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小专题五　带电粒子在磁场中的轨迹分析法
1.放缩圆
速度小的粒子将在x轨道半径大于a的粒子开始进入右侧磁场,考虑到r=a的极限情况,这种粒子在右侧的圆轨迹(如图中虚线)与x轴在D点相切,OD=2a,这是x轴荧光屏的亮线的左侧边界。
速度最大的粒子的轨迹如图实线所示,它由两段圆弧组成,圆心分别在C和C′,C在y轴上,由对称性可知C′在x=2a的直线上。
(1)粒子经过平行金属板加速后的速度大小;
(2)粒子在左侧磁场区域内运动时的半径及运动时间;
(3)电场强度E的取值在什么范围内时粒子能从右侧磁场的上边缘cd间离开?
2.旋转圆
[典例2]
如图所示,A,B为水平放置的间距d=0.2
m的两块足够大的平行金属板,两板间有电场强度为E=0.1
V/m、方向由B指向A的匀强电场。一喷枪从A,B板的中央点P向各个方向均匀地喷出初速度大小均为v0=10
m/s的带电微粒。已知微粒的质量均为m=1.0×10-5
kg、电荷量均为q=-1.0×10-3
C,不计微粒间的相互作用及空气阻力的影响,取g=10
m/s2。
(1)求从P点水平喷出的微粒打在极板时的水平位移x;
答案:(1)1
m　
(2)要使所有微粒从P点喷出后均做直线运动,应将板间的电场调节为E′,求E′的大小和方向;在此情况下,从喷枪刚开始喷出微粒计时,求经t0=0.02
s时两板上有微粒击中区域的面积和;
答案:(2)0.1
V/m　方向向下　0.06π
m2
(3)在满足第(2)问中的所有微粒从P点喷出后均做直线运动情况下,在两板间加垂直于纸面向里的匀强磁场,磁感应强度B=1
T。求B板被微粒打中的区域长度。
答案:(2)15　
课堂训练
1.(放缩圆)在如图所示的同心圆环形区域内有垂直于圆环面的匀强磁场,磁场的方向如图,两同心圆的半径分别为R0,2R0。将一个质量为m(不计重力),电荷量为+q的粒子通过一个电压为U的电场加速后从P点沿内圆的切线进入环形磁场区域。欲使粒子始终在磁场中运动,求匀强磁场的磁感应强度大小的范围。
(教师备用)
答案:见解析
2.(旋转圆)如图所示,有一个磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的足够大的匀强磁场,在磁场中的O点有一个粒子源,能在纸面内向各个方向连续不断地均匀发射速率为v、比荷为k的带正电粒子,PQ是垂直纸面放置、厚度不计的挡板,挡板的P端与O点的连线与挡板垂直。带电粒子的重力以及粒子间的相互作用力忽略不计。
(1)为了使带电粒子不打在挡板上,粒子源到挡板的距离d应满足什么条件?
答案:(2)见解析小专题五　带电粒子在磁场中的轨迹分析法
1.如图所示,在边长为2a的正三角形区域内存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场,一个质量为m、电荷量为-q的带电粒子(重力不计)从AB边的中点O以速度v进入磁场,粒子进入磁场时的速度方向垂直于磁场且与AB边的夹角为60°,若要使粒子能从AC边穿出磁场,则匀强磁场的磁感应强度B需满足(　B　)
A.B>
B.B<
C.B>
D.B<
解析:粒子刚好达到C点时,其运动轨迹与AC相切,如图所示,则粒子运动的半径为r0=.由r=得,粒子要能从AC边射出,粒子运行的半径r>r0,解得B<,选项B正确。
2.如图所示,在屏MN的上方有磁感应强度为B的匀强磁场,磁场方向垂直于纸面向里。P为屏上的一个小孔。PC与MN垂直。一群质量为m、带电荷量为-q的粒子(不计重力),以相同的速率v从P处沿垂直于磁场的方向射入磁场区域。粒子入射方向在与磁场B垂直的平面内,且散开在与PC夹角为θ的范围内。则在屏MN上被粒子打中的区域的长度为(　D　)
A.
