R． kx + 4kx + 3
1-3-18 求下列函数的定义域．
1
(1)y = |2x -1|+5x - 2 (2)y =
x2 | x|
(3)y = 1-|x - a| + 1-|x + a| (a＞0)
1-3-19 已知函数 f(x)的定义域为[a，b]，且 b＞-a＞0．求：
(1)F(x)=f(x)-f(-x)的定义域；
(2)g(x)=f(x+c)+f(x-c)(c＞0)的定义域．
1 -3 - 20 已知函数y = a + - x2 + ax + b的值域为4≤y≤7，求
a，b 的值．
1 1
1 -3 - 21 函数f(x)满足条件2f(x) - f = ，求f(x)的解析式． x x
(四) 幂函数
提要
(1)关于根式，去掉根号的途径有两条：(i)对根号下的式子配方，
使其成为完全平方、完全立方等；(ii)对根式乘方．
(2)幂函数的图象可分为 11 类，作函数图象时，应先判断它属于哪
一类．
(3)由于幂函数的图象构图简单，故有关幂函数性质的问题可尽量利
用幂函数的图象来解决．
1．分数指数幂与根式
例题
例 1-4-1 下列等式中正确的是[ ]
A．4 ( 2) 4 = -2 B．3 ( 2)3 = 2
C．( 33 2 ) = -2 D．3 2 = 3 2
解 C
例 1-4-2 a∈R，下列各式中一定有意义的是 [ ]
1
A．a 2 B．a 4
2
C．a0 D．a 3
解 D
1 1 21
例1 - 4 - 3 (-0.000343) 3 - (-1024) 5 + 3 10 16的值等于
125
[ ]
A．2.13 B．-2.13
C．2.31 D．-2.31
解 A 原式=-0.07+4-1.8=2.13
例 1-4-4 化简：
1 1 1 1 1

(1+ 2 32 )(1+ 2 16 )(1+ 2 8 )(1+ 2 4 )(1+ 2 2 ) =
[ ]
1 1 1 1
A． (1- 2 32 ) B． (1 2 32 ) 1
2 2
1 1

C．(1 2 32 ) 1

D．1 2 32
- 1
解 B 乘以(1- 2 32 )，反复利用公式(1- x)(1+ x) = 1- x2即得．
例 1-4-5 化简：
(1)3 a·6 a =
1
1 1 4 3
- 4
(2) 27a
3 x 3a 2· x 3 =

2
解 (1) - - a (2)3a 9
例 1-4-6 计算：
1
1·2·4 + 2·4·8 + + n·2n·4n 3
=
1·3·9 + 2·6·18 + + n·3n·9n
1 1
2 1·2·4(13 + 23 + + n3 ) 3 8 3 2
解 原式 =
3
= =
1·3·9(1
3 + 23 + + n3) 27 3
3 3
(4 + 15) 2 + (4 15) 2
例1 - 4 - 7 化简： 3 3
(6 + 35) 2 (6 35) 2
3 3
8 + 2 15 2 8 2 15 2
+
2 2
解 原式 = 3 3
12 + 2 35 2 12 2 35 2

2 2
( )3 ( )35 + 3 + 5 3 10 5 + 18 5 7
= 3 = =( 7 + 5) ( 37 5) 42 5 + 10 5 13
1 1 2 2
x + x 2
例1 - 4 - 8 若x 2 + x 2 = 3，求 3 3 的值．

x 2 + x 2 3
1 1
-
解 对x 2 + x 2 = 3 两边平方得
x+x-1=7
再两边平方，得
x2+x-2=47
1 1 3 3 3 1 1-
又 x2 + x 2 = 27，即x 2 + x 2 + 3 x 2 + x 2 = 27，所以

3 3
-
x 2 + x 2 = 18
47 2
所以 原式 = 3
18 3
例 1-4-9 化简
(x+x-1)-2+(1-x-1)-2
1 1
-
其中x = (1- n -1) 2 ·(1+ n -1) 2 ，n＞1．
1
1 1
-1 1 n 1 2解 x = (1- n ) 2 (1 + n ) 2 ，所以n + 1
x2 + 1
(1 x 1) 2 + (1 + x 1) 2 2·
2
原式 = = x
(1 x 2 )2 2 x2 1
2 x
n 1
x2 (x2 + 1) n 1 + 1
= 2· = 2· · n + 1
(x 2 1)2 n + 1 n 1
2

1 n + 1
n 1 2n(n + 1)
= 2· · = n(n 1)
n + 1 4
2 7 2 7
例1 - 4 -10 求证：3 1+ + 3 1 = 1
3 3 3 3
2 7 2 7
解 设3 1 + + 3 1- = x，则
3 3 3 3
2 7 3 2 7 3 2 7 x = 1 + + 3 1 + 1 ·
3 3 3 3 3 3
2 7 2 7 2 7
3 1+ + 3 1 + 1
3 3 3 3 3 3
3 28
= 2 + 3 1- x = 2 - x
27
即 x3 + x - 2 = 0 (x -1)(x2 + x + 2) = 0
1 7
因为x2 + x + 2 = (x + )2 + ＞0，所以x -1 = 0．所以
2 4
2 7 2 7
3 1+ + 3 1 = 1
3 3 3 3
习题
1-4-1 考虑如下四个判断：
3
(i)当a＜0时，(a2 ) 2 = a 3；
1 1
(ii)(3- a) 2 ＜(a -5) 3 ；
1
(iii)函数y = (x- 2) 2 - (3x - 7)0的定义域为x≥2；
(iv)已知 100a=50，10b=2，则 2a+b=1．
其中正确的有 [ ]
A．0 个 B．1 个
C．2 个 D．3 个
3
1 - 4 -2 学生甲：[(-3) 2 ]2 = (-3) 3 = -27；
3 3 3
学生乙：[(-3) 2 ]2 = 92 = (32 ) 2 = 33 = 27．
则 [ ]
A．甲对，乙不对 B．甲不对，乙对
C．甲、乙都对 D．甲、乙都不对
1 1 1 -4
a 4·b 4 b 21 - 4 -3 化简： 1 1 1 = ．
a 2 a 4·b 4
[ ]
a b a2 a
A． B． C． D．
b a b b2
1 - 4 - 4 3 2 3·6 5 + 2 6 - (1 - 3) 2 = ．
[ ]
A． 3 B． 3 C． 2 D． 2
1
3 13 3
1 - 4 - 5 化简：(1) a3 ·a 2 ÷ 3 a 7 ·a 3 =

1 2
- 1 6 1 1
(2)(0.064) 3 ÷160.75÷ = 2 2 2 3
1 1
1 - 4 - 6 设a = ，b = ，则
2 7
3 1 2

[ a 2·b(ab 2 ) 2 (a 1

) 3 ]3 =
4 4
x + y x 3 y 3
1 - 4 - 7 化简： 1 1 2 2
x 3 + y 3 x 3 y 3
m3 + n3
1 - 4 - 8 设x = a· 3 3 ，a＞0，m＞n＞0，化简 m n
1 1 1 1 1

[(x + a) 3 (x a) 3 + (x + a) 3 (x a) 3 2] 2
1 1 1
1 - 4 - 9 已知x 3 + y 3 + z 3 = 0，求证：(x + y + z) 3 = 27xyz．
2．幂函数
例题
3 1 4

