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小专题六　电磁感应中的“杆+导轨”模型
1.模型分类
“杆+导轨”模型分为“单杆”型和“双杆”型;导轨放置方式可分为水平、竖直和倾斜三种;杆的运动状态可分为匀速运动、匀变速运动、非匀变速运动或转动等;磁场的状态可分为恒定不变、均匀变化和非均匀变化等。情景复杂,形式多变。
2.分析方法
通过受力分析,确定运动状态,一般会有收尾状态。对于收尾状态则有恒定的速度或者加速度等,再结合运动学规律、牛顿运动定律和能量观点分析求解。
[典例1]
如图,两条平行导轨所在平面与水平地面的夹角为θ,两导轨间距为L。导轨上端接有一平行板电容器,电容为C。导轨处于匀强磁场中,磁感应强度大小为B,方向垂直于导轨平面。在导轨上放置一质量为m的金属棒,棒可沿导轨下滑,且在下滑过程中始终保持与导轨垂直并良好接触。已知金属棒与导轨之间的动摩擦因数为μ,重力加速度大小为g。忽略所有电阻。让金属棒从导轨上端由静止开始下滑。求:
(1)电容器极板上积累的电荷量与金属棒速度大小的关系;
答案:(1)Q=CBLv
(2)金属棒的速度大小随时间变化的关系。
变式1:如图所示,两平行导轨间距L=0.1
m,足够长光滑的倾斜部分和粗糙的水平部分圆滑连接,倾斜部分与水平面的夹角θ=30°,垂直斜面向上的磁场的磁感应强度B=0.5
T,水平部分没有磁场。金属棒ab质量m=0.005
kg,电阻r=0.02
Ω,运动中与导轨良好接触,并且垂直于导轨,电阻R=0.08
Ω,其余电阻不计,当金属棒从斜面上离地高h=1.0
m以上任何地方由静止释放后,在水平面上滑行的最大距离x都是1.25
m。(取g=10
m/s2)求:
(1)棒在斜面上的最大速度。
答案:(1)1
m/s
(2)水平面的动摩擦因数。
解析:(2)在水平面上运动时,金属棒所受滑动摩擦力
Ff=μmg
金属棒在摩擦力作用下做匀减速运动,有
Ff=ma
v2=2ax
解得μ=0.04。
答案:(2)0.04
(3)从高度h=1.0
m处滑下后电阻R上产生的热量。
答案:(3)3.8×10-2
J
[典例2]
间距为L=2
m的足够长的金属直角导轨如图甲所示放置,它们各有一边在同一水平面内,另一边垂直于水平面。质量均为m=0.1
kg的金属细杆ab,cd与导轨垂直放置形成闭合回路。杆与导轨之间的动摩擦因数均为μ=0.5,导轨的电阻不计,细杆ab,cd的电阻分别为R1=0.6
Ω,R2=0.4
Ω。整个装置处于磁感应强度大小为B=0.50
T、方向竖直向上的匀强磁场中(图中未画出)。当ab在平行于水平导轨的拉力F作用下从静止开始沿导轨匀加速运动时,cd杆也同时从静止开始沿导轨向下运动。测得拉力F与时间t的关系如图乙所示。g=10
m/s2。
(1)求ab杆的加速度大小;
(2)求当cd杆达到最大速度时ab杆的速度大小;
解析:(1)由题图乙可知,在t=0时,F=1.5
N
对ab杆进行受力分析,由牛顿第二定律得F-μmg=ma
代入数据解得a=10
m/s2。
答案:(1)10
m/s2　(2)2
m/s
答案:(3)0.12
J
(3)若从开始到cd杆达到最大速度的过程中拉力F做了0.5
J的功,求该过程中ab杆所产生的焦耳热。
分析“双杆模型”问题时,要注意双杆之间的制约关系,即“动”杆与“被动”杆之间的关系,需要注意的是,最终两杆的收尾状态的确定是分析该类问题的关键。
规律总结
变式2:如图所示,水平放置的平行光滑导轨固定在水平桌面上,宽度为L,处在磁感应强度为B、竖直向下的匀强磁场中。桌面离地面的高度为H。初始时刻,质量为m的杆ab与导轨垂直且处于静止,距离导轨边缘为d。质量同为m的杆cd与导轨垂直,以初速度v0进入磁场区域。最终发现两杆先后落在地面上。已知两杆的电阻均为R,导轨电阻不计,两杆落地点之间的距离为s。求:
(1)ab杆从磁场边缘射出时的速度大小;
(2)ab杆射出时,cd杆运动的距离;
(3)在两根杆相互作用的过程中,回路中产生的焦耳热。
课堂训练
1.(单杆模型)(多选)两根足够长的光滑导轨竖直放置,间距为L,顶端接阻值为R的电阻。质量为m、电阻为r的金属棒在距磁场上边界某处静止释放,金属棒和导轨接触良好,导轨所在平面与磁感应强度为B的匀强磁场垂直,如图所示,不计导轨的电阻,重力加速度为g,则(　
　)
BD
2.(双杆模型)如图所示,两条相互平行的光滑金属导轨,相距l=0.2