B.
C.
D.
解析:屏MN上被粒子击中的区域离P点最远的距离x1=2r=,屏MN上被粒子击中的区域离P点最近的距离x2=2rcos
θ=,故在屏MN上被粒子打中的区域的长度为x1-x2=,D正确。
3.在如图所示的坐标系内,PQ是垂直于x轴的分界线,PQ左侧的等腰直角三角形区域内分布着匀强磁场,磁感应强度为B,方向垂直纸面向里,AC边有一挡板可吸收电子,AC长为d。PQ右侧为偏转电场,两极板长度为d,间距为d。电场右侧的x轴上有足够长的荧光屏。现有速率不同的电子在纸面内从坐标原点O沿y轴正方向射入磁场,电子能打在荧光屏上的最远处为M点,M到下极板右端的距离为d,电子电荷量为e,质量为m,不考虑电子间的相互作用以及偏转电场边缘效应,求:
(1)电子通过磁场区域的时间t1;
(2)偏转电场的电压U;
(3)电子至少以多大速率从O点射出时才能打到荧光屏上。
解析:(1)电子在磁场区域运动周期为T=,
由几何关系可知,能够通过磁场区域的电子转过的圆心角为90°,则时间为t1=T=。
(2)打在M点的电子,在磁场中的轨迹半径r=d,又r=,
解得v=,
通过电场的时间t2==,
由类平抛运动规律可知,打在M点的电子相当于从上极板中点射出做匀速直线运动,如图所示,则有
==,又y1+y2=d,
解得y1=d,故
=d,
代入数据解得U=。
(3)电子恰好打在下极板右边缘,如图所示
而磁场中轨迹半径为r′=,
电场中水平方向d=v′t,
竖直方向r′=t2,
由上述三式代入数据解得v′=。
答案:见解析
4.如图所示,在竖直平面内建立平面直角坐标系xOy,y轴正方向竖直向上。在第一、第四象限内存在沿x轴负方向的匀强电场,其大小E1=;在第二、第三象限内存在着沿y轴正方向的匀强电场和垂直于xOy平面向外的匀强磁场,电场强度大小E2=,磁感应强度大小为B。现将一质量为m、电荷量为q的带正电小球从x轴上距坐标原点为d的P点由静止释放。
(1)求小球从P点开始运动后,第一次经过y轴时速度的大小;
(2)求小球从P点开始运动后,第二次经过y轴时的纵坐标;
(3)若小球第二次经过y轴后,第一、第四象限内的电场强度变为
E1′=,求小球第三次经过y轴时的纵坐标。
解析:(1)设小球在第一象限中的加速度为a,由牛顿第二定律得=ma,
得到a=,设方向斜向左下与水平方向成α角,则有
tan
α==,
即α=60°。
小球到达y轴的速度
v0===。
(2)小球第一次经过y轴后,在第二、三象限内有qE2=mg,电场力与重力平衡,故做匀速圆周运动,如图所示。设轨迹半径为R,有qv0B=m,
得R=,
Δy=R==,
小球第二次经过y轴的纵坐标y2=-d。
(3)第二次经过y轴后小球所受合力与经y轴时速度方向垂直,其合力为F合==2mg,
则加速度为a′=2g,小球做类平抛运动,
到第三次经过y轴,小球的位移与初速度方向的夹角为30°,
则有=tan
30°,
得t′===,
小球第二次经过y轴与第三次经过y轴的距离为
Δy′=v0t′=·=d,
小球第三次经过y轴的纵坐标
y3=y2-Δy′=-d。
答案:(1)　　(2)-d
(3)-d
5.如图所示,匀强磁场的磁感应强度大小为B.磁场中的水平绝缘薄板与磁场的左、右边界分别垂直相交于M,N,MN=L,粒子打到板上时会被反弹(碰撞时间极短),反弹前后水平分速度不变,竖直分速度大小不变、方向相反。质量为m、电荷量为-q的粒子速度一定,可以从左边界的不同位置水平射入磁场,在磁场中做圆周运动的半径为d,且d(1)求粒子运动速度的大小v;
(2)欲使粒子从磁场右边界射出,求入射点到M的最大距离dm;
(3)从P点射入的粒子最终从Q点射出磁场,PM=d,QN=,求粒子从P到Q的运动时间t。
解析:(1)洛伦兹力提供向心力qvB=m,
r=d,
解得v=。
