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课时2　抛体运动
基础梳理
1.平抛运动定义
将物体以一定初速度水平抛出去,物体只在
作用下的运动叫平抛运动。
2.平抛运动性质
加速度为重力加速度g的
运动,运动轨迹是抛物线。
3.平抛运动基本规律
以抛出点为原点,水平方向(初速度v0方向)为x轴,竖直向下方向为y轴,建立平面直角坐标系,则:
(1)水平方向:做
运动,速度vx=
,位移x=
。
重力
匀变速曲线
匀速直线
v0
v0t
自由落体
gt
夯实考点
考点一　平抛运动特征
1.因平抛运动只受竖直向下的重力G=mg,故由牛顿第二定律可知,实际加速度就是重力加速度g(方向竖直向下),因为速度方向与合力G(或加速度g)的方向不在同一直线上(开始运动时初速度方向与加速度方向垂直,以后速度方向与加速度方向的夹角越来越小,但是永远不重合)。
2.平抛运动中重力G和重力加速度g是恒量,方向竖直向下,始终垂直于水平面,所以平抛运动是匀变速曲线运动。
3.平抛运动轨迹是抛物线。
4.平抛运动发生在同一个竖直平面内。
[典例1]
在平坦的垒球运动场上,击球手挥动球棒将垒球水平击出,垒球飞行一段时间后落地。若不计空气阻力,则(　　)
A.垒球落地时瞬间速度的大小仅由初速度决定
B.垒球落地时瞬时速度的方向仅由击球点离地面的高度决定
C.垒球在空中运动的水平位移仅由初速度决定
D.垒球在空中运动的时间仅由击球点离地面的高度决定
答案:D
变式1:从水平匀速飞行的直升机上向外自由释放一个物体,不计空气阻力,在物体下落过程中,下列说法正确的是(　
　)
A.从飞机上看,物体静止
B.从飞机上看,物体始终在飞机的后方
C.从地面上看,物体做平抛运动
D.从地面上看,物体做自由落体运动
C
解析:从水平匀速飞行的飞机上释放物体,物体有一水平速度,故从地面上看,物体做平抛运动,选项C正确,D错误;飞机的速度与物体水平方向上的速度相同,故物体始终在飞机的正下方,且相对飞机的竖直位移越来越大,选项A,B错误。
考点二　平抛运动规律
4.速度改变量:因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度g,所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt内的速度改变量Δv=gΔt相同,方向恒为竖直向下,如图甲所示。
6.两个重要推论
(1)做平抛(或类平抛)运动的物体任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点,如图乙中A点和B点所示。
(2)做平抛(或类平抛)运动的物体在任意时刻任一位置处,设其末速度方向与水平方向的夹角为α,位移与水平方向的夹角为θ,则tan
α=2tan
θ。
[典例2]
从某高度水平抛出一小球,经过时间t到达地面时,速度与水平方向的夹角为θ,不计空气阻力,重力加速度为g。下列说法正确的是(　　)
答案:D
变式2:(2016·浙江10月选考)一水平固定的水管,水从管口以不变的速度源源不断地喷出。水管距地面高h=1.8
m,水落地的位置到管口的水平距离x=1.2
m。g取10
m/s2,不计空气及摩擦阻力,水从管口喷出的初速度大小是(　
　)
A.1.2
m/s
B.2.0
m/s
C.3.0
m/s
D.4.0
m/s
B
考点三　与斜面相关的平抛运动
[典例3]
滑雪比赛惊险刺激,如图所示,一名跳台滑雪运动员经过一段加速滑行后从O点水平飞出,经过3.0
s落到斜坡上的A点。已知O点是斜坡的起点,斜坡与水平面的夹角θ=37°,不计空气阻力(取sin
37°=0.6,cos
37°=0.8,g取10
m/s2)。求:
(1)A点与O点的距离L;
答案:(1)75
m
(2)运动员离开O点时的速度大小;
答案:(2)20
m/s
(3)运动员从O点飞出到离斜坡距离最远所用的时间。
答案:(3)1.5
s
规律总结
物体从斜面平抛又落在斜面上问题的规律
(1)物体的竖直位移与水平位移之比是同一个常数,这个常数等于斜面倾角的正切值。
(2)物体的运动时间与初速度成正比。
(3)物体落在斜面上,位移方向相同,都沿斜面方向。
(4)物体落在斜面上时的速度方向平行。
(5)当物体的速度方向与斜面平行时,物体离斜面的距离最远。
变式3:如图所示,小球以v0正对倾角为θ的斜面水平抛出,若小球到达斜面的位移最小,则飞行时间t为(重力加速度为g)(　
　)
D
变式4:某同学在某砖墙前的高处水平抛出一个石子,石子在空中运动的部分轨迹照片如图所示。从照片可看出石子恰好垂直打在一倾角为37°的斜坡上的A点。已知每块砖的平均厚度为10
cm,抛出点到A点竖直方向刚好相距200块砖,取g=10
m/s2。(sin
37°=0.6,cos
37°=0.8)求:
(1)石子在空中运动的时间t;
(2)石子水平抛出的速度v0。
(2)A点石子的速度分解可得v0=vytan
37°
又因vy=gt,解得vy=20
m/s
故v0=15
m/s。
答案:(1)2
s　
(2)15
m/s
考点四　与圆轨道关联的平抛运动
在竖直半圆内进行平抛时,圆的半径和半圆轨道对平抛运动形成制约。画出轨迹和落点相对圆心的位置,利用几何关系和平抛运动规律求解。