m,左侧轨道的倾斜角θ=30°,右侧轨道为圆弧线,轨道端点间接有电阻R=1.5
Ω,轨道中间部分水平,在MP,NQ间有宽度为d=0.8
m、方向竖直向下的匀强磁场,磁感应强度B随时间t变化如图乙所示。一质量为m=10
g、导轨间电阻为r=1.0
Ω的导体棒a从t=0时刻无初速度释放,初始位置与水平轨道间的高度差H=0.8
m。另一与a棒完全相同的导体棒b静置于磁场外的水平轨道上,靠近磁场左边界PM。a棒下滑后平滑进入水平轨道(转角处无机械能损失),并与b棒发生碰撞而粘合在一起,此后作为一个整体运动。导体棒始终与导轨垂直并接触良好,轨道的电阻和电感不计。求:
(1)导体棒进入磁场前,流过R的电流大小;
答案:(1)0.1
A
答案:(2)0.04
N　
(2)导体棒刚进入磁场瞬间受到的安培力大小;
(3)导体棒最终静止的位置离PM的距离;
答案:(3)0.4
m　
(4)全过程电阻R上产生的焦耳热。
答案:(4)0.042
J
3.如图所示,竖直平面内有无限长、不计电阻的两组平行光滑金属导轨,宽度均为L=0.5
m,上方连接一个阻值R=1
Ω的定值电阻,虚线下方的区域内存在磁感应强度B=2
T的匀强磁场。完全相同的两根金属杆1和2靠在导轨上,金属杆与导轨等宽且与导轨接触良好,电阻均为r=0.5
Ω。将金属杆1固定在磁场的上边缘(仍在此磁场内),金属杆2从磁场边界上方h0=0.8
m处由静止释放,进入磁场后恰做匀速运动(g取10
m/s2)。
答案:(1)0.2
kg　
(1)金属杆的质量m为多大?
答案:(2)1.4
J
(2)若金属杆2从磁场边界上方h1=0.2
m处由静止释放,进入磁场经过一段时间后开始匀速运动,此过程中流过电阻R的电荷量q为0.65
C,则在此过程中整个回路产生的电热为多少?
(3)金属杆2仍然从离磁场边界h1=0.2
m处由静止释放,在金属杆2进入磁场的同时由静止释放金属杆1,两金属杆运动了一段时间后均达到稳定状态,试求两根金属杆各自的最大速度。
代入数据得v1+v2=4
m/s
因为两个金属杆任何时刻受力情况都相同,因此任何时刻两者的加速度也都相同,在相同时间内速度的增量也必相同,即v1-0=v2-v
代入数据得v2=v1+2
m/s
联立求得v1=1
m/s,v2=3
m/s。
答案:(3)v1=1
m/s　v2=3
m/s
真题试做
(1)求导体棒所受到的安培力FA随时间t的变化规律;
(2)求在0至0.25T时间内外力F的冲量;
答案:见解析
(3)若t=0时外力F0=1
N,l=1
m,T=2π
s,m=1
kg,R=1Ω,Um=0.5
V,B=0.5
T,求外力与安培力大小相等时棒的位置坐标和速度。
答案:见解析
2.(2016·浙江4月选考,23)某同学设计了一个电磁推动加喷气推动的火箭发射装置,如图所示。竖直固定在绝缘底座上的两根长直光滑导轨,间距为L。导轨间加有垂直导轨平面向里的匀强磁场B。绝缘火箭支撑在导轨间,总质量为m,其中燃料质量为m′,燃料室中的金属棒EF电阻为R,并通过电刷与电阻可忽略的导轨良好接触。
引燃火箭下方的推进剂,迅速推动刚性金属棒CD(电阻可忽略且和导轨接触良好)向上运动,当回路CEFDC面积减少量达到最大值ΔS,用时Δt,此过程激励出强电流,产生电磁推力加速火箭。在Δt时间内,电阻R产生的焦耳热使燃料燃烧形成高温高压气体,当燃烧室下方的可控喷气孔打开后,喷出燃气进一步加速火箭。
(1)求回路在Δt时间内感应电动势的平均值及通过金属棒EF的电荷量,并判断金属棒EF中的感应电流方向;
(2)经Δt时间火箭恰好脱离导轨,求火箭脱离时的速度v0;(不计空气阻力)
(3)火箭脱离导轨时,喷气孔打开,在极短的时间内喷射出质量为m′的燃气,喷出的燃气相对喷气前火箭的速度为u,求喷气后火箭增加的速度Δv。(提示:可选喷气前的火箭为参考系)小专题六　电磁感应中的“杆+导轨”模型
1.(多选)如图所示,两根光滑的平行金属导轨竖直放置在匀强磁场中,磁场和导轨平面垂直,金属杆ab与导轨接触良好可沿导轨滑动,开始时开关S断开,当ab杆由静止下滑一段时间后闭合S,则从S闭合开始计时,ab杆的速度v与时间t的关系图象可能正确的是(　ACD　)
解析:若ab杆速度为v时,S闭合,则ab杆中产生的感应电动势E=BLv,ab杆受到的安培力F=,如果安培力等于ab杆的重力,则ab杆匀速运动,A项正确;如果安培力小于ab杆的重力,则ab杆先加速最后匀速,C项正确;如果安培力大于ab杆的重力,则ab杆先减速最后匀速,D项正确;ab杆不可能做匀加速运动,B项错误。