例1 - 4 -11 幂函数y = x 4 ，y = x 3，y = x 3的定义域分别为M，
N，P，则 [ ]
A．M N P B．N M P
C．M P N D．A，B，C都不对
解 D M=[0，∞)，N=R，P=(-∞，0)∪(0，+∞)
1
-
例1 - 4 -12 幂函数y = x 3的图象是
[ ]
解 C
1 1
- -
例1 - 4 -13 若a =1.1 2 ，b = 0.9 2 ，c =1，那么a、b、c的大小关
系是 [ ]
A．c＞b＞a B．a＜c＜b
C．a＞c＞b D．b＞a＞c
解 B
n
例1 - 4 -14 已知y = x m (m为不等于0的偶数，n为奇数，且mn
＜0)那么它的图象只可能是 [ ]
解 D
1 1
- -
例1 -4 -15 作函数y = (x +1) 2 的图象，只需将函数y = x 2的图象
[ ]
A．向上平移 1个单位
B．向下平移 1个单位
C．向左平移 1个单位
D．向右平移 1个单位
解 C
p
例1 - 4 -16 已知幂函数y = x q (p∈N，q∈Z且q≠0)的图象在
第一象限的部分随 x的增加 y减小，则 [ ]
A．p 为偶数，q为奇数
B．p 为偶数，q为负奇数
C．p 为奇数，q为偶数
D．p 为奇数，q为负偶数
解 D
1
例1 - 4 -17 在同一坐标系内，函数y = xa (a≠0)和y = ax + 的图象
a
可能是 [ ]
解 B
注 就 a 的正负，利用幂函数在第一象限 a的几何意义和一次函数
1
中a和 的几何意义来判断．
a
例 1-4-18 若函数 y=xa 的图象当 0＜x＜1 时位于直线 y=x 下方，
则 a的取值范围是______．
解 a＞1
例 1-4-19 用不等号填空：
(1)若-5a＜-4a，则 a______0；
(2)若 0.39b＜0.38b，则 b______0；
1 n n 1
(3)若 ＞ - (n∈Z)，当n为偶数时n 0；当n为奇数 2 3
时 n______0；
(4)455_____544．
解 (1)＞ (2)＜ (3)＞，＜ (4)＞
第(4)小题中，455=(45)11，544=(54)11，而 45＞54．
例 1-4-20 幂函数 y=xm，y=xn，y=xp 在第一象限的图象如下图所
示，则 m，n，p的大小关系是______．
解 p＞n＞m 由图象知 m，n，p均小于 0．令 x=2，由图象有 2m＜
2n＜2p，所以 m＜n＜p．
2
例1 - 4 -21 已知幂函数y = xm -2m-3(m∈Z)的图象与x轴、y轴都无
公共点，且关于 y轴对称，求 m的值，并画出函数的图象．
解 由题设，得 m2-2m-3≤0(m∈Z)，解得-1≤m≤3(m∈Z)．
又函数图象关于 y轴对称，所以 m2-2m-3 为偶数，故 m=-1，1，3．
当 m=1 时，幂函数为 y=x-4，其图象如图甲；
当 m=-1，3 时，幂函数为 y=x0，其图象如图乙．
3

例1 - 4 - 22 讨论函数y = x 5的定义域、值域以及函数值的变化
规律，并画出它的图象．
3
1
解 y = x 5 = ，
5 x3
函数定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，值域为(-∞，0)∪(0，+∞)．
函数图象如下．由图象知，函数在区间(-∞，0)，(0，+∞)上函数
值 y都随 x的增大而减小．
1 1

例1 - 4 - 23 设(a +1) 3＜(3 - 2a) 3 ，试求a的取值范围．
解 根据幂函数的性质，有三种可能：
a +1＞0 a +1＜0
a +1＜0
3 2a＞0 或 或 3 2a＜0
3 2a＜0
a +1＞3 2a

a +1＞3 2a
2 3
解得 ＜a＜ 或a＜ 1
3 2
习题
2 4

1 - 4 -10 函数y = -x 5 - x 3的定义域为
[ ]
A．(-∞，+∞) B．(-∞，0)∪(0，+∞)
C．(-∞，0) D．(0，+∞)
1
1 - 4 -11 函数y =|x|n (n∈N，n＞2)的图象只可能是
[ ]
1-4-12 幂函数 y=xm，y=xn，y=xp 的图象如下图所示，则
[ ]
A．m＞n＞p B．m＞p＞n
C．n＞p＞m D．p＞n＞m
1-4-13 当 x∈(1，+∞)时，幂函数 y=xα的图象恒在 y=x 的下方，
则α的取值范围是 [ ]
A．0＜α＜1 B．α＜1
C．α＞0 D．α＜0
n
1 - 4 -14 函数y = x m (m，n∈N，且m，n互质)的图象如图所示，
则 [ ]
n
A．m为奇数，n为偶数， ＜1
m
n
B．m、n均为奇数， ＜1
m
n
C．m为奇数，n为偶数， ＞1
m
n
D．m为偶数，n为奇数， ＜1
m
1-4-15 若α∈(-1，0)，则下列不等式中正确的是[ ]
A．2α＞2-α＞0.2α
B．0.2α＞2-α＞2α
C．2-α＞0.2α＞2α
D．2α＞0.2α＞2-α
1 1
5 5 4

2 3

2
1 - 4 -16 比较大小： - 3.4 3 (-4.3) 3 ； ；5 4
2 2 2 1
π 5 ( 2 3) 5 ；( π) 3 53．
2
1 - 4 -17 设f(x) = (m -1)xm -2，如果f(x)是正比例函数，则m =
______，如果f(x)是反比例函数，则 m=______，如果f(x)是幂函数，则
m=______．
2
2 3 2 2
1 - 4 -18 ，3
3 ，2 3 的大小关系用不等号“＜”顺次连接是
3
______．
2