[典例4]
如图,一小球从一半圆轨道左端A点正上方某处做平抛运动(小球可视为质点),飞行过程中恰好与半圆轨道相切于B点。O为半圆轨道圆心,半圆轨道半径为R,OB与水平方向夹角为60°,重力加速度为g,则小球抛出时的初速度为(　　)
答案:B
变式5:如图所示,AB为半圆环ACB的水平直径,C为环上的最低点,环半径为R。一个小球从A点以速度v0水平抛出,不计空气阻力,则下列判断正确的是(　
)
A.v0越大,小球落在圆环上所用的时间越长
B.即使v0取值不同,小球掉到环上时的速度方向和水平方向之间的夹角也相同
C.若v0取值适当,可以使小球垂直撞击半圆环
D.无论v0取何值,小球都不可能垂直撞击半圆环
D　
考点五　类平抛运动模型
2.求解技巧
(1)常规分解法:将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向(即沿合力方向)的匀加速直线运动,两分运动彼此独立,互不影响,且与合运动具有等时性。
(2)特殊分解法:对于有些问题,可以过抛出点建立适当的直角坐标系,将加速度分解为ax,ay,初速度v0分解为vx,vy,然后分别在x,y方向列方程求解。
[典例5]
如图所示,两个倾角分别为30°,45°的光滑斜面放在同一水平面上,斜面高度相等。有三个完全相同的小球a,b,c,开始均静止于同一高度处,其中b小球在两斜面之间,a,c两小球在斜面顶端,两斜面间距大于小球直径。若同时由静止释放,a,b,c小球到达水平面的时间分别为t1,t2,t3。若同时沿水平方向抛出,初速度方向如图所示,到达水平面的时间分别为t1′,t2′,t3′。下列关于时间的关系不正确的是(　　)
A.t1>t3>t2
B.t1=t1′,t2=t2′,t3=t3′
C.t1′>t3′>t2′
D.t1答案:D
变式6:根据高中所学知识可知,做自由落体运动的小球,将落在正下方位置。但实际上,赤道上方200
m处无初速下落的小球将落在正下方位置偏东约6
cm处。这一现象可解释为,除重力外,由于地球自转,下落过程小球还受到一个水平向东的“力”,该“力”与竖直方向的速度大小成正比。现将小球从赤道地面竖直上抛,考虑对称性,上升过程该“力”水平向西,则小球(　
　)
A.到最高点时,水平方向的加速度和速度均为零
B.到最高点时,水平方向的加速度和速度均不为零
C.落地点在抛出点东侧
D.落地点在抛出点西侧
D
解析:将小球竖直上抛的运动分解为水平和竖直两个分运动。上升阶段,随着小球竖直分速度的减小,其水平向西的力逐渐变小,因此水平向西的分加速度逐渐变小,小球的水平分运动是向西的变加速运动,故小球到最高点时水平向西的速度达到最大值,水平向西的加速度为零;下落阶段,随着小球竖直分速度的变大,其水平向东的力逐渐变大,水平向东的分加速度逐渐变大,小球的水平分运动是向西的变减速运动,故小球的落地点应在抛出点的西侧,选项D正确。
课堂训练
1.(平抛运动特征)为了验证平抛运动的小球在竖直方向上做自由落体运动,用如图所示的装置进行实验。小锤打击弹性金属片,A球水平抛出,同时B球被松开,自由下落。关于该实验,下列说法中正确的有(　
　)
A.两球的质量应相等
B.两球不同时落地
C.应改变装置的高度,多次实验
D.实验也能说明A球在水平方向上做匀速直线运动
C
(教师备用)
解析:小锤打击弹性金属片后,A球做平抛运动,B球做自由落体运动。A球在竖直方向上的运动情况与B球相同,做自由落体运动,因此两球同时落地。实验时,需A,B两球从同一高度同时开始运动,对质量没有要求,但两球的初始高度及打击力度应该有变化,要进行3～5次实验得出结论。本实验不能说明A球在水平方向上的运动性质,故选项C正确,A,B,D错误。
2.(平抛运动特性)(2019·浙江1月学考)用小锤子打弹性金属片后,一小球做平抛运动,同时另一小球做自由落体运动。两球运动的频闪照片如图所示,最上面与最下面小球位置间的实际竖直距离为1
m,照片中反映的实际情况是(　
　)
A.自由下落小球相邻位置间的位移相等
B.平抛运动小球相邻位置间的位移相等
C.自由下落小球相邻位置间的距离一定大于0.1
m
D.平抛运动小球相邻位置间的水平距离一定大于0.1
m
D
A
解析:甲、乙两球的运动轨迹如图所示,两球的位移方向相同,根据末速度方向与位移方向的关系可知,两球末速度方向也相同,在速度的矢量三角形中,末速度比值等于初速度比值,故A正确。
4.(平抛运动与圆周运动结合)如图所示,B为竖直圆轨道的左端点,它和圆心O的连线与竖直方向的夹角为α。一小球在圆轨道左侧的A点以速度v0平抛,恰好沿B点的切线方向进入圆轨道。已知重力加速度为g,则A,B之间的水平距离为(　
　)
A
真题试做
1.(2020·浙江1月选考,5)如图所示,钢球从斜槽轨道末端以v0的水平速度飞出,经过时间t落在斜靠的挡板AB中点。若钢球以2v0的速度水平飞出,则(　
　)
C
2.(2017·浙江4月选考,13)图中给出了某一通关游戏的示意图,安装在轨道AB上可上下移动的弹射器,能水平射出速度大小可调节的弹丸,弹丸射出口在B点的正上方。竖直面内的半圆弧BCD的半径R=2.0
m,直径BD水平且与轨道AB处在同一竖直面内,小孔P和圆心O连线与水平方向夹角为37°。游戏要求弹丸垂直于P点圆弧切线方向射入小孔P就能进入下一关。为了能通关,弹射器离B点的高度和弹丸射出的初速度分别是(不计空气阻力,sin
