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第21章
《一元二次方程》章末检测卷
一．选择题
1．下列方程中，是一元二次方程是（　　）
A．2x+3y＝4
B．x2＝0
C．x2﹣2x+1＞0
D．＝x+2
2．用配方法解方程2x2﹣4x+1＝0，则方程可变形为（　　）
A．（x﹣2）2＝
B．2（x﹣2）2＝
C．（x﹣1）2＝
D．（2x﹣1）2＝1
3．某年级举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要比赛36场，则参加此次比赛的球队数是（　　）
A．6
B．7
C．8
D．9
4．若关于x的方程x2+ax+a＝0有一个根为﹣3，则a的值是（　　）
A．9
B．4.5
C．3
D．﹣3
5．关于x的一元二次方程x2﹣5x+2p＝0的一个根为1，则另一根为（　　）
A．﹣6
B．2
C．4
D．1
6．如果关于x的一元二次方程kx2﹣3x+1＝0有两个实数根，那么k的取值范围是（　　）
A．k
B．k且k≠0
C．k且k≠0
D．k
7．关于x的方程x2+2（m﹣1）x+m2﹣m＝0有两个实数根α，β，且α2+β2＝12，那么m的值为（　　）
A．﹣1
B．﹣4
C．﹣4或1
D．﹣1或4
8．直线y＝x+a不经过第二象限，则关于x的方程ax2+2x+1＝0实数解的个数是（　　）
A．0个
B．1个
C．2个
D．1个或2个
9．国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加．2017年至2019年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元．设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x，则可列方程为（　　）
A．500（1+2x）＝7500
B．5000×2（1+x）＝7500
C．5000（1+x）2＝7500
D．5000+5000（1+x）+5000（1+x）2＝7500
10．小明同学是一位古诗文的爱好者，在学习了一元二次方程这一章后，改编了苏轼诗词《念奴娇?赤壁怀古》：“大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿同．哪位学子算得快，多少年华数周瑜？”假设周瑜去世时年龄的十位数字是x，则可列方程为（　　）
A．10x+（x﹣3）＝（x﹣3）2
B．10（x+3）+x＝x2
C．10x+（x+3）＝（x+3）2
D．10（x+3）+x＝（x+3）2
二．填空题
11．若2x2﹣8＝0，则x＝　
　．
12．若等式x2﹣2x+a＝（x﹣1）2﹣3成立，则a＝　
　．
13．某种服装原价为200元，现连续两次降价，每次降价的百分率相同．已知降价后的价格不能低于进价110元，且第一次降价后的价格比第二次降价后的价格高32元，则每次降价的百分率是　
　．
14．已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+3m2＝0（m＞0）的一个根比另一个根大2，则m的值为　
　．
15．已知一元二次方程x2+2x﹣8＝0的两根为x1、x2，则+2x1x2+＝　
　．
16．菱形的一条对角线长为8，其边长是方程x2﹣9x+20＝0的一个根，则该菱形的周长为　
　．
三．解答题
17．解下列方程
（1）x2﹣8x+15＝0；
（2）﹣＝1．
18．已知：关于x的一元二次方程x2+mx＝3（m为常数）．
（1）证明：无论m为何值，该方程都有两个不相等的实数根；
（2）若方程有一个根为2，求方程的另一个根．
19．某学校计划利用一片空地建一个花圃，花圃为矩形，其中一面靠墙，这堵墙的长度为12米，另三面用总长28米的篱笆材料围成，且计划建造花圃的面积为80平方米．那么这个花圃的长和宽分别应为多少米？
20．2019年12月以来，湖北省武汉市发现一种新型冠状病毒感染引起的急性呼吸道传染病．感染者的临床表现为：以发热、乏力、干咳为主要表现．约半数患者多在一周后出现呼吸困难，严重者快速进展为急性呼吸窘迫综合征、脓毒症休克、难以纠正的代谢性酸中毒和出凝血功能障碍．
（1）在“新冠”初期，有1人感染了“新冠”，经过两轮传染后共有144人感染了“新冠”（这两轮感染因为人们不了解病毒而均未被发现未被隔离），则每轮传染中平均一个人传染了几个人？
（2）后来举国上下众志成城，全都隔离在家．小玲的爷爷因为种的水果香梨遇到销滞难题而发愁，于是小玲想到了在微信朋友圈里帮爷爷销售香梨．香梨每斤成本为4元/斤，她发现当售价为6元/斤时，每天可以卖80斤．在销售过程中，她还发现一斤香梨每降价0.5元时，则每天可以多卖出10斤．为了最大幅度地增加销售量，而且每天要达到100元的利润，问小玲应该将售价定为多少元？
参考答案
一．选择题
1．解：A、含有两个未知数，不是一元二次方程；
B、符合一元二次方程的定义，是一元二次方程；
C、含有不等号，不是一元二次方程；
D、含有分式，不是一元二次方程．
故选：B．
2．解：∵2x2﹣4x+1＝0，
∴2x2﹣4x＝﹣1，
x2﹣2x＝﹣，
x2﹣2x+1＝1﹣，
∴（x﹣1）2＝．
故选：C．
3．解：设参加此次比赛的球队数为x队，根据题意得：