1 - 4 -19 讨论函数y = x 3的定义域、值域及函数值y随x变化的规
律，并画出其图象．
1 - 4 -20 (1)比较 2，3 3，4 4，5 5的大小；
(2)利用图象解不等式 x＞x 1．
1 - 4 - 21 求曲线y = 2x + 1分别与下列直线的交点个数：
(1)y=x+b(b∈R)；
(2)y=kx-1(k∈R)．
(五) 函数的性质、反函数
提要
(1)判断函数的单调性的方法就是函数增减性的定义，即在属于同一
单调区间的自变量的两个取值大小关系一定的条件下，比较其对应的函
数值的大小．
(2)函数的单调性是比较函数值大小的依据，对于属于函数同一单调
区间的两个函数值大小的比较可通过比较其自变量值的大小来确定．
(3)判断函数奇偶性的程序是：(i)求函数的定义域．若定义域不关
于原点对称，则函数为非奇非偶函数；(ii)若定义域关于原点对称，则
比较 f(-x)，f(x)，-f(x)，并根据奇、偶函数的定义作出判断．
(4)在判断函数的奇偶性时，可利用下列的等价关系：
f ( x)
f( x) = f (x) f ( x) f (x) = 0 = 1 (f(x)≠0)
f(x)
f( x) = f (x) f ( x) + f (x) = 0
f ( x)
= 1(f(x)≠0)
f (x)
(5)可利用函数的奇偶性来判断函数的对称性：奇函数的图象关于原
点对称；偶函数的图象关于 y 轴对称．利用函数的对称性可简化对函数
性质的讨论，即先讨论函数在 y 轴某一侧的性质，然后利用对称性将其
推广到整个定义域上．
(6)求函数 y=f(x)的反函数的步骤：(i)判断原函数是否有反函数，
如有反函数，则求出原函数的值域(即反函数的定义域)；(ii)从 y=f(x)
中解出 x，得 x=f-1(y)；(iii)对换 x，y，得反函数 y=f-1(x)，并写出
其定义域．
(7)判断两个函数图象是否关于直线y=x对称的方法之一是判断这两
个函数是否互为反函数．
(8)求某些函数的值域可通过求其反函数的定义域来实现．
1．函数的单调性
例题
例 1-5-1 下列函数中，属于增函数的是 [ ]
A．y = x 4 (x＞0) B．y = x (x≤0)
1
C．y = x + (x∈R且x≠0) D．y = x2 16x + 9(x≥10)
x
解 D
例 1-5-2 若一次函数 y=kx+b(k≠0)在(-∞，+∞)上是单调递减函
数，则点(k，b)在直角坐标平面的 [ ]
A．上半平面 B．下半平面
C．左半平面 D．右半平面
解 C 因为 k＜0，b∈R．
例 1-5-3 函数 f(x)=x2+2(a-1)x+2 在区间(-∞，4)上是减函数，
则实数 a的取值范围是 [ ]
A．a≥3 B．a≤-3
C．a≤5 D．a=-3
解 B 因抛物线开口向上，对称轴方程为 x=1-a，所以 1-a≥4，即
a≤-3．
例 1-5-4 已知 f(x)=8+2x-x2，如果 g(x)=f(2-x2)，那么 g(x)
[ ]
A．在区间(-1，0)内是减函数
B．在区间(0，1)内是减函数
C．在区间(-2，0)内是增函数
D．在区间(0，2)内是增函数
解 A g(x)=-(x2-1)2+9．画出草图可知 g(x)在(-1，0)上是减函数．
b
例1 -5 - 5 若y = ax，y = - 在(0， + ∞)上都是减函数，则y = ax 2
x
+bx 在(0，+∞)上是______函数(选填“增”或“减”)．
b
解 减函数 由条件知a＜0，b＜0，所以 ＜0．
2a
例1 - 5 -6 函数y = - 5- 4x - x2的单调递增区间是 ．
解 [-2，1]
已知函数的定义域是-5≤x≤1．设
u=-x2-4x+5=-(x+2)2+9
可知当 x∈[-5，-2]时，随 x增大时，u也增大但 y值减小；当 x∈[-2，
1]时，随 x增大时，u减小，但 y值增大，此时 y是 x的单调增函数，即
当x∈[-2，1]时，y = - 5 -4x - x2是增函数．
注 在求函数单调区间时，应先求函数的定义域．
例 1-5-7 y=f(x)在定义域上是单调递增函数，且 f(x)＞0，那么在
同
1
一定义域上，y = -f(x)是单调 函数；y = 是单调
f(x)
函数；y=[f(x)]2 是单调______函数．
解 递减；递减；递增．
例 1-5-8 (1)证明函数 f(x)=x2-1 在(-∞，0)上是减函数；
1
(2)讨论函数f(x) = x + 在区间(0， + ∞)上的单调性．
x
解 (1)任取 x1＜x2＜0，则
f(x2 ) - f(x1) = (x
2
2 -1) - (x
2
1 -1) = (x2 - x1)(x2 + x1)＜0
所以 f(x1)＞f(x2)．
故 f(x)在(-∞，0)上递减．
(2)任取 0＜x1＜x2，则
(x - x )(x x - 1)
f(x2 ) - f(x ) =
2 1 1 2
1 x1x2
当x2＞x1＞1时，f(x2)＞f(x1)；当1＞x2＞x1＞0时，f(x2)＜f(x1)．
所以函数在(0，1]上是减函数，在[1，+∞)上是增函数．
例 1-5-9 已知 f(x)=-x3-x+1(x∈R)，证明 y=f(x)是定义域上的减
函数，且满足等式 f(x)=0 的实数值 x至多只有一个．
解 设 x1，x2∈R，且 x1＜x2，则
f (x ) f (x ) = ( x32 1 2 x2 + 1) ( x
3
1 x1 + 1)
x 2
= (x x ) (x + 2 2
3x
1 2 1 ) +
2 + 1
2 4
＜0

所以 f(x1)＞f(x2)．所以 y=f(x)是 R 上的减函数．
假设使 f(x)=0 成立的 x的值有两个，设为 x1，x2，且 x1＜x2，则
f(x1)=f(x2)=0
但因 f(x)为 R 上的减数，故有 f(x1)＞f(x2)．矛盾．所以使 f(x)=0 成
立的 x的值至多有一个．
例 1-5-10 定义域为 R的函数 y=f(x)，对任意 x∈R，都有
f(a+x)=f(a-x)，其中a为常数．又知 x∈(a，+∞)时，该函数为减函数，
判断当 x∈(-∞，a)时，函数 y=f(x)的单调状况，证明自己的结论．
解 当 x∈(-∞，a)时，函数是增函数．
设 x1＜x2＜a，则 2a-x1＞2a-x2＞a．
因为函数 y=f(x)在(a，+∞)上是减函数，所以
f(2a-x1)＜f(2a-x2)
注意到对任意 x∈R，都有 f(a+x)=f(a-x)，可见对于实数 a-x1，也
有 f[a+(a-x1)]=f[a-(a-x1)]，即 f(2a-x1)=f(x1)．
同理 f(2a-x2)=f(x2)．
所以 f(x1)＜f(x2)，所以函数 y=f(x)在(-∞，a)上是增函数．
例 1-5-11 设 f(x)是定义在 R+上的递增函数，且
f(xy)=f(x)+f(y)
x
(1)求证f ( ) = f (x) f (y)；
y
(2)若 f(3)=1，且 f(a)＞f(a-1)+2，求 a的取值范围．
x x
解 (1)因为f(x) = f(y· ) = f(y) + f( )，所以
y y
x
f( ) = f(x) - f(y)
y
(2)因为 f(3)=1，f(9)=f(3)+f(3)=2，于是
f(a)＞f(a -1) + 2 f(a)＞f (a -1) + f(9)
f(a)＞f[9(a -1)]
由题设有
a＞0

