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小专题三　传送带模型中的动力学问题
因物体与传送带间的动摩擦因数、斜面倾角、传送带速度、传送方向、滑块初速度的大小和方向的不同,传送带问题往往存在多种可能,因此对传送带问题作出准确的动力学过程分析,是解决此类问题的关键。
下面介绍两种常见的传送带模型:
1.水平传送带模型
项目
图示
滑块可能的运动情况
情景1
(1)可能一直加速
(2)可能先加速后匀速
情景2
(1)v0>v时,可能一直减速,也可能先减速再匀速
(2)v0情景3
(1)传送带较短时,滑块一直减速达到左端
(2)传送带较长时,滑块还要被传送带传回右端。其中v0>v返回时速度为v,当v02.倾斜传送带模型
项目
图示
滑块可能的运动情况
情景1
(1)可能一直加速
(2)可能先加速后匀速
情景2
(1)可能一直加速
(2)可能先加速后匀速
(3)可能先以a1加速后以a2加速
情景3
(1)可能一直加速
(2)可能先加速后匀速
(3)可能一直匀速
(4)可能先以a1加速后以a2加速
情景4
(1)可能一直加速
(2)可能一直匀速
(3)可能一直减速,也可能先减速后反向加速
[典例1]
水平传送带被广泛地应用于机场和车站,如图所示为一水平传送带装置示意图。紧绷的传送带AB始终保持恒定的速率v=1
m/s运行。一质量为m=
4
kg的行李无初速度地放在A处,传送带对行李的滑动摩擦力使行李开始做匀加速直线运动,随后行李又以与传送带相等的速率做匀速直线运动。设行李与传送带之间的动摩擦因数μ=0.1,A,B间的距离L=2
m,g取10
m/s2。
(1)求行李刚开始运动时所受滑动摩擦力的大小与加速度的大小;
解析:(1)行李刚开始运动时,受力如图所示,
滑动摩擦力
Ff=μmg=4
N
由牛顿第二定律得Ff=ma
解得a=1
m/s2。
答案:(1)4
N　1
m/s2　
(2)求行李做匀加速直线运动的时间;
答案:(2)1
s
(3)如果提高传送带的运行速率,行李就能被较快地传送到B处,求行李从A处传送到B处的最短时间和传送带对应的最小运行速率。
答案:(3)2
s　2
m/s
规律总结
(1)求解水平传送带问题的关键
①正确分析物体所受摩擦力的方向。
②注意转折点:物体的速度与传送带速度相等的时刻是物体所受摩擦力发生突变的时刻。
(2)处理此类问题的一般流程
弄清初始条件?判断相对运动?判断滑动摩擦力的大小和方向?分析物体受到的合外力及加速度的大小和方向?由物体的速度变化分析相对运动?进一步确定以后的受力及运动情况。
变式1:如图所示,水平匀速转动的传送带左右两端相距L=3.5
m,物块A以水平速度v0=4
m/s滑上传送带左端,物块与传送带间的动摩擦因数μ=0.1,设A到达传送带右端时的瞬时速度为v,g取10
m/s2,下列说法正确的是(　
　)
D
A.若传送带速度等于2
m/s,物块可能先减速运动,后匀速运动
B.若传送带速度等于3.5
m/s,v一定等于3
m/s
C.若v等于3
m/s,传送带一定沿逆时针方向转动
D.若v等于3
m/s,传送带可能沿顺时针方向转动
[典例2]
如图所示,倾角为37°,长为l=16
m的传送带,转动速度为v=10
m/s,动摩擦因数μ=0.5,在传送带顶端A处无初速度地释放一个质量为m=0.5
kg的物体。已知sin
37°=0.6,cos
37°=0.8,g=10
m/s2。求:
(1)传送带顺时针转动时,物体从顶端A滑到底端B的时间;
答案:(1)4
s
(2)传送带逆时针转动时,物体从顶端A滑到底端B的时间。
答案:(2)2
s
变式2:如图所示,以速度v0逆时针匀速转动的足够长的传送带与水平面的夹角为θ。现将一个质量为m的小木块轻轻地放在传送带的上端,小木块与传送带间的动摩擦因数为μ,则图中能够正确地描述小木块的速度随时间变化关系的图线可能是(　
　)
C
