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(共28张PPT)
小专题二　共点力作用下的平衡问题
一、静态平衡
处理静态平衡问题的常用方法
方法
内容
合成法
物体受三个共点力的作用而平衡,则任意两个力的合力一定与第三个力等大、反向
效果分解法
物体受三个共点力的作用而平衡,将某一个力按力的效果分解,则其分力和其他两个力满足平衡条件
正交分解法
物体受到三个或三个以上力的作用时,将物体所受的力分解为相互垂直的两组,每组力都满足平衡条件
[典例1]
壁虎在竖直玻璃面上斜向上匀速爬行,关于它在此平面内的受力分析,下列图示中正确的是(　　)
解析:壁虎在竖直玻璃面上斜向上匀速爬行,故受到的玻璃面对壁虎的力与重力平衡,选A。
答案:A
二、动态平衡
1.动态平衡:是指平衡问题中的一部分力是变力,是动态力,力的大小和方向均要发生变化,所以叫动态平衡,这是力平衡问题中的一类难题。
2.基本思路:化“动”为“静”,“静”中求“动”。
3.基本方法:图解法和解析法。
[典例2]
(多选)如图,一粗糙斜面固定在地面上,斜面顶端装有一光滑定滑轮。一细绳跨过滑轮,其一端悬挂物块N,另一端与斜面上的物块M相连,系统处于静止状态.现用水平向左的拉力缓慢拉动N,直至悬挂N的细绳与竖直方向成45°。已知M始终保持静止,则在此过程中(　　)
A.水平拉力的大小可能保持不变
B.M所受细绳的拉力大小一定一直增加
C.M所受斜面的摩擦力大小一定一直增加
D.M所受斜面的摩擦力大小可能先减小后增加
解析:以物块N为研究对象,受力分析如图甲所示,它在水平向左的拉力F作用下,缓慢向左移动直至细绳与竖直方向夹角为45°的过程中,水平拉力F逐渐增大,细绳拉力FT逐渐增大,故A错误,B正确;
对物块M受力分析如图乙所示,若起初M受到的摩擦力Ff沿斜面向下,则随着细绳拉力FT的增加,摩擦力Ff也逐渐增加;若起初物块M受到的摩擦力Ff沿斜面向上,则随着细绳拉力FT的增加,摩擦力Ff可能先减小后反向增加,故C错误,D正确。
答案:BD
要点总结
解决动态平衡问题的基本步骤
(1)解析法:①列平衡方程求出未知量与已知量的关系表达式。
②根据已知量的变化情况来确定未知量的变化情况。
(2)图解法:①根据已知量的变化情况,画出平行四边形边、角的变化。
②确定未知量大小、方向的变化。
三、整体法与隔离法
当分析相互作用的两个或两个以上物体整体的受力情况及分析外力对系统的作用时,宜用整体法;而在分析系统内各物体(或一个物体各部分)间的相互作用时常用隔离法。整体法和隔离法不是独立的,对一些较复杂问题,通常需要多次选取研究对象,交替使用整体法和隔离法。
[典例3]
(多选)一铁架台放于水平地面上,其上有一轻质细线悬挂一小球,开始时细线竖直,现将水平力F作用于小球上,使其缓慢地由实线位置运动到虚线位置,铁架台始终保持静止,则在这一过程中(　　)
A.细线拉力逐渐增大
B.铁架台对地面的压力逐渐增大
C.铁架台对地面的压力逐渐减小
D.铁架台所受地面的摩擦力逐渐增大
答案:AD
特别提醒
当物理情景中涉及物体较多时,就要考虑采用整体法和隔离法。
四、平衡中的临界和极值问题
1.临界问题
当某物理量变化时,会引起其他几个物理量的变化,从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”,在问题的描述中常用“刚好”“刚能”“恰好”等语言叙述。常见的临界状态有:
