资源简介

预言未知星体 计算天体质量

【教学目标】
1．了解万有引力定律在天文学上的重要应用。
2．会用万有引力定律计算天体质量。
3．理解研究天体运动的基本思路及主要类型。
【教学重点】
会用万有引力定律计算天体质量。
【教学难点】
理解研究天体运动的基本思路及主要类型。
【教学过程】
一、情境导入
天体之间的相互作用力，主要是万有引力。万有引力定律的发现对天文学的发展起到了巨大的推动作用。一个成功的理论不仅要能解释已知的事实，更重要的是能预言未知的现象。你知道万有引力理论能够预言哪些未知的现象吗？
二、新知学习
（一）预言彗星回归
1．哈雷根据万有引力理论对1682年出现的哈雷彗星的轨道运动进行了计算，指出了不同年份出现的情况，并预言了再次出现的时间。
2．1743年，克雷洛计算了遥远的木星和土星对哈雷彗星运动规律的影响，指出了哈雷彗星运动经过近日点的时间。
3．总之，由万有引力理论可以预知哈雷彗星每次临近地球的时间，并且经过验证都是正确的。
（二）预言未知星体
1．已发现天体的轨道推算
1781年，人们通过望远镜发现了天王星，经过仔细的观测发现：天王星的运动轨道与由万有引力定律计算出来的轨道之间存在明显的偏差。
2．未知天体的发现
根据已发现的天体的运动轨道结合万有引力定律推算出还没发现的未知天体的轨道，如海王星、冥王星就是这样发现的。
（三）计算天体质量
1．地球质量的计算
利用地球表面的物体：若不考虑地球自转，质量为m的物体的重力等于地球对物体的万有引力，即mg＝，则M＝，只要知道g、R的值，就可计算出地球的质量。
2．太阳质量的计算
利用某一质量为m的行星绕太阳做匀速圆周运动：行星与太阳间的万有引力充当向心力，即G＝，由此可得太阳质量ms＝，由此式可知只要测出行星绕太阳运动的轨道半径和周期就可以计算出太阳的质量。
【想一想】根据月球绕地球做圆周运动的规律应用万有引力定律求出的天体质量是地球的质量还是月球的质量？月球的质量如何求？
提示：求出的是地球的质量，利用G＝mr求出的质量M＝为中心天体的质量。做圆周运动的月球的质量m在等式中已消掉。要想求月球的质量，要根据绕月球做圆周运动的卫星的运动规律。
三、重难点突破
（一）天体质量和密度的估算
1．求天体质量的思路
绕中心天体运动的其他天体或卫星做匀速圆周运动，其向心力等于它与中心天体的万有引力，利用此关系建立方程求中心天体的质量。
2．计算天体的质量
下面以地球质量的计算为例，介绍几种计算天体质量的方法：
（1）若已知地球的半径R和地球表面的重力加速度g，根据物体的重力近似等于地球对物体的引力，得mg＝G，解得地球质量为M地＝。
（2）质量为m的卫星绕地球做匀速圆周运动
已知卫星的r和T可以求M。
已知卫星的r和v可以求M。
已知卫星的r和ω可以求M。
3．计算天体的密度
（1）利用天体表面的重力加速度来求天体的自身密度。
由mg＝G和ρ＝得ρ＝，g为天体表面的重力加速度，R为天体半径。
（2）若天体的半径为R，求天体的密度。
G＝mr ①
ρ＝ ②
由①式得M＝，将M＝代入②式得：ρ＝
当卫星环绕天体表面运动时，其轨道半径r等于天体半径R，则ρ＝。
【特别提醒】计算天体质量的方法不仅适用于地球，也适用于其他任何星体，明确计算出的是中心天体的质量。
【方法总结】利用公式M＝计算出天体的质量，再利用ρ＝计算天体的密度，注意r指天体运动的轨道半径，而R指中心天体的半径，只有贴近中心天体运行时才有r＝R。
（二）天体运动问题的分析
1．解决天体运动问题的基本思路
一般行星或卫星的运动可看作匀速圆周运动，所需要的向心力都由中心天体对它的万有引力提供，所以研究天体时可建立基本关系式：G＝ma，式中a是向心加速度。
2．常用的关系式
（1）G＝m＝mω2r＝mr，万有引力提供行星或卫星做圆周运动的向心力。
（2）mg＝G即gR2＝GM，物体在天体表面时受到的引力等于物体的重力。该公式通常被称为黄金代换式。
3．四个重要结论
设质量为m的天体绕另一质量为M的中心天体做半径为r的匀速圆周运动。
（1）由G＝m得v＝。r越大，天体的v越小。
（2）由G＝mω2r得ω＝。r越大，天体的ω越小。
（3）由G＝mr得T＝2π，r越大，天体的T越大。
（4）由G＝man得an＝，r越大，天体的an越小。
以上结论可总结为“一定四定，越远越慢”。
4．双星模型

如图所示，宇宙中有相距较近、质量可以相比的两个星球，它们离其他星球都较远，因此其他星球对它们的万有引力可以忽略不计。在这种情况下，它们将围绕它们连线上的某一固定点做周期相同的匀速圆周运动，这种结构叫做“双星”。
5．双星模型的特点
（1）两星的运行轨道为同心圆，圆心是它们之间连线上的某一点。
（2）两星的向心力大小相等，由它们间的万有引力提供。
（3）两星的运动周期、角速度都相同。
（4）两星的运动轨道半径之和等于它们之间的距离，即r1＋r2＝L。
【特别提醒】
（1）应用万有引力定律求解时还要注意挖掘题目中的隐含条件，如地球公转一周时间是365天，自转一周是24小时，其表面的重力加速度约为9.8 m/s2等。
（2）由mg＝G可以得到：GM＝gR2。由于G和M（地球质量）这两个参数往往不易记住，而g和R容易记住。所以粗略计算时，一般都采用上述代换，这就避开了引力常量G值和地球的质量M值，非常方便。

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