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轴对称图形
轴对称：
把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这条直线对称，也称这两个图形成轴对称；
注意：其中这条直线叫对称轴；
两个图形的对应点叫对称点；
轴对称图形：
如果把一个图形沿一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么称这个图形是轴对称图形；
注意：轴对称图形也有对称轴和对称点；
轴对称和轴对称图形的区别于联系：
区别：1、轴对称是指两个图形折叠重合。轴对称图形是指本身折叠重合，
轴对称对称点在两个图形上；轴对称图形对称点在一个图形上；
3、轴对称只有一条对称轴；轴对称图形至少有一条对称轴；
联系：若把成轴对称的两个图形看作一个整体，那么这个整体是一个轴对称图形；
若把一个轴对称图形位于对称轴的两部分看作两个图形，那么这两个图形
就成轴对称。
图文解释：
△ABC和△DEF关于直线MN对称， △ABC关于直线MN对称
MN是对称轴，我们称这两个三角形关于 MN为对称轴，我们称
直线MN成轴对称，点C点F为对称点， △ABC为轴对称图形。
点B点E为对称点，点A点D为对称点。
轴对称的性质：
成轴对称的两个图形全等；
成轴对称的两个图形，对应点的连线被对称轴垂直平分；
垂直平分线：
作点关于直线的对称点，连接这两点的线段。我们定义：垂直并且平分一条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线。又称“中垂线”
注意：判断一条直线是否是线段的垂直平分线，必须满足两个条件。
这条直线过线段的中点；
这条直线垂直于线段；
通过研究线段或者某个图形关于直线的对称：
轴对称还有如下的性质：
成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分。
注意：这个性质其实告诉如何确定对称轴：
即成轴对称的两个图形，对称轴是对应点连线的垂直平分线。
画一个图形关于一条直线对称的图形步骤：
首先我们要明白一个事实：点构成线，线构成面。
关键是确定某些点关于这条直线的对称点。
顺次将对称点连接起来。
（注意：成轴对称的两个图形的任何对应的部分也成轴对称！！！）
图文解析：
画点关于直线的对称点：
①画AO⊥L，垂足为O；
②在AO的延长线上截取OA’使得OA’=OA；
则点A’就是点A关于直线L的对称点。
画线段关于直线的对称点：
①先画出点A点B分别关于直线L的对称点A’、B’;
②连接点A’、B’；
则线段A’B’是线段AB关于直线L的对称线段。
画一个图形关于直线的对称点：
①先画出点A、B、C分别关于直线L的对称点A’、B’、C’;
②顺次连接点A’、B’、C’；
则图形是图形ABC关于直线L的对称图形。
如果要确定成轴对称两个图形的对称轴，只要做一对对称点连线的垂直平分线。
线段、角的轴对称性
线段的对称轴：线段的垂直平分线就是它的对称轴。
角的对称轴：角平分线所在的直线是它的对称轴。
注意：1、角和线段都是轴对称图形
2、角只有一条对称轴。
3、线段有两条对称轴，除了它的垂直平分线，还有它本身所在的直线。
线段垂直平分线的性质定理：
线段垂直平分线上的点线段两端的距离相等；
线段垂直平分线的判定定理：
到线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上；
（由两个定理可得：线段的垂直平分线是到线段两端距离相等点的集合！！！）
角平分线的性质定理：
角平分线上的点到角的两边距离相等；
角平分线的判定定理：
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上；
用尺规作线段AB的垂直平分线步骤：
分别以点A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点C、D.