(1)两接触物体脱离与不脱离的临界条件是相互作用力为0(主要体现为两物体间的弹力为0)。
(2)绳子断与不断的临界条件为绳中张力达到最大值;绳子绷紧与松弛的临界条件为绳中张力为0。
(3)存在摩擦力作用的两物体间发生相对滑动或相对静止的临界条件为静摩擦力达到最大。
2.极值问题
平衡物体的极值,一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题,一般用图解法或解析法进行分析。
[典例4]
拖把是由拖杆和拖把头构成的擦地工具(如图)。设拖把头的质量为m,拖杆质量可忽略;拖把头与地板之间的动摩擦因数为常数μ,重力加速度为g。某同学用该拖把在水平地板上拖地时,沿拖杆方向推拖把,拖杆与竖直方向的夹角为θ。
(1)若拖把头在地板上匀速移动,求推拖把的力的大小;
答案:见解析
(2)设能使该拖把在地板上从静止刚好开始运动的水平推力与此时地板对拖把的正压力的比值为λ。已知存在一临界角θ0,若θ≤θ0,则不管沿拖杆方向的推力多大,都不可能使拖把从静止开始运动。求这一临界角的正切值tan
θ0。
这里θ0是题中所定义的临界角,即当θ≤θ0时,不管沿拖杆方向用多大的力都推不动拖把。
临界角的正切值为tan
θ0=λ。
答案:见解析
特别提醒
处理平衡问题中的临界问题和极值问题,首先要正确进行受力分析,弄清临界条件,然后列出平衡方程。对于极值问题,要善于选择物理方法和数学方法,做到数理的巧妙结合。对于不能确定的状态,可以采用假设推理法,即先假设为某状态,然后根据平衡条件及有关知识列方程求解。
[典例5]
如图所示,用轻滑轮悬挂重为G的物体。轻绳总长为L,绳能承受的最大拉力是2G,现将轻绳一端固定,另一端缓慢向右移动距离d而使绳不断,则d的最大值为(　　)
答案:D
课堂训练
1.(动态平衡)如图,光滑的四分之一圆弧轨道AB固定在竖直平面内,A端与水平面相切。穿在轨道上的小球在拉力F作用下,缓慢地由A向B运动,F始终沿轨道的切线方向,轨道对球的弹力为FN。在运动过程中(　
　)
A.F增大,FN减小
B.F减小,FN减小
C.F增大,FN增大
D.F减小,FN增大
A
解析:小球受到重力G、沿切线方向的拉力F和轨道对球的弹力FN,且拉力F始终垂直于弹力FN,如图。当小球在拉力F作用下缓慢地由A向B运动时,三力的合力为0,则有F=Gcos
θ,
FN=Gsin
θ,故θ逐渐减小时,F增大,FN减小,A正确。
2.(整体法、隔离法)(2019·浙江4月选考)如图所示,一根粗糙的水平横杆上套有A,B两个轻环,系在两环上的等长细绳拴住的书本处于静止状态。现将两环距离变小后书本仍处于静止状态,则(　
　)
A.杆对A环的支持力变大
B.B环对杆的摩擦力变小
C.杆对A环的力不变
D.与B环相连的细绳对书本的拉力变大
B
3.(临界和极值问题)如图所示,一个底面粗糙、质量为m的斜面体静止在水平地面上,斜面体斜面是光滑的,倾角为30°。现用一端固定的轻绳系一质量为m的小球,小球静止时轻绳与斜面的夹角是30°。(重力加速度为g)
(1)求当斜面体静止时绳的拉力大小;
(2)若地面对斜面体的最大静摩擦力等于地面对斜面体支持力的k倍,为了使整个系统始终处于静止状态,k值必须满足什么条件?
