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第十章　机械振动　机械波
洞悉目标
知识内容
考试
要求
历次考题
2016年
4月
2016年
10月
2017年
4月
2017年
11月
2018年
4月
2018年
11月
2019年
4月
2020年
1月
1.简谐运动
b
2.简谐运动的描述
c
15
3.简谐运动的回复力和能量
b
15
21
4.单摆
c
15
21(1)
5.外力作用下的振动
b
6.波的形成和传播
b
14
16
16
16
7.波的图象
b
15
8.波长、频率和波速
c
16
16
16
9.波的衍射和干涉
b
16
16
10.多普勒效应
b
11.惠更斯原理
b
实验:探究单摆周期与摆长的关系
√
21(1)
21(2)
考纲解读
1.应用简谐运动的特点、公式、图象分析问题。
2.机械波的传播,波长、频率(周期)和波速的关系。
3.波的图象和振动图象相结合的问题为本章的重点也是选考的热点。
4.波的干涉和衍射现象、多普勒效应的认识,并能与生活中的实例相结合。
命题方向
1.本章内容在考查要求上以理解和简单应用为主,因而出现大型综合题的可能性不大。考查的题型大多以选择题的形式出现,也可能以实验题的形式呈现;难度中等或中等偏下。
2.波的图象、振动图象的区别及转换也是考查的热点,图象题可以综合考查考生的理解能力、推理能力和空间想象能力。
3.命题频率较高的是简谐运动的特点和图象、波的图象以及波长、频率和波速的关系。
课时1　机械振动　振动图象
基础梳理
一、简谐运动
1.概念:质点的位移与时间的关系遵从
的规律,即它的振动图象(x-t图象)是一条
的振动。
2.简谐运动的表达式
(1)动力学表达式:F=
,其中“-”表示回复力与
的方向相反。
正弦函数
正弦曲线
-kx
位移
2πf
相位
3.回复力
(1)定义:使物体返回到
的力。
(2)方向:时刻指向
。
(3)来源:振动物体所受的沿
的合力。
平衡位置
平衡位置
振动方向
4.描述简谐运动的物理量
二、简谐运动的图象
1.物理意义:表示振子的
随时间变化的规律,为正弦(或余弦)曲线。
2.简谐运动的图象
(1)从平衡位置开始计时,把开始运动的方向规定为正方向,函数表达式为x=
,图象如图甲所示。?
位移
Asin
ωt
(2)从正的最大位移处开始计时,函数表达式为x=
,图象如图乙所示。?
Acos
ωt
三、单摆
1.定义:在细线的一端拴一个小球,另一端固定在悬点上,如果细线的
和
都不计,球的直径比
短得多,这样的装置叫做单摆。
伸缩
质量
线的长度
2.视为简谐运动的条件:
。
θ<5°
5.单摆的等时性:单摆的振动周期取决于摆长l和重力加速度g,与振幅和振子(小球)质量都没有关系。
四、受迫振动及共振
1.受迫振动
(1)概念:物体在
外力作用下的振动。
(2)振动特征:受迫振动的频率等于
的频率,与系统的
无关。
2.共振
(1)概念:当驱动力的频率等于系统的
时,受迫振动的振幅最大的现象。
(2)共振的条件:驱动力的频率等于系统的
。
(3)共振的特征:共振时
最大。
周期性
驱动力
固有频率
固有频率
固有频率
振幅
(4)共振曲线(如图所示)。
Am
f=f0时,A=
。f与f0差别越大,物体做受迫振动的振幅
。
越小
考点一　简谐运动及其描述
简谐运动的两种模型
夯实考点
说明:(1)简谐运动位移起点始终在平衡位置。
(2)弹簧振子和单摆都是理想化模型。
(3)质点经过一次全振动,位移、速度均恢复原状。
(4)简谐运动的周期与振幅无关。
(6)平衡位置两侧各对称点,相关状态量大小相等(即具有对称性)。
[典例1]
如图所示,弹簧振子在BC间振动,O为平衡位置,BO=OC=5
cm,若振子从B到C的运动时间是1
s,则下列说法中正确的是(　　)
A.振子从B经O到C完成一次全振动
B.振动周期是1
s,振幅是10
cm
C.经过两次全振动,振子通过的路程是20
cm
D.从B开始经过3
s,振子通过的路程是30
cm
答案:D
解析:振子从B→O→C仅完成了半次全振动,所以周期T=2×1
s=2
s,振幅A=BO=5
cm,选项A,B错误;振子在一次全振动中通过的路程为4A=20
cm,所以两次全振动中通过的路程为40
cm,选项C错误;3
s的时间为1.5T,所以振子通过的路程为30
cm,选项D正确。
变式1:两个相同的单摆静止于平衡位置,使摆球分别以水平初速度v1,v2(v1>v2)在竖直平面内做小角度摆动,它们的频率与振幅分别为f1,f2和A1,A2,则(　
　)
A.f1>f2,A1=A2
B.f1C.f1=f2,A1>A2
D.f1=f2,A1C
考点二　简谐运动的特征
1.动力学特征:F=-kx,“-”表示回复力的方向与位移方向相反,k是比例系数,不一定是弹簧的劲度系数。
2.运动学特征:简谐运动的加速度与物体偏离平衡位置的位移成正比而方向相反,为变加速运动,远离平衡位置时,x,F,a,Ep均增大,v,Ek均减小,靠近平衡位置时则相反。
3.运动的周期性特征:相隔T或nT的两个时刻振子处于同一位置且振动状态相同。
由于简谐运动具有周期性和对称性,因此,涉及简谐运动时,往往出现多解。分析问题时应特别注意物体在某一位置时的速度的大小和方向、位移的大小和方向。
特别提醒
(2)如图所示,振子经过关于平衡位置O对称的两点P,P′(OP=OP′)时,速度的大小、动能、势能相等,相对于平衡位置的位移大小相等。
(3)振子由P到O所用时间等于由O到P′所用时间,即tPO=tOP′。
(4)振子往复过程中通过同一段路程(如OP段)所用时间相等,即tOP=tPO。
