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小升初数学衔接课讲义（160页）（衔接版）（含答案）
目录
巧算 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 1
行程和工程问题 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9
和差倍鸡兔同笼 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·14

几何专题 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·20
整数和整除 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 54
素数合数分解素因数 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·59
最大公因数与最小公倍数 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 64
分数的意义和性质 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 70
分数的运算 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 75
分数与小数的互化 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 81
分数混合运算及应用 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·85
比的意义和性质 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 96
比例 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · 100
百分比的意义 · · · · · · · · · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · 108
百分比的应用及等可能事件 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·114
答案 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 130
第一讲 巧算
一、【考点解读】
测量物体时往往会得不到整数，于是就用小数来补充整数。小数是十进制分数的一种特殊表现形式。分母是10 ，100，1000……的分数也可以用小数表示。
二、【知识讲解】
加法运算定律
加法交换律
加法交换律的概念为：两个加数交换位置，和不变。 同时从
字母公式：a+b+c=（b+a）+c
加法结合律
加法结合律的概念为：先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。
字母公式：a+b+c=a+(b+c)
乘法运算定律
乘法交换律
乘法交换律的概念为：两个因数交换位置，积不变。
字母公式：a×b=b×a
乘法结合律
乘法结合律的概念为：先乘前两个数，或者先乘后两个数，积不变。
字母公式：a×b×c=a×(b×c)
乘法分配律
乘法分配律的概念为：两个数与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加。
字母公式：(a+b)×c=a×c+b×c
减法性质
减法性质的概念为：一个数连续减去两个数，可以先把后两个数相加，再相减。
字母公式：A-B-C=A-(B+C)
差不变的规律
字母公式：A-B=(AN)-(BN)=(A-B)/N （N≠0 B≠0)
除法的性质
除法性质的概念为：一个数连续除以两个数，可以先把后两个数相乘，再相除。
字母公式：a÷b÷c=a÷(b×c)
商不变的规
概念：被除数和除数同时乘上或除以相同的数（0除外）它们的商不变。 分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘上或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。比也是一样的：两个相比较的数扩大或缩小相同的倍数，比值不变。
字母公式：a÷b=(an)÷(bn)=(a÷n)÷(b÷n) （n≠0 b≠0)
小数的基本性质
小数的基本性质：小数的末尾添上“0”或去掉“0”，数的大小不变。
等差数列前n项和定义：一个数列的前n项的和为这个数列的和。
表达方式：常用来表示 。
求和公式：和=(首项+末项)项数，

【典例探究】
【例题1】凑整法：把和为整十和整百的放在一起，先把这样的和算出来，然后算其他算式的和。用的方法有带符号搬家、先拆分再凑整。
（1）6.3+2.32+0.68+3.7
=（6.3+3.7）+（2.32+0.68
=10+3
=13
分析：运用加法结合律，6.3与3.7刚好凑成10,2.32与0.68刚好凑成3，这样凑整可使运算简便。
（2） 11.48-2.34-5.66
=11.48-（2.34+5.66）
=11.48-8
=3.48
分析：2.34与5.66的和是整数8，所以根据减法的运算性质把原式变为11.48-（2.34+5.66），运算就简便了。
（3）1999+199.9+19.99+1.999
=2000-1+200-0.1+20-0.01+2-0.001
=2000+200+20+2-1-0.1-0.01-0.001
=2220+0.889
=2220.889
分析：这几个数每个数只要增加一点，就成为某个整十、整百或整千数，把这几个数“凑整”以后，就容易计算了。当然要记住，“凑整”时增加了多少要减回去。1999接近整千数2000，其余各加数分别接近一个整数，可把各加数看作与它接近容易计算的数，再把多加的那部分减去。
【例题2】基准法：几个数比较接近于某一整数的数相加时，选这个整数位“基准数”。
计算：8.1+7.8+8.2+8.4+7.9+7.7
=86+0.1-0.2+0.2+0.4-0.1-0.3
=48+0.1+（0.2-0.2）+（0.4-0.1-0.3）
=48+0.1
=48.1
分析：式中6个加数都在8的附近，可用8作为基准数，先求出6个8的和，再加上比8大的数中少加的那部分，减去比8小的数中多加的那部分。
【例题3】拆拼法:把算式中的特殊数“拆开、拼凑”分别与另外的数运算。
（1）12×5.5 （2）4.44×1.25 （3）36.8×0.25
（4）238÷1.25 （5）0.25×12.5×3.2
分析：（1）运用分解法巧算，把12分解为6×2，然后运用乘法结合律，把2×5.2结合，积为11，最后求出6与11的积。
（2）把4.44分解为4×1.11，然后运用乘法结合律。
（3）因为4×0.25=1，所以一个数乘0.25，相当于给这个数除以4.
（4）因为8×1.25=10，所以一个数除以1.25，相当于这个数除以10，再乘8，即先把被除数的小数点向左移动一位后，再乘8.
（5）把3.2分解为4×0.8，再把4与0.26结合，0.8与12.5结合，即可简化运算。
【例题4】移动小数点位置
（1）0.0695×2500+695×0.24+51×6.95
=695×0.25+695×0.24+695×0.51
=695×（0.25+0.24+0.51）
=695×1
=695
分析：本题计算时，如果机械地按步计算，就很麻烦。如果能够从整体上观察其数字特征，就可以利用小数点位置移动引起的小数大小变化的规律，先将题中的小数进行适当的变化，如0.0695×2500变为6.95×25，695×0.24变为6.95×24，51×6.95变为6.95×51，这时，再利用乘法分配律计算就简便得多了。
（2）2424.2424÷242.4
=24242.424÷2424
=（2424×10+2424×0.001）÷2424
=2424×10.001÷2424
=10.001
分析：根据小数除法的计算法则将除数转化为整数，被除数也扩大到它的10倍为2424.424，显然，24242.424可以写成2424×10+2424×0.001=2424×10.001，于是计算就简便多了。
【例题5】计算：1+2+3+4+……+99+100的值。
(思路1) 1+2+3+……+98+99+100
=（1+100）+（2+99）+（3+98）+……+（50+51）=101×50=5050
思路2)这道题目，还可以这样理解：
和=1+2+3+……+98+99+100
+和=100+99+98+……+3+2+1
2倍和=101+101+101+……+101
即 和=（101+1）×100÷2=5050
四、【课堂运用】
【基础】
【练习1】
（1）5.32+2.06+19.4+1.84+7.68
（2）0.9+9.9+99.9+999.9+9999.9
【练习2】
（1）11.2+10.9+11.5+11.3+10.4+10.8
（2）23.67-3.25-8.43-6.75-1.57
【练习3】
(1)16×5.5
(2)8.88×1.25

(3)37.6×0.25
(4)145÷1.25
0.25×16×1.25
【练习4】
(1)0.79×0.46+7.9×0.24+11.4×0.079
(2)2.005×390+20.05+200.5×2
(3)7.6×6.6+7.6+7.6×2.4
【巩固】
(1)4.75-9.64+8.25-1.36=_____.
(2)3.71-2.74+4.7+5.29-0.26+6.3=_____.
(3)(5.25+0.125+5.75)×8=_____.
(4)34.5×8.23-34.5+2.77×34.5=_____.
【拔高】
(1)6.25×0.16+264×0.0625+5.2×6.25+0.625×20=_____.
(2)0.035×935+0.035+3×0.035+0.07×61×0.5=_____.
(3)19.98×37-199.8×1.9+1998×0.82=_____.
(4)13.5×9.9+6.5×10.1=_____.
(5)0.125×0.25×0.5×64=_____.
(6)11.8×43-860×0.09=_____.
【课后巩固】
（1）0.035×935+0.035+3×0.035+0.07×61×0.5
（2）0.888×125×73+999×3
（3）20-0.1-0.2-0.3-……-0.9
（4）1.1+1.2+1.3+……+9.8+9.9
（5）3.03+3.06+3.09+……+7.02
6×7=
6.6×6.7=
6.66×66.7=
6.666×666.7=
6.6666×6666.7=
6.66666×66666.7=
行程问题+工程问题
一、【考点解读】
行程问题：许多行程问题都是把相遇和追及的两个形式综合在一起，但语言的表述是有区别的，所以在应用的过程中，首先要学会判断这次运动是相遇还是追及，这样解题就有正对性。另外还要学会画线段图来帮助解题。?
工程问题：指的都是两个人以上合作完成某一项工作，有时还将内容延伸到相遇运动和向水池注水等等。解答工程问题时，当工作总量不确定数值时，一般都是把总工作量看作单位“1”，把单位“1”除以工作时间看成工作效率，因此，工作效率就是工作时间的倒数。?
二、【知识讲解】
行程问题
1.路程=速度时间
2.顺水速度=静水速度+水速
3.逆水速度=静水速度-水速
相向运动：
1）甲乙未相遇：甲路程+乙路程=总路程-相距路程
2）甲乙相遇： 甲路程+乙路程=总路程 或 速度和时间=路程和
3）甲乙相遇且各自继续向前走：甲路程+乙路程=总路程+相距路程
追及问题：
1）直线追及：甲在乙之后，甲的速度比乙快，当甲追上乙时：
甲路程-乙路程=最初相距路程 或 速度差时间=路程差
2） 圆周追及：甲乙在同一起点起跑，甲的速度比乙快，当甲再次和乙并肩时：
甲路程-乙路程=圆形跑到一周的路程