2.(多选)如图所示,阻值为R的金属棒从图示位置ab分别以v1,v2的速度沿光滑水平导轨(电阻不计)匀速滑到a′b′
位置,若v1∶v2=1∶2,则在这两次过程中(　AC　)
A.回路电流I1∶I2=1∶2
B.产生的热量Q1∶Q2=1∶4
C.通过任一截面的电荷量q1∶q2=1∶1
D.外力的功率P1∶P2=1∶2
解析:两种情况下产生的感应电动势分别为E1=BLv1,E2=BLv2,电阻都为R,回路电流为I1==,I2==,故电流之比为==,A正确;两种情况下所用时间===,故产生热量==,B错误;两种情况下磁通量变化量相同,则通过任一截面的电荷量q=t=Δt=,即q1∶q2=1∶1,C正确;由于金属棒匀速运动,外力的功率等于回路中的电功率,故==,D错误。
3.(多选)如图所示,在空间存在着竖直向下的匀强磁场,磁感应强度为B。一水平放置的长度为L的金属杆ab与圆弧形金属导轨P,Q紧密接触,P,Q之间接有电容为C的电容器。若ab杆绕a点以角速度ω沿逆时针方向匀速转动,则下列说法正确的是(　AC　)
A.电容器与a相连的极板带正电
B.金属杆ab所受的安培力是阻力
C.电容器所带电荷量是CBL2ω
D.金属杆中的电流方向从b流向a
解析:根据右手定则判断可知a端电势高,电容器与a相连的极板带正电;由于电路中没有电流,不受安培力作用,选项A正确,B,D错误;电容器两端的电压等于导体棒ab产生的电动势,电容器所带电荷量是q=CE=CBL2ω,选项C正确。
4.(多选)一空间有垂直纸面向里的匀强磁场B,两条电阻不计的平行光滑导轨竖直放置在磁场内,如图所示,磁感应强度B=0.5
T,导体棒ab,cd长度均为0.2
m,电阻R均为0.1
Ω,重力均为0.1
N,现用力向上拉动导体棒ab,使之匀速上升(导体棒ab,cd与导轨接触良好),此时cd静止不动,则ab上升时,下列说法正确的是(　BC　)
A.ab受到的拉力大小为2
N
B.ab向上运动的速度为2
m/s
C.在2
s内,拉力做功,有0.4
J的机械能转化为电能
D.在2
s内,拉力做功为0.6
J
解析:对导体棒cd,有mg=BIl,而I=,得v==2
m/s,故选项B正确;对导体棒ab,有F=mg+BIl=0.2
N,选项A错误;在2
s内拉力做功转化为ab棒的重力势能和电路中的电能,拉力做功获得的机械能E机=
Fvt=0.8
J,增加的重力势能Ep=mgvt=0.4
J,则转化为的电能E电=E机-Ep=0.4
J,选项C正确,D错误。
5.(多选)如图所示,相距为L的两条足够长的光滑平行金属导轨与水平面的夹角为θ,上端接有定值电阻R,匀强磁场垂直于导轨平面,磁感应强度为B。将质量为m的导体棒由静止释放,当速度达到v时开始匀速运动,此时对导体棒施加一平行于导轨向下的拉力,并保持拉力的功率恒为P,导体棒最终以2v的速度匀速运动。导体棒始终与导轨垂直且接触良好,不计导轨和导体棒的电阻,重力加速度为g。下列选项正确的是(　AC　)
A.P=2mgvsin
θ
B.P=3mgvsin
θ
C.当导体棒速度达到时,加速度大小为sin
θ
D.在速度达到2v以后匀速运动的过程中,R上产生的焦耳热等于拉力所做的功
解析:导体棒由静止释放,速度达到v时,回路中的电流为I,则根据共点力的平衡条件,有mgsin
θ=BIL。对导体棒施加一平行于导轨向下的拉力,以2v的速度匀速运动时,则回路中的电流为2I,则根据平衡条件,有F+mgsin
θ=B·2IL,所以拉力F=mgsin
θ,拉力的功率P=F×2v=2mgvsin
θ,故选项A正确,B错误;当导体棒的速度达到时,回路中的电流为,根据牛顿第二定律,得mgsin
θ-BL
=ma,解得a=sin
θ,选项C正确;当导体棒以2v的速度匀速运动时,根据能量守恒定律,重力和拉力所做的功之和等于R上产生的焦耳热,故选项D错误。
6.如图甲所示,相距L=0.5
m、电阻不计的两根长金属导轨,各有一部分在同一水平面上,另一部分沿竖直面。质量均为m=50
g、电阻均为R=1.0
Ω的金属细杆ab,cd与导轨垂直接触形成闭合回路,杆与导轨之间的动摩擦因数μ=0.5。整个装置处于磁感应强度大小B=1.0
T、方向竖直向上的匀强磁场中。当ab杆在水平拉力F作用下沿导轨向右运动时,从t=0时刻开始释放cd杆,cd杆的vcdt图象如图乙所示(在0～1
s和2～3
s内,图线为直线)。
(1)在0～1
s内,ab杆做什么运动?
(2)在0～1
s内,ab杆的速度为多少?