5.能量特征:振动的能量包括动能Ek和势能Ep,简谐运动过程中,系统动能与势能相互转化,系统的机械能守恒。
说明:(1)回复力是效果力,不是物体受到的力,而是由所受力的合力或某个力(或分力)来提供。
(2)回复力产生的加速度可称为回复加速度,回复加速度影响速度的大小。
(3)振动能量与振幅有关,同一振动振幅越大,能量越大。
(4)平衡位置位移为零,回复力为零,回复加速度为零,速度最大,动能最大,势能最小。
[典例2]
(多选)如图所示,一轻弹簧与质量为m的物体组成弹簧振子,物体在同一条竖直线上的A,B间做简谐运动,O为平衡位置,C为AO的中点,已知CO=h,弹簧的劲度系数为k。某时刻物体恰好以大小为v的速度经过C点并向上运动。则以此时刻开始半个周期的时间内,对质量为m的物体,下列说法正确的是(　　)
A.重力势能减少了2mgh
B.回复力做功为2mgh
C.速度的变化量的大小为2v
D.通过A点时回复力的大小为kh
解析:作出弹簧振子的振动图象如图所示,
由于振动的周期性和对称性,在半个周期内弹簧振子将运动到O点下方的D点,C,D两点关于平衡位置O对称,因此弹簧振子的高度降低了2h,重力做功2mgh,故弹簧振子的重力势能减少了2mgh,A正确;回复力是该振子所受的合外力,由对称关系知,弹簧振子过D点的速度大小与过C点时相等,方向竖直向下,因此回复力做的功等于弹簧振子动能的改变量,即为零,而速度的变化为Δv=v-(-v)=2v,B错误,C正确;弹簧振子通过A点时相对平衡位置的位移为2h,因此回复力F=-kx=-2kh,D错误。
答案:AC
变式2:如图所示,两根劲度系数相同的轻弹簧a,b和一根张紧的细线将甲、乙两物块束缚在光滑水平面上,已知甲的质量大于乙的质量,a的原长小于b的原长。当细线突然断开时,两物块都开始做简谐运动,在运动过程中(　
　)
A.甲的振幅大于乙的振幅
B.甲的最大加速度大于乙的最大加速度
C.甲的最大速度小于乙的最大速度
D.甲的最大动能大于乙的最大动能
C
考点三　机械振动图象
1.简谐运动的图象
(1)从平衡位置开始计时,函数表达式为x=Asin
ωt,图象如图甲所示。
(2)从最大位移处开始计时,函数表达式为x=Acos
ωt,图象如图乙所示。
(3)物理意义:表示振动质点的位移随时间的变化规律。
2.振动图象的信息
(1)由图象可以看出振幅、周期。
(2)可以确定某时刻质点离开平衡位置的位移。
(3)可以根据图象确定某时刻质点回复力、加速度和速度的方向。
①回复力和加速度的方向:因回复力总是指向平衡位置,故回复力和加速度在图象上总是指向t轴。
②速度的方向:速度的方向可以通过下一时刻位移的变化来判定,若下一时刻位移增大,振动质点的速度方向就是远离t轴;若下一时刻位移减小,振动质点的速度方向就是指向t轴。
[典例3]
如图为某质点的振动图象,由图象可知(　　)
A.质点的振动方程为x=2sin
50πt(cm)
B.在t=0.01
s时质点的速度为负向最大
C.P点对应时刻质点的振动方向向下
D.从0.02
s至0.03
s质点的位移增大,速度减小
解析:由题图可知,质点振动方程为x=2sin
50(πt+π)(cm)=-2sin
50πt(cm);
t=0.01
s时质点速度为零;P点对应时刻质点振动方向向上;在0.02
s至0.03
s质点离开平衡位置,位移增大,速度减小,故选项D正确。
答案:D
变式3:质点做简谐运动,其位移x与时间t的关系图象如图所示,由图可知(　
　)
C
考点四　单摆
1.条件:细线不可伸长、质量忽略不计,线长远大于摆球的直径,空气阻力可忽略,摆角很小。
2.回复力来源:摆球重力沿切线方向的分力。
说明:(1)单摆的摆长是摆线长度(或等效摆长)与摆球的半径之和,即悬挂点(或等效悬挂点)到摆球球心之间的距离。
(2)单摆的回复力不等于重力与绳子拉力的合力。
(3)单摆周期与振幅无关,与摆球质量无关。
[典例4]
如图所示,用两根等长的轻质细线悬挂一个小球(半径长度远小于绳长),设绳长L和角α已知,当小球垂直于纸面做简谐运动时,其周期表达式为(　　)
答案:D
变式4:(多选)如图中两摆摆长相同,平衡时两摆球刚好接触,现将摆球A在两摆线所在平面内向左拉开一小角度后释放,碰撞后,两摆球分开各自做简谐运动,以mA,mB分别表示摆球A,B的质量,则(　
　)
A.如果mA>mB,下一次碰撞将发生在平衡位置右侧
B.如果mAC.无论两摆球的质量之比是多少,下一次碰撞都不可能在平衡位置右侧
D.无论两摆球的质量之比是多少,下一次碰撞都不可能在平衡位置左侧
CD
解析:由单摆的等时性可判断得,无论两摆球的质量之比是多少,下一次碰撞都一定在平衡位置。
考点五　受迫振动与共振
固有振动、受迫振动和共振的关系比较
固有振动
受迫振动
共振
受力情况
系统内部的
相互作用力
驱动力作用
驱动力作用
振动周期
或频率
由系统本身性质决定,即固有周期或固有频率
由驱动力的周期或频率决定,即T=T驱或f=f驱
T=T驱=T固或f=f驱=f固
振动能量
振动物体的机械能不变
由产生驱动力的物体提供
振动物体获得的能量最大
常见例子
弹簧振子或单摆
机械工作时底座发生的振动
共振筛、转速计
[典例5]
一个单摆在地面上做受迫振动,其共振曲线(振幅A与驱动力频率f的关系)如图所示,则(　　)
A.此单摆的固有周期约为0.5
s
B.此单摆的摆长约为1
m
C.若摆长增大,单摆的固有频率增大
D.若摆长增大,共振曲线的峰将向右移动
答案:B