37°=0.6,
cos
37°=0.8)(　
　)
A
3.(2015·浙江10月选考,19)如图1所示,饲养员对着长l=1.0
m
的水平细长管的一端吹气,将位于吹气端口的质量m=0.02
kg
的注射器射到动物身上。注射器飞离长管末端的速度大小v=20
m/s。可视为质点的注射器在长管内做匀变速直线运动,离开长管后做平抛运动,如图2所示。
(1)求注射器在长管内运动时的加速度大小;
(2)求注射器在长管内运动时受到的合力大小;
(2)由牛顿第二定律F=ma,
得F=4
N。
答案:(1)2.0×102
m/s2
(2)4
N
(3)若动物与长管末端的水平距离x=4.0
m,求注射器下降的高度h。
(g取10
m/s2)
答案:(3)0.2
m课时2　抛体运动
1.对做平抛运动的物体,下列说法正确的是(　C　)
A.运动轨迹可能是一直线
B.在任何相等时间内的位移增量总是相等的
C.在任何相等时间内的速度变化总是大小相等,方向相同
D.在任何相等时间内的速度变化大小不等,但方向相同
解析:平抛运动是匀变速曲线运动,所以在相同时间内位移的改变量是不相等的,但速度变化一定相等,方向相同,C正确。
2.如图所示,P,Q为两个相同的小球,用小锤打击弹性金属片后,P球沿水平方向抛出,同时Q球做自由落体运动,不计空气阻力。关于P,Q两球在空中运动的下列说法中,错误的是(　A　)
A.速度方向始终相同
B.加速度大小一定相同
C.所受重力大小一定相同
D.同一时刻始终处于同一高度
解析:P球和Q球的速度方向不同,但加速度和重力都是相同的,在相同时间内在竖直方向上的位移相同,故同一时刻在同一高度,B,C,D正确,A错误。
3.如图所示,从地面上同一位置抛出两小球A,B,分别落在地面上的M,N点,两球运动的最大高度相同。空气阻力不计,则(　D　)
A.B的加速度比A的大
B.B的飞行时间比A的长
C.B在最高点的速度与A在最高点的速度一样大
D.B在落地时的速度比A在落地时的大
解析:在同一位置抛出的两小球,不计空气阻力,在运动过程中的加速度等于重力加速度,故A,B的加速度相等,选项A错误;根据h=gt2,两球运动的最大高度相同,故两球飞行的时间相等,选项B错误;由于B的射程大,根据水平方向匀速运动的规律x=vt,故B在最高点的速度比A的大,选项C错误;根据竖直方向两球做自由落体运动,A,B落地时在竖直方向的速度相等,B的水平速度大,速度合成后B在落地时的速度比A的大,选项D正确。
4.a,b两个物体做平抛运动的轨迹如图所示,设它们抛出时的初速度分别为va,vb,从抛出至碰到台上的时间分别为ta,tb,则(　D　)
A.va=vb
B.vaC.ta>tb
D.ta解析:由题图知,hb>ha,由h=gt2得ta又因为x=v0t,且xa>xb,所以va>vb,选项D正确。
5.某物体做平抛运动时,它的速度方向与水平方向的夹角为θ,其正切值tan
θ随时间t变化的图象如图所示,(g取10
m/s2)则(　A　)
A.第1
s物体下落的高度为5
m
B.第1
s物体下落的高度为10
m
C.物体的初速度为5
m/s
D.物体的初速度为8
m/s
解析:因tan
θ==t,对应图象可得=1,v0=10
m/s,C,D错误;第1
s内物体下落的高度h=gt2=×10×12
m=5
m,A正确,B错误。
6.(2019·浙江6月学考)如图所示,玩具枪枪管保持水平且与固定靶中心位于同一水平线上,枪口与靶心距离不变。若不考虑空气阻力,子弹击中靶后即停止,则子弹发射速度越大(　D　)
A.位移越大
B.空中飞行时间不变
C.空中飞行时间越长
D.击中点离靶心越近
解析:由平抛运动规律x=vt,y=gt2可得,水平位移一定时,子弹发射速度越大,飞行时间越短,竖直位移越小,选项D正确。
7.物体以一定的初速度水平抛出,不计空气阻力。经过t1时间,其速度方向与水平方向夹角为37°,再经过t2时间,其速度方向与水平方向夹角为53°,sin
37°=0.6,cos
37°=0.8。则t1∶t2为(　A　)
A.9∶7
B.7∶9
C.16∶9
D.9∶16
解析:设初速度为v0,则tan
37°==,解得t1=。tan
53°=,解得vy′=v0,则t2===,则t1∶t2=9∶7,选项A正确,B,C,D
错误。
8.某弹射管每次弹出的小球速度相等。在沿光滑竖直轨道自由下落过程中,该弹射管保持水平,先后弹出两只小球。忽略空气阻力,两只小球落到水平地面的(　B　)
A.时刻相同,地点相同
B.时刻相同,地点不同
C.时刻不同,地点相同
D.时刻不同,地点不同
解析:弹出的小球做平抛运动,竖直方向的分运动为自由落体运动,水平方向的分运动为匀速直线运动。弹射管沿光滑竖直轨道自由下落,两只小球始终处于同一水平面,因此两只小球同时落地。由h=gt2知,两只小球在空中运动的时间不相等,由x=vt知水平位移不相等,落地点不同。
9.如图所示,水平面内放置一个直径d=1
m,高h=1
m的无盖薄油桶,沿油桶直径距左桶壁s=2
m处的正上方有一点P,P点的高度H=3
m,从P点沿直径方向水平抛出一小球,不考虑小球的反弹,下列说法不正确的是(取g=10
m/s2)(　B　)
A.小球的速度范围为