(3)已知1～2
s内,ab杆做匀加速直线运动,求这段时间内拉力F随时间变化的函数方程。
解析:(1)在0～1
s内,cd杆的vt图线为倾斜直线,因此cd杆做匀变速直线运动,加速度为
a1==4.0
m/s2
因此cd杆受向上的摩擦力作用,如图所示。
由于f=μN=μF安=μBIL且大小恒定
因此回路中的电流一定,由于I=,故回路的E一定;由E=BLv可知,ab杆切割磁感线的速度一定,因此ab杆向右做匀速直线运动。
(2)在0～1
s内,对cd杆在竖直方向上根据牛顿第二定律有mg-f1=ma1
在水平方向上N1-=0,另f1=μN1,
=I1LB,I1=,E1=BLv1
解出ab杆的速度v1=4.8
m/s。
(3)2～3
s内,由题中图象可求出cd杆的加速度
a2=-4
m/s2,
同理可求出ab杆的速度v2=11.2
m/s
在1～2
s内,ab杆做匀加速运动,
加速度为a==6.4
m/s2
对ab杆,根据牛顿第二定律有
F-μmg-BIL=ma
ab杆在t时刻的速度v=v1+a(t-1)
回路中的电流I=
联立可得F=0.8t+0.37(N)。
答案:(1)匀速直线运动　(2)4.8
m/s　
(3)F=0.8t+0.37(N)
7.如图所示,倾角为θ=30°的斜面上有一边长为L、质量为3m、内阻为R的线框abcd通过柔软的细绳与一质量为m的小球相连;斜面上两个宽为L的区域P1Q1Q2P2及P3Q3Q4P4
皆存在有理想边界的匀强磁场,磁感应强度大小皆为B,方向垂直于斜面向上。已知斜面光滑,且无磁场区域的宽度x>L。初始时,线圈abcd的ab边与P1Q1重合,在外力作用下静止在斜面上,撤去外力后线圈沿斜面向下运动,在ab边未过P2Q2前,线框已经开始匀速运动,求:
(1)线框匀速运动的速度;
(2)线框穿过边界P1Q1的时间及这段时间通过线框截面的电荷量;
(3)若线圈穿出区域P3Q3Q4P4前已经做匀速运动,线圈通过两个磁场区域产生的总焦耳热。
解析:(1)线框沿斜面下滑,当做匀速直线运动时,由平衡条件有3mgsin
θ=mg+F安,
线框的ab边切割磁感线,产生感应电动势为E=BLv,
线框中的感应电流为I=,
ab边所受的安培力为F安=BIL,
联立以上式子,可解得v=。
(2)线框ab边在通过区域P1Q1Q2P2的运动过程,由动量定理有
(3mgsin
θ-mg)t-t=mv-0,
其中=BL,==,
则有(3mgsin
θ-mg)t-t=mv-0,
且有
t=L,
解得线框ab通过区域P1Q1Q2P2的时间为
t=+;
在电磁感应过程中,通过线圈的电荷量为
q=Δt=Δt=Δt==。
(3)因x>L,线框ab边进入无磁场区时,先匀速再加速运动,当线圈ab进入区域P3Q3Q4P4后,先做减速运动再做匀速直线运动,直到线框整个离开区域P3Q3Q4P4,由能量守恒可得
mg(3sin
θ-1)(3L+x)=Q+mv2,
由此可得线圈通过两个磁场区域产生的总焦耳热
Q=mg(3L+x)-。
答案:(1)　(2)+　　
(3)mg(3L+x)-。
8.真空管道超高速列车的动力系统是一种将电能直接转换成平动动能的装置。图1是某种动力系统的简化模型,图中粗实线表示固定在水平面上间距为l的两条平行光滑金属导轨,电阻忽略不计,ab和cd是两根与导轨垂直、长度均为l、电阻均为R的金属棒,通过绝缘材料固定在列车底部,并与导轨良好接触,其间距也为l,列车的总质量为m。列车启动前,ab,cd处于磁感应强度为B的匀强磁场中,磁场方向垂直于导轨平面向下,如图1所示,为使列车启动,需在M,N间连接电动势为E的直流电源,电源内阻及导线电阻忽略不计,列车启动后电源自动关闭。
(1)要使列车向右运行,启动时图1中M,N哪个接电源正极,并简要说明理由;
(2)求刚接通电源时列车加速度a的大小;
(3)列车减速时,需在前方设置如图2所示的一系列磁感应强度为B的匀强磁场区域,磁场宽度和相邻磁场间距均大于l。若某时刻列车的速度为v0,此时ab,cd均在无磁场区域,试讨论:要使列车停下来,前方至少需要多少块这样的有界磁场?