(2)如图所示,粒子碰撞后的运动轨迹恰好与磁场左边界相切,由几何关系得
dm=d(1+sin
60°),解得dm=d。
(3)粒子的运动周期T=
设粒子最后一次碰撞到射出磁场的时间为t′,则
t=n+t′(n=1,3,5,…),
(a)当L=nd+(1-)d时,粒子斜向上射出磁场,
t′=T,
解得t=(+);
(b)当L=nd+(1+)d时,粒子斜向下射出磁场,
t′=T,
解得t=(-)。
答案:(1)　(2)d
(3)(+)或(-)
6.为了进一步提高回旋加速器的能量,科学家建造了“扇形聚焦回旋加速器”。在扇形聚焦过程中,离子能以不变的速率在闭合平衡轨道上周期性旋转。扇形聚焦磁场分布的简化图如图所示,圆心为O的圆形区域等分成六个扇形区域,其中三个为峰区,三个为谷区,峰区和谷区相间分布。峰区内存在方向垂直纸面向里的匀强磁场,磁感应强度为B,谷区内没有磁场。质量为m,电荷量为q的正离子,以不变的速率v旋转,其闭合平衡轨道如图中虚线所示。[已知:sin(α±β)=sin
αcos
β±cos
αsin
β,cos
α=1-2sin2]
(1)求闭合平衡轨道在峰区内圆弧的半径r,并判断离子旋转的方向是顺时针还是逆时针。
(2)求轨道在一个峰区内圆弧的圆心角θ,及离子绕闭合平衡轨道旋转的周期T。
(3)在谷区也施加垂直纸面向里的匀强磁场,磁感应强度为B′,新的闭合平衡轨道在一个峰区内的圆心角θ变为90°,求B′和B的关系。
解析:(1)峰区内圆弧半径r=,旋转方向为逆时针方向。
(2)由对称性,峰区内圆弧的圆心角θ=。
每个圆弧的长度l==,
每段直线长度
L=2rcos
=,
周期T=,
代入得T=。
(3)谷区内的圆心角θ′=120°-90°=30°,
谷区内的轨道圆弧半径r′=,
由几何关系r
sin=r′sin,
由三角关系sin=,
代入得B′=B。
答案:(1)　逆时针　(2)　
(3)B′=B
7.如图所示,在直角坐标系中y>0的范围内有垂直于坐标平面向内且范围足够长的匀强磁场。在y轴上S点(0,d)处有一粒子源,向坐标平面内各个方向等概率地发射速率均为v的带电粒子,粒子电荷量均为-q,质量均为m。已知速度沿+y方向的带电粒子恰好不会离开磁场。不计粒子重力,求:
(1)磁感应强度的大小;
(2)粒子从x轴上出射的区域范围;
(3)能离开磁场的粒子个数与粒子源发射粒子总数的比值。
解析:(1)沿+y方向的粒子运动轨迹可如图中轨迹1所示,由图知r=d,又qvB=m,联立得B=。
(2)如图轨迹2和轨迹3上A和B点分别对应粒子从x轴上出射的右端点和左端点
图中SA=2r,故OA=,
得OA=d
由图易得OB=d
故粒子从x轴上的出射范围为-d≤x≤d。
(3)介于轨迹1和轨迹3之间的粒子可以从x轴射出,由图可知轨迹1对应粒子的入射速度沿+y方向,轨迹3对应粒子的入射速度与+y方向夹角为180°,
故所求比值为=。
答案:(1)　(2)-d≤x≤d　(3)1∶2
8.在受控热核聚变反应的装置中带电粒子的温度极高,没有通常意义上的容器可装,而是由磁场将带电粒子的运动束缚在某个区域内。现有一个环形区域,其截面内圆半径R1=
m,外圆半径R2=1.0
m,区域内有垂直纸面向外的匀强磁场(如图所示),已知磁感应强度B=1.0
T,被束缚的带正电粒子的比荷为=4×107
C/kg,不计带电粒子的重力和它们之间的相互作用。
(1)若中空区域中的带电粒子由O点沿环的半径方向射入磁场,求带电粒子不能穿越磁场外边界的最大速度v0。
(2)若中空区域中的带电粒子以(1)中的最大速度v0沿圆环半径方向射入磁场,求带电粒子从刚进入磁场某点开始到第一次回到该点所需要的时间。
解析:(1)根据几何关系,则有+r2=(R2-r)2,
解得r=
m,在磁场中,则有qv0B=m,
解得v0=1.33×107
m/s。
(2)粒子的运动轨迹如图所示,