工程问题
工程问题关系式是：工作总量÷工作效率＝工作时间?
或：工作总量÷工作效率和＝合作时间?
三、【典例探究】
【例题1】甲、乙两车分别从相距800千米的两地同时出发相向而行，甲车每小时行52千米，乙车每小时行48千米，（1）几小时后两车还相距200千米？（2）几小时后两车相遇？（3）几小时后两车又相距400千米？
解析：先判定两车是相向运动，其次是判定辆车的实际行驶总路程，利用以上公式及其变形来解答。
（1）两车在相遇之前相距200千米，说明两车只走了800-200=600千米。路程和速度和=时间（800-200）（52+48）=6（小时）
（2）两车相遇，说明两车一起走恰好走完了全程800千米。路程和速度和=时间800（52+48）=8（小时）
（3）两车又相距400千米，是指两车相遇之后，在已经走完了全程的基础上，各自又继续向前走，最终相距400千米，那么此时的总路程是800+400=1200千米。路程和速度和=时间（800+400）（52+48）=12（小时）
【例题2】两辆汽车运送货物，大卡车以每小时36千米的速度从甲地开往乙地，两小时后小卡车以每小时48千米的速度也从甲地开往乙地，当小卡车追上大卡车时李甲地多远？
解析：要求追上时离甲地多远，必须先求出追及时间，再用小卡车的速度乘以追及时间就可以了。
路程差速度差=时间
362（48-36）=6（小时）
486=288（千米）
答：当小卡车追上大卡车时李甲地288千米？
【例题3】一篇稿件，甲、乙两人合打。甲一个人完成要5小时，乙一个人完成要8小时，求两人合打几小时可以完成？?
解析：解答工程问题时，当工作总量不确定数值时，一般都是把总工作量看作单位“1”，把单位“1”除以工作时间看成工作效率，因此，工作效率就是工作时间的倒数。?
因此甲效率是false，乙的效率是false，合作效率是（false+false）。
工作总量÷工作效率和＝合作时间. 答：两人合打需要false小时.
四、【课堂运用】
【基础】 【练习1】现有两列火车同时从甲乙两地相对开出，快车每小时行60千米，慢车每小时行45千米，经6小时两车相遇，则甲乙两地相距多少千米？
【练习2】甲乙两人分别从两地同时出发，甲在乙后面间隔10千米处，乙的速度为每小时40千米，经过2小时甲追上乙，则甲的速度是多少？
【练习3】师徒俩共同加工一批零件，6天可以完工。现在师傅先加工了5天后，有事让徒弟接着加工，徒弟加工3天后，共完成这批零件的7/10，问师傅和徒弟单独加工这批零件各要几天？
【巩固】
【练习1】A、B两地相距496千米，甲车从A地开往B地，每小时32千米，甲车开出半小时后，乙车从B地开往A地，每小时行64千米，乙车开出几小时后与甲车相遇？
【练习2】小伟和小李两人在400米环形跑道上练习长跑，两人速度分别是200米/分和160米/分，两人同时从起点同向，当两人起跑后第一次并肩时，经过了多长时间/
【练习3】一项工程，由甲队单独工作需要15天完成，由乙队单独工作需要12天完成，由丙队单独工作需要10天完成。现在由甲乙两个工程共同工作了3天后，剩下的工程由丙队单独完成，丙队还需要几天才能完成这项工程？
【拔高】
【练习1】河水的流速是每小时2000米，一只船从这条河的上游甲地顺流到达下游的丙地，然后调头逆行向上到达中游的乙地，共用时8小时。已知这条船的顺流速度是逆流速度的2倍，甲、乙两地相距12千米，问甲、丙两地相距多少千米？
【练习2】某人骑自行车从甲地到乙地，以每小时10千米的速度行进，下午1时到；以每小时15千米的速度行进，上午11时到。如果希望中午12时到，他应该以怎样的速度行进？
【练习3】一项工程，甲队单独做需30天完成，乙队单独做需40天完成。甲队先做若干天后，由乙队接着做，共用35天完成了任务。甲队做多少天?
五、【课后巩固】
【练习1】邮递员早晨7时出发送一份邮件到对面的山坳里，从邮局开始要走12千米的上坡路，8千米的下坡路。他上坡时每小时走4千米，下坡时每小时走5千米，到达目的地后停留1小时，又从原路返回，邮递员什么时候可以回到邮局？
【练习2】一艘货船从仙桃开往武汉顺水二星，每小时行28千米，到武汉后又逆水而行回到仙桃，逆水比顺水多行一小时，已知水速每小时4千米，甲乙两地相距多少千米？
【练习3】一项工程，甲、乙两队合作每天能完成全工程的9/40。甲队独做3天，乙队再独做5天后，可完成全工程的7/8。如果全工程由乙队单独做，多少天可完成?
【练习4】某工程先由甲单独做63天，再由乙单独做28天即可完成。如果甲、乙两人合做，需48天完成。现在甲先独做42天，然后再由乙单独完成，还需要多少天?
【练习5】蓄水池有甲，丙两条进水管和乙，丁两条排水管。要管满一池水，单开甲管需要3个小时，单开丙管需要5个小时。要排光一池水，单开丙管需要4个小时，单开丁管需要6个小时，现在池内有1/6池水，如果同时打开甲乙丙丁四管，问多少时间后水开始溢出水池？
第三讲 和差倍鸡兔同笼（方程解）
一【考点解读 】 方程解应用题是非常重要的解题方法，和差倍，鸡兔同笼问题也非常具有代表性。学会用方程的方法解题，快速找到题中的等量关系。
二 【知识讲解】
知识点1 和差倍 ：
和差倍问题分为和差，和倍和差倍。我们只要弄清楚里面的等量关系用方程解答会非常方便。
知识点2 鸡兔同笼
鸡兔同笼常用方法是假设法，但是我们如果尝试用方程去解的话也非常方便。
三【典例探究】
【例题1】 甲乙两仓库共有货物1000吨，如果从甲仓库调50吨货物到乙仓库，那么甲乙仓库的货物同样多，问原来两仓库各存货物多少吨？
分析：根据从甲仓库调50吨货物到乙仓库，这时两仓库货物相等，那么在调运之前，甲仓库货物比乙仓库多50×2（吨），确定了甲乙两仓库的差，又知道甲乙两仓库的和是1000吨，问题就解决了。
解：设甲仓库原来有x吨货物 乙仓库有（x-50×2）吨
X+X-50×2=1000
解得x=550
【例题2】学校里的足球只是只数是排球的3倍，篮球的只数是排球的5倍，足球和排球共72只，问三种求球各多少只？
分析：我们可以设排球的只数为x只，则足球为3x只 篮球的只数为5x ,在利用足球和篮球的和为72求解。
解：设排球有x只，足球有3x只，篮球有5x只
3x+5x=72
解得 x=9 3x=27 5x=45
【例题3】 甲乙两根绳子，甲绳长63米，乙绳长29米，两根绳子剪去同样的长度，剩下的甲绳长是乙绳的3倍，问剪去的绳子长多少米？
分析：等量关系是剩下的甲绳是乙绳的3倍，可列出方程。
解： 设剪去的绳子长X米。
x）=3（29-x）
解得 x=12
【例题4】 鸡兔同笼，共有35个头，94只脚，问鸡兔各多少只？
分析 我们可以设鸡的只数为x，则兔的只数就是（35-x）只，在利用鸡脚加兔脚等于94列出方程即可。
解：设鸡的只数为x只，兔的只数为（35-x）只
2x+4（35-x）=94
解得 x=23
四【课堂运用】
【基础】 【练习1 】
水果店运进香蕉苹果生梨共846千克，运来的香蕉比苹果的2倍还多17千克，运来的生梨比苹果的3倍少11千克，问运来香蕉多少千克？
【练习2 】
甲乙丙丁四个人一共做了370个零件，如果把甲做的个数加上2，乙做的个数减去3，丙做的个数乘以2，丁做的个数除以2，四人所做的零件个数正好相等，问四个人各做了多少个零件？
【练习3 】
两袋盐重量相等，甲袋取出24千克，乙袋装入28千克，这时乙袋的重量是甲带的3倍，问甲袋，乙袋原来各有盐多少千克？
【练习4】
清凉山小学的教师和学生共100人去植树，教师每人栽3棵树，学生平均3个人载一棵树，一共栽100棵，问教师和学生各多少人？
【巩固】
【练习1】
商店运来橘子 ,苹果,香蕉共53千克，橘子的重量是苹果的3倍少3千克，香蕉的重量是苹果的2倍多2千克，问橘子重多少千克？
【练习2】
兄弟两人各有铅笔若干支，如果弟弟给哥哥6支，则哥哥的支数是弟弟的3倍，如果哥哥给弟弟6只，则两人的支数相同，问兄弟两人原来各有多少支？
【练习3】
小华和小明各有一些钱，如果小明给小华15元，那么两人的钱一样多，如果小华给小明15元，那么小明的钱是小华的3倍，问原来两人各有多少钱？
【练习4】
食品工厂在生产蛋糕时规定，每个工人每天做50个，每做一个好的记8分，每做坏一个扣2分，张师傅在一天的工作中获得了300分，则他做坏了多少个蛋糕？
【拔高】
【练习1】
鸡兔共有160只脚，若将鸡兔数量互换，则共有脚200只，问鸡兔各有多少只？
【练习2】
王港小学内有一群雕塑，共有两种类型，甲种为8根柱子1个装饰物，乙种为1根柱子8个装饰物。现有柱子133根，装饰物182个，则共有多少件雕塑？
【练习3】
小敏外出逛商店，她先进了一家服装店，用去了所带钱的一半多10元，又进入了化妆品店，花去了余下钱的一半多10元，她又进了一家宠物店，买了一只小兔子，用去了她余下钱的一半，最后用剩下的10元钱买了些日用品，则小敏出去时共带了多少元钱？
五 【课后巩固】
【练习1】
鸡兔同笼，共有1000只，且鸡脚比兔脚少70只，则鸡兔各多少只？
【练习2】
某学校进行一次数学竞赛，共有20题，做对一题得5分，做错或没做一题扣2分，小英共得了86分，她做对了多少题？
【练习3】
精英小学新购买了24件课桌椅，共花去1536元，每把椅子31元，每张桌子97元，则购买椅子多少把？桌子多少张？
【练习4】
小芳和小梅今年的年龄和是39岁，小梅比小芳大3岁，小芳今年多少岁？
【练习5】
两个玻璃杯里共有50颗弹珠，如果从第一个玻璃杯中拿走6颗，两个杯中的弹珠数就相同了，原来第一个玻璃杯中有多少个弹珠？
【练习6】
果园里有桃树，梨树，苹果树共552棵，桃树比梨树的2倍多12棵，苹果树比梨树少20棵，问桃树，梨树，苹果树各多少棵？
【练习7】
甲乙丙三人，甲的年龄是乙的2倍还大3岁，乙的年龄是丙的2倍小2岁，三个人的年龄和是109岁，甲乙丙各几岁？
【练习8】
甲水池有水1500升，乙水池有水1200升，每分钟从甲水池流入乙水池25升水，问多少分钟后乙水池的水是甲水池的2倍？
第四讲 几何专题
几何（一） 平面图形
一、【考点解读】小学升初中这个阶段的平面几何问题，是以等积变形为主导思想，结合五大模型的变化应用，交织而成。攻克平面几何，一定要从等积变形开始。
知识框架
false【知识讲解】
1、等积变形。
等积变形，它的特点是利用面积相等而进行相互转换，面积相等的两个图形我们就称之为等积形。我们所研究的等积变形，更多的是三角形的等积变形，三角形等积变形的中心思想是等底等高，因为三角形的面积=底×高÷2，所以说等底等高的两个三角形面积相等。另外，等底等高的平行四边形、梯形（梯形等底应理解为两底和相等）的面积也相等。在实际中，我们经常用到的与等积变形相关的性质主要有以下几点：
﹙1﹚直线false平行于false，可知false；
反之，如果false，则可知直线false平行于false。
（因为平行线间的距离是处处相等的哦！，聪明的你想到了吗？）
﹙2﹚两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；
两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；
特别地，我们有 等腰三角形底边上的高线平分三角形面积；三角形一边上的中线平分这个三角形的面积；平行四边形的对角线平分它的面积
﹙3﹚共边定理：若△false和△false的公共边false所在直线与直线false交于false，则false；
﹙4﹚共角定理：在△false和△false中，若false或false，则false。
﹙5﹚过矩形内部的一点引两条直线分别与两组边平行，所分得的四个小矩形，其面积满足：false。