解析:(1)列车要向右运动,安培力方向应向右。根据左手定则,接通电源后,金属棒中电流方向由a到b、由c到d,故M接电源正极。
(2)由题意,启动时ab,cd并联,设回路总电阻为R总,由电阻的串并联知识得R总=,
①
设回路总电流为I,根据闭合电路欧姆定律有
I=,
②
设两根金属棒所受安培力之和为F,有F=IlB,
③
根据牛顿第二定律有F=ma,
④
联立①②③④式得,a=。
⑤
(3)设列车减速时,cd进入磁场后经Δt时间ab恰好进入磁场,此过程中穿过两金属棒与导轨所围回路的磁通量的变化为ΔΦ,平均感应电动势为E1,由法拉第电磁感应定律有
E1=,
⑥
其中ΔΦ=Bl2,
⑦
设回路中平均电流为I′,由闭合电路欧姆定律有
I′=,
⑧
设cd受到的平均安培力为F′,有F′=I′lB,
⑨
以向右为正方向,设Δt时间内cd受安培力冲量为I冲,有
I冲=-F′Δt,
⑩
同理可知,回路出磁场时ab受安培力冲量仍为上述值,设回路进出一块有界磁场区域安培力冲量为I0,有
I0=2I冲,
设列车停下来受到的总冲量为I总,由动量定理有
I总=0-mv0,
联立⑥⑦⑧⑨⑩式得=。
讨论:若恰为整数,设其为n,则需设置n块有界磁场;
若不是整数,设的整数部分为N,
则需设置N+1块有界磁场。
答案:(1)见解析　(2)　(3)见解析
9.磁流体发电是一种新型发电方式,图1和图2是其工作原理示意图。图1中的长方体是发电导管,其中空部分的长、高、宽分别为l,a,b,前后两个侧面是绝缘体,上下两个侧面是电阻可略的导体电极,这两个电极与负载电阻RL相连。整个发电导管处于图2中磁场线圈产生的匀强磁场里,磁感应强度为B,方向如图所示。发电导管内有电阻率为ρ的高温、高速电离气体沿导管向右流动,并通过专用管道导出。由于运动的电离气体受到磁场作用,产生了电动势。发电导管内电离气体流速随磁场有无而不同。设发电导管内电离气体流速处处相同,且不存在磁场时电离气体流速为v0,电离气体所受摩擦阻力总与流速成正比,发电导管两端的电离气体压强差Δp维持恒定,求:
(1)不存在磁场时电离气体所受的摩擦阻力F多大;
(2)磁流体发电机的电动势E的大小;
(3)磁流体发电机发电导管的输入功率P。
解析:(1)不存在磁场时,由力的平衡得F=abΔp。
(2)设电离气体流速为v时,
磁流体发电机的电动势E=Bav
导管中电离气体中的电流I=
电离气体受到的安培力
F安=
设F′为存在磁场时电离气体受到的摩擦阻力,
无磁场时摩擦阻力为F,
依题意=
无磁场时有ab·Δp=F
存在磁场时有abΔp=F安+F′
则v=
E=。
(3)磁流体发电机发电导管的输入功率
P=abvΔp=。
答案:(1)abΔp　(2)
(3)
10.用密度为d、电阻率为ρ、横截面积为A的薄金属条制成边长为L的闭合正方形框abb′a′。如图2所示,金属方框水平放在磁极的狭缝间,方框平面与磁场方向平行。设匀强磁场仅存在于相对磁极之间,其他地方的磁场忽略不计。可认为方框的aa′边和bb′边都处在磁极之间,磁场的磁感应强度大小为B。方框从静止开始释放,其平面在下落过程中保持水平(不计空气阻力)。
(1)求方框下落的最大速度vm(设磁场区域在竖直方向足够长);
(2)当方框下落的加速度为时,求方框的发热功率P;
(3)已知方框下落时间为t时,下落高度为h,其速度为vt(vt解析:(1)方框质量m=4LAd,
方框电阻R=ρ,
方框下落速度为v时,产生的感应电动势E=B·2Lv,
感应电流I==,
方框下落过程,受到重力G及安培力F,
G=mg=4LAdg,方向竖直向下,
F=BI·2L=,方向竖直向下,
当F=G时,方框达到最大速度,即v=vm,
则=4LAdg,
方框下落的最大速度vm=。
(2)方框下落加速度为时,
有mg-BI·2L=m,
则I==。
方框的发热功率P=I2R=。
(3)根据能量守恒定律,
有mgh=m+Rt,
解得恒定电流I0的表达式
I0=。
答案:(1)
(2)
(3)
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-小专题六　电磁感应中的“杆+导轨”模型
1.模型分类
“杆+导轨”模型分为“单杆”型和“双杆”型;导轨放置方式可分为水平、竖直和倾斜三种;杆的运动状态可分为匀速运动、匀变速运动、非匀变速运动或转动等;磁场的状态可分为恒定不变、均匀变化和非均匀变化等。情景复杂,形式多变。
2.分析方法
通过受力分析,确定运动状态,一般会有收尾状态。对于收尾状态则有恒定的速度或者加速度等,再结合运动学规律、牛顿运动定律和能量观点分析求解。
[典例1]