由几何关系得tan
θ==,
解得θ=,
带电粒子在磁场中的圆心角为π,且经过三次磁场,才会回到该点,
则在磁场中运动的时间为
t1=·==3.14×10-7
s,
在磁场外运动的时间为
t2=3×=×10-7
s,
则t=t1+t2=5.74×10-7
s。
答案:(1)1.33×107
m/s
(2)5.74×10-7
s
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-小专题五　带电粒子在磁场中的轨迹分析法
在本章中,经常会遇到这样两类问题,第一类是同样的粒子从磁场边界(如左边界)上某一点射入匀强磁场中时,磁场右边无限宽广,入射方向不变,但速度大小(或磁场磁感应强度大小)发生改变,根据qvB=可知,R=,在v或B发生改变时,半径会发生变化,但由于入射方向不变,根据半径跟速度垂直知粒子轨迹的圆心都落在过入射点与入射速度垂直的直线上,相当于圆心在同一直线上的圆的放缩,如图甲,它们从磁场左边界射出时,速度方向互相平行,在磁场中转过的角度相等。第二类是粒子入射速度大小不变,但方向发生变化,同时磁感应强度不变,可知这种情况下,粒子的轨迹半径不变,圆心位于以入射点为圆心、以轨迹半径为半径的圆上,相当于一个固定大小的轨迹圆绕着入射点在旋转,如图乙。
1.放缩圆
[典例1]
两平面荧光屏互相垂直放置,在两屏内分别取垂直于两屏交线的直线为x轴和y轴,交点O为原点,如图所示。在y>0,00,x>a的区域有垂直于纸面向外的匀强磁场,两区域内的磁感应强度大小均为B。在O点处有一小孔,一束质量为m、带电量为q(q>0)的粒子沿x轴经小孔射入磁场,最后打在竖直和水平荧光屏上,使荧光屏发亮。入射粒子的速度可取从零到某一最大值之间的各种数值。已知速度最大的粒子在0a的区域中运动的时间之比为2∶5,在磁场中运动的总时间为T,其中T为该粒子在磁感应强度为B的匀强磁场中做圆周运动的周期。试求两个荧光屏上亮线的范围(不计重力的影响)。
解析:粒子在磁场中洛伦兹力的作用下做匀速圆周运动。根据洛伦兹力及向心力公式有
Bqv=,解得粒子运动的轨道半径为r=。
速度小的粒子将在x轨道半径大于a的粒子开始进入右侧磁场,考虑到r=a的极限情况,这种粒子在右侧的圆轨迹(如图中虚线)与x轴在D点相切,OD=2a,这是x轴荧光屏的亮线的左侧边界。
速度最大的粒子的轨迹如图实线所示,它由两段圆弧组成,圆心分别在C和C′,C在y轴上,由对称性可知C′在x=2a的直线上。
设t1为粒子在0a的区域中运动的时间,由题意可知
=,t1+t2=T,
解得t1=T,t2=T,
由t1,t2的数值关系用对称性可知∠OCM=∠MC′N=60°,∠MC′P=360°×=150°,所以∠NC′P=90°,即NP为四分之一圆周,因此圆心C′在x轴上,即C′和D重合。设速度为最大值粒子的轨道半径为R,由直角△COC′可得
R=2a,OP=2a+R,
代入数据得到OP=2(1+)a,
所以在x轴荧光屏上亮线的范围是2a≤x≤2(1+)a。
答案:x轴上的范围是2a≤x≤2(1+)a,y轴上的范围是0≤y≤2a
变式1:边长为3L的正方形区域分成相等的三部分,左右两侧为匀强磁场,中间区域为匀强电场,如图所示。左侧磁场的磁感应强度大小为B1=,方向垂直纸面向外;右侧磁场的磁感应强度大小为B2=,方向垂直于纸面向里;中间区域电场方向与正方形区域的上下边界平行。一质量为m、电荷量为+q的带电粒子从平行金属板的正极板开始由静止被加速,加速电压为U,加速后粒子从a点进入左侧磁场,又从距正方形上下边界等间距的b点沿与电场平行的方向进入电场,不计粒子重力,求:
(1)粒子经过平行金属板加速后的速度大小;
(2)粒子在左侧磁场区域内运动时的半径及运动时间;
(3)电场强度E的取值在什么范围内时粒子能从右侧磁场的上边缘cd间离开?