过C、D两点作直线。直线CD就是线段AB的垂直平分线。
AO=B0
AB⊥CD

用尺规作∠AOB的平分线步骤：
以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA，OB为点D，点E；
分别以点D，点E为圆心，大于DE长度为半径画弧，两弧交于点C；
过O，C两点作直线，直线OC就是∠AOB的角平分线。
若过点C分别作OA和OB的垂线，通过全等三角形的证明，可以得到角平分线上的点到角的两边距离相等。
等腰三角的轴对称性
等腰三角形的对称轴：顶角平分线所在直线是它的对称轴。
根据等腰三角形是轴对称图形我们可以得到如下定理：
等腰三角形的底角相等（简称“等边对等角”）
等腰三角形底边上的中线、高线及顶角平分线重合（简称“三线合一”）
利用三角形的全等可证明上述定理：
图文：已知等腰△ABC
作顶角的平分线 作底边的垂线 作底边的中线

∵AB-AC ∠1=∠2 AD=AD ∵AB-AC AD⊥BC AD=AD ∵AB-AC BD=DC AD=AD
∴△ABC≌△ACD（SAS） ∴△ABC≌△ACD（HL） ∴△ABC≌△ACD（SSS）
∴∠B=∠C BD=DC AD⊥BC ∴∠B=∠C BD=DC ∠1=∠2 ∴∠1=∠2 ∠B=∠C AD⊥BC
用尺规作等腰三角形ABC步骤：
使得底边BC=a,高AD=h
作线段BC=a；
作线段BC的垂直平分线MN，MN交BC于点D；
在MN上截取线段DA，使得DA＝h；
连接AB，AC;则△ABC为所求作的等腰三角形。
等腰三角形的判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称“等角对等边”）
等边三角形的判定：1、三边相等或三个角都相等的三角形是等边三角形。
2、有一个角是60°的三角形是等边三角形。
等边三角形的性质：1、等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质；
2、有三条对称轴；
3、每个内角都是60°
直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
注意：1、若三角形的一边中线等于该边长的一半，那么三角形为直角三角形。
2、若有一个角为30°的直角三角形，那么30°所对的边是斜边的一半。
图文说明：
在AB上取一点D, CD为△ABC的中线 在AB上取一点使得
使得∠BCD=∠B 且CD=AB AD=CD
即BD=CD ∵AD=BD=CD ∵∠A=30° AD=CD
∵∠BCA=90° ∴∠B=∠DCB ∴∠BDC=60°
∴∠BCD+∠DCA=90° ∠A=∠DCA ∵∠ACB=90°
∠B+∠A=90° ∵∠A+∠B+∠DCA+∠DCB=180° ∴∠B=60°
∴∠A=∠DCA ∴∠DCA+∠DCB=90° ∴△BCD为等边三角形
∴AD=CD ∴∠ACB=90° ∴BC=CD=BD=AD
即AD=CD=BD ∴BC=AB
(直角三角形斜边的 （三角形的一边中线等于该边 (在直角三角形中，30°
中线等于斜边的一半) 的一半，那么三角形 所对的边是斜边的一半)
为直角三角形。）
拓展知识点：
如图，△ABC中，AB，AC的垂直平分线，L1，L2相交于点O，
求证：求证点O在BC的垂直平分线上。
证明：连接OA、OB、OC
∵点O是AB、AC边的垂直平分线的交点
∴OA=OB OA=OC
(垂直平分线的点到线段的两端距离相等)
∴OB=OC
∴点O在BC的垂直平分线上
(到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上)
（注意：此题引出三角形的外心定义：三角形三条边垂直平分线的交点为三角形的外心。三角形外心到三角形三个顶点距离相等！！！）
如图，△ABC的角平分线AD，BE相交于点P，
求证：点P在∠C的平分线上。
证明：过点P分别作PF⊥AB，PM⊥BC，PN⊥AC
垂足分别为点F、M、N
∵点P是∠ABC、∠BAC平分线的交点
∴PF=PM PF=PN
(角平分线上的点到角的两边距离相等)
∴PM=PN
∴点P在∠ACB的平分线上。
(角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上)
（注意：此题引出三角形的内心定义：三角形三个内角平分线的交点为三角形的内心。三角形内心到三角形三条边距离相等！！！）
如图，△ABC的两个内角∠BAC、∠BCA的外角平分线相交于点P，
求证：点P在∠B的平分线上。
证明：过点P分别作PM⊥AB，PN⊥BC，PF⊥AC
垂足分别为点M、N、F
∵点P是∠BAC、∠BCA的外角平分线的交点
∴PM=PF、PN=PF、
(角平分线上的点到角的两边距离相等)
∴PM=PN
∴点P在∠B的平分线上。
(角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上)
（注意：此题引出三角形的旁心定义：三角形一个内角平分线和其它两个内角的外角平分线的交点为三角形的旁心。三角形的旁心到三角形三条边距离相等！！！）
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