m/sm/s时,小球击中油桶的内壁
B.小球的速度范围为
m/sm/s时,小球击中油桶的下底
C.小球的速度范围为
m/sm/s时,小球击中油桶外壁
D.若P点的高度变为1.8
m,则小球无论初速度多大,均不能落在桶底(桶边沿除外)
解析:如图所示,由平抛运动规律可知,若小球落在A点时,vA=s=
m/s,当小球落在D点时,vD=s=
m/s,当小球落在B点时,vB=(s+d)=
m/s,当小球落在C点时,vC=(s+d)=
m/s,可知
m/sm/s,小球击中油桶内壁;
m/sm/s,小球击中油桶外壁;
m/s
m/s,小球击中油桶下底,选项A,C正确;B错误;若P点的高度变为H0=1.8
m,小球恰好过D点,则此时的初速度v′=s=5
m/s,小球恰好过B点,则此时速度
v″=(s+d)=5
m/s,由此可知,在此高度上初速度大于5
m/s,小球落在油桶右侧内壁上,当速度小于5
m/s时,小球至多落在油桶左侧外壁上,选项D正确。
10.一辆小车沿水平面始终做匀变速直线运动。一根细线的上端固定在车顶,下端系一个小球M,稳定时,细线的位置如图所示,P点为小球正下方小车地板上的点。某时刻细线突然断裂,小球第一次落到小车的地板上Q点(Q点未标出,该过程小车的运动方向没有变,小球没有跟左右两壁相碰,不计空气阻力)。则下列说法正确的是(　B　)
A.无论小车向左运动还是向右运动,Q点都一定在P点的左侧
B.无论小车向左运动还是向右运动,Q点都一定在P点的右侧
C.若小车向左运动,则Q点一定在P点的左侧
D.若小车向右运动,则Q点一定在P点的左侧
解析:由题图可知,系统具有向左的恒定加速度,当细线断裂后,小球在水平方向上做匀速运动,小车仍然具有向左的加速度,向左运动则加速,相同时间内小车位移大于小球位移,小球落在P点右侧;向右运动则减速,相同时间内小车位移小于小球位移,小球仍落在P点右侧,B正确。
11.羽毛球运动员表演羽毛球定点击鼓,如图是他表演时的羽毛球场地示意图。图中甲、乙两鼓等高,丙、丁两鼓较低但也等高。若运动员每次发球时羽毛球飞出位置不变且均做平抛运动,则(　B　)
A.击中甲、乙的两球初速度v甲=v乙
B.击中甲、乙的两球初速度v甲>v乙
C.假设某次发球能够击中甲鼓,用相同速度发球可能击中丁鼓
D.击中四鼓的羽毛球中,击中丙鼓的初速度最大
解析:由题图可知,甲、乙两鼓的高度相同,所以羽毛球到达两鼓用时相同,但由于两鼓离运动员的水平距离不同,甲鼓的水平距离较远,由v=可知,击中甲、乙的两球初速度v甲>v乙,故选项A错误,B正确;由题图可知,用击中甲鼓的速度发球不可能到达丁鼓,故选项C错误;由于丁、丙两鼓高度相同,但丁鼓离运动员的水平距离最大,所以击中丁鼓的初速度最大,故D错误。
12.轰炸机沿水平方向匀速飞行,到达山坡底端正上方时释放一颗炸弹,如图所示,并垂直击中山坡上的目标A。已知A点高度为h,山坡倾角为θ,由以上条件不能算出(　D　)
A.轰炸机的飞行高度
B.轰炸机的飞行速度
C.炸弹的飞行时间
D.炸弹投出时的动能
解析:根据题述,tan
θ=,x=vt,tan
θ=,H=h+y,y=gt2,由此可算出轰炸机的飞行高度H,轰炸机的飞行速度v,炸弹的飞行时间t。由于题干中没有给出炸弹质量,不能得出炸弹投出时的动能,故选D。
能力提升
13.如图所示为足球球门,球门宽为L,一个球员在球门中心正前方距离球门线s处高高跃起,将足球顶入球门的左下方死角(图中P点)。球员顶球点的高度为h。顶球后足球做平抛运动(足球可看做质点,忽略空气阻力)则(　B　)
A.足球位移大小x=
B.足球初速度的大小v0=
C.足球末速度的大小v=
D.足球初速度的方向与球门线夹角的正切值tan
θ=
解析:由几何知识得足球的位移x=,A错误;足球做平抛运动有x′==v0t,h=gt2,解得v0=,B正确;足球末速度大小为v==,C错误;足球初速度的方向与球门线夹角的正切值tan
θ==,D错误。
14.(多选)如图(a),在跳台滑雪比赛中,运动员在空中滑翔时身体的姿态会影响其下落的速度和滑翔的距离。某运动员先后两次从同一跳台起跳,每次都从离开跳台开始计时,用v表示他在竖直方向的速度,其vt图象如图(b)所示,t1和t2是他落在倾斜雪道上的时刻。则(　BD　)
A.第二次滑翔过程中在竖直方向上的位移比第一次的小
B.第二次滑翔过程中在水平方向上的位移比第一次的大
C.第二次滑翔过程中在竖直方向上的平均加速度比第一次的大
D.竖直方向速度大小为v1时,第二次滑翔在竖直方向上所受阻力比第一次的大
解析:vt图象与时间轴所围的面积表示竖直方向的位移,根据题意结合图象可知,第二次面积大于第一次面积,表示第二次滑翔过程中在竖直方向上的位移比第一次的大,故A错误;根据几何关系可知,第二次滑翔过程中竖直方向上的位移大,其在水平方向上的位移就大,故B正确;根据加速度的定义式a=,结合图象知Δv1>Δv2,Δt1<Δt2,则>,即第二次滑翔过程中在竖直方向上的平均加速度比第一次的小,故C错误;竖直方向速度为v1时,第一次滑翔过程的图象的切线斜率比第二次的大,即a1>a2,由mg-fy=ma,可知,fy115.在真空环境内探测微粒在重力场中能量的简化装置如图所示。P是一个微粒源,能持续水平向右发射质量相同、初速度不同的微粒。高度为h的探测屏AB竖直放置,离P点的水平距离为L,上端A与P点的高度差也为h。