解析:小木块放上后先向下加速运动,由于传送带足够长,所以某时刻木块速度等于传送带速度,此时若重力沿传送带向下的分力大于最大静摩擦力,则之后木块继续加速,但加速度变小;若重力沿传送带向下的分力小于或等于最大静摩擦力,则木块将随传送带匀速运动;故选项C正确。
课堂训练
1.(水平传送带)如图所示,一质量为m的小物体以一定的速率v0滑到水平传送带上左端的A点,当传送带始终静止时,已知物体能滑过右端的B点,经过的时间为t0,则下列判断正确的是(　
　)
A.若传送带逆时针方向运行且保持速率不变,则物体也能滑过B点,且用时为t0
B.若传送带逆时针方向运行且保持速率不变,则物体可能先向右做匀减速运动直到速度减为零,然后向左加速,因此不能滑过B点
C.若传送带顺时针方向运行,当其运行速率(保持不变)v=v0时,物体将一直做匀速运动滑过B点,用时为t0
D.若传送带顺时针方向运行,当其运行速率(保持不变)v>v0时,物体一定向右一直做匀加速运动滑过B点,用时一定小于t0
A
(教师备用)
(1)通过计算说明工件在传送带上做什么运动;
答案:(1)先匀加速运动0.8
m,然后匀速运动3.2
m
(2)求工件从P点运动到Q点所用的时间。
答案:(2)2.4
s
3.(水平传送带上不同物体的运动问题)如图甲所示,水平传送带沿顺时针方向匀速运转。从传送带左端P先后由静止轻轻放上三个物体A,B,C,物体A经tA=9.5
s到达传送带另一端Q,物体B经tB=10
s到达传送带另一端Q,若释放物体时刻作为t=0时刻,物体在传送带上运动过程的vt图象如图乙、丙、丁所示,g取10
m/s2,求:
(1)传送带的速度大小v0;
(2)传送带的长度L;
解析:(1)物体A与B均先做匀加速直线运动,然后做匀速直线运动,说明物体的速度最终与传送带的速度相等,所以由题图乙、丙可知传送带的速度大小是4
m/s。
答案:(1)4
m/s　(2)36
m
(3)物体A,B,C与传送带间的动摩擦因数,物体C从传送带左端P到右端Q所用的时间tC。
答案:(3)0.4　0.2　0.012
5　24
s小专题三　传送带模型中的动力学问题
1.对如图所示的皮带传动装置,下列说法中正确的是(　D　)
A.A轮带动B轮沿逆时针方向旋转
B.B轮带动A轮沿顺时针方向旋转
C.C轮带动D轮沿顺时针方向旋转
D.D轮带动C轮沿顺时针方向旋转
解析:若B为主动轮,则B带动皮带下部分是拉力,故沿逆时针方向,同理,A带动B沿顺时针方向;C带动D沿逆时针方向,D带动C沿顺时针方向。
2.水平传送带的装置如图所示,O1为主动轮,O2为从动轮。当主动轮顺时针匀速转动时,物体被轻轻地放在A端皮带上。开始时物体在皮带上滑动,当它到达位置C后滑动停止,之后就随皮带一起匀速运动,直至传送到目的地B端。在传送的过程中,若皮带和轮不打滑,则物体受到的摩擦力和皮带上P,Q两处(在O1O2连线上)所受摩擦力情况正确的是(　C　)
①在AC段物体受水平向左的滑动摩擦力,P处受向上的滑动摩擦力
②在AC段物体受水平向右的滑动摩擦力,P处受向上的静摩擦力
③在CB段物体不受静摩擦力,Q处受向上的静摩擦力
④在CB段物体受水平向右的静摩擦力,P,Q两处始终受向下的静摩
擦力
A.①②
B.①④
C.②③
D.③④
解析:物体在AC段运动时,相对于皮带向左滑动,故受到皮带对它的滑动摩擦力方向向右,CB段不受摩擦力作用。O1是主动轮,带动皮带,故Q点受力方向向上,O2是从动轮,由皮带带动,故皮带上的P点受到的力方向上,C正确。
3.(多选)如图所示,水平传送带匀速运动,在传送带的右侧固定一弹性挡杆。在t=0时刻,将工件轻轻放在传送带的左端,当工件运动到弹性挡杆所在的位置时与挡杆发生碰撞,已知碰撞时间极短,且碰后工件的速度大小不变方向相反。则从工件开始运动到与挡杆第二次碰撞前的运动过程中,工件运动的vt图象可能是(　CD　)
解析:工件与弹性挡杆发生碰撞后,其速度的方向发生改变,应取负值,故A,B错误;工件与弹性挡杆发生碰撞前的加速过程中和工件与弹性挡杆碰撞后的减速过程中所受滑动摩擦力不变,所以两过程中加速度不变,故C,D正确。