变式5:(多选)一砝码和一轻弹簧构成弹簧振子,如图所示的装置可用于研究该弹簧振子的受迫振动。匀速转动把手时,曲杆给弹簧振子驱动力,使振子做受迫振动。把手匀速转动的周期就是驱动力的周期,改变把手匀速转动的速度就可以改变驱动力的周期。若保持把手不动,给砝码一向下的初速度,砝码便做简谐运动,振动图线如图甲所示。当把手以某一速度匀速转动,受迫振动达到稳定时,砝码的振动图线如图乙所示。若用T0表示弹簧振子的固有周期,T表示驱动力的周期,Y表示受迫振动达到稳定后砝码振动的振幅,则(　
　)
AC
A.由图线可知T0=4
s
B.由图线可知T0=8
s
C.当T在4
s附近时,Y显著增大;当T比4
s小得多或大得多时,Y很小
D.当T在8
s附近时,Y显著增大;当T比8
s小得多或大得多时,Y很小
解析:由题图可知弹簧振子的固有周期T0=4
s,故选项A正确,B错误;根据受迫振动的特点;当驱动力的周期与系统的固有周期相同时发生共振,振幅最大;当驱动力的周期与系统的固有周期相差越多时,受迫振动物体振动稳定后的振幅越小,故选项C正确,D错误。
课堂训练
1.(简谐运动动力学表达式的理解)对简谐运动的回复力公式F=-kx的理解,正确的是(　
　)
A.k只表示弹簧的劲度系数
B.式中的负号表示回复力总是负值
C.位移x是相对平衡位置的位移
D.回复力只随位移变化,不随时间变化
C
解析:位移x是相对平衡位置的位移;F=-kx中的负号表示回复力总是与振动物体的位移方向相反。
AD
3.(振动图象)(多选)一水平弹簧振子做简谐运动的振动图象如图所示,已知弹簧的劲度系数为20
N/cm,则(　
　)
A.图中A点对应的时刻振子所受的回复力大小为5
N,方向指向x轴的负方向
B.图中A点对应的时刻振子的速度方向指向x轴的正方向
C.在0～4
s内振子做了1.75次全振动
D.在0～4
s内振子通过的路程为3.5
cm
AB
解析:由简谐运动的特点和弹簧弹力与伸长量的关系可知,图中A点对应的时刻振子所受的回复力大小为F=kx=20×
0.25
N=5
N,方向指向x轴的负方向,并且现在正在远离O点向x轴的正方向运动,A,B正确;由图可读出周期为2
s,4
s内振子做两次全振动,通过的路程是s=2×4A=2×4×0.5
cm=4
cm,C,D错误。
4.(单摆)(多选)如图所示,在水平地面上有一段光滑圆弧形槽,弧的半径是R,所对圆心角小于10°,现在圆弧的右侧边缘M处放一个小球A,使其由静止下滑,同时把B球从距O点高度为h处静止释放,则下列说法中正确的是(　
　)
BC
5.(受迫振动和共振)在实验室可以做“声波碎杯”的实验,用手指轻弹一只玻璃酒杯,可以听到清脆的声音,测得这声音的频率为500
Hz。将这只酒杯放在一个大功率的声波发生器前,操作人员通过调整其发出的声波,就能使酒杯碎掉。下列说法中正确的是(　
　)
A.操作人员必须把声波发生器输出的功率调到很大
B.操作人员必须使声波发生器发出频率很高的超声波
C.操作人员必须同时增大声波发生器发出声波的频率和功率
D.操作人员必须将声波发生器发出的声波频率调到500
Hz,且适当增大其输出功率
D
解析:由题可知用手指轻弹一只酒杯,测得这声音的频率为500
Hz,就是酒杯的固有频率。当物体发生共振时,物体振动的振幅最大,甚至可能造成物体解体。将这只酒杯放在一个大功率的声波发生器前,操作人员通过调整其发出声波的频率,将酒杯碎掉是利用的共振现象,而发生共振的条件是驱动力的频率等于物体的固有频率,而酒杯的固有频率为500
Hz,故操作人员要将声波发生器发出的声波频率调到500
Hz,使酒杯产生共振,从而能使酒杯碎掉,故D正确。
真题试做
1.(2016·浙江4月选考,13)(多选)摆球质量相等的甲、乙两单摆悬挂点高度相同,其振动图象如图所示。选悬挂点所在水平面为重力势能的参考面,由图可知(　
)
AC　
A
AD课时1　机械振动　振动图象
1.简谐运动属于(　A　)
A.变速运动
B.匀速直线运动
C.曲线运动
D.匀变速直线运动
解析:做简谐运动物体的速度随时间周期性变化,所以物体做变速运动,故A正确,B错误;简谐运动可以是曲线运动,也可以是直线运动,故C错误;简谐运动的回复力和加速度随时间做周期性变化,是非匀变速运动,故D错误。
2.(多选)弹簧振子在光滑水平面上做简谐运动,在振子向平衡位置运动的过程中(　AD　)
A.振子所受的回复力逐渐减小
B.弹簧的弹性势能逐渐增大
C.振子的动能逐渐减小
D.振子的加速度逐渐减小
解析:在振子向平衡位置运动的过程中,振子的位移逐渐减小,因此,振子所受回复力逐渐减小,加速度逐渐减小,但加速度方向与速度方向相同,故速度逐渐增大,动能逐渐增大,根据系统机械能守恒可知,弹簧的弹性势能逐渐减小。选项A,D正确。
3.(多选)若物体做简谐运动,则下列说法中正确的是(　CD　)
A.若位移为负值,则速度一定为正值,加速度也一定为正值
B.物体通过平衡位置时,所受合力为零,回复力为零,处于平衡状态
C.物体每次通过同一位置时,其速度不一定相同,但加速度一定相同
D.物体的位移增大时,动能减少,势能增加
解析:物体做简谐运动,过同一位置时速度大小相等,方向可能不同,故位移为负值,速度不一定为负值;加速度a=-,故位移为负值,加速度为正值,故A错误;物体通过平衡位置时所受回复力为零,合力不一定为零,如单摆做简谐运动经过平衡位置时,合力不为零,故B错误;物体做简谐运动,过同一位置时位移一定,加速度a=-也一定,但速度大小相等,方向可能不同,故C正确;物体的位移增大时,势能增加,动能减少,故D正确。
4.(多选)一个质点在平衡位置O点附近做简谐运动。若从O点开始计时,经过3
s质点第一次经过M点,如图所示,再继续运动,又经过2
s它第二次经过M点,则该质点第三次经过M点还需的时间是(　CD　)
A.8
s
B.4
s
C.14
s
D.