x（x﹣1）＝36，
化简，得x2﹣x﹣72＝0，
解得x1＝9，x2＝﹣8（舍去），
答：参加此次比赛的球队数是9队．
故选：D．
4．解：把x＝﹣3代入方程x2+ax+a＝0得9﹣3a+a＝0，
解得a＝4.5．
故选：B．
5．解：设方程的另外一个根为x2，
根据题意，得：1+x2＝5，
解得x2＝4，
∴方程的另外一根为4，
故选：C．
6．解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣3x+1＝0有两个实数根，
∴△＝（﹣3）2﹣4×k×1≥0且k≠0，
解得k≤且k≠0，
故选：C．
7．解：∵关于x的方程x2﹣2（m﹣1）x+m2＝0有两个实数根，
∴△＝[2（m﹣1）]2﹣4×1×（m2﹣m）＝﹣4m+4≥0，
解得：m≤1．
∵关于x的方程x2+2（m﹣1）x+m2﹣m＝0有两个实数根α，β，
∴α+β＝﹣2（m﹣1），α?β＝m2﹣m，
∴α2+β2＝（α+β）2﹣2α?β＝[﹣2（m﹣1）]2﹣2（m2﹣m）＝12，即m2﹣3m﹣4＝0，
解得：m＝﹣1或m＝4（舍去）．
故选：A．
8．解：∵直线y＝x+a不经过第二象限，
∴a≤0，
当a＝0时，关于x的方程ax2+2x+1＝0是一次方程，解为x＝﹣，
当a＜0时，关于x的方程ax2+2x+1＝0是二次方程，
∵△＝22﹣4a＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：D．
9．解：设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x，
由题意得：5000（1+x）2＝7500，
故选：C．
10．解：假设周瑜去世时年龄的十位数字是x，则可列方程为10x+（x+3）＝（x+3）2，
故选：C．
二．填空题（共6小题）
11．解：由原方程，得
2x2＝8，
∴x2＝4，
直接开平方，得
x＝±2．
故答案为：±2．
12．解：∵（x﹣1）2﹣3＝x2﹣2x﹣2，
∴x2﹣2x+a＝x2﹣2x﹣2，
∴a＝﹣2．
故答案为：﹣2．
13．解：设每次降价的百分率为x，
依题意，得：200（1﹣x）﹣200（1﹣x）2＝32，
整理，得：25x2﹣25x+4＝0，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝0.8＝80%．
当x＝20%时，200（1﹣x）2＝128＞110，符合题意；
当x＝80%时，200（1﹣x）2＝8＜110，不符合题意，舍去．
故答案为：20%．
14．解：设方程的两根分别为t，t+2，
根据题意得t+t+2＝4m，t（t+2）＝3m2，
把t＝2m﹣1代入t（t+2）＝3m2得（2m﹣1）（2m+1）＝3m2，
整理得m2﹣1＝0，解得m＝1或m＝﹣1（舍去），
所以m的值为1．
故答案为1．
15．解：∵一元二次方程x2+2x﹣8＝0的两根为x1、x2，
∴x1+x2＝﹣2，x1?x2＝﹣8，
∴+2x1x2+
＝2x1x2+
＝2×（﹣8）+
＝﹣16+
＝﹣，
故答案为：﹣．
16．解：如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∵x2﹣9x+20＝0，
因式分解得：（x﹣4）（x﹣5）＝0，
解得：x＝4或x＝5，
分两种情况：
①当AB＝AD＝4时，4+4＝8，不能构成三角形；
②当AB＝AD＝5时，5+5＞8，
∴菱形ABCD的周长＝4AB＝20．
故答案为：20．
三．解答题（共4小题）
17．解：（1）方程x2﹣8x+15＝0，
分解因式得：（x﹣3）（x﹣5）＝0，
可得x﹣3＝0或x﹣5＝0，
解得：x1＝3，x2＝5；
（2）去分母得：2x2+2﹣6x+9＝12，
整理得：2x2﹣6x﹣1＝0，
这里a＝2，b＝﹣6，c＝﹣1，
∵△＝36+8＝44，
∴x＝＝，
解得：x1＝，x2＝．
18．（1）证明：x2+mx﹣3＝0，
∵a＝1，b＝m，c＝﹣3
∴△＝b2﹣4ac＝m2﹣4×1×（﹣3）＝m2+12，
∵m2≥0，
∴m2+12＞0，
∴△＞0，
∴无论m为何值，该方程都有两个不相等的实数根；
（2）设方程的另一个根为x1，
则
2?x1＝＝＝﹣3，
∴x1＝﹣
∴方程的另一个根为﹣．
19．解：设垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为（28﹣2x）米，
依题意，得：x（28﹣2x）＝80，
整理，得：x1＝4，x2＝10．
当x＝4时，28﹣2x＝20＞12，不符合题意，舍去；
当x＝10时，28﹣2x＝8，符合题意．
答：这个花圃的长为10米，宽为8米．
20．解：（1）设每轮传染中平均一个人传染了x人，
依题意，得：1+x+x（1+x）＝144，
解得：x1＝11，x2＝﹣13（不合题意，舍去）．
答：每轮传染中平均一个人传染了11人．
（2）设小玲应该将售价定为y元，则每天可以卖出（80+10×）斤，
依题意，得：（y﹣4）（80+10×）＝100，
整理，得：y2﹣14y+45＝0，
解得：y1＝5，y2＝9（不合题意，舍去）．
答：小玲应该将售价定为5元．

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