4.一条足够长的浅色水平传送带自左向右匀速运行。现将一个木炭包无初速度地放在传送带的最左端,木炭包将会在传送带上留下一段黑色的径迹。下列说法中正确的是(　D　)
A.黑色的径迹将出现在木炭包的左侧
B.木炭包的质量越大,径迹的长度越短
C.传送带运动的速度越大,径迹的长度越短
D.木炭包与传送带间动摩擦因数越大,径迹的长度越短
解析:放上木炭包后木炭包在摩擦力的作用下向右加速,而传送带仍匀速,虽然两者都向右运动,但在木炭包的速度达到与传送带速度相等之前木炭包相对于传送带向左运动,故黑色径迹出现在木炭包的右侧,A错误。由于木炭包在摩擦力作用下加速运动时加速度a=μg与其质量无关,故径迹长度与其质量也无关,B错误。径迹长度等于木炭包相对传送带通过的位移大小,即二者对地的位移差Δx=vt-t=
vt=,可见传送带速度越小、动摩擦因数越大,相对位移越小,黑色径迹越短,C错误,D正确。
5.如图所示,某粮库使用电动传输机向粮垛上输送麻袋包,现将一麻袋包放置在倾斜的传送带上,与传送带一起向上匀速运动,其间突遇故障,传送带减速直至停止。若上述匀速和减速过程中,麻袋包与传送带始终保持相对静止,下列说法正确的是(　B　)
A.匀速运动时,麻袋包只受重力与支持力作用
B.匀速运动时,麻袋包受到的摩擦力一定沿传送带向上
C.减速运动时,麻袋包受到的摩擦力一定沿传送带向下
D.减速运动时,麻袋包受到的摩擦力一定沿传送带向上
解析:传送带匀速运动时,麻袋包受力平衡,麻袋包除受重力、垂直斜面向上的支持力外,还要受沿斜面向上的静摩擦力的作用,选项A错误,B正确;传送带向上减速运动时,麻袋包的加速度沿斜面向下,但传送带的加速度大小不确定,则受到的摩擦力可能沿传送带向上、沿传送带向下或为零,选项C,D错误。
6.如图所示,水平传送带A,B两端相距s=3.5
m,工件与传送带间的动摩擦因数μ=0.1。工件滑上A端瞬时速度vA=4
m/s,达到B端的瞬时速度设为vB,则下列说法错误的是(　D　)
A.若传送带不动,则vB=3
m/s
B.若传送带以速度v=4
m/s逆时针匀速转动,则vB=3
m/s
C.若传送带以速度v=2
m/s顺时针匀速转动,则vB=3
m/s
D.若传送带以速度v=2
m/s顺时针匀速转动,则vB=2
m/s
解析:工件与传送带的滑动摩擦力产生的加速度大小为a=μg=1
m/s2。若传送带不动,工件受到向左的滑动摩擦力,即向右做匀减速运动,减速到零需要的距离为s′==
m=8
m>3.5
m,所以到B端时速度不为零,vB==
m/s=3
m/s,故选项A正确;若传送带以速度v=4
m/s逆时针匀速转动,工件受到向左的滑动摩擦力,向右做匀减速运动,由上面分析过程可知vB=3
m/s,故选项B正确;若传送带以速度v=2
m/s顺时针匀速转动,工件受到向左的滑动摩擦力,仍然向右做匀减速运动,所以vB=3
m/s,故选项C正确,D错误。
7.如图所示,倾斜的传送带顺时针匀速转动,一物块从传送带上端A滑上传送带,滑上时速率为v1,传送带的速率为v2,且v2>v1,不计空气阻力,动摩擦因数一定。关于物块离开传送带的速率v和位置,下面哪个是不可能的(　D　)
A.从下端B离开,v>v1
B.从下端B离开,vC.从上端A离开,v=v1
D.从上端A离开,v解析:当μθ时,物块在传送带上做加速运动,从下端B离开,v>v1。当μ>tan
θ时,物块在传送带上先做减速运动,若到达下端B时速度未减为0,则从下端B离开,vθ,则物块在传送带上做匀速运动,v=v1。选项A,B,C均可能,D不可能。
8.水平传送带被广泛地应用于机场和火车站,用于对旅客行李进行安全检查或输送,如图所示为一水平传送带装置示意图,绷紧的传送带AB始终以v=1
m/s的恒定速率运行,旅客把行李无初速度地放在A处,设行李与传送带之间的动摩擦因数μ=0.1,AB间的距离为2
m(g=
10
m/s2),若旅客把行李放在传送带上的同时也以v=1
m/s
的恒定速度平行于传送带运动去取行李,则(　B　)
A.旅客与行李同时到达B
B.旅客提前0.5
s到达B
C.行李提前0.5