s
解析:设图中a,b两点为质点振动过程的最大位移处。若开始计时时刻质点从O点向右运动,O→M运动过程历时3
s,M→b→M过程历时2
s,显然=4
s,则T=16
s,质点第三次经过M点还需要的时间Δt3=T-2
s=(16-2)
s=14
s,故选项C正确;若开始计时时刻质点从O点向左运动,O→a→O→M运动过程历时3
s,M→b→M过程历时2
s,显然+=4
s,则T=
s,质点第三次经过M点还需要的时间
Δt3=T-2
s=(-2)
s=
s,故选项D正确。
5.(多选)一个质点做简谐运动的图象如图所示,下述正确的是(　AC　)
A.质点振动频率为0.25
Hz
B.在10
s内质点经过的路程是40
cm
C.在5
s末,速度为零,加速度最大
D.t=1.5
s和t=4.5
s两时刻质点的速度相同,加速度相同
解析:由图象可知,质点振动的周期为4
s,频率为0.25
Hz,选项A正确;10
s=2.5T,故在10
s内质点经过的路程是2.5×8
cm=20
cm,选项B错误;在5
s末,质点的位移最大,则速度为零,加速度最大,选项C正确;t=1.5
s和t=4.5
s两时刻质点的位移相同,速度大小相同,方向相反,加速度相同,选项D错误。
6.(多选)如图,轻弹簧上端固定,下端连接一小物块,物块沿竖直方向做简谐运动。以竖直向上为正方向,物块做简谐运动的表达式为x=0.1sin
2.5πt(m)。t=0时刻,一小球从距物块h高处自由落下;t=0.6
s
时,小球恰好与物块处于同一高度。取重力加速度的大小g=10
m/s2。以下判断正确的是(　AB　)
A.h=1.7
m
B.简谐运动的周期是0.8
s
C.0.6
s内物块运动的路程是0.2
m
D.t=0.4
s时,物块与小球运动方向相反
解析:由振动方程式可得,t=0.6
s物块的位移为x=0.1sin(2.5π×0.6)(m)=-0.1
m;则对小球有h+|x|=gt2,解得h=1.7
m,故A正确;由公式可知,简谐运动的周期T==
s=0.8
s,故B正确;振幅为
0.1
m,故0.6
s内物块运动的路程为3A=0.3
m,故C错误;t=0.4
s
=,此时物块在平衡位置向下振动,则此时物块与小球运动方向相同,故D错误。
7.(多选)一个弹簧振子做简谐振动,周期为T,设t1时刻振子不在平衡位置,经过一段时间到t2时刻,它的速度与t1时刻的速度大小相等,方向相同。若t2-t1<,则(　ABC　)
A.t2时刻振子的加速度一定与t1时刻大小相等、方向相反
B.在(t1+t2)时刻,振子处在平衡位置
C.从t1到t2时间内,振子的运动方向不变
D.从t1到t2时间内,振子的回复力方向不变
解析:t1时刻与t2时刻的速度大小相等,方向相同,若t2-t1<,则根据对称性,t1时刻与t2时刻相对于平衡位置的位移大小相等,方向相反,故A,B均正确;从t1到t2时间内,振子必是从平衡位置一侧向另一侧运动,则C正确;因回复力方向始终指向平衡位置,故D错误。
8.某同学看到一只鸟落在树枝上的P处,树枝在10
s内上下振动了6次,鸟飞走后,他把50
g的砝码挂在P处,发现树枝在10
s内上下振动了12次;将50
g的砝码换成500
g砝码后,他发现树枝在15
s内上下振动了6次,你估计鸟的质量可能是(　B　)
A.50
g
B.200
g
C.500
g
D.550
g
解析:由题意,挂50
g砝码时,树枝在10
s内上下振动12次;挂500
g砝码时,树枝在15
s内上下振动6次,也即10
s内上下振动4次;而当鸟落在树枝上时,树枝在10
s内上下振动了6次。由上面的数据对比可知,小鸟的质量应该在50
g到500
g之间,这样它在10秒内的振动次数才会介于4次到12次之间。故选项B符合要求。
9.(多选)一质点做简谐运动的振动图象如图所示,质点的速度与加速度方向相同的时间段是(　BD　)
A.0～0.3
s
B.0.3～0.6
s
C.0.6～0.9
s
D.0.9～1.2
s
解析:质点做简谐运动时加速度方向与回复力方向相同,与位移方向相反,总是指向平衡位置;位移增加时速度与位移方向相同,位移减小时速度与位移方向相反。
10.公路上匀速行驶的货车受一扰动,车上货物随车厢底板上下振动但不脱离底板。一段时间内货物在竖直方向的振动可视为简谐运动,周期为T。取竖直向上为正方向,以某时刻作为计时起点,即t=0,其振动图象如图所示,则(　C　)
A.t=时,货物对车厢底板的压力最大
B.t=时,货物对车厢底板的压力最小
C.t=时,货物对车厢底板的压力最大
D.t=时,货物对车厢底板的压力最小
解析:在t=时加速度向下,货物处于失重状态,对车厢的压力最小,t=时,货物处于超重状态,且加速度最大,所以货物对车厢底板的压力最大,C正确。
11.(多选)如图所示是甲、乙两个单摆做简谐运动的图象,则下列说法中正确的是(　AB　)
A.甲、乙两摆的振幅之比为2∶1
B.t=2
s时,甲摆的重力势能最小,乙摆的动能为零
C.甲、乙两摆的摆长之比为4∶1
D.甲、乙两摆球在最低点时向心加速度大小一定相等
解析:由图知甲、乙两摆的振幅分别为2
cm,1
cm,故选项A正确;t=2
s时,甲摆在平衡位置处,乙摆在振动的最大位移处,故选项B正确;由单摆的周期公式T=2π,得到甲、乙两摆的摆长之比为1∶4,故选项C错误;因摆球摆动的最大偏角未知,故选项D错误。
12.质量为m的带电荷量为+q的可视为质点的小球与一个绝缘轻弹簧右侧相连,弹簧左侧固定在墙壁上,小球静止在光滑绝缘水平面上,位于正方向为水平向右的x坐标轴原点O。当加入如图所示水平向右的匀强电场E后,小球向右运动的最远处为
x=x0,空气阻力不计,下列说法正确的是(　C　)
A.弹簧的劲度系数k=
B.小球在原点O处与在x=x0处加速度相同
C.小球运动速度的最大值为
D.运动过程中,小球的电势能、动能互相转化,且总量保持不变
解析:加上电场后小球受力开始做简谐运动,平衡点的位置在O到x0的中点处,此时电场力等于弹簧弹力,故弹簧劲度系数k==,A错误;小球在原点O处与在x=x0处加速度大小相等,但方向相反,B错误;根据功能关系可知,小球运动到平衡位置时有qE×x0=Ek+Ep,到达x0处时有qEx0=Ep′,由弹簧弹性势能与形变量的关系得Ep=
kx2,Ep′=4Ep,联立以上三式解得Ek=qEx0,又Ek=mv2,故v=,C正确;因为参与能量转化的还有弹簧的弹性势能,D错误。
13.(多选)如图所示,在曲轴上悬挂一个弹簧振子,曲轴不动时让其上下振动,振动周期为T1。现使把手以周期T2匀速转动,T2>T1,当其运动达到稳定后,则(　BD　)