﹙6﹚E为矩形ABCD内部的任意一点，则
false；当E落在矩形的某条边上时，也成立。
特别地，（5）（6）两条性质对于平行四边形同样成立。
2、五大模型。
我们把学习中经常遇到的问题归纳为五个基本的模型，总的来说，这五个基本模型都是用来解决三角形边与面积之间关系互相转换的问题。让我们一起来感受一下模型的魅力吧！
模型一：在同一三角形中，相应面积与底成正比关系：
即：两个三角形高相等，面积之比等于对应底边之比。
或：两个三角形底相等，面积之比等于对应的高之比。

S1︰S2 =a︰b ；
拓展： 等分点结论（“鸟头定理”）
如图，三角形AED占三角形ABC面积的false×false=false
鸟头定理是对模型一的一个拓展，有兴趣的话，你可以试着证明一下哦！
模型二：任意四边形中的比例关系 （“蝴蝶定理”）
①S1︰S2=S4︰S3 或者S1×S3=S2×S4
404812572390②AO︰OC=（S1+S2）︰（S4+S3）
蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。构造模型，一方面我们可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系，另一方面，我们也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
模型三：梯形中比例关系（“梯形蝴蝶定理”）
①S1︰S3=a2︰b2
②S1︰S3︰S2︰S4= a2︰b2︰ab︰ab ；
③S的对应份数为（a+b）2
梯形蝴蝶定理，给我们提供了解决梯形面积与上下底之间关系互相转换的渠道。构造模型，直接应用结论，往往有事半功倍的效果。
模型四：相似三角形性质
113665113665_
h
_
h
_
H
_
c
_
b
_
a
_
C
_
B
_
A
_
a
_
c
_
b
_
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_
C
_
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_
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_
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_
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B
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_
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c
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b
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C
_
B
_
A
_
a
_
c
_
b
_
H
_
C
_
B
_
A
①false ；
②S1︰S2=a2︰A2
所谓的相似三角形，就是形状相同，大小
不同的三角形，（只要其形状不改变，不
论大小怎样改变他们都相似），与相似三
角形相关，常用的性质及定理如下：
﹙1﹚相似三角形的对应角相等，对应边成比例。
﹙2﹚相似三角形的一切对应线段（对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于它们的相似比。
﹙3﹚相似三角形周长的比等于它们的相似比。
﹙4﹚相似三角形面积的比等于它们相似比的平方。?
﹙5﹚特别的，连接三角形两边中点的线段我们叫做三角形的中位线。关于三角形的中
我们有这样一个结论：
三角形中位线定理：三角形的中位线长等于他所对应的底边长的一半。
对于梯形，我们也有类似的结论。连接梯形两腰得到的线段我们叫做梯形的中位线。
梯形的中位线长等于它上下底边之和的一半。
﹙6﹚那么如何判断三角形是不是相似呢？我们一般有三种方法：
a：三个角对应相等的三角形相似，（事实上只要有两个角相等就可以了）。
b：有两边对应成比例且其两条边的夹角相等的三角形相似。
c：三边分别对应成比例的三角形相似。
注意：在小学奥数里，最多出现的情况是因为两条平行线而出现相似三角形，如模型四。
相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具。
2950210122555模型五：燕尾定理
S△ABG：S△AGC＝S△BGE：S△EGC＝BE：EC；
S△BGA：S△BGC＝S△AGF：S△FGC＝AF：FC；
S△AGC：S△BCG＝S△ADG：S△DGB＝AD：DB；
燕尾定理因为图形类似燕尾而得名，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径。
3、计算过程中连接辅助线的四个原则。
几何作为数形结合的学科，图形的运用往往在解题过程中起到至关重要的作用。在小学阶段的平面几何学习中，我们在运用图形连接辅助线时一般遵循以下四个原则：
把四边形或多边形变为三角形，如： （2）连接等分点，例如：

（3）构造模型，例如： ﹙4﹚做高线，构造直角三角形

三、【典例探究】
【例1】如下左图。将三角形ABC的BA边延长1倍到D，CB边延长2倍到E，AC边延长3倍到F。如果三角形ABC的面积等于1，那么三角形DEF的面积是_____。
【分析与解】： 题目中给出的已知条件都是边的倍比关系，其余的条件中只有一个三角形ABC的面积是已知，要想办法使已知条件能够相互关联，使边的倍比关系可以转化为面积之比，可以选择模型一应用。
详解过程：
解：连结AE、BF、CD（如上右图） 由EB=2BC，得S△ABE=2。同理可得S△AED=2
S△BEF=2×S△CBF =6 S△CFD =3×S△ACD =3。 所以 S△DEF= 1+2+3+1+2+6+3=18。
点评：这是北京市第一届“迎春杯”刊赛第32题，非常经典。解题过程中通过连接AE、BF、CD，使题目中所给的边的倍比关系可以构造模型一相互关联，再通过共高三角形面积与相应底边之间的对应比例关系求解。
【例2】设false，false，false，如果三角形false的面积为19平方厘米，那么三角形false的面积是_________平方厘米。

【分析与解】和【例1】类似，题目已知条件中边的倍比关系比较多，可以考虑应用模型一。
解：false false
false S△ABC=(false+false+false) S△ABC+19 ∴false
点评：图形长得很普通，而题目当中又给了那么多的倍比关系，那我们是不是可以考虑构造模型一呢？整体看，false，除了false，其余三个我们可以直接用“鸟头定理”。鸟头定理也是本题的一个中心考点。
【例3】四边形false的对角线false与false交于点false（如图）所示。如果三角形false的面积等于三角形false的面积的false，且false，false，那么false的长度是false的长度的_________倍。

【分析与解】在本题中四边形ABCD为任意四边形，且出现S△ABD：S△BCD=1：3。联想模型二蝴蝶定理结论。
详解过程：
解法一：false ∴false
∴false

解法二：
∵false ∴false ∴false
∴false ∴false ∴false
点评：在本题中，三角形false和三角形false的面积之比如何转化是关键。方法一直接应用模型二蝴蝶定理的结论，而我们也可以不应用蝴蝶定理，那么观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，我们需要一个中介，于是做false垂直false于H，false于false，面积比转化为高之比。再应用模型一的结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出AO=falseCO。
【例4】：如下图所示，AE︰EC＝1︰2，CD︰DB＝1︰4，BF︰FA＝1︰3，
三角形ABC的面积等于1，那么四边形AFHG的面积是__________。

【分析与解】：四边形AFHG的面积可以看作是三角形ABC的面积减去三角形BEC的面积再分别减去三角形BFH和三角形AGE的面积得到的。如何把三角形边的倍比关系和要求的面积相联系，是这道题的重点问题。
详解过程：以下各图为了强调相关部分，暂去掉另外线条。
解： 如图所示，我们分别求出BFH、AGE的面积问题也就解决。
如上图，我们设BFH＝x，则AFH＝3x；设AHE＝y，则CEH＝2y；
于是有ABE＝4x+y＝false ACF＝3y+3x＝false
有false，则9x＝false，所以x＝false；
如下图，我们设AEG＝a，则CEG＝2a；
设CDG＝b，则BDG＝4b；于是有ACD＝3a+b＝false BCE＝2a+5b＝false
有false，则13a＝false，所以a＝false；
这样，AFHG＝ABE－BFH－AEG＝false－false－false＝false。
点评： 求四边形false，可由三角形false的面积减去三角形false的面积，再分别减去三角形BFH和三角形AGE的面积。而三角形false的面积可从三角形面积与底边的比例关系得到，于是问题转化为如何求false及false。false与false可由二元一次方程组分别解得。注意考点： 鸟头定理和蝴蝶定理的应用
【例5】设正方形的面积为1，下图中E、F分别为AB、BD的中点，GC=falseFC。求阴影部分面积。
【分析与解】：阴影部分为三角形，知道底边为正方形边长的一半，只要求出高，便可解出面积。
解： 作FH垂直BC于H；GI垂直BC于I
根据相似三角形定理 CG︰CF=CI︰CH=1︰3
又∵CH=HB ∴CI︰CB=1︰6即BI︰CB=（6-1）︰6=5︰6
S△BGE=false×false×false=false。
点评：本题考查模型四，利用三角形相似的性质，求出三角形对应边的比例关系及长度，从而确定阴影部分的面积。
【例6】ABCD是平行四边形，面积为72平方厘米，E、F分别为AB，BC的中点，则图中阴影部分的面积为＿＿平方厘米。
【分析与解】：题目中出现E、F分别为边的中点， 可以考虑应用中位线定理。
解：设G、H分别为AD、DC的中点，连接GH、EF、BD。可得 S△AED=falseS平行四边形ABCD
1028700234315607695217170对角线BD被EF、AC、GH平均分成四段，
DO︰ED = ︰ BD︰ BD=2︰3
OE︰ED=（ED-OD）︰ED=（3-2）︰3=1︰3
所以 S△AE0=false×falseS平行四边形ABCD=false×false×72=6 S△ADO= 2×S△AEO=12。
同理可得S△CFM=6，S△CDM=12。 所以 S△ABC- S△AEO- S△CFM=24
于是 阴影部分的面积=24+12+12=48
点评：连接EF，BD，根据模型4以及三角形的中位线定理，判断出O，M分别是其所在线段的三等分点，由此求出S△AEO及S△CFM，最后得出阴影部分的面积。
注意：本题应用了三角形的中位线定理以及平行线的相关性质。
【例7】（☆☆☆）如图，在平行四边形ABCD中，BE=EC，CF=2FD。
求阴影面积与空白面积的比。
【分析与解】：题目中阴影部分不规则，但是有边的倍比关系，BE=EC，CF=2FD可以考虑将边的倍比关系转化为为面积之间的关系。
解法：连接CG，CH，AC交BD于O，设S△BEG=a，
根据燕尾定理S△BEG=S△EGC=falseS△ABG=falseS△AGC S△DHF=falseS△CFH=falseS△AHD=falseS△ACH
又因为S△AGC=S△ACH 所以S△BEG=3S△DHF S△AGO=S△CGO=falseS△ABG S△AOH=S△HOC=S△AHD
所以S□ABCD=4S△ABO=4×（a+2a）=12a
阴影面积：S△BEG+ S△AGH+ S△DFH=a+2.5a+0.5a=4a
空白面积：12a-4a=8a
所以阴影面积与空白面积的比4a︰8a=1︰2
另解：设S△BEG=a，则S△ECG=S△GCO=S△AGO=a, S△ABG=2a;
设S△HFD=b,则S△HFC=2b,
设S△HCO=x,则S△AHO=S△HCO=x
false=false=false
点评： 连接CG，CA，CH，构造模型五，应用燕尾定理，分别求出三个阴影三角形面积，再求出平行四边形ABCD的面积，用四边形面积减去三个阴影三角形面积即为空白面积。亦可得到阴影面积与空白部分的面积之比。
注意：本题考点：燕尾定理的应用。
四、【课堂运用】
【基础】
【练习1】如图，三角形ABC中，D为BC的中点，E为AB上的一点，且BE=falseAB,已知四边形EDCA的面积是35，求三角形ABC的面积.