s到达B
D.若传送带速度足够大,行李最快也要1.5
s到达B
解析:旅客从A运动到B的时间为t人==2
s。行李的加速度为a==μg=1
m/s2,从静止加速到与传送带速度相同的位移为s1==0.5
m<2
m,即行李先做匀加速直线运动,然后再和传送带一起做匀速直线运动,行李做加速运动时间为t1==1
s,行李做匀速直线运动时间t2==
s=1.5
s,故行李运动时间为t行=t1+t2=2.5
s,所以乘客提前0.5
s到达B,选项B正确,A,C错误;若要使行李最快到达,则一直做匀加速直线运动,由s=at2,可得t==2
s,选项D错误。
9.如图所示,一水平方向足够长的传送带以恒定的速度v1沿顺时针方向运动,传送带右端有一与传送带等高的光滑水平面,一物体以恒定的速度v2沿着同一直线向左滑上传送带后,经过一段时间后又返回光滑水平面上,其速度为v2′,下列说法中正确的是(　B　)
A.只有v1=v2时,才有v2′=v1
B.若v1>v2时,则v2′=v2
C.若v1D.不管v2多大,总有v2′=v2
解析:当物块滑上传送带后,摩擦力的方向向右,物块做匀减速直线运动,当速度减小到零,相对传送带的运动方向向左,所受摩擦力的方向仍然向右,则向右做匀加速直线运动,若v1≥v2,回到光滑水平面的速度v2′=v2。若v110.某工厂一条输送工件的传送带安装如图所示,当传送带静止时,一滑块正在沿传送带加速下滑,某时刻传送带突然加速向上运动,则与传送带静止时相比,滑块滑到底部所用的时间(　A　)
A.不变
B.变长
C.变短
D.不能确定
解析:当传送带顺时针转动时,滑块受到的摩擦力不变,故加速度不变,所以时间不变。A正确。
11.如图甲所示,绷紧的水平传送带始终以恒定速率v1运行。初速度大小为v2的小物块从与传送带等高的光滑水平地面上的A处滑上传送带。若从小物块滑上传送带开始计时,小物块在传送带上运动的vt图象(以地面为参考系)如图乙所示。已知v2>v1,则(　B　)
A.t2时刻,小物块离A处的距离达到最大
B.t2时刻,小物块相对传送带滑动的距离最大
C.0～t2时间内,小物块受到的摩擦力方向先向右后向左
D.0～t3时间内,小物块始终受到大小不变的摩擦力作用
解析:小物块滑上传送带后做匀减速直线运动,t1时刻速度为零,此时小物块离A处的距离达到最大,A错误;然后在传送带摩擦力的作用下向右做匀加速直线运动,t2时刻与传送带达到共同速度,此时小物块相对传送带滑动的距离最大,B正确;0～t2时间内,小物块受到的摩擦力方向始终向右,C错误;t2～t3时间内小物块不受摩擦力,D错误。
12.(多选)如图所示,水平传送带以速度v1匀速运动,小物体P,Q由通过定滑轮且不可伸长的轻绳相连,t=0时刻P在传送带左端具有速度v2,P与定滑轮间的绳水平,t=t0时刻P离开传送带。不计定滑轮质量和滑轮与绳之间的摩擦,绳足够长。正确描述小物体P速度随时间变化的图象可能是(　BC　)
解析:若P在传送带左端时的速度v2小于v1,则P受到向右的摩擦力,当P受到的摩擦力大于绳的拉力时,P做加速运动,则有两种可能:第一种是一直做加速运动,第二种是先做加速度运动,当速度达到v1后做匀速运动,所以B正确;当P受到的摩擦力小于绳的拉力时,P做减速运动,也有两种可能:第一种是一直做减速运动,从右端滑出;第二种是先做减速运动再做反向匀加速运动,从左端滑出;若P在传送带左端具有的速度v2大于v1,则小物体P受到向左的摩擦力,使P做减速运动,则有三种可能:第一种是一直做减速运动,第二种是速度先减到v1,之后若P受到绳的拉力和静摩擦力作用而处于平衡状态,则其以速度v1做匀速运动,第三种是速度先减到v1,之后若P所受的静摩擦力小于绳的拉力,则P将继续减速直到速度减为0,再反向做加速运动并且摩擦力反向,加速度不变,从左端滑出,所以C正确。
13.如图所示,传送带的水平部分长为L,传动速率为v,在其左端无初速释放一小木块,若木块与传送带间的动摩擦因数为μ,则木块从左端运动到右端的时间不可能是(　B　)
A.+
B.