如图,两条平行导轨所在平面与水平地面的夹角为θ,两导轨间距为L。导轨上端接有一平行板电容器,电容为C。导轨处于匀强磁场中,磁感应强度大小为B,方向垂直于导轨平面。在导轨上放置一质量为m的金属棒,棒可沿导轨下滑,且在下滑过程中始终保持与导轨垂直并良好接触。已知金属棒与导轨之间的动摩擦因数为μ,重力加速度大小为g。忽略所有电阻。让金属棒从导轨上端由静止开始下滑。求:
(1)电容器极板上积累的电荷量与金属棒速度大小的关系;
(2)金属棒的速度大小随时间变化的关系。
解析:(1)设金属棒下滑的速度大小为v,则感应电动势为
E=BLv①
平行板电容器两极板之间的电势差为
U=E②
设此时电容器极板上积累的电荷量为Q,则
C=③
联立①②③式得
Q=CBLv。④
(2)设金属棒的速度大小为v时经历的时间为t,通过金属棒的电流为i。金属棒受到的磁场的作用力方向沿导轨向上,大小为
f1=BLi⑤
设在时间间隔(t,t+Δt)内流经金属棒的电荷量为ΔQ,按电流的定义有
i=⑥
ΔQ也是平行板电容器两极板在时间间隔(t,t+Δt)内增加的电荷量。
由④式得
ΔQ=CBLΔv⑦
式中,Δv为金属棒的速度变化量。
按加速度的定义有
a=⑧
金属棒所受到的摩擦力方向斜向上,大小为
f2=μN⑨
式中,N是金属棒对于导轨的正压力的大小,有
N=mgcos
θ⑩
金属棒在时刻t的加速度方向沿斜面向下,设其大小为a,根据牛顿第二定律有
mgsin
θ-f1-f2=ma
联立⑤至式得
a=g
由式及题设可知,金属棒做初速度为零的匀加速运动。
t时刻金属棒的速度大小为
v=gt。
答案:(1)Q=CBLv　(2)v=gt
变式1:如图所示,两平行导轨间距L=0.1
m,足够长光滑的倾斜部分和粗糙的水平部分圆滑连接,倾斜部分与水平面的夹角θ=30°,垂直斜面向上的磁场的磁感应强度B=0.5
T,水平部分没有磁场。金属棒ab质量m=0.005
kg,电阻r=0.02
Ω,运动中与导轨良好接触,并且垂直于导轨,电阻R=0.08
Ω,其余电阻不计,当金属棒从斜面上离地高h=1.0
m以上任何地方由静止释放后,在水平面上滑行的最大距离x都是1.25
m。(取g=10
m/s2)求:
(1)棒在斜面上的最大速度。
(2)水平面的动摩擦因数。
(3)从高度h=1.0
m处滑下后电阻R上产生的热量。
解析:(1)金属棒从离地高h=1.0
m以上任何地方由静止释放后,在到达水平面之前都已经开始匀速运动
设最大速度为v,则感应电动势E=BLv
感应电流I=
安培力F=BIL
匀速运动时,有mgsin
θ=F
解得v=1.0
m/s。
(2)在水平面上运动时,金属棒所受滑动摩擦力
Ff=μmg
金属棒在摩擦力作用下做匀减速运动,有
Ff=ma
v2=2ax
解得μ=0.04。
(3)下滑的过程中,由动能定理可得
mgh-W=mv2
安培力所做的功等于电路中产生的焦耳热,有W=Q
电阻R上产生的热量QR=Q
解得QR=3.8×10-2
J。
答案:(1)1
m/s　(2)0.04　(3)3.8×10-2
J
[典例2]
间距为L=2
m的足够长的金属直角导轨如图甲所示放置,它们各有一边在同一水平面内,另一边垂直于水平面。质量均为m=0.1
kg的金属细杆ab,cd与导轨垂直放置形成闭合回路。杆与导轨之间的动摩擦因数均为μ=0.5,导轨的电阻不计,细杆ab,cd的电阻分别为R1=0.6
Ω,R2=0.4
Ω。整个装置处于磁感应强度大小为B=0.50
T、方向竖直向上的匀强磁场中(图中未画出)。当ab在平行于水平导轨的拉力F作用下从静止开始沿导轨匀加速运动时,cd杆也同时从静止开始沿导轨向下运动。测得拉力F与时间t的关系如图乙所示。g=10
m/s2。
(1)求ab杆的加速度大小;
(2)求当cd杆达到最大速度时ab杆的速度大小;
(3)若从开始到cd杆达到最大速度的过程中拉力F做了0.5
J的功,求该过程中ab杆所产生的焦耳热。
解析:(1)由题图乙可知,在t=0时,F=1.5
N
对ab杆进行受力分析,由牛顿第二定律得F-μmg=ma
代入数据解得a=10
m/s2。
(2)从d向c看,对cd杆进行受力分析如图所示,当cd速度最大时,有
Ff=mg=μFN,FN=F安,
F安=BIL,I=
综合以上各式,解得v=2
m/s。
(3)整个过程中,ab杆发生的位移
x==
m=0.2
m
对ab杆应用动能定理,有WF-μmgx-W安=mv2
代入数据解得W安=0.2
J
根据功能关系Q总=W安
所以ab杆上产生的热量Qab=Q总=0.12
J。
答案:(1)10
m/s2　(2)2
m/s　(3)0.12
J
分析“双杆模型”问题时,要注意双杆之间的制约关系,即“动”杆与“被动”杆之间的关系,需要注意的是,最终两杆的收尾状态的确定是分析该类问题的关键。