9(a 1)＞0

a＞9(a 1)
9
解得 1＜a＜
8
习题
|x| x2 x
1 -5 -1 已给函数①y =|x|；②y = ；③y = - ；④y = x + ，
x |x| |x|
其中在(-∞，0)上为增函数的有 [ ]
A．①和② B．②和③
C．③和④ D．④和①
1-5-2 下列命题中正确的是 [ ]
A．y=kx(k≠0 常数)在 R上是增函数
1
B．y = 在x∈R，且x≠0上是减函数
x
2
C．y = x k +1(k为常数，且k∈Z)在x≥0上是增函数
2
D．y = x 3在x∈R上是增函数
1-5-3 函数 f(x)=4x2-mx+5 在区间[-2，+∞)上是增函数，则 f(1)
的取值范围是 [ ]
A．f(1)≥25 B．f(1)=25
C．f(1)≤25 D．f(1)＜25
1
1 -5 - 4 y = 的增减性的正确说法是
x -1
[ ]
A．单调递减函数
B．在(-∞，0)上是减函数，在(0，+∞)上是增函数
C．在(-∞，1)上是减函数，在(1，+∞)上是减函数
D．除 x=1 点外，在(-∞，+∞)上是单调递减函数
1-5-5 (1)函数 y=|x+1|+|2-x|的递增区间是______；
1
(2)函数y = - 1 4x2 的递减区间是 ．
3
1-5-6 函数 f(x)=2x2-mx+3 当 x∈[-2，+∞)时是增函数，当 x∈(-
∞，-2)时是减函数，则 f(1)=______．
1 -5 - 7 用定义证明f(x) = x2 1在[1， +∞)上是增函数．
ax
1 -5 - 8 讨论函数f(x) = 2 在(-1，1)上的增减性． x 1
1-5-9 已知函数 f(x)在区间(-∞，+∞)上是增函数，a，b∈R．
(1)证明：如果 a+b≥0，那么 f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)；
(2)判断(1)中命题的逆命题是否正确，请证明你的结论．
1-5-10 已知函数 f(x)是定义在 R+上的减函数，并且满足 f(x·y)
1
= f(x) + f(y)，f( ) = 1．求
3
(1)f(1)的值；
(2)如果 f(x)+f(2-x)＜2，x 的取值范围．
1-5-11 证明：
x
(1)函数f(x) = 是[0， +∞)上的增函数；
1+ x
|a + b| |a| |b|
(2) ≤ +
1+|a + b| 1+|a| 1+|b|
2．函数的奇偶性
例题
例 1-5-12 下列函数中，既是奇函数，又是区间(-∞，0)上的单调
减函数的是 [ ]
1 1

A．y = x 2 B．y = x 3
2 2

C．y = x 3 D．y = x 3
解 B
例 1-5-13 若 f(x)是奇数，g(x)是偶函数，且在它们的定义域的公
共部分上都不恒等于 0，则 f(x)·g(x)是 [ ]
A．奇函数
B．偶函数
C．非奇非偶函数
D．既是奇函数又是偶函数
解 A
例 1-5-14 函数 y=f(x)(x∈R)是奇函数，则下列各点中在 y=f(x)
的图象上的点一定是 [ ]
A．(a，f(-a)) B．(-a， - f(a))
1 1
C．(-a，f(a)) D．( ，f( ))
a a
解 B
例 1-5-15 函数 f(x)在(-∞，+∞)上为奇函数，且当 x∈(-∞，0]
时，f(x)=x(x-1)，则当 x∈(0，+∞)时，f(x)为 [ ]
A．-x(x+1) B．-x(-x+1)
C．x(-x+1) D．x(x-1)
解 A 设 x＞0，则-x＜0．所以
f(-x)=-x(-x-1)=x(x+1)
又 f(-x)=-f(x)，所以 f(x)=-x(x+1)
例 1-5-16 函数 y=f(x)在(0，2)上是增函数，函数 y=f(x+2)是偶
函数．下列结论中正确的是 [ ]
5 7 7 5
A．f (1)＜f ＜f B．f ＜f (1)＜f 2 2 2 2
7 5 5 7
C．f
＜f ＜f (1) D．f ＜f (1)＜f
2 2

2 2
解 B y=f(x)的图象关于直线 x=2 对称，且在(0，2)上是增函数，
7 5
所以f＜ ＜f(1)＜f ． 2 2
例 1-5-17 函数 f(x)是奇函数，且在 x＞0上是增函数；函数 g(x)
是偶函数，且在 x＞0上是减函数．那么当 x＜0时，它们的增减性是
[ ]
A．f(x)是减函数，g(x)是增函数
B．f(x)是增函数，g(x)是减函数
C．f(x)是减函数，g(x)也是减函数
D．f(x)是增函数，g(x)也是增函数
解 D
5
例1 -5 -18 与y = x 3关于y轴对称图形的函数式为 ．
5
解 y = x 3
例 1-5-19 函数 y=ax2+bx+c 的图象与函数 y=3x2+2x-1 的图象关于
原点对称，则 a=______，b=______，c=______．
解 a=-3，b=2，c=1 设点(x，y)在 y=3x2+2x-1 的图象上，那么点
(-x，-y)在 y=ax2+bx+c 的图象上．所以
-y=a(-x)2+b(-x)+c
即 y=-ax2+bx-c
从而 a=-3，b=2，c=1
1
例1 -5 -20 若f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x) + g(x) = ，
x -1
则 f(x)=______，g(x)=______(写出 f(x)与 g(x)的解析式)．
1 x
解 f(x) = 2 ，g(x) = x 1 x2 1
由题设知，f(-x)=f(x)，g(-x)=-g(x)．
1
∵ f(x) + g(x) =
x -1
(i)
1
∴ f(-x) + g(-x) =
- x -1
tgkα tg(k + 1)α tgkα
= + (k + 1)
tgα tgα
tgkα + tg(k + 1)α tgkα tg(k +1)α
= - (k +1) = (k + 1)
tgα tgα
(ii)
1 x
由(i)，(ii)解得f(x) = 2 ，g(x) = ． x 1 x2 1
例 1-5-21 函数 f(x)=x3+bx2+cx 为奇函数，函数 g(x)=x2+cx+3 在
区间(-∞，3)上为减函数，在(3，+∞)上为增函数，则 b=______，c=______．
解 b=0，c=-6
由 f(-x)=-f(x)得-x3+bx2-cx=-x3-bx2-cx，即 2bx2=0 恒成立，所以
b=0．
c
由题设知抛物线g(x) = x2 + cx + 3的对称轴为x = 3，即 = 3，所
2
以 c=-6．
例 1-5-22 已知 f(x)=x5+ax3+bx-8，且 f(-2)=10，那么
f(2)=______．
解 f(2)=-26
令 g(x)=x5+ax3+bx，则 g(x)为奇函数，又 f(x)=g(x)-8，
f(-2)=g(-2)-8=-g(2)-8=10，所以 g(2)=-18，f(2)=g(2)-8=-18-8=-26．
例 1-5-23 判断下列函数的奇偶性：
1+ x
(1)f(x) = (x -1)
1- x
(2)f(x)=|x-a|-|x+a|(a≠0)
解 (1)当 x=1 时函数无定义，而 x=-1 时，f(x)=0，所以函数的定
义域区间关于原点不对称，故 f(x)是非奇非偶函数．
(2)f(x)的定义域为 R，又
f(-x)=|-x-a|-|-x+a|=|x+a|-|x-a|
=-(|x-a|-|x+a|)=-f(x)
所以 f(x)为奇函数．
例 1-5-24 设函数 f(x)是定义在 R上的偶函数，并在区间(-∞，0)
内单调递增，f(2a2+a+1)＜f(3a2-2a+1)，试确定实数 a的取值范围．
解 因为 f(x)是偶函数，且在(-∞，0)内单调递增，由偶函数的图
象特征知，f(x)在(0，+∞)内单调递减．又有
2 1 72a + a +1= 2(a + )2 + ＞0
4 8
1 2
3a2 -2a +1= 3(a - )2 + ＞0
3 3
由 f(2a2+a+1)＜f(3a2-2a+1)，得
2a2+a+1＞3a2-2a+1
所以 0＜a＜3
例 1-5-25 求证：定义在区间(-m，m)(m＞0)内的任何函数都可以
表示成一个偶函数与一个奇函数之和．
解 设 f(x)为定义在(-m，m)上的一个函数，令
f(x) - f(-x) f(x) + f(-x)
g(x) = (x) =
2 2
f(-x) - f(x)
易知g(-x) = = -g(x)，所以g(x)为奇函数．
2
f(-x) + f(x)
易知 (-x) = = (x)，所以 (x)为偶函数．
2
另一方面，显然有
f(x) - f(-x) f(x) + f(-x)
f(x) = + = g(x) + (x)
2 2
命题得证．
例 1-5-26 设函数 f(x)对任意 x，y∈R，都有
f(x+y)=f(x)+f(y)
若 x＞0 时，f(x)＜0，且 f(1)=-2，求 f(x)在[-3，3]上的最大值和
最小值．
解 在 f(x+y)=f(x)+f(y)中，令 y=0，得 f(x)=f(x)+f(0)，所以
f(0)=0．
又令 y=-x，得 f(0)=f(x)+f(-x)，所以 f(-x)=-f(x)，所以 f(x)为
奇函数．
任取 x1，x2∈[-3，3]，且 x1＜x2，则 x2-x1＞0，从而 f(x2-x1)＜
0，故
f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)＜0
故 f(x)在[-3，3]上是减函数．从而
f(x)min=f(3)=3f(1)=-6
f(x)max=f(-3)=-f(3)=6
例 1-5-27 设 m，n 为自然数，证明：
( )n ( n1+ m 1 m)
m
是整数．
解 令 m = x，记
g(x)=(1+x)n-(1-x)n(x∈R)．
显然 g(x)为定义在 R上的奇函数，故 g(x)是 x 的奇次项的整系数多项
式．所
g(x) ( n n1 + m ) (1 m)
以 是x的偶次项的整系数多项式．所以 是整
x m
数．
习题
1-5-12 下列函数中，既是奇函数，又是区间(-∞，0)上单调递减
函数是 [ ]
1 1