C.
D.
解析:木块在传送带的运动可能是一直匀加速运动,则在传送带上运动的时间为t=;也可能是一直加速运动,到最右端时刚好速度是v,则运动时间为t=;也可能是先做加速运动至速度v,加速度a=μg,加速时间为t1==,加速距离为x=,然后做匀速运动,匀速时间t2==-,总时间t=t1+t2=+。故A,C,D可能,B不可能。
14.三角形传送带以1
m/s
的速度逆时针匀速转动,两边的传送带长都是2
m且与水平方向的夹角均为37°。现有两个小物块A,B从传送带顶端都以1
m/s的初速度沿传送带下滑,物块与传送带间的动摩擦因数都是0.5,(g取10
m/s2,sin
37°=0.6,cos
37°=0.8)下列说法不正确的是(　A　)
A.物块A先到达传送带底端
B.物块A,B同时到达传送带底端
C.传送带对物块A,B均做负功
D.物块A,B在传送带上的痕迹长度之比为1∶3
解析:因mgsin
θ>μmgcos
θ,物块A,B都以1
m/s的初速度沿传送带下滑,则传送带对两物块的滑动摩擦力方向均沿斜面向上,大小也相等,故两物块沿斜面向下的加速度大小相同,滑到底端时位移大小相同,则所用时间也相同,故A错误,B正确;滑动摩擦力沿传送带向上,位移向下,摩擦力做负功,故C正确;A,B两物块下滑时的加速度相同,下滑到底端的时间相同,由x=v0t+at2,a=gsin
θ-μgcos
θ,得t=
1
s,传送带1
s内运动的距离是1
m,A与传送带是同向运动,则A在传送带上的痕迹长度为(2-1)m=1
m,B与传送带是反向运动的,则B在传送带上的痕迹长度为(2+1)m=3
m,所以D正确。
15.如图所示,足够长的传送带与水平面夹角为θ,以速度v0逆时针匀速转动,在传送带的上端轻轻放置一个质量为m的小木块,小木块与传送带间的动摩擦因数μθ,则图中能客观地反映小木块的速度随时间变化关系的是(　D　)
解析:开始阶段,小木块受到竖直向下的重力和沿传送带向下的滑动摩擦力作用,做加速度为a1的匀加速直线运动,由牛顿第二定律得mgsin
θ+μmgcos
θ=ma1,所以a1=gsin
θ+μgcos
θ。小木块加速至与传送带速度相等时,由于μθ,则小木块不会与传送带保持相对静止而匀速运动,之后小木块继续加速,所受滑动摩擦力变为沿传送带向上,做加速度为a2的匀加速直线运动,这一阶段有mgsin
θ-μmgcos
θ=ma2,所以a2=gsin
θ-μgcos
θ,故a216.一水平的浅色长传送带上放置一煤块(可视为质点),煤块与传送带之间的动摩擦因数为μ。初始时,传送带与煤块都是静止的。现让传送带以恒定的加速度a0开始运动,当其速度达到v0后,便以此速度做匀速运动。经过一段时间,煤块在传送带上留下了一段黑色痕迹后,煤块相对于传送带不再滑动。求此黑色痕迹的长度。
解析:根据“传送带上有黑色痕迹”可知,煤块与传送带之间发生了相对滑动,煤块的加速度a小于传送带的加速度a0,根据牛顿第二定律,可得a=μg;
设经历时间t,传送带由静止开始加速到速度等于v0,煤块则由静止加速到v,有
v0=a0t,v=at,
由于a此后,煤块与传送带运动速度相同,相对于传送带不再滑动,不再产生新的痕迹。
设在煤块的速度从0增加到v0的整个过程中,传送带和煤块移动的距离分别为s0和s,
则有s0=a0t2+v0t′,s=;
传送带上留下的黑色痕迹的长度l=s0-s,
由以上各式得l=。
答案:
17.如图所示,有一条沿顺时针方向匀速传送的传送带,恒定速度v=
4
m/s,传送带与水平面的夹角θ=37°,现将质量m=1
kg的小物块轻放在其底端(小物块可视作质点),与此同时,小物块受沿传送带方向向上的恒力F=8
N,经过一段时间,小物块上到了离地面高为h=2.4
m的平台上。已知物块与传送带之间的动摩擦因数μ=0.5,(g取10
m/s2,
sin
37°=0.6,cos