A.弹簧振子的振动周期为T1
B.弹簧振子的振动周期为T2
C.要使弹簧振子的振幅增大,可以减小把手的转速
D.要使弹簧振子的振幅增大,可以增大把手的转速
解析:弹簧振子做受迫振动,其振动周期与驱动力的周期(把手匀速转动的周期T2)相同,为T2。弹簧振子的固有周期为T1,把手的转速越大,则转动的周期T2越小,当T2=T1时,弹簧振子发生共振,振幅达到最大,因此选项B,D正确。
14.劲度系数为20
N/cm的弹簧振子,它的振动图象如图所示,在图中A点对应的时刻(　B　)
A.振子所受的弹力大小为0.5
N,方向指向x轴的负方向
B.振子的速度方向指向x轴的正方向
C.在0～4
s内振子做了1.75次全振动
D.在0～4
s内振子通过的路程为0.35
cm,位移为0
解析:因为A点偏离平衡位置0.25
cm,故振子所受的弹力大小为F=0.25×20
N=5
N,方向指向x轴负方向,故选项A错误;A点对应时刻振子由平衡位置向x轴正方向移动,故它的速度方向指向x轴的正方向,选项B正确;由于周期为2
s,故在0～4
s内振子做了2次全振动,选项C错误;在0～4
s内振子通过的路程为s=8×0.5
cm=4
cm,故选项D错误。
能力提升
15.一位游客在千岛湖边欲乘游船,当日风浪很大,游船上下浮动。可把游艇浮动简化成竖直方向的简谐运动,振幅为20
cm,周期为3.0
s。当船上升到最高点时,甲板刚好与码头地面平齐。地面与甲板的高度差不超过10
cm时,游客能舒服地登船。在一个周期内,游客能舒服地登船的时间是(　C　)
A.0.5
s
B.0.75
s
C.1.0
s
D.1.5
s
解析:由于振幅A为20
cm,从游艇经过平衡位置开始计时,则其振动方程为y=Asin
ωt,式中ω=,由于高度差不超过10
cm,游客能舒服地登船,代入数据可知,在一个振动周期内,临界时刻为t1=,t2=,所以在一个周期内登船舒服的时间为Δt=t2-t1==1.0
s。
16.(多选)一简谐振子沿x轴振动,平衡位置在坐标原点。t=0时刻振子的位移x=-0.1
m;t=
s时刻x=0.1
m;t=4
s时刻x=0.1
m。该振子的振幅和周期可能为(　ABC　)
A.0.1
m,
s
B.0.1
m,8
s
C.0.2
m,
s
D.0.2
m,8
s
解析:经过周期的整数倍,振子会回到原位置,所以
s是周期的整数倍,经过
s振子运动到对称位置,可知,单摆的周期为
s,则
s为半个周期,则振幅为0.1
m。振幅可能大于0.1
m,则周期T=×2+(4-)×2=8
s。当周期为
s时,经过
s运动到与平衡位置对称的位置,振幅可以大于0.1
m。故A,B,C正确,D错误。
17.如图甲所示是演示沙摆振动图象的实验装置。沙摆的运动可看做是简谐运动。若手用力F向外拉木板做匀速运动,速度大小是0.20
m/s。图乙是某次实验得到的木板的长度为0.60
m范围内的振动图象,那么这次实验所用的沙摆的摆长为　　　　
cm。(答案保留两位有效数字,计算时可以取π2=g)?
解析:由图线可知,沙摆的周期为T=×
s=1.5
s,根据T=2π,可得l==
m≈0.56
m=56
cm。
答案:56
18.南海上有一浮桶式波浪发电灯塔,其原理示意如图甲。浮桶内的磁体通过支柱固定在暗礁上,浮桶内置线圈随周期T=3
s的波浪相对磁体沿竖直方向运动,且始终处于磁场中,该线圈与阻值R=15
Ω的灯泡相连。如图乙所示,浮桶下部由内、外两密封圆筒构成,其截面积S=
0.2
m2(图乙中斜线阴影部分),其内为产生磁场的磁体,与浮桶内侧面的缝隙忽略不计;匝数N=200的线圈所在处辐向磁场的磁感应强度B=0.2
T,线圈直径D=0.4
m,电阻r=1
Ω。取重力加速度g=10
m/s2,π2≈10。
(1)若浮桶随波浪上下运动可视为受迫振动,浮桶振动的速度可表示为v=0.4πsintm/s。写出波浪发电产生的电动势e的瞬时值表达式;画出电流i随时间t变化的图象。
(2)已知浮力F浮=ρgV排,ρ≈1.0×103
kg/m3,当浮桶及线圈的总质量为多大时,波浪机械能转化为电能的效率最高?(提示:忽略水的阻力,当电路断开时,浮桶及线圈的运动可视作简谐运动,其周期T=2π,式中m为振子质量,k为回复力常数)
解析:(1)线圈在磁场中切割磁感线,产生电动势,
Emax=NBlvmax(或et=NBlvt),
①
l=πD,
②
代入数据得Emax=64
V,
③
所以波浪发电产生的电动势瞬时值表达式为
e=Emaxsin(t)=64sin(t)
V,
④
根据闭合电路欧姆定律I=,
⑤
所以i==4sin(t)
A,
⑥
it图象如图所示
⑦
(2)根据题意,设浮桶及线圈的总质量为M,在水面平衡时,排开水的体积为V0,Mg=ρgV0
⑧
简谐运动时,设浮桶及线圈相对平衡位置的位移是x,
F回=-F浮+Mg=-ρg(V0+Sx)+ρgV0=-ρgSx
⑨
考虑到F回=-kx
T=2π
综合⑨得,浮桶与线圈做简谐运动的固有周期
T固=2π,T驱=T=3
s
波浪机械能转化为电能的效率最高时,有T驱=T固
解得M=450
kg。
答案:见解析
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-课时1　机械振动　振动图象
一、简谐运动
1.概念:质点的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律,即它的振动图象(x-t图象)是一条正弦曲线的振动。
2.简谐运动的表达式
(1)动力学表达式:F=-kx,其中“-”表示回复力与位移的方向相反。
(2)运动学表达式:x=Asin(ωt+),其中A代表振幅,ω=2πf表示简谐运动的快慢,(ωt+)代表简谐运动的相位,称做初相。
3.回复力
(1)定义:使物体返回到平衡位置的力。
(2)方向:时刻指向平衡位置。
(3)来源:振动物体所受的沿振动方向的合力。
4.描述简谐运动的物理量
物理量
定义
意义
振幅
振动质点离开平衡位置的最大距离
描述振动的强弱和能量
周期
振动物体完成一次全振动所需时间
描述振动的快慢,两者互为倒数:T=
频率
振动物体单位时间内完成全振动的次数
相位
ωt+
描述周期性运动在各个时刻所处的不同状态
二、简谐运动的图象
1.物理意义:表示振子的位移随时间变化的规律,为正弦(或余弦)曲线。
2.简谐运动的图象
(1)从平衡位置开始计时,把开始运动的方向规定为正方向,函数表达式为x=Asin
ωt,图象如图甲所示。?
(2)从正的最大位移处开始计时,函数表达式为x=Acos
ωt,图象如图乙所示。?