【练习2】四个完全一样的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方(如图)如果小正方形面积是1平方米，大正方形面积是5平方米，那麽直角三角形中，最短直角边长是_____米.
【练习3】如图在长方形ABCD中，△ABE、△ADF、四边形AECF的面积相等。△AEF的面积是长方形ABCD面积的______ (填几分之几)。
。
【巩固】
【练习1】如图1，一个长方形被切成8块，其中三块的面积分别为12，23，32，则图中阴影部分的面积为_____

false
【练习2】右图中AB=3厘米，CD=12厘米，ED=8厘米，AF=7厘米.四边形ABDE的面积是 平方厘米．


【练习3】如右图所示，已知三角形ABC面积为1，延长AB至D，使BD=AB；延长BC至E，使CE=2BC；延长CA至F，使AF=3AC，求三角形DEF的面积。
305752517780
【拔高】
【练习1】如图所示，已知三角形false中，false，false，false，连结false、BZ和false，三条线段分别交于false，false，false。若false（面积是1平方米，那么阴影false的面积是多少平方米？false
【练习2】如图，四边形false的面积是66平方米，false，
266700259080false，false，false，求四边形false的面积。
【练习3】如下图，已知D是BC的中点，E是CD的中点，F是AC的中点，且false的面积比false的面积大6平方厘米。false
false
【课后巩固】
【习题1】在梯形ABCD中，AD︰BE=4︰3，BE︰EC=2︰3，且△BOE
的面积比△AOD的面积小10平方厘米。梯形ABCD的面积是 平方厘米。
【习题2】如图所示，三角形BDF、三角形CEF、三角形BCF的面积分别是2、3、4，问四边形ADFE的面积是多少？

【习题3】如图，在△ABC中，延长BD=AB，CE=falseBC，
F是AC的中点，若△ABC的面积是2，则△DEF的面积是多少？
【习题4】如图，长方形ABCD中，E为AD中点，AF与BE、
BD分别交于G、H，已知AH=5cm，HF=3cm，求AG。
【习题5】在边长为1的正方形ABCD中，BE=2EC，DF=2FC；
求四边形ABGD的面积。

【习题6】正方形ABCD面积为1，M是AD边上的中点，求图中阴影部分的面积。

【习题7】已知四边形ABCD，CHFG为正方形，S甲︰S乙=1︰8，a与b是两个正方形的边长，求a︰b=？

【习题8】右图是一块长方形耕地，它由四个小长方形拼合而成，其中三个小长方形的面积分别为15、18、30公顷，问图中阴影部分的面积是多少？
3343275245745
【习题9】长方形ABCD的面积为36平方厘米，E、F、G分别为边AB、BC、CD的中点，H为AD边上的任一点。求图中阴影部分的面积是多少？
3145155156845
3237865486410【习题10】如图，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分别是10厘米和12厘米，求阴影部分的面积。

【习题11】正方形ABFD的面积为100平方厘米，直角三角形ABC的面积，比直角三角形（CDE的面积大30平方厘米，求DE的长是多少？
3610610132715
几何（二） 曲线图形
一、【考点解读】知识地图
false
二【知识讲解】
小学数学当中，我们学习了一些简单的几何图形，充分掌握这些图形的性质特点及周长和面积的计算方法是我们解决平面几何问题的重要前提。
﹙1﹚组合图形的面积
在求解组合图形的面积时，中心思想只有一个：把不规则的变为规则的，把不可求的变为可以求的，把不熟悉的变为我们熟悉的。在小学奥数的几何问题中，这个思想不单单可以在求组合图形面积的时候应用，求解立体图形的表面积和体积问题时候一样也是解决问题的法宝，甚至可以说是小升初几何问题的思想精髓。
在求解组合图形的面积时，我们通常可以通过以下思考方法把图形转化我们所熟知的图形。
加减法 把要求的图形转化为几个规则图形相加或者相减的形式，这种解决图形补问题的方法，称为加减法。
割补法 把要求的图形通过切割再拼补成规则图形，这种方法称为割补法。
旋转平移法。 图形的一部分通过旋转或者平移，正好可以和图形的其他部分拼成规则图形，这种方法称为旋转平移法。
重叠法 要求的组合图形可以看作是几个规则图形的重叠部分，可以应用容斥原理求得图形的面积，这种方法称为重叠法。
比例法 把要求的图形分成几个部分，通过寻找各个部分之间的比例关系求解的方法称为比例法。
﹙2﹚图形旋转的问题 在这里，我们主要研究的是平面图形在平面旋转所产生的问题。一般情况下，我们所能遇到的有以下两种问题：
1、求图形一边扫过的面积
在遇到这类问题时，我们只要先找到要求的是哪条边扫过的面积，再看这条边是以哪个点为圆心运动，首先你让这条边以这个点为圆心按照题目的要求转动，旋转停止后，这条边旋转所得的面积就是你要求的图形一边扫过的面积。
2、求图形扫过的面积
在求图形一边扫过的面积的基础之上，要注意，图形中最长处旋转时所成图形，我们在旋转的图形一边停止旋转时，在相应的位置补上图形的其他部分就可以很容易的找到整个图形扫过的部分。
﹙3﹚几个特殊问题
1、活动范围：让我们先来看看下面几个问题：
A、假设茫茫的草原上有一个木桩，桩子上用一根30米的绳子栓着一只羊，问羊能吃到的草的面积是多大？
B、草场的主人因为业务发展，准备建羊圈，但是因为资金短缺，所以只先建了一道墙，于是把羊还是用30米的绳子栓在了墙角边，问羊这个时候能吃到草的面积是多大？
C、羊圈建成了，羊在平时被栓在羊圈的西北角，羊圈长20米，宽10米，问羊这个时候能吃到的草的面积是多大？
注意到了吗？栓着羊的绳子在碰到墙拐角的地方运动的圆心在变化，羊所能吃到草的范围活动的半径也在跟着变化。
我们说看变化，找规律，是解决羊吃草一类问题重要思想。另外，数学源自生活，通过想象生活中的情景，比照数学题，寻找变化的规律也是一种不错的方法。
2、滚硬币的问题
请你一起动手来做一做：把两个一角钱的硬币挨放在一起，固定其中一个，把另一个延着其周围滚动。当滚动回到硬币原来的位置时，想一想滚动的那个硬币它自己自转了多少周？
注意观察，滚动的硬币绕着不动的硬币走一周的距离实际上是以两个硬币的半径为半径的一个圆周长，而硬币自转的周长是以自身为半径，前者是后者的几倍，即是硬币自转了几周。这也是一切硬币滚动类问题特点。常见有齿轮，滑轮等。
3752850140970三、【典例探究】
【例题1】如图，两个正方形摆放在一起，其中大正方形边长为12，小正方形边长为4，那么阴影部分面积是多少？（false取3）
【分析与解】false
416242589535【例题2】（04年我爱数学夏令营）已知小圆的面积均为false平方厘米，则图中阴影部分的面积是多少平方厘米？（false取3.14）
4362450954405【分析与解】由题意可得小圆的半径为false，正方形的边长为2，阴影面积为：false
【例题3】如右图，求阴影部分的面积，其中OABC是正方形. （false取3）
【分析与解】关键在于求出正方形的面积，我们知道正方形是特殊的菱形，菱形面积为对角线乘积的一半，所以正方形面积为18，阴影面积为false圆的面积减去正方形面积为9。也可以这样想，连接OB，将上半部分移至下面，可形成一个扇形减去三角形的阴影面积，这样也非常容易得到答案。
3790950139700利用“割、补、移”思想解答问题
【例题4】如图，阴影部分的面积是多少？
【分析与解】将右边部分的空白平移，我们会发现两个空白部分恰好构成一个边长为4的正方形，因而，阴影部分的面积为8 .
437197526670
【例题5】计算右图阴影部分面积。（false取3）
4371975464820【分析与解】法1：扇形面积减去半个圆面积再减去三角形面积等于圆外阴影部分面积，半圆面积减去三角形面积等于圆内阴影部分面积，上面两个阴影部分面积的和既是阴影面积：（25π-50）÷4=25/4。
法2：如右图，我们添加两条辅助线，而后发现可将圆内弓形割补到上部，那么阴影部分面积=1/4大圆-正方形=1/4×3×5×5-1/2×5×5=25/4。 注：正方形也是菱形，菱形面积是对角线乘积的一半。
43815009525【例题6】如右图，ABC是等腰直角三角形，D是半圆周上的中点，BC是半圆的直径，且AB=BC=10，求阴影部分面积。（π取3）

【分析与解】连接BD。正方形加上半圆的面积为：10×10＋1/2×5×5×3＝137.5；三角形的面积为：1/2×15×10＝75；则阴影部分面积为：(137.5－75)÷2＝31.25。
443865076200【例题7】在右图中，两个四分之一圆弧的半径分别是2和4，求两个阴影部分的面积差。（false取3）
【分析与解】我们只要看清楚阴影部分如何构成则不难求解。
左边的阴影 = 大扇形-小扇形-1个长方形中的不规则白色部分
=大扇形 - 小扇形 -（长方形-右边的阴影）= 大扇形 - 小扇形 - 长方形 + 右边的阴影，
448627581915可得：左边的阴影 - 右边的阴影 = 大扇形 - 小扇形 - 长方形 = 1 。
4448175803910【例题8】草场上有一个长20米、宽10米的关闭着的羊圈，在羊圈的一角用长30米的绳子拴着一只羊（见右图）。亲爱的小朋友能算出这只羊能够活动的范围有多大吗？（false取3）

【分析与解】（此题十分经典）羊活动的范围可以分为A，B，C三部分，其中A是半径为30米的false个圆，B、C分别是半径为20米和10米的false个圆，羊活动的范围是：false（平方米）。
四、【课堂运用】
【基础】
【练习1】计算下列各图阴影部分的面积。（false取3）
【练习2】如图，两个正方形边长分别是10和6，求阴影部分的面积。（false取3）
3540760143510