解析:(2)对斜面体进行受力分析,设小球对斜面体的压力为FN′,地面的支持力为F,地面的静摩擦力为Ff,由正交分解和平衡条件可知,
在竖直方向上:
F=mg+FN′cos
30°
在水平方向上:
Ff=FN′sin
30°小专题二　共点力作用下的平衡问题
1.如图所示,有一只重为G的蜻蜓在空中沿虚线方向匀速直线飞行,在此过程中,蜻蜓受到空气对它的作用力的方向是(　A　)
A.a方向
B.b方向
C.c方向
D.d方向
解析:蜻蜓做匀速直线运动,受重力和空气的作用力而平衡,故空气对蜻蜓的作用力竖直向上,即沿a方向,故选A。
2.如图所示,重物挂在弹性很好的橡皮筋的中点,在橡皮筋的两点S,P相互缓慢靠近的过程中,其长度(　C　)
A.先增加后缩短
B.逐渐增加
C.逐渐缩短
D.保持不变
解析:两条橡皮筋拉力的合力与重物的重力平衡,设它们的夹角为2θ,则橡皮筋的拉力F满足2Fcos
θ=mg,当θ减小时,cos
θ增大,F减小,橡皮筋的长度缩短,C正确。
3.物块在轻绳的拉动下沿倾角为30°的固定斜面向上匀速运动,轻绳与斜面平行。已知物块与斜面之间的动摩擦因数为,重力加速度取10
m/s2。若轻绳能承受的最大张力为1
500
N,则物块的质量最大为(　A　)
A.150
kg
B.100
kg
C.200
kg
D.200
kg
解析:对物块受力分析,如图所示。FT=Ff+mgsin
θ,FN=mgcos
θ,又Ff=μFN,代入数据解得m=150
kg,故A正确。
4.四个半径为r的匀质球在光滑的水平面上堆成锥形,如图所示。下面的三个球A,B,C用绳缚住,绳与三个球心在同一水平面内,D球放在三球上方处于静止状态。如果四个球的质量均为m,则D球对A,B,C三球的压力均为(　D　)
A.mg
B.mg
C.mg
D.mg
解析:
如图所示,A,B,C,D分别为四个球的球心,θ为BD连线与竖直方向间的夹角,根据几何关系有sin
θ=,cos
θ=,对D球,由平衡条件得3Fcos
θ=mg,其中F为A,B,C三球对D球的支持力大小,可得F=mg,由牛顿第三定律可知D球对A,B,C三球的压力均为mg,选项D正确。
5.如图所示,表面光滑,质量不计的尖劈顶角为α,插在缝A,B之间,在尖劈背上加一压力F,则尖劈对A侧和B侧的压力大小分别为(　C　)
A.Fsin
α和Ftan
α
B.Fcos
α和
C.和
D.和Ftan
α
解析:根据压力的作用效果,将力F分解为水平压B侧的力F1和斜向下压A侧的力F2,如图,可得F1=,F2=,选项C正确。
6.如图所示,与水平面夹角为30°的固定斜面上有一质量m=1.0
kg的物体。细绳的一端与物体相连,另一端经摩擦不计的定滑轮与固定的弹簧测力计相连.物体静止在斜面上,弹簧测力计的示数为4.9
N.关于物体受力的判断,下列说法正确的是(　A　)
A.斜面对物体的摩擦力大小为零
B.斜面对物体的摩擦力大小为4.9
N,方向沿斜面向上
C.斜面对物体的支持力大小为4.9
N,方向竖直向上
D.斜面对物体的支持力大小为4.9
N,方向垂直斜面向上
解析:物体重力在斜面方向上的分力Gx=mgsin
30°=4.9
N,由此可推断Ff=0,故A正确,B错误;物体重力在垂直斜面上的分力Gy=
mgcos
30°=4.9
N,方向垂直斜面向下,则斜面对物体的支持力大小为4.9
N,方向垂直斜面向上,故C,D均错误。
7.一串小灯笼(五只)彼此用轻绳连接,并悬挂在空中。在稳定水平风力作用下发生倾斜,悬绳与竖直方向的夹角为30°,如图所示。设每个小灯笼的质量均为m。则自上往下第二只灯笼对第三只灯笼的拉力大小为(　A　)
A.2mg
B.mg
C.mg
D.8mg
解析:以下面三只小灯笼为整体进行研究,则由平衡条件可知,自上往下第二只灯笼对第三只灯笼的拉力大小为F23==2mg。
8.如图所示吊床用绳子拴在两棵树上等高位置。某人先坐在吊床上,后躺在吊床上,均处于静止状态。设吊床两端系绳的拉力为F1、吊床对该人的作用力为F2,则(　A　)
A.坐着比躺着时F1大
B.躺着比坐着时F1大
C.坐着比躺着时F2大
D.躺着比坐着时F2大