A．y = x 2 B．y = x 3
2 2

C．y = x 3 D．y = x 3
1-5-13 设 f(x)是 R 上的奇函数，且当 x∈(0，+∞)时，有 f(x)=x
(1 + 3 x)，那么x∈(-∞，0)时，f(x)等于
[ ]
A． x(1+ 3 x ) B．x(1+ 3 x )
C． x(1 3 x) D．x(1 3 x)
1-5-14 在所有定义域为 R的函数中，一定不存在的函数是
[ ]
A．既是增函数，又是奇函数
B．既是奇函数，又是偶函数
C．既是偶函数，又有反函数
D．两个互为反函数的函数是同一函数
x(1+ x)(x＞0)
1 - 5 -15 已知函数f(x) = ，则f(x)是
x(1- x)(x＜0)
[ ]
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．非奇非偶函数
1-5-16 设 f(x)为定义在(-∞，+∞)上的偶函数，且 f(x)在[0，+
∞)上为增函数，则 f(-2)，f(-π)，f(3)的大小顺序是 [ ]
A．f(-π)＞f(3)＞f(-2)
B．f(-π)＞f(-2)＞f(3)
C．f(-π)＜f(3)＜f(-2)
D．f(-π)＜f(-2)＜f(3)
1-5-17 若 f(x)是偶函数，则
( ) 1 f 1+ 2 f =
1 2
1 -5 -18 函数f(x)在R上是奇函数， (x)在R上是偶函数，则F(x) =
[f(x)]在R上是 函数．
1-5-19 若 f(x)为偶函数，其定义域为 R，且在[0，+∞)上是减函
数，
3
则f - ，f(a
2 - a + 1)的大小关系是 ．
4
1-5-20 已知 f(x)是奇函数，且当x∈[0，+∞)时，f(x)≤m(m＜0)，
则 f(x)的值域是______．
1-5-21 若 f(x)是定义在 R上的偶函数，且当 x≥0时为增函数，
那么使 f(π)＜f(a)的实数 a的取值范围是______．
1-5-22 判断下列函数的奇偶性：
2x -1
(1)f(x) =
5- x
k
(2)f(x) = x 2 (k∈Z)
x2 (x 1) (x＞0)

(3)f(x) = 0 (x = 0)

x
2 (x + 1) (x＜0)
1-5-23 已知 y=f(x)在 R 上是偶函数，当 x≥0时，
f(x)=x2-2x-3
(1)用分段函数写出函数 y=f(x)表达式；
(2)利用对称性画出其图象；
(3)指出其单调区间；
(4)利用图象指出在什么区间上 f(x)＞0，在什么区间上 f(x)＜0；
(5)求出函数的最值．
1 - 5 -24 设f(x) = ax5 + bx3 + cx + d3 x + 5，已知f(-7) = -17，求f(7)之
值．
1+ x2 + x 1
1 -5 -25 证明函数f(x) = 的图象关于原点对称．
1+ x2 + x + 1
1-5-26 已知函数 f(x)的定义域是 R，且对任意实数 x1，x2 总有
f(x1+x2)+f(x1-x2)=2f(x1)·f(x2)
成立，求证 f(x)是偶函数．
3．反函数
例题
例 1-5-28 y=2x-1(x∈N)的反函数是 [ ]
x +1 x +1
A．y = (x∈N) B．y = (x∈Z)
2 2
x +1 x -1
C．y = (x∈{正奇数}) D．y = (x∈{正奇数})
2 2
解 C
注 求反函数时应先求原函数的值域，它就是反函数的定义域．
例1 -5 -29 函数y = x -2 + 1(x≥2)的反函数是 [ ]．
A．y=2-(x-1)2(x≥2)
B．y=2-(x-1)2(x≥1)
C．y=2+(x-1)2(x≥2)
D．y=2+(x-1)2(x≥1)
解 D
ax +1
例1 - 5 -30 若函数y = 在其定义域内存在反函数，则常数a的取
4x + 3
值范围是 [ ]
A．(-∞， + ∞)
4 4
B．(-∞， )U( ， +∞)
3 3
4 4
C．(-∞， ) U(- ， + ∞)
3 3
4 4 4 4
D．(-∞， )U(- ， ) U( ， + ∞)
3 3 3 3
解 B
例1 - 5 - 31 函数y = f(x)和y = (x)互为反函数，则y = f(-x)的反函数
是 [ ]
A．y = (x) B．y = (-x)
C．y = - (x) D．y = - (-x)
解 C
令 - x = t，则y = f(t)，所以t = (y)，即 -x = (y)．将x，y对换，即y = -
(x)为y = f(-x)的反函数．
ax + 1
例1 -5 - 32 函数y = 的反函数就是它本身，则a，b必须满足
bx -1
的条件是______．
ax + 1 y + 1
解 a = 1，b∈R 由y = 解出x，得x = ．对换x，y，得
bx 1 by a
x + 1 x + 1 ax + 1
其反函数y = ．令 ≡ ，即
bx a bx a bx 1
bx2+(b-1)x-1≡abx2+(b-a2)x-a
所以 b=ab，且 b-1=b-a2，且 1=a，解得 a=1，b∈R．
例 1-5-33 已知函数 y=f(x)是定义在区间(-∞，0]上，并且
f(x+1)=x2+2x
则f -1( 2) = ．
解 - 1+ 2 由f (x +1) = x2 + 2x = (x + 1) 2 1，知y = f (x) = x2
1( ∞，0]，其反函数为y = x + 1．所以f 1( 2 ) = 2 + 1．
例1 - 5 -34 已知函数y = - 1- x2 的反函数是y = - 1- x 2 ( 1≤x≤
0)，则原函数的定义域是 ．
解 [-1，0]
4 + x
例1 -5 - 35 已知函数f(x) = (x≥1)，求f -1[f(x)]及f[f -1(x)]．
2 + 3x
解 f-1[f(x)]=f[f-1(x)]=x
2
x -1
例1 -5 - 36 已知函数f(x) =