3607435499110【练习3】如右图所示，用一块面积为36平方厘米铝板下料，可裁出七个同样大小的圆铝板。问余下的边角料的总面积是多少平方厘米？



【巩固】
【练习1】如图，在平行四边形false中，已知三角形false、false的面积分别是73、100，求三角形false的面积。



4200525569595【练习2】如图，一个半径为1厘米的小圆盘沿着一个半径为4厘米的大圆盘外侧做无滑动的滚动，当小圆盘的中心围绕大圆盘中心转动90度后，小圆盘运动过程中扫过的面积是多少平方厘米？（false取3）
4417060340360【练习3】一只狗被拴在底座为边长3米的等边三角形建筑物的墙角上（如右图），绳长是4米，求狗所能到的地方的总面积。（false取3.14）

五、【课后巩固】
【习题1】计算下列各图阴影部分的面积。（false取3）


3333750356235【习题2】右图中，正方形的边长是5cm，两个顶点正好在圆心上，求图形的总面积是多少？（false取3）
【习题3】一只狗被拴在底座为边长4米的等边三角形建筑物的墙角上（如右图）， 绳长是5米，求狗所能到的地方的总面积。（false取3.14）
383857551435
3657600219075【习题4】如右图所示，三个同心圆的半径分别是2、6、10，求图中阴影部分占大圆面积的百分之几？
【习题5】如图1，半径为7个单位的3个圆弧（04年南京市数学智力冬令营）如图1，半径为7个单位的3个圆弧围成图示的区域，其中AB弧与AD弧的四分之一圆，而BCD弧是一个半圆，则此区域的面积是多少平方单位？

【习题6】右图是一个直径为3cm的半圆，让这个半圆以A点为轴沿逆时针方向旋转60°，此时B点移动到B′点，求阴影部分的面积。（图
中长度单位为cm，圆周率按3计算）
337185062865
几何（三） 立体图形
一、【考点解读】
false
二、【知识详解】
万丈高楼平地起。我们可以这样说：把平面图形从平面拎到空间，让平面图形在空间上产生高度就形成了这一讲我们要研究的立体图形。在现阶段，我们主要研究的立体图形有以下几种：
立体图形
表面积
体积
443865196850
false
false
191770305435
false
false
34417035560
false
false
441960-600710
false
注：false是母线，即从顶点到底面圆上的线段长。
false
363220-705485
false
false
特别的：关于球体还有这样一个结论：
如果一个球体的直径与一个圆柱的直径与高都相等，那么：
球体的体积等于以球大圆为底球的直径为高的圆柱体积的三分之二；
球体的表面积等于以球大圆为底球的直径为高的圆柱的侧面积；
球体的体积还等于以球大圆为底，球的半径为高的圆锥的体积的4倍。
这个图就是有名的阿基米德圆柱容球。
二、求立体图形的表面积和体积
规则立体图形的表面积和体积我们可以直接应用公式进行计算。
不规则的立体图形的表面积和体积，一方面，我们可以应用和平面图形相同思考的方法来考虑把它转化为规则的立体图形进行计算；而另一方面，我们更注重的是观察图形从规则变为不规则的变化过程，通常这个过程我们需要以图形整体考虑为出发点。
这也就是我们求解此类问题常用方法的思想基础：
方法一：阳光照面
阳光照面法从图形整体考虑出发，观察图形表面积特点。
方法二：与时俱进
图形的变化，是从整体的变到不变的过程，找到变化的规律，注意图形的变化过程，观察求解，与时俱进，就是解决问题的秘籍宝典。
方法三：面包切片
我们都有这样的经验：一个大的桃李早餐面包，从上向下切一刀，横截面是一个正方形。如果是奶黄夹心面包，则横截面是一个环正方形。同样道理，解题过程中你可以想象，把图形切开，横截面的特点可以帮助我们了解图形内部结构，达到解题的目的。
方法四：借来还去
这里的借来还去可以说是平面几何加减思想的一种变形。可以这样解释，把一部分借来与原来的组成一个规则可以求得图形，再把借来的部分从规则中拿去。借来还去的思想在解决求解不规则立体图形的表面积和体积的问题中经常可以用到。
例如：
三、最短路线和展开图的形状
立体图形的展开图形状总结如下：
对于不规则的立体图形的展开图就要充分发挥我们的想象，用“脱衣服”方法，层层剥离展开。在解决这类问题的时候，要注意培养自己的空间想象能力，必要时可以借用纸片等辅助工具帮助想想理解。
例如：

和立体图形的展开图结合最为紧密的是图形侧面的最短路线问题。你需要把握的重要一点是：两点之间永远直线线段最短。
四、染色问题
﹙1﹚奥数的经典问题，重要的是掌握几个关于染色问题的数据，其余的问题需要具体问题具体分析，把握好什么地方染到了颜色，什么地方没有染到颜色是解决此类问题的关键。
对于由n3块小正方体构成的n×n×n正方体，三面涂有红色的有8块，两面涂有红色的有12×（n－2）块，一面涂有红色的有6×（n－2）2块，没有涂色的有（n-2）3块。
例如： 右图是4×5×6正方体，如果将其表面涂成红色，那么其中一面、二面、三面被涂成红色的小正方体各有多少块？
分析：三面涂红色的只有8个顶点处的8个立方体；
两面涂红色的在棱长处，共（4-2）×4+（5-2）×4+（6-2）×4=36块；
一面涂红的表面中间部分：
（4-2）×（5-2）×2+（4-2）×（6-2）×2+（5-2）×（6-2）×2=52块。
36576000没涂红色的小方块有：（4-2）×（5-2）×（6-2）=24块。
三面——顶点
二面——棱
一面——面
0面——芯
一句话：“角三 棱二 面唯一。”
﹙2﹚欧拉公式
严格的说，欧拉公式和我们这里所讲的染色问题关系不是很密切。但这个公式却是和多面体密切相关的完美公式。
首先请同学们观察下面的几个图形的顶点数，面数和棱数之间的关系：
顶点V
面F
棱E
V-E+F=2
正四面体
4
4
6
2
正六面体
8
6
12
2
正八面体
6
8
12
2
正十二面体
20
12
30
2
正二十面体
12
20
30
2
通过观察，我们发现了多面体的顶点数，面数，棱数之间存在着如下的关系：
V+F-E=2
那么这个公式也就给我们提供了一种解决染色或者多面体问题的思考方法——分类思考
由欧拉公式，我们可以很自然的想到，在解决如上问题的时候，我们思考问题可以从立体图形的顶点数，面数和棱数的角度出发，分类思考。
三、【典例探究】
【例题1】一个由125个同样的小正方体组成的大正方体，从这个大正方体中抽出若干个小正方体，把大正方体中相对的两面打通，下图就是抽空的状态。右图中剩下的小正方体有多少个？
24765135255
【分析与解】
解法一：（用“容斥原理”来解）由正面图形抽出的小正方体有5×5=25个，由侧面图形抽出的小正方体有5×5=25个，由底面图形抽出的小正方体有4×5=20个，正面图形和侧面图形重合抽出的小正方体有1×2+2×1+2×2=8个，正面图形和底面图形重合抽出的小正方体有1×3+2×2=7个，底面图形和侧面图形重合抽出的小正方体有1×2+1×1+2×2=7个，三个面的图形共同重合抽出的小正方体有4个。根据容斥原理，25+25+20-8-7-7+4=52，所以共抽出了52个小正方体。
125-52=73，所以上图中剩下的小正方体有73个。
注意这里的三者共同抽出的小正方体是4个，必须知道是哪4块，这是最让人头疼的事。
但你可以先构造空的两个方向上共同部分的模型，再由第三个方向来穿过“花墙”。
这里，化虚为实的思想方法很重要。
解法二：（用“切片法”来解）
可以从上到下切五层，得：
从上到下五层，如图：

或者从右到左五片，如图：

请注意这里的挖空的技巧是：先认一种方向。
比如：从上到下的每一层，首先都应该有第一层的空四块的情况，即——
如果挖第二层：第（1）步，把中间这些位置的四块挖走如图：

第（2）步，把从右向左的两块成线地挖走。（请注意挖通的效果就是成线挖去），如图：
第（3）步，把从前向后的一块（请注意跟第二层有关的只是一块！）挖成线！如图：
总结一下“切片法”：全面打洞（例如本题，五层一样）
挖块成线（例如本题，在前一次的基层上，一条线一条线地挖）。
这里体现的思想方法是：化整为零，有序思考！
【例题2】（☆☆☆）如图，在一个正方体的两对侧面的中心各打通一个长方体的洞，在上下底面的中心打通一个圆柱形的洞。已知正方体边长为10厘米，侧面上的洞口是边长为4厘米的正方形，上下侧面的洞口是直径为4厘米的圆，求此立体图形的表面积和体积。
审题要点：大正方形减去右边图形就是我们要求的体积。
9144005080

【分析与解】外侧表面积为：6×10×10-4×4×4-false×22×2=536-8false。
内侧表面积为：16×4×3+2×（4×4-false×22）+2×2false×2×3=192+32-8false+24false=224+16false。
总表面积=224+16false+536-8false=760+8false=785.12（平方厘米）。
计算体积时将挖空部分的立体图形取出，如图，只要求出这个几何体的体积即可。
挖出的几何体体积为：4×4×4×3+4×4×4+2××22×3=192+64+24=256+24。
所求几何体体积为：10×10×10- （256+24）=668.64（立方厘米）。
点评：打通部分可看为两个小圆柱，两个小长方形和一个大长方形共五部分组成，这样计算体积非常容易，但在计算表面积时要考虑公共面。 这道题是人大附中分班考试题目。
总结：本题考点 不规则图形的表面积及体积。
【例题3】（☆☆☆）一个酒瓶里面深30cm，底面内直径是10cm，瓶里酒深15cm。把酒瓶塞紧后使其瓶口向下倒立这时酒深25cm。酒瓶的容积是多少？
【分析与解】观察前后，酒瓶中酒的总量没变，即瓶中液体体积不变。
解法： 酒的体积：15π× （10/2） ×（10/2）=375π
瓶中剩余空间的体积（30-25） π×（10/2）×（10/2）=125π
酒瓶容积：375π+125π=500π=1500（ml）
点评：当酒瓶倒过来时 酒深25cm，因为酒瓶深30cm，这样所剩空间为高5cm的圆柱，再加上原来15cm高的酒即为酒瓶的容积。
注意：本题考点立体图形的等积变形。
【例题4】（☆☆☆☆）如图，ABCD是矩形，BC=6cm，AB=10cm，对角线AC，BD相交0.图中的阴影部分以CD为轴旋转一周，则阴影部分扫出的立体的体积是多少立方厘米？
【分析与解】：以CD为轴确定阴影部分旋转后的形状。