37°=0.8)求:
(1)物块从传送带底端运动到平台上所用的时间;
(2)若在物块与传送带达到相同速度时,立即撤去恒力F,计算小物块还需经过多少时间离开传送带以及离开时的速度。
解析:(1)对物块受力分析可知,物块先是在恒力作用下沿传送带方向向上做初速度为零的匀加速运动,摩擦力的方向沿斜面向上,直至速度达到传送带的速度,由牛顿第二定律得F+μmgcos
37°-
mgsin
37°=ma1,
计算得a1=6
m/s2,
t1==
s,
x1==
m。
物块达到与传送带同速后,物体未到顶端,由于F=8
N而重力沿传送带的分力G1=mgsin
37°=6
N,则摩擦力方向变为向下,小物块随传送带向上匀速运动,此过程所用时间t2==
s,
得t=t1+t2=
s。
(2)若与传送带速度相等后撤去力F,
因为mgsin
37°>μmgcos
37°,
故小物块减速上行
ma3=mgsin
37°-μmgcos
37°,
得a3=g(sin
37°-μcos
37°)=2
m/s2,
假设小物块从上端离开传送带,所需时间t′,离开时的速度为vt,
则v2-=2a3x2,vt=
m/s,
t′==0.85
s。
即小物块经0.85
s从上端离开传送带。
答案:(1)
s　(2)0.85
s　
m/s
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10
-小专题三　传送带模型中的动力学问题
因物体与传送带间的动摩擦因数、斜面倾角、传送带速度、传送方向、滑块初速度的大小和方向的不同,传送带问题往往存在多种可能,因此对传送带问题作出准确的动力学过程分析,是解决此类问题的关键。
下面介绍两种常见的传送带模型:
1.水平传送带模型
项目
图示
滑块可能的运动情况
情景1
(1)可能一直加速(2)可能先加速后匀速
情景2
(1)v0>v时,可能一直减速,也可能先减速再匀速(2)v0情景3
(1)传送带较短时,滑块一直减速达到左端(2)传送带较长时,滑块还要被传送带传回右端。其中v0>v返回时速度为v,当v02.倾斜传送带模型
项目
图示
滑块可能的运动情况
情景1
(1)可能一直加速(2)可能先加速后匀速
情景2
(1)可能一直加速(2)可能先加速后匀速(3)可能先以a1加速后以a2加速
情景3
(1)可能一直加速(2)可能先加速后匀速(3)可能一直匀速(4)可能先以a1加速后以a2加速
情景4
(1)可能一直加速(2)可能一直匀速(3)可能一直减速,也可能先减速后反向加速
[典例1]
水平传送带被广泛地应用于机场和车站,如图所示为一水平传送带装置示意图。紧绷的传送带AB始终保持恒定的速率v=1
m/s运行。一质量为m=4
kg的行李无初速度地放在A处,传送带对行李的滑动摩擦力使行李开始做匀加速直线运动,随后行李又以与传送带相等的速率做匀速直线运动。设行李与传送带之间的动摩擦因数μ=0.1,A,B间的距离L=2
m,g取10
m/s2。
(1)求行李刚开始运动时所受滑动摩擦力的大小与加速度的大小;
(2)求行李做匀加速直线运动的时间;
(3)如果提高传送带的运行速率,行李就能被较快地传送到B处,求行李从A处传送到B处的最短时间和传送带对应的最小运行速率。
解析:
(1)行李刚开始运动时,受力如图所示,
滑动摩擦力
Ff=μmg=4
N
由牛顿第二定律得Ff=ma
解得a=1
m/s2。
(2)行李达到与传送带相同速率后匀速运动,
则v=at
解得t==1
s。
(3)行李始终匀加速运动的运行时间最短,且加速度仍为a=
1
m/s2,当行李到达右端时,有=2aL
解得vmin==2
m/s
故传送带的最小运行速率为2
m/s
行李运行的最短时间tmin==2
s。
答案:(1)4
N　1
m/s2　(2)1
s　(3)2
s　2
m/s
(1)求解水平传送带问题的关键