(x≥1)，f -1(x)是f(x)的反函
x + 1
1
数，又g(x) = 1 + x + 2，求f
1 (x)及其定义域、单调区间和g(x)
f (x)
的最小值．
x 1 x 1 2
解 因为x≥1，所以0≤ ＜1，所以0≤ ＜1，即函数f
x + 1 x + 1
(x)的值域为[0，1)，f 1(x)的定义域为[0，1)．
2
x -1 1+ x
由f(x) = ，得f
-1(x) = (0≤x＜1)．
x +1 1- x
设 0≤x1＜x2＜1，那么
1+ x1 1+ xf -1(x ) f 1(x ) = 21 2 1 x1 1 x2
2( x - x )
= 1 2 ＜0
(1 x1 )(1 x2 )
所以 f-1(x1)＜f-1(x2)
故 f-1(x)在[0，1)上为增函数，[0，1)为 f(x)的递增区间．于是
2
g(x) = + (1+ x )≥2 2
1+ x
2
当且仅当 = 1+ x，即x = 3 2 2时，上式取等号．所以当x =
1+ x
3 2 2，g(x) max = 2 2．
1
例1 -5 - 37 函数y = x3与y = x 3的两个图象之间的关系是
[ ]
A．关于原点对称 B．关于 x轴对称
C．关于 y轴对称 D．关于直线 y=x 对称
解 D
1-5-38 函数 y=f(x)的图像经过第三、四象限，那么 y=-f-1(x)的
图象经过 [ ]
A．第一、二象限 B．第二、三象限
C．第三、四象限 D．第一、四象限
解 B 第三、四象限关于直线 y=x 对称的点分别位于第三、二象限，
而第三、二象限关于 x轴对称的点分别位于二、三象限．
x +1(x＞0)
例1 -5 - 39 函数f(x) = 的反函数图象是
x -1(x＜0)
[ ]
解 C
例 1-5-40 函数 y=-f(x)与 y=-f-1(x)的图象一定关于直线______
对称．
解 y=-x 因为 f(x)与 f-1(x)的图象关于直线 y=x 对称，而 f(x)
与-f(x)，f-1(x)与-f-1(x)的图象分别关于 x轴对称．
例1 - 5 - 41 若点A(1，2) 既在函数y = ax + b图象上，又在其反函
数的图象上，则 a=______，b=______．
解 - 3，7 由题设知点A(1，2)及A′(2，1)均在y = ax + b的图
象上，所以
2 = a + b a = -3

1 = 2a + b b = 7
例1 - 5 -42 求函数f(x) = 1- 1- x2 (-1≤x＜0)的反函数，并在同一直
角坐标系中画出原函数及其反函数的图象．
解 y = 1 - 1 - x 2 (-1≤x＜0)的值域是(0，1]．
由已知函数的解析式得x = - 2y - y 2，对换x，y得反函数为
f 1(x) = 2x x2 ，x∈(0，1]
图象如右．
例 1-5-43 设 c∈R，c≠0，c≠1，且
x -1 1
y = (x∈R，x≠ )
cx -1 c
试证：
(1)经过这个函数图象上任意两个不同点的直线与 x轴不平行．
(2)这个函数的图象关于直线 y=x 成轴对称图形．
解 (1)设 P(x1，y1)与 Q(x2，y2)是图象上两个不同点，且 PQ 与 x
轴平行，则 x1≠x2，y1=y2．于是
x1 1 x2 1=
cx1 1 cx2 1
去分母并整理，得 c(x1-x2)=x1-x2．因此 c=1，与已知条件矛盾，故 PQ
不与 x轴平行．
x -1 y -1
(2)由y = 解得x = ，对换x，y得
cx -1 cy -1
x -1
y =
cx -1
x -1 x -1
即y = 的反函数就是其自身，所以y = 的图象关于直线y = x
cx -1 cx -1
对称．
习题
1 - 5 - 27 函数y = x + 5(x≥ 5)的反函数是
[ ]
A．y=x2+5(x≥-5) B．y=x2-5(x≥-5)
C．y=x2+5(x≥0) D．y=x2-5(x≥0)
1-5-28 若 f(2x-1)=x+1，则 f-1(x)= [ ]
A．x-1 B．2x-3
1 3
C． x + D．2x + 3
2 2
1-5-29 对于 x∈[0，1]的所有 x值，函数y=x2 与其反函数 f-1(x)
的相应的函数值之间一定成立的关系是 [ ]
A．f(x)≤f-1(x) B．f(x)≥f-1(x)
C．f(x)=f-1(x) D．不能确定
x + a -1 - x + 51 -5 -30 函数f(x) = (a，b，c为常数)的反函数是f (x) = ，
bx + c 2x -1
则 a，b，c 的值是 [ ]
A．a=5，b=2，c=-1 B．a=2，b=1，c=5
C．a=5，b=2，c=1 D．a=1，b=2，c=5
1 - 5 - 31 (1)函数f(x) = 2 1 - x 2 (-1≤x≤0)的反函数是 ．
1
(2)函数y = ( )4 (x＜0)的反函数是 ．
x
1 - 5 - 32 设函数f(x) = x 2 - 2x + 3，x∈(-∞，1]，则f -1(x) 的定义
域是______．
1-5-33 y=f(x)和其反函数 y=f-1(x)的定义域都为(0，+∞)，且 f(x)
是(0,+∞)上的增函数，则 f-1(1)和 f-1(3)的大小关系是______．
1-5-34 求下列函数的反函数：
x，x∈(-1，0]
(1)f(x) = 2x2 - x + 1(x≥1) (2)f(x) =
x
2，x∈(0，2)
1-5-35 已知 y=f(x)在其定义域内是增函数，求证 y=f(x)的反函数
y=f-1(x)在它的定义域内也是增函数．试判断对于减函数，这一结论是
否正确．
1-5-36 点(a，b)在函数 y=f(x)图象上，则下列各点必在其反函数
图象上的点是 [ ]
A．P1(a，f-1(a)) B．P2(f-1(b)，b)
C．P3(f-1(a)，a) D．P4(b，f-1(b))
1-5-37 审查下面四个命题：
(i)因为函数y=f(x)和其反函数y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称，
所以原函数与反函数的图象不能相交；
(ii)函数 y=f-1(x)的反函数是 y=f(x)；
(iii)关于直线y=x成轴对称的两个图象一定是互为反函数的一对函
数的图象；
(iv)若 M(a，b)在 y=f(x)的图象上，则 M′(b，a)一定在其反函数
y=f-1(x)图象上，其中错误的命题有 [ ]
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
1-5-38 函数 y=ax+b 与它的反函数是同一函数时，a，b 的值为
[ ]
A．a=1，b=0
B．a=-1，b=0
C．a=±1，b=0
D．a=1，b=0，或 a=-1，b∈R
1-5-39 已知两个函数的图象关于直线 y=x 对称，如果其中一个函
数
是y = - x -1(x≥1)，那么另一个函数是 ．
3x + 6 (x≥0)
1- 5 - 40 函数f(x) = ，则f[f -1(1)] = ．
x + 5 (x＜0)
2x +1 1
1- 5 - 41 已知y = (a≠ )．
x + a 2
(1)求它的反函数；
(2)若已知函数及其反函数的图象相同，求实数 a；
-1 2(3)若f (3) = - ，求实数a．
a
(六)指数函数和对数函数
提要
(1)可通过指数函数或对数函数的单调性来比较两个指数式或对数
式的大小．
(2)求函数 y=af(x)的单调区间，应先求出 f(x)的单调区间，然后根
据 y=au 的单调性来求出函数 y=af(x)的单调区间．求函数y=logaf(x)的
单调区间，则应先求出 f(x)的单调区间，然后根据 y=logau 的单调性来
求出函数 y=logaf(x)的单调区间．
(3)根据对数的定义，可将一些对数问题转化为指数问题来解．
(4)通过换底，可将不同底数的对数问题转化为同底的对数问题来
解．
(5)指数方程的解法：
(i)a f(x) = ag(x) (a＞0且a≠1) f(x) = g(x)；
(ii)a f(x) = bg(x) (a＞0，a≠1，b＞0，b≠1) f(x)lga = g(x)lgb；
(iii)对于方程 f(ax)=0，可令 ax=y，换元化为 f(y)=0．
(6)对数方程的解法：
f(x)＞0