解法：设三角形BCO以CD为轴旋转一周所得到的立体的体积是V，V等于高为10厘米，底面半径是6厘米的圆锥的体积减去2个高为5厘米，底面半径是3厘米的圆锥的体积。
即：false（立方厘米），false
点评：这个立体图形可看为两个圆锥削掉上半部然后叠加，但还要减去两个小圆锥，才是阴影部分扫出的立体图形的真实体积。 可以考虑多种方法，比如应用容斥原理或者加减的思想都是不错的选择。。
总结：本题考点 平面图形旋转为立体图形的体积问题。
四、【课堂运用】
【基础】
【练习1】一个正方形纸盒中恰好能放入一个体积为628立方厘米的圆柱，纸盒的容积有多大？（false=3.14）
393192076200【练习2】图中的立体图形是由14个棱长为5cm的立方体组成的，求这个立体图形的表面积？

4219575118110【练习3】如下图，一个正方体形状的木块，棱长1米，沿水平方向将它锯成3片，每片又锯成4长条，每条又锯成5小块，共得到大大小小的长方体60块。那么，这60块长方体表面积的和是多少平方米？
【巩固】
427672580010【练习1】下图是一个棱长为2厘米的正方体，在正方体上表面的正中，向下挖一个棱长为1厘米的正方体小洞，接着在小洞的底面正中向下挖一个棱长为1/2厘米的正方形小洞，第三个正方形小洞的挖法和前两个相同，棱长为1/4厘米，那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米？

【练习2】把一个棱长6分米的正方体木块，削成一个最大的一圆柱体，这个圆柱的体积是多少立方分米？
???????????
【练习3】右图是一个圆柱体，如果把它的高截短3厘米，它的表面积减少94.2平方厘米。这个圆柱体积减少多少立方厘米？
?????????????
【拔高】
【练习1】如下图给出了一个立体图形的正视图、左视图和俯视图，图中单位为厘米。立体图形的体积（　　　　）立方厘米。
2false （B）2.5false （C）3false （D）3.5false
left3810
【练习2】把一个棱长为2CM正方体在同一平面的边的中点用线段连接起来，如图。然后把正方体顶点上的三角锥锯掉，请问最后所得的立体图形的表面积的多少平方厘米？（1.732×1.732=3）
五、【课后巩固】
【习题1】一个圆柱的侧面积展开是一个边长15.7厘米的正方形。这个圆柱的表面积是多少平方厘米？
【习题2】一个圆柱形的游泳池，底面直径是10米，高是4米。在它的四周和底部涂水泥，每千克水泥可涂5平方米，共需多少千克水泥？
【习题3】把一个底面半径是2分米，长是9分米的圆柱形木头锯成长短不同的三小段圆柱形木头，表面积增加了多少平方分米？
【习题4】用塑料绳捆扎一个圆柱形的蛋糕盒（如下图），打结处正好是底面圆心，打
结用去绳长25厘米。
（１）、扎这个盒子至少用去塑料绳多少厘米？
（２）、在它的整个侧面贴上商标和说明，这部分的面积至少多少平方厘米？
【习题5】把一个横截面为正方形的长方体木块,削成一个最大的圆锥体,已知圆锥的底面周长是12.56厘米,高5厘米,长方体的体积是多少?

第五讲 整数和整除
【考点解读】
本节课主要学习整数和整除的意义，因数和倍数的概念，能被2和5整除的数的特点，需要在理解的基础上要学会正确的判断。
【知识讲解 】
知识点： 整数： 任意自然数如0，1,2,3,4,5 以及它们的负数例如-1，-2，-3，-4.
整除的概念： 整数a除以整数b,如果除得的商是整数而且余数为0，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a。
因数和倍数： 整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数。
被2整除的数的特征：个位是0，2,4,6,8的整数。
能被5整除的数的特征：个位上是0或5的整数。
奇数，偶数： 在自然数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数也就是个位数是02,4,6,8的数都是偶数，个位数是1,3,5,7,9的数都是奇数。
【典例探究】
【例题1】
从下列数中选择适当的数填入相应的方框内:
-25 13 2.47 -8.75 0 29
自然数 正整数 负整数 整数
解析： 正负整数的划分比较清晰，容易出错的是自然数和整数，要注意不要把零漏掉。
自然数 正整数 负整数 整数
13 0 29
13 29
-25
-25 13 0 29
【例题2】
已知12÷4=3，根据此式，判断下列说法中不正确的是（ ）
A 12是4的倍数 B 12是倍数 C 4是12 的因数 D 4是12 的约数
解析： 根据因数和倍数的概念可知，选项A C D 都是正确的，而B 选项没说是是谁的倍数，因此不正确。
答案 B .
【例题3】
判断题
任何一个偶数加上1之后，得到的都是一个奇数。 （ ）
奇数和偶数的积一定是奇数。 （ ）
能同时被2,5整除的数，一定能被10整除。 （ ）
在自然数中最小的偶数是2. （ ）
解析 （1） 正确.理由：因为相邻的偶数和奇数相差1，所以这句话是正确的.
错.因为奇数与偶数相乘后的乘积能被2整除，所以此题的结论是错误的，改正：奇数和偶数的积一定是偶数.
正确.理由 ：因为能够被2整除的数的个位上是0，2,4，6,8能被5整除的数个位上是0或5，所以能同时被2,5整除的数的个位上一定是0，因此这句话是正确的。
因为能够被2整除的数是偶数，而自然数0也能被2整除，所以此题的结论是错误的，改正：在自然数中最小的偶数是0.
答案：（1）√ （2）× （3）√ （4）×
【课堂运用】
【基础】 【练习1】
填空题
（1）18÷6=3，我们可以说 能被 整除，也可以说 能整除 .
（2） , ,和 都是整数.
（3）从下列数中选择适当的数填入相应的圈内
1 -2 25% 27 0.3 -100 3.4 56