三、单摆
1.定义:在细线的一端拴一个小球,另一端固定在悬点上,如果细线的伸缩和质量都不计,球的直径比线的长度短得多,这样的装置叫做单摆。
2.视为简谐运动的条件:θ<5°。
3.回复力:F=-·x。
4.周期公式:T=2π。
5.单摆的等时性:单摆的振动周期取决于摆长l和重力加速度g,与振幅和振子(小球)质量都没有关系。
四、受迫振动及共振
1.受迫振动
(1)概念:物体在周期性外力作用下的振动。
(2)振动特征:受迫振动的频率等于驱动力的频率,与系统的固有频率无关。
2.共振
(1)概念:当驱动力的频率等于系统的固有频率时,受迫振动的振幅最大的现象。
(2)共振的条件:驱动力的频率等于系统的固有频率。
(3)共振的特征:共振时振幅最大。
(4)共振曲线(如图所示)。
f=f0时,A=Am。f与f0差别越大,物体做受迫振动的振幅越小。
考点一　简谐运动及其描述
　简谐运动的两种模型
模型
弹簧振子
单摆
模型示意图
特点
①忽略摩擦力,弹簧对小球的弹力提供回复力②弹簧的质量可忽略
①细线的质量、球的直径均可忽略②摆角θ很小③重力的切向分力提供回复力
公式
回复力F=-kx
①回复力F=-x②周期T=2π
说明:(1)简谐运动位移起点始终在平衡位置。
(2)弹簧振子和单摆都是理想化模型。
(3)质点经过一次全振动,位移、速度均恢复原状。
(4)简谐运动的周期与振幅无关。
(5)一个周期内经过的路程等于4倍振幅,个周期经过的路程不一定是一倍振幅。
(6)平衡位置两侧各对称点,相关状态量大小相等(即具有对称性)。
[典例1]
如图所示,弹簧振子在BC间振动,O为平衡位置,BO=OC=5
cm,若振子从B到C的运动时间是1
s,则下列说法中正确的是(　　)
A.振子从B经O到C完成一次全振动
B.振动周期是1
s,振幅是10
cm
C.经过两次全振动,振子通过的路程是20
cm
D.从B开始经过3
s,振子通过的路程是30
cm
解析:振子从B→O→C仅完成了半次全振动,所以周期T=2×1
s=2
s,振幅A=BO=5
cm,选项A,B错误;振子在一次全振动中通过的路程为4A=20
cm,所以两次全振动中通过的路程为40
cm,选项C错误;3
s的时间为1.5T,所以振子通过的路程为30
cm,选项D正确。
答案:D
变式1:两个相同的单摆静止于平衡位置,使摆球分别以水平初速度v1,v2(v1>v2)在竖直平面内做小角度摆动,它们的频率与振幅分别为f1,f2和A1,A2,则(　C　)
A.f1>f2,A1=A2
B.f1C.f1=f2,A1>A2
D.f1=f2,A1解析:单摆振动周期T=2π,T与l,g有关,f=,则f与l,g有关,与v无关,则f1=f2。振幅与v有关,v越大,振幅A越大,A1>A2,故C项正确。
考点二　简谐运动的特征
1.动力学特征:F=-kx,“-”表示回复力的方向与位移方向相反,k是比例系数,不一定是弹簧的劲度系数。
2.运动学特征:简谐运动的加速度与物体偏离平衡位置的位移成正比而方向相反,为变加速运动,远离平衡位置时,x,F,a,Ep均增大,v,Ek均减小,靠近平衡位置时则相反。
3.运动的周期性特征:相隔T或nT的两个时刻振子处于同一位置且振动状态相同。
由于简谐运动具有周期性和对称性,因此,涉及简谐运动时,往往出现多解。分析问题时应特别注意物体在某一位置时的速度的大小和方向、位移的大小和方向。
4.对称性特征
(1)相隔或
(n为正整数)的两个时刻,振子位置关于平衡位置对称,位移、速度、加速度大小相等,方向相反。
(2)如图所示,振子经过关于平衡位置O对称的两点P,P′(OP=OP′)时,速度的大小、动能、势能相等,相对于平衡位置的位移大小相等。
(3)振子由P到O所用时间等于由O到P′所用时间,即tPO=tOP′。
(4)振子往复过程中通过同一段路程(如OP段)所用时间相等,即tOP=tPO。
5.能量特征:振动的能量包括动能Ek和势能Ep,简谐运动过程中,系统动能与势能相互转化,系统的机械能守恒。
说明:(1)回复力是效果力,不是物体受到的力,而是由所受力的合力或某个力(或分力)来提供。
(2)回复力产生的加速度可称为回复加速度,回复加速度影响速度的大小。
(3)振动能量与振幅有关,同一振动振幅越大,能量越大。
(4)平衡位置位移为零,回复力为零,回复加速度为零,速度最大,动能最大,势能最小。
[典例2]
(多选)如图所示,一轻弹簧与质量为m的物体组成弹簧振子,物体在同一条竖直线上的A,B间做简谐运动,O为平衡位置,C为AO的中点,已知CO=h,弹簧的劲度系数为k。某时刻物体恰好以大小为v的速度经过C点并向上运动。则以此时刻开始半个周期的时间内,对质量为m的物体,下列说法正确的是(　　)
A.重力势能减少了2mgh
B.回复力做功为2mgh
C.速度的变化量的大小为2v
D.通过A点时回复力的大小为kh
解析:作出弹簧振子的振动图象如图所示,
由于振动的周期性和对称性,在半个周期内弹簧振子将运动到O点下方的D点,C,D两点关于平衡位置O对称,因此弹簧振子的高度降低了2h,重力做功2mgh,故弹簧振子的重力势能减少了2mgh,A正确;回复力是该振子所受的合外力,由对称关系知,弹簧振子过D点的速度大小与过C点时相等,方向竖直向下,因此回复力做的功等于弹簧振子动能的改变量,即为零,而速度的变化为Δv=v-(-v)=2v,B错误,C正确;弹簧振子通过A点时相对平衡位置的位移为2h,因此回复力F=-kx=-2kh,D错误。
答案:AC
变式2:如图所示,两根劲度系数相同的轻弹簧a,b和一根张紧的细线将甲、乙两物块束缚在光滑水平面上,已知甲的质量大于乙的质量,a的原长小于b的原长。当细线突然断开时,两物块都开始做简谐运动,在运动过程中(　C　)
A.甲的振幅大于乙的振幅
B.甲的最大加速度大于乙的最大加速度
C.甲的最大速度小于乙的最大速度
D.甲的最大动能大于乙的最大动能
解析:细线断开之前,轻弹簧a,b的弹力大小相等,又两根弹簧的劲度系数相同,故两弹簧的伸长量相等,则甲、乙两物体振动的振幅相等,A错误;振动的最大加速度am=,由于甲的质量大于乙的质量,所以甲的最大加速度小于乙的最大加速度,B错误;初始时弹簧的弹性势能相同,故振动时的最大动能也相等,D错误;又最大动能Ekm=m,所以甲的最大速度小于乙的最大速度,故C正确。