解析:(1)粒子在电场中运动时qU=mv2,
解得v=。
(2)粒子进入磁场B1后qvB1=,
解得R1==L,
设粒子在磁场B1中转过的角度为α,由sin
α=,
解得α=60°,
周期T=,
粒子在磁场B1中运动的时间为t=T=。
(3)粒子在磁场B2中运动,在上边缘cd间离开的速度分别为vn与vm,与之相对应的半径分别为Rn与Rm,
由分析知Rn=L,Rm=L,
由牛顿第二定律qvnB2=,
粒子在电场中qEnL=m-mv2,
解得En=,同理Em=,
所以电场强度的范围为≤E≤。
答案:(1)　(2)L　　(3)≤E≤
2.旋转圆
[典例2]
如图所示,A,B为水平放置的间距d=0.2
m的两块足够大的平行金属板,两板间有电场强度为E=0.1
V/m、方向由B指向A的匀强电场。一喷枪从A,B板的中央点P向各个方向均匀地喷出初速度大小均为v0=10
m/s的带电微粒。已知微粒的质量均为m=1.0×10-5
kg、电荷量均为q=-1.0×10-3
C,不计微粒间的相互作用及空气阻力的影响,取g=10
m/s2。
(1)求从P点水平喷出的微粒打在极板时的水平位移x;
(2)要使所有微粒从P点喷出后均做直线运动,应将板间的电场调节为E′,求E′的大小和方向;在此情况下,从喷枪刚开始喷出微粒计时,求经t0=0.02
s时两板上有微粒击中区域的面积和;
(3)在满足第(2)问中的所有微粒从P点喷出后均做直线运动情况下,在两板间加垂直于纸面向里的匀强磁场,磁感应强度B=1
T。求B板被微粒打中的区域长度。
解析:(1)微粒在匀强电场中做类平抛运动,
微粒的加速度a=
根据运动学=at2,水平位移x=v0t
解得x=1
m。
(2)要使微粒做直线运动,电场应反向,且有qE′=mg
得E′==0.1
V/m=E
故电场应该调节为方向向下,大小不变。
经t0=0.02
s时,微粒运动的位移s=v0t
极板上被微粒击中区域为半径为r的圆,
其中r2=s2-()2
S=2πr2=0.06π
m2。
(3)微粒做匀速圆周运动,洛伦兹力充当向心力
qvB=m,R==0.1
m
竖直向下射出的微粒打在B板的左端恰好与B板相切,如图甲所示d1=0.1
m,
当粒子源和B板右边击中点距离为直径时距离最远,如图乙所示d2=
m,
故B板被微粒打中的区域的长度都为
m。
答案:(1)1
m　(2)0.1
V/m　方向向下　0.06π
m2
(3)
m
变式2:如图所示,半径为R的半圆形区域内存在垂直纸面向内的匀强磁场,磁感应强度大小为B,圆弧上P点与圆心O的连线垂直于直径MN,P点放置一粒子源,其向纸面内各个方向发射两种原子核,,
的速率为v,的速率为v,沿PO方向发射的恰好从N点离开磁场,忽略原子核间的相互作用及原子核的重力,取sin
53°=0.8,cos
53°=0.6。
(1)求原子核的比荷(用B,v,R表示)以及到边界MN的最短时间;
(2)其中一原子核的轨迹恰能与ON的中点A相切,求的质量数a;
(3)在直径MN上安装金属板,并与电阻r串联后接地,带正电的原子核到达金属板后被吸收形成电流。已知粒子源P单位时间内发射n个粒子,其中占40%,占60%,求稳定后通过电阻r的电流大小。(已知电子的电荷量为e)
解析:(1)根据几何关系,原子核做圆周运动的半径为R