(i)loga f(x) = log ag(x)(a≠0且a≠1) g(x)＞0

f(x) = g(x)
(ii)对数方程 f(logax)=0，可令 logax=y 化为 f(y)=0．
(7)对于某些特殊的指数方程或对数方程可通过作函数图象来求其
近似解．
1．指数函数
例题
x 1
π 1
例1 -6 -1 函数y = 的图象可能是
2
[ ]
解 A
例 1-6-2 f(x)=3x+5，则 f-1(x)的定义域是 [ ]
A．(0，+∞) B．(5，+∞)
C．(6，+∞) D．(-∞，+∞)
解 B 因为 f(x)=x2+5＞5，即 f(x)的值域为(5，+∞)，故 f-1(x)
的定义域为(5，+∞)．
例 1-6-3 下列函数中，值域是(0，+∞)的一个函数是 [ ]
1 1
1 x

A．y = 32-x + 1 B．y = 5
1 x
C．y = 1 D．y = 1- 2 x 3
解 B
例 1-6-4 函数 y=(a2-1)x 在(-∞，+∞)上是减函数，则 a 的取值
范围是 [ ]
A．|a|＞1 B．|a|＜2 C．a＞ 2 D．1＜|a|＜ 2
解 D 由题设，有0＜a2 -1＜1，所以1＜ |a|＜ 2．
例 1-6-5 已知 a＞b，ab≠0．审查下列不等式．
2 2 a b 1 1(i)a ＞b (ii)2 ＞2 (iii) ＜
a b
1 1 1 a
1
b