(1)若微粒打在探测屏AB的中点,求微粒在空中飞行的时间;
(2)求能被屏探测到的微粒的初速度范围;
(3)若打在探测屏A,B两点的微粒的动能相等,求L与h的关系。
解析:(1)打在AB中点的微粒,在竖直方向有h=gt2
解得t=。
(2)打在B点的微粒初速度最小,有
v1=,2h=g
v1=L
同理,打在A点的微粒初速度最大,为v2=L,
微粒初速度范围
L≤v≤L。
(3)由能量关系
m+mgh=m+2mgh,
解得
L=2h。
答案:(1)　(2)L≤v≤L　(3)L=2h
16.如图所示,水平地面的B点右侧有一扇形挡板,半径R=4
m,B为圆心,BC连线与竖直方向夹角为37°。滑块静止在水平地面上的A点,AB间距L=4.5
m。现用水平拉力F=18
N
沿AB方向拉滑块,持续作用一段距离后撤去,滑块恰落在扇形挡板的C点,已知滑块质量m=2
kg,与水平面间的动摩擦因数μ=0.4,g取10
m/s2,sin
37°=0.6,cos
37°
=0.8。求:
(1)拉力F作用的距离;
(2)滑块从A点运动到圆弧上C点所用的时间。
解析:(1)滑块落在C点,其从B点射出的速度v2满足
Rsin
37°=v2t3
又Rcos
37°=g
在水平面上加速前进x1时,物块恰好落到C点,由动能定理Fx1-μmgL=m
解得x1=2.5
m。
(2)开始时的加速度为a1,由牛顿第二定律
F-μmg=ma1,x1=a1,vmax=a1t1
撤力后滑块在水平面上减速运动的加速度为a2,运动时间为t2
μmg=ma2
v2=vmax-a2t2
运动总时间为t=t1+t2+t3=2.3
s。
答案:(1)2.5
m　(2)2.3
s
17.如图所示,装甲车在水平地面上以速度v0=20
m/s沿直线前进,车上机枪的枪管水平,距地面高度为h=1.8
m。在车正前方竖立一块高度为两米的长方形靶,其底边与地面接触。枪口与靶距离为L时,机枪手正对靶射出第一发子弹,子弹相对于枪口的初速度为v=800
m/s。在子弹射出的同时,装甲车开始匀减速运动,行进x=90
m后停下。装甲车停下后,机枪手以相同方式射出第二发子弹。(不计空气阻力,子弹看成质点,重力加速度g=10
m/s2)
(1)求装甲车匀减速运动时的加速度大小;
(2)当L=410
m时,求第一发子弹的弹孔离地的高度,并计算靶上两个弹孔之间的距离;
(3)若靶上只有一个弹孔,求L的范围。
解析:(1)装甲车减速过程中有0-=-2ax
代入数据得a=
m/s2。
(2)第一发子弹对地飞行的初速度v1=v0+v=820
m/s,
第一发子弹的运动时间t1=,
第一发子弹下落高度
h1=g,
第一发子弹弹孔离地高度为
H=h-h1,
代入数据可知H=0.55
m。
同理,
第二发子弹的运动时间t2=,
第二发子弹下落高度h2=g,
两个弹孔之间的距离Δh=h1-h2,
代入数据可知Δh=0.45
m。
(3)若靶上只有一个弹孔,则临界条件为第一发子弹没打到靶上,第二发子弹恰好打到靶上
子弹平抛运动时间h=gt2,
第一发子弹刚好没有打到靶的距离为L1=v1t,
代入数据为L1=492
m,
第二发子弹刚好打到靶的距离为L2-90
m=vt,
代入数据为L2=570
m,
所以492
mm。
答案:(1)
m/s2　(2)0.55
m　0.45
m
(3)492
mm
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-
10
-课时2　抛体运动
1.平抛运动定义
将物体以一定初速度水平抛出去,物体只在重力作用下的运动叫平抛运动。
2.平抛运动性质
加速度为重力加速度g的匀变速曲线运动,运动轨迹是抛物线。
3.平抛运动基本规律
以抛出点为原点,水平方向(初速度v0方向)为x轴,竖直向下方向为y轴,建立平面直角坐标系,则:
(1)水平方向:做匀速直线运动,速度vx=v0,位移x=v0t。
(2)竖直方向:做自由落体运动,速度vy=gt,位移y=gt2。
(3)合速度:v=,方向与水平方向的夹角为θ,则tan
θ==。
(4)合位移:x=,方向与水平方向的夹角为α,tan
α==。
考点一　平抛运动特征
1.因平抛运动只受竖直向下的重力G=mg,故由牛顿第二定律可知,实际加速度就是重力加速度g(方向竖直向下),因为速度方向与合力G(或加速度g)的方向不在同一直线上(开始运动时初速度方向与加速度方向垂直,以后速度方向与加速度方向的夹角越来越小,但是永远不重合)。
2.平抛运动中重力G和重力加速度g是恒量,方向竖直向下,始终垂直于水平面,所以平抛运动是匀变速曲线运动。
3.平抛运动轨迹是抛物线。
4.平抛运动发生在同一个竖直平面内。
[典例1]
在平坦的垒球运动场上,击球手挥动球棒将垒球水平击出,垒球飞行一段时间后落地。若不计空气阻力,则(　　)
A.垒球落地时瞬间速度的大小仅由初速度决定
B.垒球落地时瞬时速度的方向仅由击球点离地面的高度决定
C.垒球在空中运动的水平位移仅由初速度决定
D.垒球在空中运动的时间仅由击球点离地面的高度决定
解析:击球手将垒球水平击出后,在不计空气阻力的情况下,垒球做平抛运动,即水平方向做匀速运动,竖直方向做自由落体运动。则垒球落地时瞬时速度的大小为v=,其速度方向与水平方向夹角θ满足tan