自然数 负整数 整数
（4）把下面的算式填入适当的圈内；
30÷6 120÷5 75÷6 2÷6 8÷16 48÷12 1.5÷3 9÷0.25

被除数能被除数整除的 能除尽的
（5） 把下面的数填入适当的圈内：
26 38 47 150 171 95 234 600

2的倍数 5的倍数
（6）找出1-25以内符号条件的数

20的因数 4的倍数
【巩固】
【练习1】一个数是4的倍数，又是100的因数，求这个数。
【练习2】已知一个三位数11□，能被5整除，求这个三位数。
【练习3】小纪念册每本5元，大纪念册每本7元，张军买了这两种纪念册共花了142元，求两种纪念册最少买了几本？
【提高】【练习1】
有n 个人都属猴，而且生日都在11月10日，某年，它们的年龄数的乘积为207025，他们的年龄数之和是102，究竟n指的是多少人？
【课后巩固】
【练习1】判断题
（1）1是自然数，并且是最小的自然数. （ ）
整数包括负整数和正整数。 （ ）
若整数a除以整数b恰好除尽，那么我们称a能被b整除。 （ ）
1是任何整数的因数，任何整数都是1的倍数。 （ ）
任何一个整数都是它本身的倍数，也是它本身的因数。 （ ）
一个正整数正好有两个因数。 （ ）
个位上是0,5的数都能被5整除。 （ ）
两个偶数的和是偶数，两个奇数的和是奇数。 （ ）
偶数的因数一定是偶数，奇数的因数一定是奇数。 （ ）
相邻的自然数相差1，相邻的偶数相差2，相邻的奇数相差3. （ ）
【练习2】填空题
（1）10以内的自然数有 。
最大的负整数是 ，最小的正整数是 ，最小的自然数是 ，最小的非负整数是 。
在6 9 12 15 30 45 66 中
能被2整除的有 .
能被5整除的有 。
既是2的倍数，又能被5整除的数有 。
在自然数中最小的偶数是 。
在150到200之间5的倍数有 个。
一个数的最大因数与最小倍数之和是2018，这个数是 。
连续3个偶数和是42，则它们中最小的偶数是 。
一个两位数的偶数，被3除余1，被5除余3，此数最大是 。
【练习3】一个三位数，能同时被3和5整除，如果是奇数，那么最大的数是几？如果是偶数，那么最小的数是几？
【练习4】用0 4 5 6 四个数字，按要求组成一个没有重复数字的四位数。
既能被2整除，又能被5整除，
不能被2整除，只能被5整除。
第六讲素数合数分解素因数
【考点解读】
掌握正整数可以分为1，素数，合数三类，熟记20以内的全部素数，掌握用分解素因数求两个数的最大公因数的方法。理解素数合数素因数和分解素因数的意义，理解公因数，最大公因数，公倍数和徐晓公倍数的意义，理解互素的意义，会判断两个数是不是互素，理解用短除法求最大公因数的算理，会用短除法求两个数的最大公因数，理解用短除法求最小公倍数的算理，会用短除法求两个数的最小公倍数。
【知识要点】
知识点1 素数和合数：一个正整数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做素数，也叫做质数。如果除了1和它本身以外还有别的因数，这样的数叫做合数。
知识点2 分解素因数：每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，其中每个素数都是这个合数的因数，叫做这个合数的素因数，把一个合数用素因数相乘的形式表示出来，叫做分解素因数。
知识点3 最大公因数：几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。
知识点4 最小公倍数 ：几个数公有的倍数叫做它们的公倍数，其中最小的一个叫做它们的最小公倍数。
知识点5 互素：如果两个整数只有公因数1，那么称这两个数互素。
【典例探究】
【例题1】判断
最小的素数是1，最小的合数是4. （ ）
两个连续自然数可能都是素数。 （ ）
三个连续自然数可能都是合数。 （ ）
12的分解素因数是：12=1×2×2×3. （ ）
只有两个素数之间才会互素。 （ ）
分析： （1）一个正整数若只有1和它本身两个因数，他叫素数，如果还有别的因数，叫做合数，显然，1既不是素数也不是合数，最小的素数2，最小的合数是4.
(2)例如：2和3
(3)例如：8 9 10
(4)1不是素数
(5)概念上理解错误，素数说的是一个数的属性，二互素讲的是两个或两个以上的数与数之间的关系，素数与互素没有必然的联系。
解：（1）× （2）√ （3） √ （4） × （5） ×
【例题2】判断12 19 21 25 是素数还是合数。
分析：写出12 19 21 25 的因数。
解：12的因数有 1 2 3 4 6 12
19的因数有1 19
21的因数有1 3 7 21
25的因数有1 5 25
通过检查每个数的因数个数，可以知道19是素数，12,21,和25是合数。
【例题3】用450个边长为1厘米的正方形拼成一个长方形，如果长和宽都大于15厘米，问这个长方形的长和宽各是多少厘米？
分析：先将450分解素因数，再根据条件找出合适的因数
解：450=2×3×3×5×5=（2×3×3） ×（5×5）=18×25
答：长方形的长和宽分别是25厘米和18厘米。
【例题4】
找出下列各组数的最大公因数和最小公倍数：
（1）14和56 （2）13和16 （3）24和36
分析 ：（1）一般，当a是b的倍数时，b就是它们两个数的最大公因数，a就是它们的最小公倍数
(2)一般，当几个数彼此互素时，它们的公因数只有1 ，所以最大公因数就是1.最小公倍数就是它们的乘积。
(3)一般，从公有的最小素因数开始除，直到两个商互素为止，短除式的左列数字的乘积就是它们的最大公因数，做列数字乘积再乘以它们的商就是它们的最小公倍数，在数感好的情况下，也可以用两个数的公因数去除，得到商互素即可。
解：（1）因为14是56 的因数，所以14是它们两个数的最大公因数。
(2)因为13和16互素，所以它们的最大公因数是1.
(3)24和36既没有因数倍数的关系，也不互素，所以用短除法寻找它们的最大公因数和最小公倍数。
2| 24 36
2| 12 18
3| 6 9
2 3
24和36的最大公因数是2×2×3=12， 最小公倍数是 2×2×3×2×3=72
【课堂运用】
【基础】
【练习1】
判断题
所有的素数都是奇数。 （ ）
所有的偶数都是合数。 （ ）
1既不是素数也不是合数。 （ ）
任何一个素数都有两个素因数 （ ）
两个素数必然互素。 （ ）
两个合数必然不互素。 （ ）
互素的两个数没有最大公因数。 （ ）
两个数的最大公因数和最小公倍数一样，这两个数相等。 （ ）
有若干个数，它们的公因数和公倍数都有无数个。 （ ）
【巩固】
【练习1】 将下列各数分解素因数：
（1）84 （2）770
【练习2】 求下列各组数的最大公因数和最小公倍数。
（1）16和48 （2）70和105
（3）42和72 （4）50和125
【提高】
【练习1】现在有边长1厘米的正方形共18个，可以拼成几种不同的长方形？这些长方形的长和宽分别是多少？
【练习2】在地铁人民广场站，地铁一号线每隔4分钟有一列车开出，地铁二号线每隔6分钟有一列车开出，在早上8点恰好地铁1号线与2号线同时有车从这个车站发车，在正午12点之前，有多少次它们两条地铁线同时发车？
【练习3】去医院看病一般经过挂号，就诊，取药三大环节，在看病高峰期，担任挂号工作的护士每小时可以给28个病人挂号，为病人诊断病情的医生每小时可以给8位病人诊断，发放药品的药剂师能在一小时给20名患者配发药品，为了在这些过程中不产生病人排队等待现象，各个环节协调进行，每个环节分别需要安排多少名相关工作人员？
【课后巩固】
【练习1】
判断题
两个素数的和一定是偶数。 （ ）
两个连续正整数的和一定是素数。 （ ）
一个合数至少有两个因数。 （ ）
如果两个数互素，那么这两个数不可能都是合数。 （ ）
任意两个奇数都互素，任意两个偶数都不互素。 （ ）
【练习2】
填空题
（1）2130的因数中，能被5整除的数共有 个。
（2）1001是三个素数的乘积，这三个素数是 。
（3）两个互素的数的最小公倍数是216，并且这两个数都是合数，那么它们是 。
（4）两个数没有倍数关系，它们的最小公倍数是90，最大公因数是15，那么这两个数分别是 。
（5）中山公园站有765路和67路公交车站，765路每15分钟有一辆车进站，67路每9分钟有一辆进站，这两路车同时进站后，至少再过 分钟再次同时进站。
【练习3】
简答题
把1260分解素因数。
（2）求最大公因数和最小公倍数。
12和18 36和60
（3）甲乙丙三个数，甲与乙的最小公倍数是24，乙与丙的最小公倍数是40，丙与甲的最小公倍数是30，求甲乙丙三个数。
（4）甲乙两个加油站，间距为3600米，路旁有路标，原来每40米一个（起点，终点各有1个），现在要改成50米一个，将有多少个旧路标可以留用？
第七讲 最大公因数与最小公倍数
一、【考点解读】
1、认识最小公倍数与最大公因数，掌握其表示方法 2、会用短除法和分解质因数求解最大公因数和最小公倍数 3、理解辗转相除法求最大公因数 4、能够利用最大公因数与最小公倍数的求法，解决生活中的一些应用
二、【知识讲解】
（一）概念
1、最大公因数：几个数共同的因数中最大的 记做： （a，b）
2、最小公倍数：几个数共同的倍数中最小的 记做：[a，b]
3、互质： （a，b）=1
（二）求法
1、短除法 （1）最大公因数：除数相乘（乘半边） 多个数时，除到组内互质 （2）最小公倍数：除数乘商（乘一圈） 多个数时，除到两两互质
2、分解质因数 （1）最大公因数：大家都有 （2）最小公倍数：谁有都算
三、【典例探究】
【例题1】要找到两个数的最大公因数，我们可以先依次分别写出两个数的因数，然后在这当中找到它们的公因数，其中最大的就是两个数的最大公因数。
例如：27的因数有：1，3，9，27；45的因数有：1，3，5，9，15，45；
27和45的公因数有：1，3，9；27和45的最大公因数是：9。
2.对于一些有特殊关系的数，我们可以迅速判断它们的最大公因数。
（1）公因数只有1的关系：
两个数如果是公因数只有1关系，它们的最大公因数就是1。
公因数只有1的关系一般有4种情况：
①两个素数公因数只有1，如3和7
②相邻两个自然数公因数只有1，如15和16
③1和任何自然数公因数只有1，如1和18
④其他，如4和15，就需要我们自己判断，看看它们是不是只有公因数1
（2）倍数关系：如12和72，8和64，15和60等等。
两个数如果是倍数关系，它们的最大公因数就是其中较小的数。
3.两个数如果没有特殊关系，我们也可以用短除法迅速地求出它们的最大公因数。
在以下各组数下面的横线上写出每组数的最大公因数。
10和20 6和17 25和50
5|10 20 (6,17)=1 5|25 50
2| 2 4 5|5 10
1 2 1 2
(10,20)=2×5=10 (25,50)=5×5=25
【例题2】求两个数最小公倍数的方法整理。
1、要找到两个数的最小公倍数，我们可以依次分别写出两个数的倍数（一般写5到6个），然后在这当中找出它们的公倍数，再找出两个数的最小公倍数。
例如，8的倍数有：8,16,24,32,40,48,56,64,72,80;10的倍数有：10,20,30,40,50,60,70,80；
8和10的公倍数有：40,80……;8和10的最小公倍数是：40。
2、对于一些有特殊关系的数，我们可以迅速判断它们的最小公倍数。
（1）公因数只有1的关系：两个数如果是公因数只有1的关系，最小公倍数是它们的乘积。
（2）倍数关系：两个数如果是倍数关系，最小公倍数是其中较大的数。
（3）两个数如果没有特殊关系，我们也可以用短除法迅速地求出它们的最小公倍数。
3、在以下各组数下面的横线上写出每组数的最小公倍数。
20和30 7和17
10|20 30 7和17互素，所以最小公倍数就是两数的乘积
2 3 [7，17]=7×17=119
[20,30]=10×2×3=60
【课堂运用】
【基础】 【练习1】有一些糖果，分给8个人或分给10个人，正好分完，这些糖果最少有多少粒？
【练习2】有一包糖，不论分给8个人，还是分给10个人，都能正好分完。这包糖至少有多少块？
【练习3】一个数被2除余1，被3除余2，被4除余3，，被5除余4被6除余5，此数最小是几？
【练习4】五年级学生参加植树活动，人数在30~50之间。如果分成3人一组，4人一组，6人一组或者8人一组，都恰好分完。五年级参加植树活动的学生有多少人？
【练习5】利用每一小块长6公分，宽4公分的长方形彩色瓷砖在墙壁上贴成正方形的图案。问：拼成的正方形的面积最小是多少？
【巩固】
【练习1】有一堆苹果 ，每8千克一份，9千克一份，或10千克一份，都会多出3千克，这堆苹果至少有多少千克？
【练习2】学校合唱队排练时，如果7人一排就差2人，8人一排也差2人，合唱队至少有多少人？
【练习3】把37支钢笔和38本书，平均奖给几个学习成绩优秀的学生，结果钢笔多出一支，书还缺2本，最多有几个学习成绩优秀的同学？
【练习4】有24个苹果，32个梨，要分装在盘子里，每盘的苹果和梨的个数相同，最多可以装多少盘？每个盘子里苹果和梨各多少？
【练习5】阜沙市场是20路和21路汽车的起点站。20路汽车每3分钟发车一次，21路汽车每5分钟发车一次。这两路汽车同时发车以后，至少再过多少分钟又同时发车？
【练习6】中心小学五年级学生，分为6人一组，8人一组或9人一组排队做早操，都刚好分完。这个年级至少有学生多少人？
【练习7】有一盘水果，3个3个地数余2个，4个4个数余3，5个5个数余4个，问个盘子里最少有多少个水果？
【练习8】有一个电子表，每走9分钟亮一次灯，每到整点响一次铃，中午12点整，电子表既响铃又亮灯，请问下一次既响铃又亮灯的是几点钟？
【拔高】
【练习1】数学兴趣小组有24个男同学，20个女同学，现要分成小组，每个小组男、女同学人数分别相同，最多可以分成多少个小组？每组至少有多少个男同学？多少个女同学？
【练习2】有38支铅笔和41本练习本平均奖给若干个好少年，结果铅笔多出3支，练习本还缺1本。得奖的好少年有多少人？
【练习3】两个整数的最小公倍数为140，最大公约数为4，且小数不能整除大数，求这两个数。
【练习4】已知A与B的最大公约数为6，最小公倍数为84，且A=42，求B？
【练习5】两个数的最大公因数为12，最小公倍数为180，且这两个数不是倍数，求这两个数？
五、【课后巩固】 【练习1】有一个数是4、 5、 6的倍数，这个数最小是多少？
【练习2】 甲、乙、丙三人早晨在体育场跑步，甲跑完一圈要3分钟，乙跑完一圈要7分钟，丙跑完一圈要6分钟，三人同时从起点出发，经过多长时间三人再次在起点处相遇？
【练习3】美美客运有A、B两种车，A车每45分发车一次，B车每1小时发车一次，两车同时由上午6点发车，下一次同时发车是什么时候？
【练习4】上一次9月18号五年级一班去划船，他们算一下，如果增加一条船，正好每船坐6个，如果减少一条船，正好每船坐9人，这个班有多少人？
【练习5】 有一块长方形纸板，长24厘米，宽15厘米，将这块纸板裁成同样大小的正方形，不能有剩余，每块小正方形的边长是最长是多少？可以裁成多少块？
【练习6】一张长方形纸，长96厘米 ，宽60厘米，如果把它裁成同样大小且边长为整厘米的最大正方形，且保持纸张没有剩余，每个正方形的边长是几厘米？每个正方形的面积是多少？可以裁多少个这样的正方形？
【练习7】甲乙两数公因数为15，720为公倍数为，当这两个数为何值时，它们的差最小。
【练习8】已知A和B的最大公约数是31，且A×B=5766,求A和B。
【练习9】五（1）班和五（2）班两个班的同学去野炊，吃饭时，他们3人一个菜碗，4人一个汤碗，他们共用了28个碗，这两个班参加野炊的同学共有多少人？
【练习10】一盒铅笔，可以平均分给4,5,6个小朋友，都没有剩余，这盒铅笔最少有多少只？
【练习11】王伯伯有三个小孩，老大3天回家一次，老二4天回家一次，老三6天回家一次，这次10月1日一起回家，则上一次是几月几日一起回家？
【练习12】有一包奶糖，无论分给6个小朋友，8个小朋友，还是10个小朋友，都正好分完，这包糖至少有多少块？
第八讲 分数的意义和性质
一、【考点解读】
本节课主要学习分数的意义和性质，会根据分数的意义和性质进行解题，能应用分数的意义和性质解决简单的分数问题。
二、【知识讲解】
知识点1---
分数的意义：把一个总体平均分成若干份，其中的1份或若干份可以用分数表示.
分数与除法：除法中的被除数相当于分数中的分子，除法中的除数相当于分数中的分母，除法中的除号相当于分数中的分数线，除法中的商相当于分数的分数值。
知识点2---
分数的基本性质：分数的分子和分母同时扩大或缩小相同的倍数（0除外），分数的大小不变。这叫做分数的基本性质。
知识点3---
分子和分母只有公因数1的分数，叫做最简分数。
知识点4---
把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数，叫做约分。
约分的方法就是分子和分母同时除以它们的公因数。
知识点5---
分数的大小比较：
同分母的分数比较大小：分子越大,分数越大；
同分子的分数比较大小：分母越小,分数越大；
不同分母,不同分子的比较：先通分成同分母,然后按照同分母的分数比较大小的方法比较。
知识点6---
把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。
通分时，要把两个分母的最小公倍数作公分母，别忘了分子和分母要同时乘相同的数。
三、【典例探究】
【例题1】用分数表示下列各式的商．
（1）3÷7； （2）15÷26.
【解】 (1)3÷7=false；(2)15÷26=false.
【例题2】不用画数轴，请判别下列分数哪些在数轴上表示同一个点？
（1）false；（2）false；（3）false；（4）false.
【解】 （1）false=false；（2）false=false（3）false=false；（4）false=false；
答：false，false在数轴上表示同一个点.
【例题3】
把下列分数化成最简分数．
（1）false； （2）false； （3）false；（4）false.
【解】（1） （2） （3） （4）
【例题4】下列哪些分数是最简分数．
（1）false；（2）false；（3）false；（4）false；（5）false.
【解】、
【例题5】 把、、通分，并比较大小。
【解】