(iv)a 3＞b 3 (v) ＜ 3 3
其中恒成立的有 [ ]
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
解 C
2 3
解1 -6 -6 若m 3＞m 5 (m＞0)，则m∈ ．
解 (0，1)
例 1-6-7 使函数 yx2-x-12 递减的 x的取值范围是______．
1 1
解 (-∞， ) 因为u = x2 - x -12的递减区间为(-∞， )，而y = 2u
2 2
1
为增函数，故所求范围是(-∞， )．
2
例 1-6-8 根据不等式确定正数 a的取值范围：
(1)a-0.3＜a0.2，则 a∈______；
(2)a7.5＜a3.9，a∈______；
7
(3)a 4＜1，a∈ ．
解 (1)(1，+∞) (2)(0，1) (3)(0，1)
1 1
例1 - 6 - 9 已知f(x) = x x + ． 2 1 2
(1)指出函数的奇偶数，并予以证明；
(2)求证：对任何 x(x∈R 且 x≠0)，都有 f(x)＞0．
解 (1)f(x)的定义域为R - U R+，关于原点对称．又
1 1 2x 1
f ( x) = ( x) + = x 2 x 1 2 2 x 1 2
2x 1 1 1
= x x 1+ = x + = f (x) 2 1 2 2x 1 2
所以 f(x)是偶函数．
(2)当 x＞0 时，2x＞1，所以 f(x)＞0．
当 x＜0 时，由 f(x)为偶函数，有 f(x)=f(-x)＞0．
所以对一切 x∈R，x≠0，恒有 f(x)＞0．
注 利用函数的奇偶性常可使解法简化．如本例(2)，当 x＜0 时，
证明 f(x)＞0 较繁．若注意到 f(x)为偶函数，则只须证明，当 x＞0 时
f(x)＞0，而这是显然的．
例1 -6 -10 比较 n 1 a n 与n a n+1 (a＞0，a≠1，n＞1，n∈N)的大小．
n n+1
解 n -1 a n = a n-1，n a n +1 = a n
n n +1 1 n n + 1
因为 - = ＞0，所以 ＞ ．
n 1 n n(n -1) n 1 n
由指数函数的单调性，知当a＞1时，n 1 a n＞ n a n+1；当0＜a＜1时，
n 1 a n ＜n a n+1．
a x 1
例1 -6 -11 已知函数f(x) = (a＞1)．
a x +1
(1)判断函数 f(x)的奇偶性；
(2)证明 f(x)是区间(-∞，+∞)上的增函数；
(3)求函数的值域．
解 (1)f(x)的定义域为 R．又
1
a-x 1 x 1a 1 - a
x
f(-x) = x = 1 = x = -f(x) a + 1 1 + a
a x
+ 1
所以 f(x)为奇函数．
a x 1 a x + 1 2 2
(2)f(x) = =
a x + 1 a x
= 1
+ 1 a x + 1
2
因为a＞1，所以a x在R上递增，所以 x 在R上增减．所以f(x) a + 1
在 R上为增函数．
2 2
(3)因为0＜ x ＜2，所以 -1＜1 - x ＜1，即值域为(-1，1)． a + 1 a + 1
习题
1-6-1 若 a＞1，-1＜b＜0，则函数 y=ax+b 的图象一定经过
[ ]
A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限
C．第二、三、四象限 D．第一、二、四象限
1-6-2 在同一坐标系下，函数 y=ax2 和 y=(-a)x 的图象可能是
[ ]
1-6-3 对任何实数 a＞0，且 a≠1，函数 f(x)=ax-1+3 的反函数的
图象必经过点 [ ]
A．(5，2) B．(2，5) C．(4，1) D．(1，4)
x
1 1 1
1 -6 - 4 函数y = ，y = ，y = x 3 3 ，y = 3
x ，y = 3|x|中在(0，
3 x
+∞)上为增函数有 [ ]
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
1-6-5 已知 x＞y＞1，且 0＜a＜1，则 [ ]
1 1
A．x -a＜y -a B．a -x＜a -y C．xa＜ya D．a x ＜a y
1 3x
1- 6 - 6 函数y = a x-1，y = a x-1，y = 的定义域分别为M，N，
x -1
P，则 M，N，P的包含关系是______．
1-6-7 已知函数 f(x)=ax+k 的图象过点(1，3)，又其反函数 f-1(x)
的图象过点(2，0)，则 f(x)=______．
1-6-8 不等式 0.2|2x+1|＞0.2|x|的解集是______．
1-6-9 若 am＞an(a＞0 且 a≠1)，试比较 m，n的大小．
x y 2 11 - 6 - 10 已知9 + 4 = a (a＞ )，求3x + 22 y+1的量大值．
4
1
1 - 6 - 11 已知y = (a x + a-x )，a＞1．
2
(1)用x表示函数z = y + y2 1，并化简；
(2)z 是 x 的奇函数还是偶函数．
a
1 - 6 - 12 已知f(x) = (a x2 - a
-x )，(a＞0且a≠1)是R上的增函数，
a 2
求 a的取值范围．
2．对数
例题
α + β α β
A． sinαcosβ = 2(sin + sin )
2 2
B． cosαsinβ = 2[sin(α + β) cos(α + β)]
[ ]
A．a＜b＜c B．a＜c＜b
C．b＜c＜a D．c＜b＜a
解 C
例1 -6 -13 a = log (7 - 4 3)，则
(2- 3)
[ ]
A．a∈N B．a∈Z且a∈/ N
C．a∈Q，且a∈/ Z D．a∈R且a∈/ Q
解 A ∵7 - 4 3 = (2 - 3) 2，∴a = log (2 - 3) 2 = 2
(2- 3 )
例 1-6-14 对数式 loga(x+1)，logax2，loga(-x)，loga(1-|x|)
中的 x的
取值范围分别为A，B，C，D，则(A U B) I(CU D) =
[ ]
A．(-1， +∞) B．(-∞，1)
C．(-1，1) D．(-∞，0)U(0， + ∞)
解 B ∵A = ( 1， + ∞)，B = ( ∞，0)U(0， + ∞)，C = ( ∞，0)，
D = ( 1，1)
∴ A U B = R，CU D = ( ∞，1)
∴ (A U B) I(C U D) = ( ∞，1)．
例 1-6-15 如果 f(lgx)=x，则 f(3)的值等于 [ ]
A．log3 B．log310 C．l03 D．310
解 C 令 lgx=3，则 x=103．
例 1-6-16 若 log2x=log3y=log5z＞0，则 [ ]
1 1 1 1 1 1
A．x 2＞y 3＞z 5 B．y 3＞x 2＞z 5
1 1 1 1 1 1
C．y 3＞z 5＞x2 D．z 5＞x 2 ＞y 3
解 B 令 log2x=log3y=log5z=k，有 x=2k，y=3k，z=5k．于是
1 k
x 2 = 2 2 = ( 2 ) k = (6 8) k = (10 32) k
1 k
y 3 = 33 = (3 3) = (6 9) k
1 k
z5 = 55 = (10 25) k
1 1 1
所以 y3＞x 2＞z 5
例 1-6-17 已知 ab=M(a＞0，b＞0，M≠1)且 logMb=x，则 logMa 的
值为 [ ]
1
A．1- x B．1 + x C． D．x -1
x
解 A 因为 ab=M，所以 logMab=logMM=1，即 logMa+logMb=1．但
logMb=x，所以 logMa=1-x．
例 1-6-18 计算：
(1)25log53=______
(2)( 2) log 23 =
解 (1)9 25log5 3 = 52log5 3 = 5 log33
2
= 9
(2) 3
1 - a
例1 6 19 已知 log 3 2 = ，则 log 12 = ．a 3
2
解
a
log 12 = log (3×22 ) = log 3 + 2 log 2
3 3 3 3
1 - a 2
= 2 + 2 =
a a
例 1-6-20 设 M={0，1}，N={11-a，log10a，2a，a}，是否存在
a的值使M I N = {1}？
解 不存在a的值使M I N = {1}成立．
事实上，若 lga=1，则 a=10．此时 11-a=1，从而 11-a=lga=1，此与
集合元素互异性矛盾．
若 2a=1，则 a=0．此时 lga 无意义．
若a = 1，此时lga = 0，从而M I N = {0，1}与条件不符；若11 - a =
1，则 a=10，从而 lga=1，与集合元素互异性矛盾．
1
x-
例1 -6 -21 已知f(x) = a 2，f(lga) = 10，求a．
1
lga-
解 ∵ f (lga) = a 2 = 10
1 1
∴ (lg a ) lga =
2 2
1
-
解得a = 10 2 或a = 10．经检验知都满足要求．
例 1-6-22 化简：
(1) lg2 99 - 2lg992 + 4
1
(2) lg(2x + 2 x2 1) lg2 + lg( x + 1 x 1) 2
解 (1)原式 = lg2 99 4 lg99 + 4 = (lg99 - 2) 2
=|lg99 - 2|= 2 - lg99(注意： lg99＜2．)
1 2
(2) 原式 = lg( x +1 + x 1) + lg( x +1 x 1) - lg2
2
= lg[( x +1 + x 1)( x + 1 x 1)] - lg2 = lg2 - lg2 = 0
例 1-6-23 设 a，b 同号，且 a2-2ab-9b2=0，求
lg(a2+ab-6b2)-lg(a2+4ab+15b2)
的值．
a
解 令 = x＞0，由a 2 - 2ab - 9b 2 = 0，得x2 - 2x - 9 = 0．所以x = 1
b
+ 10，且x2 = 2x + 9．所以
lg(a2 + ab - 6b2 ) - lg(a 2 + 4ab +15b2 )
x2 + x 6 (2x + 9) + x - 6
= lg 2 = lg x + 4x + 15 (2x + 9) + 4x +15
x +1 2 + 10 10 1
= lg = lg = lg = -
2(x + 4) 2(5 + 10) 10 2
习题
1
1 - 6 - 13 设x = 4 -3.3 ，y = 4 -log43 ，z = -log3 ，则 9
[ ]
A．x＞y＞z B．z＞y＞x
C．x＞z＞y D．z＞x＞y
1-6-14 审查下列各等式(a＞0 且 a≠1)：
-1 1 log 6(i)2a = (ii) a = loga 32a loga 2
3
log
(iii)(3·a a 3 - 3)0 = 1 (iv) log a 9 + log a 4 - 2loga 6 = 0
其中成立的有 [ ]
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
1-6-15 2logaM+3logaN= [ ]
A．loga(2M+3N) B．loga(2M·3N)
C．l

展开更多......

收起↑