考点三　机械振动图象
1.简谐运动的图象
(1)从平衡位置开始计时,函数表达式为x=Asin
ωt,图象如图甲所示。
(2)从最大位移处开始计时,函数表达式为x=Acos
ωt,图象如图乙所示。
(3)物理意义:表示振动质点的位移随时间的变化规律。
2.振动图象的信息
(1)由图象可以看出振幅、周期。
(2)可以确定某时刻质点离开平衡位置的位移。
(3)可以根据图象确定某时刻质点回复力、加速度和速度的方向。
①回复力和加速度的方向:因回复力总是指向平衡位置,故回复力和加速度在图象上总是指向t轴。
②速度的方向:速度的方向可以通过下一时刻位移的变化来判定,若下一时刻位移增大,振动质点的速度方向就是远离t轴;若下一时刻位移减小,振动质点的速度方向就是指向t轴。
[典例3]
如图为某质点的振动图象,由图象可知(　　)
A.质点的振动方程为
x=2sin
50πt(cm)
B.在t=0.01
s时质点的速度为负向最大
C.P点对应时刻质点的振动方向向下
D.从0.02
s至0.03
s质点的位移增大,速度减小
解析:由题图可知,质点振动方程为x=2sin
50(πt+π)(cm)=-2sin
50πt(cm);t=0.01
s时质点速度为零;P点对应时刻质点振动方向向上;在0.02
s至0.03
s质点离开平衡位置,位移增大,速度减小,故选项D正确。
答案:D
变式3:质点做简谐运动,其位移x与时间t的关系图象如图所示,由图可知(　C　)
A.振幅为4
cm,频率为0.25
Hz
B.t=1
s时速度为零,但质点所受合外力为最大
C.t=2
s时质点具有正方向最大加速度
D.该质点的振动方程为x=2sint(cm)
解析:由图象读出,振幅为2
cm,周期为4
s,则频率为0.25
Hz,选项A错误;t=1
s时质点在平衡位置,故此时速度最大,质点所受合外力为零,选项B错误;t=2
s时质点在负向位移最大的位置,此时质点具有正方向最大加速度,选项C正确;因ω==
rad/s,故该质点的振动方程为x=2cost(cm),选项D错误。
考点四　单摆
1.条件:细线不可伸长、质量忽略不计,线长远大于摆球的直径,空气阻力可忽略,摆角很小。
2.回复力来源:摆球重力沿切线方向的分力。
3.周期公式:T=2π,其中l为摆长,g为重力加速度。
说明:(1)单摆的摆长是摆线长度(或等效摆长)与摆球的半径之和,即悬挂点(或等效悬挂点)到摆球球心之间的距离。
(2)单摆的回复力不等于重力与绳子拉力的合力。
(3)单摆周期与振幅无关,与摆球质量无关。
[典例4]
如图所示,用两根等长的轻质细线悬挂一个小球(半径长度远小于绳长),设绳长L和角α已知,当小球垂直于纸面做简谐运动时,其周期表达式为(　　)
A.π
B.2π
C.2π
D.2π
解析:由于小球垂直于纸面做简谐运动,所以等效摆长为Lsin
α,由于小球做简谐运动,所以单摆的振动周期为T=2π,故D正确。
答案:D
变式4:(多选)如图中两摆摆长相同,平衡时两摆球刚好接触,现将摆球A在两摆线所在平面内向左拉开一小角度后释放,碰撞后,两摆球分开各自做简谐运动,以mA,mB分别表示摆球A,B的质量,则(　CD　)
A.如果mA>mB,下一次碰撞将发生在平衡位置右侧
B.如果mAC.无论两摆球的质量之比是多少,下一次碰撞都不可能在平衡位置右侧
D.无论两摆球的质量之比是多少,下一次碰撞都不可能在平衡位置左侧
解析:由单摆的等时性可判断得,无论两摆球的质量之比是多少,下一次碰撞都一定在平衡位置。
考点五　受迫振动与共振
　固有振动、受迫振动和共振的关系比较
固有振动
受迫振动
共振
受力情况
系统内部的相互作用力
驱动力作用
驱动力作用
振动周期或频率
由系统本身性质决定,即固有周期或固有频率
由驱动力的周期或频率决定,即T=T驱或f=f驱
T=T驱=T固或f=f驱=f固
振动能量
振动物体的机械能不变
由产生驱动力的物体提供
振动物体获得的能量最大
常见例子
弹簧振子或单摆
机械工作时底座发生的振动
共振筛、转速计
[典例5]
一个单摆在地面上做受迫振动,其共振曲线(振幅A与驱动力频率f的关系)如图所示,则(　　)
A.此单摆的固有周期约为0.5
s
B.此单摆的摆长约为1
m
C.若摆长增大,单摆的固有频率增大
D.若摆长增大,共振曲线的峰将向右移动
解析:由共振曲线知此单摆的固有频率为0.5
Hz,固有周期为2
s,A项错误;再由T=2π,得此单摆的摆长约为1
m,B项正确;若摆长增大,单摆的固有周期增大,固有频率减小,则共振曲线的峰将向左移动,C,D项错误。
答案:B
变式5:(多选)一砝码和一轻弹簧构成弹簧振子,如图所示的装置可用于研究该弹簧振子的受迫振动。匀速转动把手时,曲杆给弹簧振子驱动力,使振子做受迫振动。把手匀速转动的周期就是驱动力的周期,改变把手匀速转动的速度就可以改变驱动力的周期。若保持把手不动,给砝码一向下的初速度,砝码便做简谐运动,振动图线如图甲所示。当把手以某一速度匀速转动,受迫振动达到稳定时,砝码的振动图线如图乙所示。若用T0表示弹簧振子的固有周期,T表示驱动力的周期,Y表示受迫振动达到稳定后砝码振动的振幅,则(　AC　)
A.由图线可知T0=4
s
B.由图线可知T0=8
s
C.当T在4
s附近时,Y显著增大;当T比4
s小得多或大得多时,Y很小
D.当T在8
s附近时,Y显著增大;当T比8
s小得多或大得多时,Y很小
解析:由题图可知弹簧振子的固有周期T0=4
s,故选项A正确,B错误;根据受迫振动的特点;当驱动力的周期与系统的固有周期相同时发生共振,振幅最大;当驱动力的周期与系统的固有周期相差越多时,受迫振动物体振动稳定后的振幅越小,故选项C正确,D错误。
1.(简谐运动动力学表达式的理解)对简谐运动的回复力公式F=-kx的理解,正确的是(　C　)
A.k只表示弹簧的劲度系数
B.式中的负号表示回复力总是负值
C.位移x是相对平衡位置的位移
D.回复力只随位移变化,不随时间变化
解析:位移x是相对平衡位置的位移;F=-kx中的负号表示回复力总是与振动物体的位移方向相反。
2.(简谐运动的特征)(多选)某质点做简谐运动,其位移随时间变化的关系式为x=Asin
t,则质点(　AD　)
A.第1
s末与第3
s末的位移相同
B.第1
s末与第3
s末的速度相同
C.3