解析:人坐在吊床上时,可把人视为一个质点挂在吊床中间;人躺在吊床上时,可把人视为一根等于人身高的杆;显然,人坐在吊床上时,吊床两端系绳的拉力夹角较大,根据力合成的平行四边形定则,坐着比躺着时F1大,选项A正确,B错误;坐在吊床上或躺在吊床上,处于静止状态时,吊床对该人的作用力都等于重力,选项C,D错误。
9.在如图所示的甲、乙、丙、丁四幅图中,滑轮本身的重力忽略不计,滑轮的轴O安装在一根轻木杆P上,一根轻绳ab绕过滑轮,a端固定在墙上,b端下面都挂一个质量为m的重物,当滑轮和重物都静止不动时,图甲、丙、丁中杆P与竖直方向的夹角均为θ,图乙中杆P在竖直方向上,假设四幅图中滑轮受到木杆弹力的大小依次为F1,F2,F3,F4,则以下判断中正确的是(　B　)
A.F1=F2=F3=F4
B.F4>F1=F2>F3
C.F1=F3=F4>F2
D.F3>F1=F2>F4
解析:设滑轮两边细绳的夹角为φ,对重物进行受力分析,可得绳子拉力等于重物的重力mg,滑轮受到木杆的弹力F等于细绳拉力的合力,即F=2mgcos
,由夹角关系可得F4>F1=F2>F3,选项B正确。
10.如图所示,AO,BO,CO三根轻绳系于同一点O,A,B固定在水平天花板上,C处挂一质量为m的物体,AO与水平方向成30°角,BO与竖直方向成30°角。若轻绳AO,BO,CO对O点的拉力分别为FTA,FTB,FTC,则(　D　)
A.FTA的大小为mg
B.FTB的大小为mg
C.FTA,FTB在水平方向的分力大小不相等
D.FTA,FTB在竖直方向的分力大小不相等
解析:根据力的平行四边形定则可得,轻绳AO,BO对O点的拉力分别为FTA=mg,FTB=mg,选项A,B错误;根据平衡条件,O点处水平合力为0,则FTA,FTB在水平方向的分力大小相等,方向相反,C错误;由FTA=mg,FTB=mg得,FTA,FTB在竖直方向的分力大小不相等,选项D正确。
11.如图所示,质量为M的楔形物块静置在水平地面上,其斜面的倾角为θ。斜面上有一质量为m的小物块,小物块与斜面之间存在摩擦。用恒力F沿斜面向上拉小物块,使之匀速上滑。在小物块运动的过程中,楔形物块始终保持静止。则地面对楔形物块的支持力的大小为(　D　)
A.(M+m)g
B.(M+m)g-F
C.(M+m)g+Fsin
θ
D.(M+m)g-Fsin
θ
解析:匀速沿斜面上滑的小物块和楔形物块都处于平衡状态,可将二者看做一个处于平衡状态的整体,由竖直方向受力平衡可得(M+m)g=FN+Fsin
θ,解得FN=(M+m)g-Fsin
θ,故选D。
12.如图所示,一根长为L的细绳一端固定在O点,另一端悬挂质量为m的小球A,为使细绳与竖直方向成30°角时小球A处于静止状态,则对小球施加的力最小为(　C　)
A.mg
B.mg
C.mg
D.mg
解析:将重力按效果分解,细绳施加的最小力与F1等大反向即可使小球静止,故Fmin=F1=mgsin
30°=mg,选项C正确。
13.半圆柱体P放在粗糙的水平地面上,其右端有固定放置的竖直挡板MN。在P和MN之间放有一个光滑的匀质小圆柱体Q,整个装置处于静止。如图所示是这个装置的纵截面图。若用外力使MN保持竖直,缓慢地向右移动,在Q落到地面以前,发现P始终保持静止。在此过程中,下列说法中正确的是(　B　)
A.MN对Q的弹力逐渐减小
B.地面对P的摩擦力逐渐增大
C.P,Q间的弹力先减小后增大
D.Q所受的合力逐渐增大
解析:取Q为研究对象,Q受到重力mg,挡板MN的弹力FMN,P的弹力FP三个力的作用,若MN缓慢向右移动,则FMN方向不变,FP与竖直方向夹角增大,动态变化情况如图所示,可以判断FMN,FP都增大,选项A,C错误。由于Q受力平衡,合力始终为零,选项D错误。取P,Q整体为研究对象,地面对P的摩擦力应与FMN平衡,所以地面对P的摩擦力逐渐增大,选项B正确。
14.如图所示,将小铁球用两根长度相等的细绳悬挂在水平板下,磁铁放置在靠近铁球的右下方,铁球静止,则(　A　)
A.铁球可能受3个力
B.磁铁可能受3个力
C.两根细绳的拉力大小相等
D.两根细绳的合力方向竖直向上