θ=,选项A,B错误;垒球在空中运动的时间t=,仅与高度有关,故D正确;垒球在空中运动的水平位移x=v0t=v0,与初速度和高度都有关,故C错误。
答案:D
变式1:从水平匀速飞行的直升机上向外自由释放一个物体,不计空气阻力,在物体下落过程中,下列说法正确的是(　C　)
A.从飞机上看,物体静止
B.从飞机上看,物体始终在飞机的后方
C.从地面上看,物体做平抛运动
D.从地面上看,物体做自由落体运动
解析:从水平匀速飞行的飞机上释放物体,物体有一水平速度,故从地面上看,物体做平抛运动,选项C正确,D错误;飞机的速度与物体水平方向上的速度相同,故物体始终在飞机的正下方,且相对飞机的竖直位移越来越大,选项A,B错误。
考点二　平抛运动规律
1.飞行时间:由t=知,时间取决于下落高度h,与初速度v0无关。
2.水平射程:x=v0t=v0,即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定,与其他因素无关。
3.落地速度:vt==,以θ表示落地速度与x轴正方向的夹角,有tan
θ==,所以落地速度也只与初速度v0和下落高度h有关。
4.速度改变量:因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度g,所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt内的速度改变量Δv=gΔt相同,方向恒为竖直向下,如图甲所示。
5.平抛运动的轨迹方程:y=gt2=g()2=x2,所以平抛运动的轨迹是抛物线。
6.两个重要推论
(1)做平抛(或类平抛)运动的物体任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点,如图乙中A点和B点所示。
(2)做平抛(或类平抛)运动的物体在任意时刻任一位置处,设其末速度方向与水平方向的夹角为α,位移与水平方向的夹角为θ,则tan
α=2tan
θ。
[典例2]
从某高度水平抛出一小球,经过时间t到达地面时,速度与水平方向的夹角为θ,不计空气阻力,重力加速度为g。下列说法正确的是(　　)
A.小球水平抛出时的初速度大小为gttan
θ
B.小球在t时间内的位移方向与水平方向的夹角为
C.若小球初速度增大,则平抛运动的时间变长
D.若小球初速度增大,则θ减小
解析:
速度、位移分解如图,
vy=gt,v0==,故A错误。
设位移与水平方向夹角为α,则tan
θ=2tan
α,α≠,故B错误。平抛时间由下落高度决定,与水平初速度无关,故C错误。
由tan
θ=知,v0增大,θ减小,D正确。
答案:D
变式2:(2016·浙江10月选考)一水平固定的水管,水从管口以不变的速度源源不断地喷出。水管距地面高h=1.8
m,水落地的位置到管口的水平距离x=1.2
m。g取10
m/s2,不计空气及摩擦阻力,水从管口喷出的初速度大小是(　B　)
A.1.2
m/s
B.2.0
m/s
C.3.0
m/s
D.4.0
m/s
解析:由x=v0t,h=gt2,得v0=x,代入数据解得v0=2.0
m/s,选项B正确。
考点三　与斜面相关的平抛运动
方法
内容
斜面
总结
分解位移
x=v0t,y=gt2,tan
θ=可求得t=
分解位移,构建位移三角形
分解速度
vx=v0,vy=gt,tan
θ==可求得t=
分解速度,构建速度三角形
vx=v0,vy=gt,tan
θ==可求得t=
[典例3]
滑雪比赛惊险刺激,如图所示,一名跳台滑雪运动员经过一段加速滑行后从O点水平飞出,经过3.0
s落到斜坡上的A点。已知O点是斜坡的起点,斜坡与水平面的夹角θ=37°,不计空气阻力(取sin
37°=0.6,cos
37°=0.8,g取10
m/s2)。求:
(1)A点与O点的距离L;
(2)运动员离开O点时的速度大小;
(3)运动员从O点飞出到离斜坡距离最远所用的时间。
解析:(1)运动员在竖直方向做自由落体运动,有
Lsin
37°=gt2
L==75
m。
(2)设运动员离开O点时的速度为v0,运动员在水平方向的分运动为匀速直线运动,
有Lcos
37°=v0t
即v0==20
m/s。
(3)法一　运动员的平抛运动可分解为沿斜面方向的匀加速运动(初速度为v0cos
37°、加速度为gsin
37°)和垂直斜面方向的类竖直上抛运动(初速度为v0sin
37°、加速度为gcos
37°)。
当垂直斜面方向的速度减为零时,运动员离斜坡距离最远,有v0sin
37°=gtcos
37°,解得t=1.5
s。
法二　当运动员的速度方向平行于斜坡或与水平方向成37°时,运动员与斜坡距离最远,
有=tan
37°,得t=1.5
s。
答案:(1)75
m　(2)20
m/s　(3)1.5
s
物体从斜面平抛又落在斜面上问题的规律
(1)物体的竖直位移与水平位移之比是同一个常数,这个常数等于斜面倾角的正切值。
(2)物体的运动时间与初速度成正比。
(3)物体落在斜面上,位移方向相同,都沿斜面方向。
(4)物体落在斜面上时的速度方向平行。
(5)当物体的速度方向与斜面平行时,物体离斜面的距离最远。
变式3:如图所示,小球以v0正对倾角为θ的斜面水平抛出,若小球到达斜面的位移最小,则飞行时间t为(重力加速度为g)(　D　)
A.v0tan
θ
B.