四、【课堂运用】
【基础】 【练习1】判断题：（正确的在括号内填入“√”，错误的在括号内填入“×”）
（1）将分数化成最简分数的过程叫约分. （ ）
（2）最简分数的分子、分母一定是素数. （ ）
（3）分子、分母的公因数只有1的分数是最简分数. （ ）
（4）分子、分母都是奇数的分数是最简分数. （ ）
（5）分子、分母都是偶数的分数一定不是最简分数. （ ）
（6）分子、分母都是合数的分数一定不是最简分数. （ ）
（7）分子、分母都是素数的分数是最简分数. （ ）
（8）分子、分母是连续的两个正整数的分数是最简分数. （ ）
【练习2】一个分子为24的分数经过约分后，结果为false，这个分数原来为（ ）
（A）false （B）false （C）false （D）false
【练习3】分数、、、中,最简分数的个数为（ ）
（A）0 （B） 1 （C） 2 （D）3
【练习4】一个分数的分子、分母的最大公因数是12，经过约分后得false，则原来分数是 .
【练习5】在false中，与分数false相等的分数是　　__________.
【练习6】比较分数的大小
○ ○ ○
○ ○ ○
【巩固】【练习1】一个分数的分子、分母的差为28，经过约分后得false，求原来分数.
【练习2】写出大于false且小于false，分母是20的所有最简分数.
【练习3】写出大于false且小于false，分子是6的所有最简分数.
【练习4】判断
1、比较分数的大小要看分子，分子大的分数大。 （ ）
2、> ， > 。 （ ）
3、 < （ ， 均是不为0的整数），则 < 。 ( )
4、因为6 > 5，所以 < 。 （ ）
5、真分数小于1，假分数大于1。 （ ）
6、分数单位是的最大真分数是 。 （ ）
【拔高】【练习1】把false的分子和分母同时加一个数，使它的结果等于false，求加上的数.
【练习2】阴影部分把一个正方形的 表示出来.（至少四种）
11017252349521107401968531115002349520002519685
【练习3】字母A、B各表示一个互不相等，且都不超过10的正整数，如果false=false，求A、B各表示哪个数？
【练习4】加工同样多的零件，李师傅3小时完成总量的，张师傅3小时完成总量的，哪位师傅完成得快？
五、【课后巩固】
【练习1】用分数表示3÷7的商是_____________.
【练习2】false中有________个false；5个false是__________.
【练习3】把1米长的绳子平均分成6份，那么每份长是false米，如果一根12米长的绳子，也把它平均分成6份，每份是原来的（ ）
A.false B.false米 C.false D.false米
【练习4】把10千克糖果平均分成3份，下列说法正确的是（ ）
A、每份糖果是false千克 B、每份糖果是false千克
C、每份糖果是false千克 D、每份糖果是false千克
【练习5】把4米长的木料平均分成5段，每段长是几分之几米？每段长是这根木料的几分之几？
【练习6】小明家养了23只灰鸽子，11只白鸽子，白鸽子是灰鸽子的几分之几？
【练习7】下列说法，正确的是（ ）
分数的分子和分母都乘以一个数，分数的大小不变
一个分数的分子增加3倍，分母减少3倍，这个分数比原来扩大了9倍
24分钟就是false小时
false
【练习8】在括号内填上适当的数，使等式成立。
⑵
⑷
⑹
【练习9】小明的妈妈在28岁时生了小明，小明今年刚好10岁。问：
⑴小明今年的年龄是他妈妈年龄的几分之几？
(2)过12年，小明的年龄是他妈妈年龄的几分之几？
【练习10】有三根绳子，第一根长米，第二根长米，第三根长米，哪一根绳子长些，哪一根绳子短些？
【练习11】小红、小琴、小倩、小兰四个同学分别看相同的一本故事书，一周后，她们分别看了这本书的，，，.请把她们看书的多少按照从大到小排列起来。
第九讲 分数的运算
一、【考点解读】
本知识点属于计算板块的部分，难度并不大。要求学生在运算顺序正确的前提下，通过一定题目的训练，熟悉分数计算法则。
二、【知识讲解】
知识点1---
分数的加法和减法
（1） 同分母分数加、减法 （分母不变，分子相加减）
（2） 异分母分数加、减法 （通分后再加减）
（3） 分数加减混合运算：同整数。
（4） 结果要是最简分数
带分数加减法: 带分数相加减，整数部分和分数部分分别相加减，再把所得的结果合并起来。
知识点2---
分子比分母小的分数叫真分数。真分数小于1。
分子比分母大或分子和分母相等的分数叫做假分数。假分数大于1或等于1。
带分数包括整数部分和分数部分，分数部分应当是真分数。带分数大于1。
把假分数化成带分数的方法是用分子除以分母，商是整数部分，余数是分子，分母不变。
把带分数化成假分数的方法是用整数部分乘分母的积加原来的分子作分子，分母不变。
知识点3---
分数乘法的运算方法：分数的分子与分子相乘，分母与分母相乘，能约分的要先约分。
知识点4---
分数甲除以分数乙就是分数甲乘以分数乙的倒数。
分数除法的意义：与整数除法的意义相同，都是已知两个因数的积与其中一个因数求另一个因数。被除数分子乘除数分母，被除数分母乘除数分子。
倒数：是指数学上设一个数x与其相乘的积为1的数，记为，过程为“乘法逆”，除了0以外的数都存在倒数， 分子和分母相倒并且两个乘积是1的数互为倒数，0没有倒数。
三、【典例探究】
【例题1】计算：false false
【解】false； = false
【例题2】计算：false×false＝　　　 false×false＝
false×false＝　 　 15×false＝　
【解】false；false；false；3
【例题3】计算：false= false= false
【解】false；false；false
四、【课堂运用】
【基础】
【练习1】计算
false false


【练习2】运用简便方法计算下列各题
false false
false false



【练习3】计算：56×false＝　 　false×false＝　　

【练习4】计算：false 11÷false false
【巩固】
【练习1】运用简便方法计算下列各题
false false
【练习2】计算：3.6×false＝　　 false×1.6＝
false×false＝　　 1false×8＝　　
【练习3】一块正方形木板，它的周长是false米，它的边长是多少？
【拔高】
【练习1】运用简便方法计算下列各题
false false
false false
【练习2】计算：false×false×false＝　　 false×3.3－0.9＝　　
1false×21＝　 false×1false＝　
【练习3】把一根false米的木料锯成长度相等的几段，一共锯了2次，平均每段长多少米？
【练习4】给一条false千米的人行道铺地砖，4天完成了任务的一半，平均每天铺多少千米？
【练习5】一根false米长的钢绳重2千克，这种钢绳每米重多少千克？每千克钢绳有多长？
五、【课后巩固】
【练习1】计算（能简算的要简算）

false false false
false false false
++ － ( ＋ )
11－ － 　　 　 － ＋0.56　　　
【练习2】计算：
3.3×2false＝ 14×4false＝　　　

2false×12＝　 false×7false＝　　
　
【练习3】王阿姨到菜场买了false千克的白菜，用去false元。每千克白菜多少元？

【练习4】一台榨油机false小时榨油false吨，平均每小时榨油多少吨？榨一吨油需要多少小时？
【练习5】甲数的false与乙数的false相等。甲数是false，乙数是多少？
【练习6】小华把自己的图书平均分成4份，把其中的一份送给了妹妹，这一份相当于妹妹原来图书的2倍，现在妹妹的图书相当于小华的几分之几？
【练习7】一辆汽车每小时行120千米，从甲地到乙地行了false小时，甲乙两地相距多少千米？从乙地到丙地行了40分钟，乙丙两地相距多少千米？
【练习8】某小学有男同学840人，女同学人数比男同学少false，女同学人数比男同学少多少人？这个学校共有学生多少人？
第十讲 分数与小数的互化
一、【考点解读】
分数与小数互化也是小升初过度阶段必须掌握的重要知识点，规律不多，考法也离不开根据转换规律或利用解决周期类问题的方法等
二、【知识

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