解析:当铁球所受重力、磁铁对其吸引力和左侧细绳的拉力三个力的合力为0时,右侧细绳的拉力为0,故选项A正确,C错误;磁铁受重力、支持力、铁球的吸引力、静摩擦力4个力作用,故选项B错误;两绳的合力方向与重力和磁铁的吸引力的合力等大、反向,故选项D错误。
15.(多选)如图所示,光滑轻滑轮通过支架固定在天花板上,一足够长的细绳跨过滑轮,一端悬挂小球b,另一端与套在水平细杆上的小球a连接.小球a在水平拉力F作用下从图示虚线位置开始缓慢向右移动。已知小球a和小球b的质量分别是m和2m,重力加速度大小为g,小球a与细杆间的动摩擦因数为。则下列说法正确的是(　AC　)
A.当细绳与细杆的夹角为60°时,拉力F的大小为(2-)mg
B.支架对轻滑轮的作用力大小逐渐增大
C.拉力F的大小一直增大
D.拉力F的大小先减小后增大
解析:
由于小球a缓慢向右移动,所以小球a与小球b均处于平衡状态。设细绳与细杆的夹角为θ,当θ=30°时,细绳的拉力在竖直方向的分力等于小球a的重力,细杆对小球a的弹力为零;当θ>30°时,细绳的拉力在竖直方向的分力大于小球a的重力,所以细杆对小球a的弹力方向竖直向下;当θ<30°时,细绳的拉力在竖直方向的分力小于小球a的重力,细杆对小球a的弹力方向竖直向上。当θ=60°时,对小球a受力分析如图所示,有F=Ff+FTcos
θ,FTsin
θ=mg+FN,Ff=μFN,对小球b有FT=2mg,解得F=(2-)mg,故A正确;随着小球a向右移动,两段细绳的夹角越来越大,由于细绳的张力大小始终不变,所以轻滑轮所受细绳的合力将减小,则支架对轻滑轮的作用力也减小,故B错误;当细杆对小球a的弹力方向竖直向下时,即θ>30°时,拉力F=μ(2mgsin
θ-mg)+2mgcos
θ=2mgsin(θ+φ)-μmg(其中tan
φ==,φ=60°),θ+φ>,此时随着θ减小,F增大;当细杆对小球a的弹力方向竖直向上时,即θ<30°时,拉力F=μ(mg-2mgsin
θ)+2mgcos
θ=μmg+2mgsin(φ-θ),0<φ-θ<,此时随着θ减小,F增大,故C正确,D错误。
16.(多选)如图所示,将一根不可伸长、柔软的轻绳两端分别系于A,B两点上,一物体用动滑轮悬挂在绳子上,达到平衡时,两段绳子间的夹角为θ1,绳子张力为F1;将绳子一端由B点移动到C点,待整个系统达到平衡时,两段绳子间的夹角为θ2,绳子张力为F2;再将绳子一端由C点移至D点,待整个系统达到平衡时,两段绳子间的夹角为θ3,绳子的张力为F3。不计绳与滑轮间的摩擦,则(　BD　)
A.θ1=θ2=θ3
B.θ1=θ2<θ3
C.F1>F2>F3
D.F1=F2解析:滑轮和绳上都无摩擦,根据“活结”特点可知,两边绳子的张力相等,故两绳与竖直方向的夹角相等,且由B到C过程中夹角保持不变,可知绳子的张力不变,由C到D过程中夹角会增大,可知绳子的张力变大,故B,D选项正确。
17.滑板运动是一项非常刺激的水上运动,研究表明,在进行滑板运动时,水对滑板的作用力Fx垂直于板面,大小为kv2,其中v为滑板速率(水可视为静止)。某次运动中,在水平牵引力作用下,当滑板和水面的夹角θ=37°时(如图),滑板做匀速直线运动,相应的k=54
kg/m,人和滑板的总质量为108
kg,试求:(重力加速度g取10
m/s2,sin
37°=0.6,忽略空气阻力)
(1)水平牵引力的大小;
(2)滑板的速率;
(3)水平牵引力的功率。
解析:(1)以滑板和运动员整体为研究对象,其受力如图所示。
由共点力平衡条件可得FNcos
θ=mg
FNsin
θ=F
两式联立,得F=810
N。
(2)FN=,FN=kv2,得v==5
m/s。
(3)水平牵引力的功率P=Fv=4
050
W。
答案:(1)810
N　(2)5
m/s　(3)4
050
W
18.中国“雪龙”号北极科学考察船不仅采用特殊的材料,而且船体的结构也应满足一定的条件,以对付北极地区的冰块与冰层,它是靠本身的重力压碎周围的冰块,同时又将碎冰挤向船底。如果碎冰块仍挤在冰层与船体之间,船体由于受巨大的侧压力而可能解体,如图所示,为此,船体与铅垂面之间必须有一倾角θ。设船体与冰块间的动摩擦因数为μ,试问使压碎的冰块能被挤向船底,θ角的正切值应满足什么条件?