变式2:如图所示,水平放置的平行光滑导轨固定在水平桌面上,宽度为L,处在磁感应强度为B、竖直向下的匀强磁场中。桌面离地面的高度为H。初始时刻,质量为m的杆ab与导轨垂直且处于静止,距离导轨边缘为d。质量同为m的杆cd与导轨垂直,以初速度v0进入磁场区域。最终发现两杆先后落在地面上。已知两杆的电阻均为R,导轨电阻不计,两杆落地点之间的距离为s。求:
(1)ab杆从磁场边缘射出时的速度大小;
(2)ab杆射出时,cd杆运动的距离;
(3)在两根杆相互作用的过程中,回路中产生的焦耳热。
解析:(1)设ab,cd杆从磁场边缘射出时的速度分别为v1,v2,ab杆落地点的水平位移为x,cd杆落地点的水平位移为x+s,有
x=v1,x+s=v2
从cd杆进入磁场到ab杆开始下落过程中,
根据动量守恒有mv0=mv1+mv2
解得v2=+,v1=-。
(2)ab杆运动距离为d,对ab杆应用动量定理,有
BILΔt=BLq=mv1
设cd杆运动距离为d+Δx
q==
解得Δx=
cd杆运动距离为
d+Δx=d+
(-)。
(3)根据能量守恒,电路中产生的焦耳热等于系统损失的机械能,即
Q=m-m-m=m-。
答案:(1)-　
(2)d+(-)
(3)m-
1.(单杆模型)(多选)两根足够长的光滑导轨竖直放置,间距为L,顶端接阻值为R的电阻。质量为m、电阻为r的金属棒在距磁场上边界某处静止释放,金属棒和导轨接触良好,导轨所在平面与磁感应强度为B的匀强磁场垂直,如图所示,不计导轨的电阻,重力加速度为g,则(　BD　)
A.金属棒在磁场中运动时,流过电阻R的电流方向为a→b　
B.金属棒的速度为v时,金属棒所受的安培力大小为
C.金属棒的最大速度为
D.金属棒以稳定的速度下滑时,电阻R的热功率为()2R
解析:金属棒在磁场中向下运动时,由楞次定律可知,流过电阻R的电流方向为b→a;金属棒的速度为v时,金属棒中感应电动势E=BLv,感应电流I=,所受的安培力大小为F=ILB=;当安培力F=mg时,金属棒下落速度最大,金属棒的最大速度为vm=;金属棒以稳定的速度下滑时,电阻R和r的总热功率为P=mgvm=()2(R+r),电阻R的热功率为()2R。
2.(双杆模型)如图所示,两条相互平行的光滑金属导轨,相距l=0.2
m,左侧轨道的倾斜角θ=30°,右侧轨道为圆弧线,轨道端点间接有电阻R=1.5
Ω,轨道中间部分水平,在MP,NQ间有宽度为d=0.8
m、方向竖直向下的匀强磁场,磁感应强度B随时间t变化如图乙所示。一质量为m=10
g、导轨间电阻为r=1.0
Ω的导体棒a从t=0时刻无初速度释放,初始位置与水平轨道间的高度差H=0.8
m。另一与a棒完全相同的导体棒b静置于磁场外的水平轨道上,靠近磁场左边界PM。a棒下滑后平滑进入水平轨道(转角处无机械能损失),并与b棒发生碰撞而粘合在一起,此后作为一个整体运动。导体棒始终与导轨垂直并接触良好,轨道的电阻和电感不计。求:
(1)导体棒进入磁场前,流过R的电流大小;
(2)导体棒刚进入磁场瞬间受到的安培力大小;
(3)导体棒最终静止的位置离PM的距离;
(4)全过程电阻R上产生的焦耳热。
解析:(1)a棒在左侧轨道下滑过程中,
有=gsin
θ·t2,
则t=0.8
s,即0.8
s时导体棒a恰好到达水平轨道;
由法拉第电磁感应定律可知
E==ld=0.2
V
由闭合电路欧姆定律有
I==0.1
A。
(2)a棒滑到底端时的速度为v1,
由动能定理有mgH=m
即v1==4
m/s
与b发生碰撞后的共同速度为v
由动量守恒定律有mv1=2mv
则v=v1=2
m/s
由于此时B=1
T,
则电动势为E=Blv=0.4
V
所以安培力为F==0.04
N。
(3)导体棒自碰撞后直到静止,
由动量定理有
2mv=Bql
其中q=,
s为导体棒在水平轨道上滑过的路程
解得s=2
m,
因此导体棒停在距离PM为0.4
m处。
(4)滑入磁场前有QR1=I2Rt=0.012
J
碰后有Q=×2mv2=QR2+
而QR2∶=3∶1
由以上各式解得QR=0.042
J。
答案:(1)0.1
A　(2)0.04
N　(3)0.4
m　(4)0.042
J
3.如图所示,竖直平面内有无限长、不计电阻的两组平行光滑金属导轨,宽度均为L=0.5
m,上方连接一个阻值R=1
Ω的定值电阻,虚线下方的区域内存在磁感应强度B=2
T的匀强磁场。完全相同的两根金属杆1和2靠在导轨上,金属杆与导轨等宽且与导轨接触良好,电阻均为r=0.5
Ω。将金属杆1固定在磁场的上边缘(仍在此磁场内),金属杆2从磁场边界上方h0=0.8
m处由静止释放,进入磁场后恰做匀速运动(g取10
m/s2)。
(1)金属杆的质量m为多大?
(2)若金属杆2从磁场边界上方h1=0.2
m处由静止释放,进入磁场经过一段时间后开始匀速运动,此过程中流过电阻R的电荷量q为0.65
C,则在此过程中整个回路产生的电热为多少?