由qvB=m得=;
当原子核的轨迹对应于以OP为弦时,圆心角最小,运动时间最短,如图1,则圆心角为60°
T==
t==。
(2)设圆周运动半径为R′
如图2,由几何关系得(R-R′)2+()2=R′2
解得R′=R
设粒子的质量为m′,电荷量为q′
由q′B=m′得===·,
即=×
解得a=15。
(3)对粒子,设粒子初速度方向与切线PQ方向夹角为α,如图2所示,若轨迹恰好与A点相切,则sin
α0=
代入得sin
α0=,所以α0=53°
由几何关系得粒子在0≤α≤53°范围内出射能到达金属板,单位时间打到金属板的粒子数为
n1=n×60%=n
由几何关系得粒子在0≤α≤90°范围内出射能到达金属板,单位时间打到金属板的粒子数为
n2=n×40%=n
通过电阻r上的电流为
I=8e×n+2e×n=ne。
答案:(1)　　(2)15　(3)ne
1.(放缩圆)在如图所示的同心圆环形区域内有垂直于圆环面的匀强磁场,磁场的方向如图,两同心圆的半径分别为R0,2R0。将一个质量为m(不计重力),电荷量为+q的粒子通过一个电压为U的电场加速后从P点沿内圆的切线进入环形磁场区域。欲使粒子始终在磁场中运动,求匀强磁场的磁感应强度大小的范围。
解析:粒子经过电场加速,由动能定理
qU=mv2得v=
磁感应强度最大时,粒子轨迹与内环重合
Rmin=R0,qvBmax=
解得Bmax=
磁感应强度最小时,粒子轨迹与外环相切
Rmax=,qvBmin=
解得Bmin=
磁感应强度的大小范围
≤B≤。
答案:见解析
2.(旋转圆)如图所示,有一个磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的足够大的匀强磁场,在磁场中的O点有一个粒子源,能在纸面内向各个方向连续不断地均匀发射速率为v、比荷为k的带正电粒子,PQ是垂直纸面放置、厚度不计的挡板,挡板的P端与O点的连线与挡板垂直。带电粒子的重力以及粒子间的相互作用力忽略不计。
(1)为了使带电粒子不打在挡板上,粒子源到挡板的距离d应满足什么条件?
(2)若粒子源到挡板的距离d=,且已知沿某一方向射出的粒子恰好经过挡板的P点后最终又打在挡板上,求这个粒子从O点射出时的速度方向;
(3)若粒子源到挡板的距离d=,粒子打到挡板左、右表面上的长度之比是多少?
解析:(1)设带电粒子的质量为m,电荷量为q,在磁场中运动的轨道半径为R,则由洛伦兹力充当向心力得
qvB=m,
由题意得=k,
为了使带电粒子不打在挡板上,d应满足d>2R,
解得d>。
(2)如图所示,设粒子速度方向与OP连线的夹角为θ时,粒子恰好经过挡板的P点后最终又打在挡板右表面的N点。由几何关系可知△OPN为直角三角形,ON为粒子圆周运动的直径,
由d=,=k和qvB=m可得R===d,
由几何关系可得θ=30°。
(3)粒子打到挡板左、右表面的示意图如图所示。
由图可知,粒子打到挡板左表面的长度为
PM=R=,
粒子打到挡板右表面的长度为
PN=2Rcos
30°=,
粒子打到挡板左、右表面上的长度之比为=。
答案:(1)d>　(2)见解析　(3)
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