①正确分析物体所受摩擦力的方向。
②注意转折点:物体的速度与传送带速度相等的时刻是物体所受摩擦力发生突变的时刻。
(2)处理此类问题的一般流程
弄清初始条件?判断相对运动?判断滑动摩擦力的大小和方向?分析物体受到的合外力及加速度的大小和方向?由物体的速度变化分析相对运动?进一步确定以后的受力及运动情况。
变式1:如图所示,水平匀速转动的传送带左右两端相距L=3.5
m,物块A以水平速度v0=4
m/s滑上传送带左端,物块与传送带间的动摩擦因数μ=0.1,设A到达传送带右端时的瞬时速度为v,g取10
m/s2,下列说法正确的是(　D　)
A.若传送带速度等于2
m/s,物块可能先减速运动,后匀速运动
B.若传送带速度等于3.5
m/s,v一定等于3
m/s
C.若v等于3
m/s,传送带一定沿逆时针方向转动
D.若v等于3
m/s,传送带可能沿顺时针方向转动
解析:物块匀减速直线运动的加速度大小a=μg=1
m/s2,根据v2-=2aL得物块到达传送带右端时v=3
m/s,知传送带的速度等于2
m/s时,则物块一直做匀减速直线运动;当传送带速度等于3.5
m/s时,若传送带顺时针方向转动,物块就先做匀减速直线运动,再做匀速直线运动,到达右端的速度大小为3.5
m/s;若v=3
m/s,传送带可能做逆时针转动,也可能做顺时针运动,逆时针转动时速度多大都可以,顺时针转动时,传送带速度需小于等于3
m/s。
[典例2]
如图所示,倾角为37°,长为l=16
m的传送带,转动速度为v=10
m/s,动摩擦因数μ=0.5,在传送带顶端A处无初速度地释放一个质量为m=0.5
kg的物体。已知sin
37°=0.6,cos
37°=0.8,g=10
m/s2。求:
(1)传送带顺时针转动时,物体从顶端A滑到底端B的时间;
(2)传送带逆时针转动时,物体从顶端A滑到底端B的时间。
解析:(1)传送带顺时针转动时,物体相对传送带向下运动,则物体所受滑动摩擦力沿斜面向上,相对传送带向下匀加速运动,根据牛顿第二定律有
mgsin
37°-μmgcos
37°=ma
则a=gsin
37°-μgcos
37°=2
m/s2
根据l=at2得t=4
s。
(2)传送带逆时针转动,当物体下滑速度小于传送带转动速度时,物体相对传送带向上运动,则物体所受滑动摩擦力沿传送带向下,设物体的加速度大小为a1,由牛顿第二定律得
mgsin
37°+μmgcos
37°=ma1
则有a1==10
m/s2
设当物体运动速度等于传送带转动速度时经历的时间为t1,位移为x1,
则有t1==
s=1
s,
x1=a1=5
mm
当物体运动速度等于传送带速度瞬间,有mgsin
37°>μmgcos
37°,则下一时刻物体相对传送带向下运动,受到传送带向上的滑动摩擦力——摩擦力发生突变。设当物体下滑速度大于传送带转动速度时物体的加速度为a2,则
a2==2
m/s2
x2=l-x1=11
m
又因为x2=vt2+a2,则有10t2+=11
解得t2=1
s(t2=-11
s舍去)
所以t总=t1+t2=2
s。
答案:(1)4
s　(2)2
s
变式2:如图所示,以速度v0逆时针匀速转动的足够长的传送带与水平面的夹角为θ。现将一个质量为m的小木块轻轻地放在传送带的上端,小木块与传送带间的动摩擦因数为μ,则图中能够正确地描述小木块的速度随时间变化关系的图线可能是(　C　)
解析:小木块放上后先向下加速运动,由于传送带足够长,所以某时刻木块速度等于传送带速度,此时若重力沿传送带向下的分力大于最大静摩擦力,则之后木块继续加速,但加速度变小;若重力沿传送带向下的分力小于或等于最大静摩擦力,则木块将随传送带匀速运动;故选项C正确。
1.(水平传送带)如图所示,一质量为m的小物体以一定的速率v0滑到水平传送带上左端的A点,当传送带始终静止时,已知物体能滑过右端的B点,经过的时间为t0,则下列判断正确的是(　A　)