(3)金属杆2仍然从离磁场边界h1=0.2
m处由静止释放,在金属杆2进入磁场的同时由静止释放金属杆1,两金属杆运动了一段时间后均达到稳定状态,试求两根金属杆各自的最大速度。
解析:(1)金属杆2进入磁场前做自由落体运动,刚进入磁场时的速度为
vm==
m/s=4
m/s
金属杆2进入磁场后受力平衡mg=BIL
且E=BLvm,I=
解得m==×10
kg=0.2
kg。
(2)从金属杆2进入磁场到匀速运动的过程中(设金属杆2在磁场内下降h2)有
E=,I=,q=I·t2
得h2==1.3
m
金属杆2从下落到再次匀速运动的过程中,由能量守恒定律有
mg(h1+h2)=m+Q
解得Q=1.4
J。
(3)金属杆2刚进入磁场时的速度
v==
m/s=2
m/s
释放金属杆1后,两杆受力情况相同,且都向下加速,合力等于零时速度最大,设金属杆1,2的最大速度分别为v1,v2,都达到最大速度时,有
mg=BIL,且I=,E1=BLv1,E2=BLv2
整理得到v1+v2=
代入数据得v1+v2=4
m/s
因为两个金属杆任何时刻受力情况都相同,因此任何时刻两者的加速度也都相同,在相同时间内速度的增量也必相同,即v1-0=v2-v
代入数据得v2=v1+2
m/s
联立求得v1=1
m/s,v2=3
m/s。
答案:(1)0.2
kg　(2)1.4
J　(3)v1=1
m/s　v2=3
m/s
1.(2020·浙江1月选考,21)如图甲所示,在xOy水平面内,固定放置着间距为l的两平行金属直导轨,其间连接有阻值为R的电阻,电阻两端连接示波器(内阻可视为无穷大),可动态显示电阻R两端的电压。两导轨间存在大小为B、方向垂直导轨平面的匀强磁场。t=0时一质量为m、长为l的导体棒在外力F作用下从x=x0位置开始做简谐运动,观察到示波器显示的电压随时间变化的波形是如图乙所示的正弦曲线。取x0=-.则简谐运动的平衡位置在坐标原点O.不计摩擦阻力和其他电阻,导体棒始终垂直导轨运动。(提示:可以用Fx图象下的“面积”代表力F所做的功)
(1)求导体棒所受到的安培力FA随时间t的变化规律;
(2)求在0至0.25T时间内外力F的冲量;
(3)若t=0时外力F0=1
N,l=1
m,T=2π
s,m=1
kg,R=1Ω,Um=0.5
V,B=0.5
T,求外力与安培力大小相等时棒的位置坐标和速度。
解析:(1)由显示的波形可得U=Umsint
I=sint
FA=-BIl=-sint
(2)安培力的冲量IA=-ΔqBl=-
v=sint
由动量定理,有IF+IA=mvm,IF=+。
(3)导体棒做简谐运动,有FA+F=-kx
当FA=-F时,x=0,v=±vm=±1
m/s
当FA=F时,设x=x′,v=v′
FA=-kx′,F0=-kx0
2x′=v′
由动能定理得mv′2=k(-x′2)
x1′=
m和v1′=
m/s
x2′=-
m和v2′=-
m/s
答案:见解析
2.(2016·浙江4月选考,23)某同学设计了一个电磁推动加喷气推动的火箭发射装置,如图所示。竖直固定在绝缘底座上的两根长直光滑导轨,间距为L。导轨间加有垂直导轨平面向里的匀强磁场B。绝缘火箭支撑在导轨间,总质量为m,其中燃料质量为m′,燃料室中的金属棒EF电阻为R,并通过电刷与电阻可忽略的导轨良好接触。
引燃火箭下方的推进剂,迅速推动刚性金属棒CD(电阻可忽略且和导轨接触良好)向上运动,当回路CEFDC面积减少量达到最大值ΔS,用时Δt,此过程激励出强电流,产生电磁推力加速火箭。在Δt时间内,电阻R产生的焦耳热使燃料燃烧形成高温高压气体,当燃烧室下方的可控喷气孔打开后,喷出燃气进一步加速火箭。
(1)求回路在Δt时间内感应电动势的平均值及通过金属棒EF的电荷量,并判断金属棒EF中的感应电流方向;
(2)经Δt时间火箭恰好脱离导轨,求火箭脱离时的速度v0;(不计空气阻力)
(3)火箭脱离导轨时,喷气孔打开,在极短的时间内喷射出质量为m′的燃气,喷出的燃气相对喷气前火箭的速度为u,求喷气后火箭增加的速度Δv。(提示:可选喷气前的火箭为参考系)
解析:(1)平均感应电动势E==
平均电流I==
通过金属棒EF的电荷量Q=IΔt=
根据右手定则可判断出电流方向为CEFDC。
(2)EF棒受到的平均安培力F=BIL=BL
根据动量定理可知(F-mg)Δt=mv0-0
得v0=-gΔt。
(3)以火箭为参考对象,喷出燃气时火箭的动量为0,喷出燃气过程中,根据动量守恒定律,
可知(m-m′)Δv-m′u=0
可得Δv=。
答案:(1)　　金属棒中电流方向为E→F
(2)-gΔt　(3)
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