解析:选取碎冰块作为研究对象,其所受作用力分别为:船壁对它的垂直于船壁向外的弹力FN,冰面对它的水平方向的挤压力F,船壁与碎冰块之间的摩擦力Ff,要使冰块向船底运动,摩擦力的方向必须沿船壁向上。此外,碎冰块还受到自身重力与水对它的浮力作用,由于这两个力的合力与前面分析的三个力相比很小,为研究问题方便,予以略去不计,故冰块的受力如图所示。
设碎冰块恰能被挤向船底,将冰块所受到的力分解到沿船壁方向与垂直于船壁方向,由物体的平衡条件得
Fcos
θ-FN=0,Fsin
θ-Ff=0,
又Ff=μFN,即得tan
θ=μ,
故θ角的正切值必须满足tan
θ>μ。
答案:tan
θ>μ
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-小专题二　共点力作用下的平衡问题
一、静态平衡
处理静态平衡问题的常用方法
方法
内容
合成法
物体受三个共点力的作用而平衡,则任意两个力的合力一定与第三个力等大、反向
效果分解法
物体受三个共点力的作用而平衡,将某一个力按力的效果分解,则其分力和其他两个力满足平衡条件
正交分解法
物体受到三个或三个以上力的作用时,将物体所受的力分解为相互垂直的两组,每组力都满足平衡条件
[典例1]
壁虎在竖直玻璃面上斜向上匀速爬行,关于它在此平面内的受力分析,下列图示中正确的是(　　)
解析:壁虎在竖直玻璃面上斜向上匀速爬行,故受到的玻璃面对壁虎的力与重力平衡,选A。
答案:A
二、动态平衡
1.动态平衡:是指平衡问题中的一部分力是变力,是动态力,力的大小和方向均要发生变化,所以叫动态平衡,这是力平衡问题中的一类难题。
2.基本思路:化“动”为“静”,“静”中求“动”。
3.基本方法:图解法和解析法。
[典例2]
(多选)如图,一粗糙斜面固定在地面上,斜面顶端装有一光滑定滑轮。一细绳跨过滑轮,其一端悬挂物块N,另一端与斜面上的物块M相连,系统处于静止状态.现用水平向左的拉力缓慢拉动N,直至悬挂N的细绳与竖直方向成45°。已知M始终保持静止,则在此过程中(　　)
A.水平拉力的大小可能保持不变
B.M所受细绳的拉力大小一定一直增加
C.M所受斜面的摩擦力大小一定一直增加
D.M所受斜面的摩擦力大小可能先减小后增加
解析:以物块N为研究对象,受力分析如图甲所示,它在水平向左的拉力F作用下,缓慢向左移动直至细绳与竖直方向夹角为45°的过程中,水平拉力F逐渐增大,细绳拉力FT逐渐增大,故A错误,B正确;
对物块M受力分析如图乙所示,若起初M受到的摩擦力Ff沿斜面向下,则随着细绳拉力FT的增加,摩擦力Ff也逐渐增加;若起初物块M受到的摩擦力Ff沿斜面向上,则随着细绳拉力FT的增加,摩擦力Ff可能先减小后反向增加,故C错误,D
正确。
答案:BD
解决动态平衡问题的基本步骤
(1)解析法:①列平衡方程求出未知量与已知量的关系表达式。
②根据已知量的变化情况来确定未知量的变化情况。
(2)图解法:①根据已知量的变化情况,画出平行四边形边、角的变化。
②确定未知量大小、方向的变化。
三、整体法与隔离法
当分析相互作用的两个或两个以上物体整体的受力情况及分析外力对系统的作用时,宜用整体法;而在分析系统内各物体(或一个物体各部分)间的相互作用时常用隔离法。整体法和隔离法不是独立的,对一些较复杂问题,通常需要多次选取研究对象,交替使用整体法和隔离法。
[典例3]
(多选)一铁架台放于水平地面上,其上有一轻质细线悬挂一小球,开始时细线竖直,现将水平力F作用于小球上,使其缓慢地由实线位置运动到虚线位置,铁架台始终保持静止,则在这一过程中(　　)