A.若传送带逆时针方向运行且保持速率不变,则物体也能滑过B点,且用时为t0
B.若传送带逆时针方向运行且保持速率不变,则物体可能先向右做匀减速运动直到速度减为零,然后向左加速,因此不能滑过B点
C.若传送带顺时针方向运行,当其运行速率(保持不变)v=v0时,物体将一直做匀速运动滑过B点,用时为t0
D.若传送带顺时针方向运行,当其运行速率(保持不变)v>v0时,物体一定向右一直做匀加速运动滑过B点,用时一定小于t0
解析:传送带静止时,有m-m=-μmgL,即vB=,物体做减速运动,若传送带逆时针运行,物体仍受向左的摩擦力μmg,同样由上式分析,一定能匀减速至右端,速度为vB,不会为零,用时也一定仍为t0,故选项A正确,B错误;若传送带顺时针方向运行,当其运行速率(保持不变)v=v0时,物体将不受摩擦力的作用,一直做匀速运动滑至B端,因为匀速通过,故用时一定小于t0,故选项C错误;若传送带顺时针方向运行,当其运行速率(保持不变)v>v0时,开始物体受到向右的摩擦力的作用,做加速运动,运动有两种可能:若物体速度加速到v还未到达B端时,则先匀加速后匀速运动,若物体速度一直未加速到v时,则一直做匀加速运动,故选项D错误。
2.(倾斜传送带)如图所示,绷紧的传送带,始终以2
m/s的速度匀速斜向上运行,传送带与水平方向间的夹角θ=30°。现把质量为10
kg的工件轻轻地放在传送带底端P处,由传送带传送至顶端Q处。已知P,Q之间的距离为4
m,工件与传送带间的动摩擦因数为μ=,取g=10
m/s2。
(1)通过计算说明工件在传送带上做什么运动;
(2)求工件从P点运动到Q点所用的时间。
解析:(1)工件受重力、摩擦力、支持力共同作用,摩擦力为动力,由牛顿第二定律得
μmgcos
θ-mgsin
θ=ma
代入数值得a=2.5
m/s2
则其速度达到传送带速度时发生的位移为
x1==
m=0.8
m<4
m
可见工件先匀加速运动0.8
m,然后匀速运动3.2
m。
(2)匀加速时,由x1=t1得t1=0.8
s
匀速上升时t2==
s=1.6
s
所以工件从P点运动到Q点所用的时间为
t=t1+t2=2.4
s。
答案:(1)先匀加速运动0.8
m,然后匀速运动3.2
m
(2)2.4
s
3.(水平传送带上不同物体的运动问题)如图甲所示,水平传送带沿顺时针方向匀速运转。从传送带左端P先后由静止轻轻放上三个物体A,B,C,物体A经tA=9.5
s到达传送带另一端Q,物体B经tB=10
s到达传送带另一端Q,若释放物体时刻作为t=0时刻,物体在传送带上运动过程的vt图象如图乙、丙、丁所示,g取10
m/s2,求:
(1)传送带的速度大小v0;
(2)传送带的长度L;
(3)物体A,B,C与传送带间的动摩擦因数,物体C从传送带左端P到右端Q所用的时间tC。
解析:(1)物体A与B均先做匀加速直线运动,然后做匀速直线运动,说明物体的速度最终与传送带的速度相等,所以由题图乙、丙可知传送带的速度大小是4
m/s。
(2)v-t图线与t轴围成图形的“面积”表示物体的位移,所以物体A的位移xA=×(8.5+9.5)×4
m=36
m,
传送带的长度L与A的位移大小相等,也是36
m。
(3)物体A的加速度aA==4
m/s2,
由牛顿第二定律得μAmg=maA,
所以μA==0.4,
同理,物体B的加速度aB==2
m/s2,μB==0.2,
设物体C从传送带左端P到右端Q所用的时间为tC,则
L=tC得tC==24
s,
物体C的加速度aC==0.125
m/s2,
μC==0.012
5。
答案:(1)4
m/s　(2)36
m
(3)0.4　0.2　0.012
5　24
s
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