C.
D.
解析:
如图所示,要小球到达斜面的位移最小,则要求落点与抛出点的连线与斜面垂直,所以有tan
θ=,而x=v0t,
y=gt2,解得t=。
变式4:某同学在某砖墙前的高处水平抛出一个石子,石子在空中运动的部分轨迹照片如图所示。从照片可看出石子恰好垂直打在一倾角为37°的斜坡上的A点。已知每块砖的平均厚度为10
cm,抛出点到A点竖直方向刚好相距200块砖,取g=10
m/s2。(sin
37°=0.6,cos
37°=0.8)求:
(1)石子在空中运动的时间t;
(2)石子水平抛出的速度v0。
解析:(1)由题意可知,石子落到A点的竖直位移
y=200×10×10-2m=20
m
由y=gt2得t=2
s。
(2)A点石子的速度分解可得v0=vytan
37°
又因vy=gt,解得vy=20
m/s
故v0=15
m/s。
答案:(1)2
s　
(2)15
m/s
考点四　与圆轨道关联的平抛运动
在竖直半圆内进行平抛时,圆的半径和半圆轨道对平抛运动形成制约。画出轨迹和落点相对圆心的位置,利用几何关系和平抛运动规律求解。
[典例4]
如图,一小球从一半圆轨道左端A点正上方某处做平抛运动(小球可视为质点),飞行过程中恰好与半圆轨道相切于B点。O为半圆轨道圆心,半圆轨道半径为R,OB与水平方向夹角为60°,重力加速度为g,则小球抛出时的初速度为(　　)
A.
B.
C.
D.
解析:平抛运动的水平位移x=R+Rcos
60°
设小球抛出时的初速度为v0,则到达B点时有tan
60°=
水平位移与水平速度v0的关系为x=v0t,联立解得v0=,选项B正确。
答案:B
变式5:如图所示,AB为半圆环ACB的水平直径,C为环上的最低点,环半径为R。一个小球从A点以速度v0水平抛出,不计空气阻力,则下列判断正确的是(　D　)
A.v0越大,小球落在圆环上所用的时间越长
B.即使v0取值不同,小球掉到环上时的速度方向和水平方向之间的夹角也相同
C.若v0取值适当,可以使小球垂直撞击半圆环
D.无论v0取何值,小球都不可能垂直撞击半圆环
解析:小球落在环上的最低点C的时间最长,所以选项A错误;v0取值不同,小球掉到环上时的速度方向和水平方向之间的夹角不相同,选项B错误;要使小球垂直撞击半圆环,设小球落点与圆心的连线与水平方向夹角为θ,根据平抛运动规律,有v0t=R(1+cos
θ),Rsin
θ=gt2,tan
θ=,联立解得cos
θ=1,即垂直撞击到B点,这是不可能的,所以选项D正确,C错误。
考点五　类平抛运动模型
1.运动特点
类平抛运动指物体所受合力为恒力,且与初速度的方向垂直,在初速度v0方向做匀速直线运动,在合力方向做初速度为零的匀加速直线运动,加速度a=,且方向与初速度方向垂直。
2.求解技巧
(1)常规分解法:将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向(即沿合力方向)的匀加速直线运动,两分运动彼此独立,互不影响,且与合运动具有等时性。
(2)特殊分解法:对于有些问题,可以过抛出点建立适当的直角坐标系,将加速度分解为ax,ay,初速度v0分解为vx,vy,然后分别在x,y方向列方程求解。
[典例5]
如图所示,两个倾角分别为30°,45°的光滑斜面放在同一水平面上,斜面高度相等。有三个完全相同的小球a,b,c,开始均静止于同一高度处,其中b小球在两斜面之间,a,c两小球在斜面顶端,两斜面间距大于小球直径。若同时由静止释放,a,b,c小球到达水平面的时间分别为t1,t2,t3。若同时沿水平方向抛出,初速度方向如图所示,到达水平面的时间分别为t1′,t2′,t3′。下列关于时间的关系不正确的是(　　)
A.t1>t3>t2
B.t1=t1′,t2=t2′,t3=t3′
C.t1′>t3′>t2′
D.t1解析:第一种情况:b球做自由落体运动,a,c做匀加速运动,设斜面的高度为h,则对a球有=sin
30°,
对b球有h=g
对c球有=gsin
45°
由数学知识得t1>t3>t2。
第二种情况:a,b,c三球都沿水平方向有初速度,而水平方向不受力,故做匀速直线运动;a,c小球沿斜面向下方向分运动不变,b球竖直方向分运动也不变,故t1=t1′,t2=t2′,
t3=t3′。
答案:D
变式6:根据高中所学知识可知,做自由落体运动的小球,将落在正下方位置。但实际上,赤道上方200
m处无初速下落的小球将落在正下方位置偏东约6
cm处。这一现象可解释为,除重力外,由于地球自转,下落过程小球还受到一个水平向东的“力”,该“力”与竖直方向的速度大小成正比。现将小球从赤道地面竖直上抛,考虑对称性,上升过程该“力”水平向西,则小球(　D　)
A.到最高点时,水平方向的加速度和速度均为零
B.到最高点时,水平方向的加速度和速度均不为零
C.落地点在抛出点东侧
D.落地点在抛出点西侧
解析:将小球竖直上抛的运动分解为水平和竖直两个分运动。上升阶段,随着小球竖直分速度的减小,其水平向西的力逐渐变小,因此水平向西的分加速度逐渐变小,小球的水平分运动是向西的变加速运动,故小球到最高点时水平向西的速度达到最大值,水平向西的加速度为零;下落阶段,随着小球竖直分速度的变大,其水平向东的力逐渐变大,水平向东的分加速度逐渐变大,小球的水平分运动是向西的变减速运动,故小球的落地点应在抛出点的西侧,选项D正确。
