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数学
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新北师大版五年级上册第14讲《最大公约数与约分》
教学目标
1、
经历找两个数的公因数的过程，理解公因数和最大公因数的意义。
2、
探索找两个数的公因数的方法，会正确找出两个数的公因数和最大公因数。
3、经历知识的形成过程，理解约分的含义，探索约分的方法。
4、掌握约分的方法，能正确地进行约分。
教学过程
教师活动
学生活动
1、分子加上12，分数的大小不变，分母应该加上（
）
A．12
B．36
C．27
D．不能做
2、一个分数，它的分数单位是，如果改以作分数单位，则分数单位的个数比原来增加了6个．这个分数原来是
．
3、判断：
（1）一个分数的分子扩大到原来的3倍，分母缩小到原来的，分数值不变．（
）
（2）一个分数，如果分子扩大2倍，要使分数的大小不变，分母也应该扩大2倍．（
）
4、在括号里填上合适的数
（1）==
÷75=+
=
﹣．
（2）．
5、（1）把下面的分数化成分子相同的而大小不变的分数．
1．
（2）把下列的分数化成分母是10而大小不变的分数．
====
一、填空：
1、与任何非0自然数的最大公因数是（
），两个不同质数的最大公因数是（
），存在因数倍数关系的两个数的最大公因数是（
）。
2、已知a=2×3×3×5，b=2×3×5×7，则a和b的最大公因数是（
）。
3、甲数÷乙数=6，甲乙两数的最大公因数是（
）。
4、23、24的最大公因数是（
），14、28的最大公因数是（
）。
5、的分母与分子的最大公因数是（
），的分子与分母的最大公因数是（
）。
二、判断：
1、分子和分母都是偶数，它们就没有公因数。
（
）
2、两个质数的最大公因数是1。
（
）
3、所有非0自然数没有公因数。
（
）
4、A是B的因数，A、B的最大公因数是B。
（
）
5、的分母和分子没有公因数。
（
）
6、最简分数的分子和分母的最大公因数是1。
（
）7、小于而大于的最简分数只有一个。
（
）8、约分是根据分数的基本性质进行的。
（
）
9、约分后是，因为的分子、分母没有公因数，所以是最简分数。
（
）
知识解析：
知识点一、公因数
1、公因数和最大公因数的意义
（1）公因数：几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数。
如：18和24的公因数有：1、2、3、6.
（2）最大公因数：几个数的公因数中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数。
如：18和24的最大公因数是6.
2、求两个数的最大公因数的方法
求两个数的最大公因数的方法很多，例如：求18和30的最大公因数。
方法一：先分别找出18和30的因数，再在它们的公因数中找出最大的一个。
18的因数：1、2、3、6、9、18；
30的因数：1、2、3、5、6、10、15、30
18和30的公因数：1、2、3、6；
18和30的最大公因数是6.
方法二：先找出18的因数，再看18的因数中有哪些是30的因数，然后找出最大的一个。
18的因数：1、2、3、6、9、18；
其中1、2、3、6又是30的因数，6最大，
所以18和30的最大公因数是6.
方法三：利用分解质因数的方法，可以比较简便地求出两个数的最大公因数。
18＝2×3×3；
30＝2×3×5
所以18和30的最大公因数是2×3＝6.
利用分解质因数的方法，求出两个数的最大公因数，实际上可以用短除法来表示.具体做法是：
用短除法求两个数的最大公因数，一般先用这两个数公有的质数连续去除，一直除到所得商的公因数是l为止，然后把所有的除数连乘起来。
如：
18和30的最大公因数是2×3＝6。
在除的时候，除数也可以是合数。如：求36和54的最大公因数。
36和54的最大公因数是6×3＝9×2＝18。
3、求两个数的最大公因数的两种特殊情况
（1）如果较大数是较小数的倍数，那么较小数就是这两个数的最大公因数.
如：12和6的最大公因数是6.
（2）如果两个数的公因数只有1，那么这两个数的最大公因数是1.
如：4和5的最大公因数是1.
知识点二、约分
1、约分的意义
（1）把一个分数化成同它相等，但分子、分母都比较小的分数，叫做约分。
（2）分子、分母只有公因数1的分数，叫做最简分数。
如：等都是最简分数。
2、约分的方法
（1）用分子和分母的公因数(1除外)去除分子、分母；通常要除到得出最简分数为止。
（2）应用约分的方法对一个分数约分。如：把约分.