s末至5
s末的位移方向都相同
D.3
s末至5
s末的速度方向都相同
解析:
由表达式x=Asin
t知,ω=,简谐运动的周期T==8
s。表达式对应的振动图象如图所示。质点在1
s末的位移x1=Asin(×1)=A,质点在3
s末的位移x3=Asin(×3)=A,故A正确。由前面计算可知t=1
s和t=3
s质点连续通过同一位置,故两时刻质点速度大小相等,方向相反,B错误;由xt图象可知,3～4
s内质点的位移为正值,4～5
s内质点的位移为负值,C错误;同样由xt图象可知,在3～5
s内,质点一直向负方向运动,D正确。
3.(振动图象)(多选)一水平弹簧振子做简谐运动的振动图象如图所示,已知弹簧的劲度系数为20
N/cm,则(　AB　)
A.图中A点对应的时刻振子所受的回复力大小为5
N,方向指向x轴的负方向
B.图中A点对应的时刻振子的速度方向指向x轴的正方向
C.在0～4
s内振子做了1.75次全振动
D.在0～4
s内振子通过的路程为3.5
cm
解析:由简谐运动的特点和弹簧弹力与伸长量的关系可知,图中A点对应的时刻振子所受的回复力大小为F=kx=20×
0.25
N=5
N,方向指向x轴的负方向,并且现在正在远离O点向x轴的正方向运动,A,B正确;由图可读出周期为2
s,4
s内振子做两次全振动,通过的路程是s=2×4A=2×4×0.5
cm=4
cm,C,D错误。
4.(单摆)(多选)如图所示,在水平地面上有一段光滑圆弧形槽,弧的半径是R,所对圆心角小于10°,现在圆弧的右侧边缘M处放一个小球A,使其由静止下滑,同时把B球从距O点高度为h处静止释放,则下列说法中正确的是(　BC　)
A.小球由M至O的过程中所需时间t为
B.小球由M至O的过程中机械能守恒。
C.要使B球下落时能在O点与A球相遇,则下落的高度可能为h=R
D.要使B球下落时能在O点与A球相遇,则下落的高度可能为h=R
解析:由单摆周期公式T=2π知,小球A的运动周期T=2π,所以tAO=T=,选项A错误;在由M→O的过程中,圆弧形槽光滑,所以小球A的机械能守恒,选项B正确;欲使A,B相遇,则两球到O点的运动时间相同,A球能到O点的时间可以是T
,也可以是T,故由简谐运动的周期性可知两球相遇所经历时间可以是(+n)T或(+n)T(n=0,1,2,3…)。
所以A球运动的时间必为T的奇数倍,
即t==·(2n+1)(n=0,1,2,3,…)
所以h=R(n=0,1,2,3,…)。
选项C正确,D错误。
5.(受迫振动和共振)在实验室可以做“声波碎杯”的实验,用手指轻弹一只玻璃酒杯,可以听到清脆的声音,测得这声音的频率为500
Hz。将这只酒杯放在一个大功率的声波发生器前,操作人员通过调整其发出的声波,就能使酒杯碎掉。下列说法中正确的是(　D　)
A.操作人员必须把声波发生器输出的功率调到很大
B.操作人员必须使声波发生器发出频率很高的超声波
C.操作人员必须同时增大声波发生器发出声波的频率和功率
D.操作人员必须将声波发生器发出的声波频率调到500
Hz,且适当增大其输出功率
解析:由题可知用手指轻弹一只酒杯,测得这声音的频率为500
Hz,就是酒杯的固有频率。当物体发生共振时,物体振动的振幅最大,甚至可能造成物体解体。将这只酒杯放在一个大功率的声波发生器前,操作人员通过调整其发出声波的频率,将酒杯碎掉是利用的共振现象,而发生共振的条件是驱动力的频率等于物体的固有频率,而酒杯的固有频率为500
Hz,故操作人员要将声波发生器发出的声波频率调到500
Hz,使酒杯产生共振,从而能使酒杯碎掉,故D正确。
1.(2016·浙江4月选考,13)(多选)摆球质量相等的甲、乙两单摆悬挂点高度相同,其振动图象如图所示。选悬挂点所在水平面为重力势能的参考面,由图可知(　AC　)
A.甲、乙两单摆的摆长之比是
B.ta时刻甲、乙两单摆的摆角相等
C.tb时刻甲、乙两单摆的势能差最大
D.tc时刻甲、乙两单摆的速率相等
解析:由图可知==,又因为T=2π,所以摆长之比为4∶9,选项A正确;在tb时刻,乙在平衡位置,最低处,而甲在最高处,因此两者的势能差是最大的,选项C正确;由于甲偏离平衡位置高度差大于乙的,所以甲经过平衡位置时速度大于乙,所以选项D错误;根据图象可知,在ta时刻,两个单摆的位移相同但是摆长不一样,所以选项B错误。
2.(2019·全国Ⅱ卷,34)如图,长为l的细绳下方悬挂一小球a。绳的另一端固定在天花板上O点处,在O点正下方l的O′处有一固定细铁钉。将小球向右拉开,使细绳与竖直方向成一小角度(约为2°)后由静止释放,并从释放时开始计时。当小球a摆至最低位置时,细绳会受到铁钉的阻挡。设小球相对于其平衡位置的水平位移为x,向右为正。下列图象中,能描述小球在开始一个周期内的xt
关系的是(　A　)
解析:由T=2π得摆长为l的单摆周期为T1=2π,摆长为l的单摆周期为T2=2π=π=T1,故B,D错误;摆长为l时,摆球离开平衡位置的最大位移为A1=2l·sin
,摆长为l时,摆球离开平衡位置的位移为A2=2l′·sin
=2··sin
=·sin
,小球先后摆起的最大高度相同,有A1sin
=A2sin
,解得sin
=2sin
,=2,故A正确,C错误。
3.(2018·天津卷,8)(多选)一振子沿x轴做简谐运动,平衡位置在坐标原点。t=0时振子的位移为-0.1
m,t=1
s时位移为
0.1
m,则(　AD　)
A.若振幅为0.1
m,振子的周期可能为
s
B.若振幅为0.1
m,振子的周期可能为
s
C.若振幅为0.2
m,振子的周期可能为4
s
D.若振幅为0.2
m,振子的周期可能为6
s
解析:若振幅为0.1
m,由题意知,Δt=(n+)T,n=0,1,2,…,解得T=
s,n=0,1,2,…,A项正确,B项错误;若振幅为0.2
m,t=0时,由质点简谐运动表达式y=0.2sin(t+0)(m)
可知,0.2sin0(m)=-0.1
m,t=1
s时,有0.2sin(+0)(m)=0.1
m,解得0=-或0=-;将T=6
s代入0.2sin(+0)(m)=0.1
m可得,D项正确;将T=4
s代入0.2sin(+0)(m)≠0.1
m,C项错误。
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