1.(平抛运动特征)为了验证平抛运动的小球在竖直方向上做自由落体运动,用如图所示的装置进行实验。小锤打击弹性金属片,A球水平抛出,同时B球被松开,自由下落。关于该实验,下列说法中正确的有(　C　)
A.两球的质量应相等
B.两球不同时落地
C.应改变装置的高度,多次实验
D.实验也能说明A球在水平方向上做匀速直线运动
解析:小锤打击弹性金属片后,A球做平抛运动,B球做自由落体运动。A球在竖直方向上的运动情况与B球相同,做自由落体运动,因此两球同时落地。实验时,需A,B两球从同一高度同时开始运动,对质量没有要求,但两球的初始高度及打击力度应该有变化,要进行3～5次实验得出结论。本实验不能说明A球在水平方向上的运动性质,故选项C正确,A,B,D错误。
2.(平抛运动特性)(2019·浙江1月学考)用小锤子打弹性金属片后,一小球做平抛运动,同时另一小球做自由落体运动。两球运动的频闪照片如图所示,最上面与最下面小球位置间的实际竖直距离为1
m,照片中反映的实际情况是(　D　)
A.自由下落小球相邻位置间的位移相等
B.平抛运动小球相邻位置间的位移相等
C.自由下落小球相邻位置间的距离一定大于0.1
m
D.平抛运动小球相邻位置间的水平距离一定大于0.1
m
解析:由图可知,两小球的运动经历了10个时间间隔,且做平抛运动小球的水平位移大于做自由落体运动小球的竖直位移,即做平抛运动的小球在水平方向的位移x>1
m,则其相邻位置间的水平距离一定大于=0.1
m,选项D正确。
3.(平抛运动与斜面结合)在一斜面顶端,将甲、乙两个小球分别以v和的速度沿同一方向水平抛出,两球都落在该斜面上。甲球落至斜面时的速率是乙球落至斜面时速率的(　A　)
A.2倍
B.4倍
C.6倍
D.8倍
解析:
甲、乙两球的运动轨迹如图所示,两球的位移方向相同,根据末速度方向与位移方向的关系可知,两球末速度方向也相同,在速度的矢量三角形中,末速度比值等于初速度比值,故A正确。
4.(平抛运动与圆周运动结合)如图所示,B为竖直圆轨道的左端点,它和圆心O的连线与竖直方向的夹角为α。一小球在圆轨道左侧的A点以速度v0平抛,恰好沿B点的切线方向进入圆轨道。已知重力加速度为g,则A,B之间的水平距离为(　A　)
A.
B.
C.
D.
解析:设小球到B点时其速度为v,在B点分解其速度可知vx=v0,vy=v0tan
α,又知小球在竖直方向做自由落体运动,则有vy=gt,联立得t=,A,B之间的水平距离为xAB=v0t=,A项正确。
1.(2020·浙江1月选考,5)如图所示,钢球从斜槽轨道末端以v0的水平速度飞出,经过时间t落在斜靠的挡板AB中点。若钢球以2v0的速度水平飞出,则(　C　)
A.下落时间仍为t
B.下落时间为2t
C.下落时间为t
D.落在挡板底端B点
解析:
当钢球以v0平抛出去,落在斜面的中点,如图所示,有x=v0t,h=gt2。假设以v′抛出的钢球正好落在B点,根据平抛运动规律有2h=gt′2,2x=v′t′,解得v′=v0。显然当以2v0的速度水平抛出钢球时,钢球不会落在斜面上而是落在水平面上。因此小球下落高度为2h,下落时间为t,综上分析,选项C正确,A,B,D错误。
2.(2017·浙江4月选考,13)图中给出了某一通关游戏的示意图,安装在轨道AB上可上下移动的弹射器,能水平射出速度大小可调节的弹丸,弹丸射出口在B点的正上方。竖直面内的半圆弧BCD的半径R=2.0
m,直径BD水平且与轨道AB处在同一竖直面内,小孔P和圆心O连线与水平方向夹角为37°。游戏要求弹丸垂直于P点圆弧切线方向射入小孔P就能进入下一关。为了能通关,弹射器离B点的高度和弹丸射出的初速度分别是(不计空气阻力,sin
37°=0.6,cos
37°
=0.8)(　A　)
A.0.15
m,4
m/s
B.1.50
m,4
m/s
C.0.15
m,2
m/s
D.1.50
m,2
m/s
解析:弹丸从M点射出,从P点以垂直于过P点的切线射入小孔,如图所示,
由平抛运动规律可得
x=R+Rcos
37
°=v0t,y=h+Rsin
37°=gt2,vy=gt,由题意知,
=tan
37°,代入数值,可解得h=0.15
m,v0=4
m/s,选项A正确。
3.(2015·浙江10月选考,19)如图1所示,饲养员对着长l=1.0
m
的水平细长管的一端吹气,将位于吹气端口的质量m=0.02
kg
的注射器射到动物身上。注射器飞离长管末端的速度大小v=20
m/s。可视为质点的注射器在长管内做匀变速直线运动,离开长管后做平抛运动,如图2所示。
(1)求注射器在长管内运动时的加速度大小;
(2)求注射器在长管内运动时受到的合力大小;
(3)若动物与长管末端的水平距离x=4.0
m,求注射器下降的高度h。(g取10
m/s2)
解析:(1)由匀变速直线运动规律
v2-0=2al,
得a==2.0×102
m/s2。
(2)由牛顿第二定律F=ma,
得F=4
N。
(3)由平抛运动规律
x=vt,
得t==0.2
s,
由h=gt2,得h=0.2
m。
答案:(1)2.0×102
m/s2
(2)4
N　(3)0.2
m
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