①约分的形式：
②约分时尽量口算。如果能很快看出分子和分母的最大公因数，直接用它们的最大公因数去除比较简便。如：
3、运用约分比较分数的大小。
两个不是最简分数的异分母分数，可以先约分，把它们分别化成最简分数，再进行比较。
如：
。
典例分析：
【例1】（1）利用分解质因数的方法，找出下面每组数的最大公因数．
16和28
46和92
36和45
28和42
55和75
64和88．
（2）用短除法求下列每组数的最大公因数
36和54；
24和32；
52和78．
【例2】（1）把48个苹果分给若干个小朋友，不许有剩余，你有几种分法？
（2）有两根铁丝，长度分别为18厘米和30厘米，现要把它们截成相等的小段，每根无剩余，每段最长多少厘米？共可截得多少段？
（3）有一张长方形硬纸片，长70厘米，宽50厘米．如果要剪成若干同样大小的正方形而没有剩余，剪出的小正方形的边长最大是几厘米？
（4）36个红球与24个黄球，大小一样，分别装在同一种盒子里，每种球正好装完，每盒最多能装几个？这时共需几个盒子？
【例3】（1）A、B、C三个数，A和B的最大公因数是15，B和C的最大公因数是9，A、B、C的最大公因数是多少？
（2）甲数和乙数的最大公因数是15，乙数和丙数的最大公因数是9．甲、乙、丙三个数的最大公因数是多少？
【例4】（1）约分
；
；
．
（2）把下面各数约分．
；
；
；
．
【例5】（1）分数单位是的最简真分数有_____________________________，
分子是5的假分数有______________，其中最大的是，最小的是．
（2）把下列各数化成最简分数．
=_______
=______
=_______
=______
=________
=
______
=______
=______
=______
=______
（3）在括号里填上最简分数．
3厘米=米
18秒=分
80公顷=平方千米．
【例6】（1）已知甲数=3×5×A，乙数=2×3×A；若甲、乙两数的最大公因数是15，求A并求出此时乙数的所有因数？
（2）a，b是两个自然数，如a÷b=7，那么a，b的最大公约数是多少？
（3）甲、乙两个自然数的和是774，最大公约数是43，它们各是多少？
【例7】（1）一个最简真分数，分子与分母的和是12，求这个最简分数．
（2）将一个分数用5约分一次，用2约分两次，得，这个分数原来是多少？
教师自行总结
一、选择题
1、下面的约分正确的是（
）
A．=
B．=
C．=
2．用10以内的质数组成分子、分母都是一位数的最简真分数，共有（
）个．
A．3
B．5
C．6
D．14
3．分母是9的最简真分数有（
）个．
A．6
B．3
C．5
D．4
二、填空题
1、的分子、分母的最大公因数是
__，用最大公因数约分后，得到的最简分数是
__．
2、的分子和分母的最大公因数是
，约成最简分数是
__．
3、a=2×3×m，b=3×5×m（m是自然数且m≠0），如果a和b的最大公约数是21，则m是
___．
4、一间会议室是52分米，宽是36分米，现在要铺上正方形瓷砖，正方形瓷砖的边长最大是
___分米，一共需这样的瓷砖____块．
5、已知甲数=3×3×5×7，乙数=3×5×7×11，甲乙两数的最大公约数是
___．
6、在横线里写出每组数的最大公因数．
13和7
___
15和21
___
18和54
___
12和20
___
三、判断题
1、把约分后，分数的单位和大小都不变．
___
2、分数的分子和分母互质时，分数就是最简分数．
___
3、分母为8的最简分数共有4个．
___
四、解答题
1、把下面的分数化成最简分数
．
2、五（1）班有48人，五（2）班有56人，排队做广播操，要使每行的人数相同，每行最多有多少人？
2、用96朵红花和72朵黄花做成花束，如果每束花中红花的朵数相等，黄花的朵数也相等．那么每束花中最少有几朵花？
3、
1、分子、分母之和是23，分母增加19以后，得到一个新的分数，把这个分数化为最简分数是，原来分数是几分之几？
2、用一个数除96余6，除134余8，除243余9，这个数最大是多少？
3、一块长方体的木料，长72厘米，宽60厘米，高36厘米，现要把它锯成同样大小的正方体木块，木块的体积要最大，木料又不能剩下，算一算这块木料可以锯成_____块．

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