A.细线拉力逐渐增大
B.铁架台对地面的压力逐渐增大
C.铁架台对地面的压力逐渐减小
D.铁架台所受地面的摩擦力逐渐增大
解析:对小球受力分析知其受重力、细线的拉力及水平力(如图甲所示),因为缓慢运动所以小球处于动态平衡状态,有F=mgtan
θ,FT=,θ增大,F,FT都变大,A正确,将小球、细线和铁架台看成一个整体,对其受力分析,如图乙所示,则Ff=F,FN=(M+m)g,当F增大时,Ff增大,FN不变。所以B,C错误,D正确。
答案:AD
当物理情景中涉及物体较多时,就要考虑采用整体法和隔离法。
(1)整体法
同时满足上述两个条件即可采用整体法。
(2)隔离法
物体必须从系统中隔离出来,独立地进行受力分析,列出方程。
四、平衡中的临界和极值问题
1.临界问题
当某物理量变化时,会引起其他几个物理量的变化,从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”,在问题的描述中常用“刚好”“刚能”“恰好”等语言叙述。常见的临界状态有:
(1)两接触物体脱离与不脱离的临界条件是相互作用力为0(主要体现为两物体间的弹力为0)。
(2)绳子断与不断的临界条件为绳中张力达到最大值;绳子绷紧与松弛的临界条件为绳中张力为0。
(3)存在摩擦力作用的两物体间发生相对滑动或相对静止的临界条件为静摩擦力达到最大。
2.极值问题
平衡物体的极值,一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题,一般用图解法或解析法进行分析。
[典例4]
拖把是由拖杆和拖把头构成的擦地工具(如图)。设拖把头的质量为m,拖杆质量可忽略;拖把头与地板之间的动摩擦因数为常数μ,重力加速度为g。某同学用该拖把在水平地板上拖地时,沿拖杆方向推拖把,拖杆与竖直方向的夹角为θ。
(1)若拖把头在地板上匀速移动,求推拖把的力的大小;
(2)设能使该拖把在地板上从静止刚好开始运动的水平推力与此时地板对拖把的正压力的比值为λ。已知存在一临界角θ0,若θ≤θ0,则不管沿拖杆方向的推力多大,都不可能使拖把从静止开始运动。求这一临界角的正切值tan
θ0。
解析:(1)设该同学沿拖杆方向用大小为F的力推拖把。将推拖把的力沿竖直和水平方向分解,根据平衡条件有
Fcos
θ+mg=FN①
Fsin
θ=Ff②
式中FN和Ff分别为地板对拖把的正压力和摩擦力。
又Ff=μFN③
联立①②③式得
F=mg。④
(2)若不管沿拖杆方向用多大的力都不能使拖把从静止开始运动,应有Fsin
θ≤λFN⑤
这时,①式仍满足,联立①⑤式得
sin
θ-λcos
θ≤λ
现考查使上式成立的θ角的取值范围。注意到上式右边总是大于零,且当F无限大时极限为零,有
sin
θ-λcos
θ≤0,
使上式成立的θ角满足θ≤θ0,
这里θ0是题中所定义的临界角,即当θ≤θ0时,不管沿拖杆方向用多大的力都推不动拖把。
临界角的正切值为tan
θ0=λ。
答案:见解析
处理平衡问题中的临界问题和极值问题,首先要正确进行受力分析,弄清临界条件,然后列出平衡方程。对于极值问题,要善于选择物理方法和数学方法,做到数理的巧妙结合。对于不能确定的状态,可以采用假设推理法,即先假设为某状态,然后根据平衡条件及有关知识列方程求解。
[典例5]
如图所示,用轻滑轮悬挂重为G的物体。轻绳总长为L,绳能承受的最大拉力是2G,现将轻绳一端固定,另一端缓慢向右移动距离d而使绳不断,则d的最大值为(　　)
A.
B.L
C.
D.L
解析:以轻绳与滑轮接触处的一小段绳为研究对象,其受到轻滑轮对它的作用力大小等于G,两边的轻绳对它的等大的拉力为FT,设当d达到最大值时两绳张角为2θ,则FT=2G,FTcos
θ=,cos
θ=,解得d=L。
答案:D
1.(动态平衡)如图,光滑的四分之一圆弧轨道AB固定在竖直平面内,A端与水平面相切。穿在轨道上的小球在拉力F作用下,缓慢地由A向B运动,F始终沿轨道的切线方向,轨道对球的弹力为FN。在运动过程中(　A　)
A.F增大,FN减小
B.F减小,FN减小
C.F增大,FN增大
D.F减小,FN增大
解析:小球受到重力G、沿切线方向的拉力F和轨道对球的弹力FN,且拉力F始终垂直于弹力FN,如图。当小球在拉力F作用下缓慢地由A向B运动时,三力的合力为0,则有F=Gcos
θ,
FN=Gsin
θ,故θ逐渐减小时,F增大,FN减小,A正确。
2.(整体法、隔离法)(2019·浙江4月选考)如图所示,一根粗糙的水平横杆上套有A,B两个轻环,系在两环上的等长细绳拴住的书本处于静止状态。现将两环距离变小后书本仍处于静止状态,则(　B　)
A.杆对A环的支持力变大
B.B环对杆的摩擦力变小
C.杆对A环的力不变
D.与B环相连的细绳对书本的拉力变大
解析:将A,B两个轻环、绳、书本视为整体,整体受到竖直向下的重力和竖直向上的支持力作用,两个支持力大小之和等于重力,FN=mg,大小保持不变,A错误;假设细绳与竖直方向的夹角为θ,对B环进行受力分析Ff=FNtan
θ=mgtan
θ,两环距离变小,tan
θ减小,Ff变小,B正确;对A环受力分析与B环类似,杆对环的力为支持力FN和摩擦力Ff的合力,即细绳对A环的拉力FT=,当θ发生变化时,FT发生变化,C错误;对书本进行受力分析,FTcos
θ=mg,两环距离变小,cos
θ变大,细绳上的拉力变小,D错误。
3.(临界和极值问题)如图所示,一个底面粗糙、质量为m的斜面体静止在水平地面上,斜面体斜面是光滑的,倾角为30°。现用一端固定的轻绳系一质量为m的小球,小球静止时轻绳与斜面的夹角是30°。(重力加速度为g)
(1)求当斜面体静止时绳的拉力大小;
(2)若地面对斜面体的最大静摩擦力等于地面对斜面体支持力的k倍,为了使整个系统始终处于静止状态,k值必须满足什么条件?
解析:(1)设绳的拉力为FT,斜面体支持力为FN,对小球进行受力分析如图所示,由平衡条件可知,FT和FN的合力竖直向上,大小等于mg,由几何关系可得出FN=FT=
mg。
(2)对斜面体进行受力分析,设小球对斜面体的压力为FN′,地面的支持力为F,地面的静摩擦力为Ff,由正交分解和平衡条件可知,
在竖直方向上:
F=mg+FN′cos
30°
在水平方向上:
Ff=FN′sin
30°
根据(1)和牛顿第三定律可知,
FN′=FN=FT=mg
又由题设可知Ffmax=kF≥Ff
综合上述解得k≥。
答案:(1)mg　(2)k≥
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