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高中数学题库
1. 求下列函数的值域：

2
解法 2 令 t＝ sinx，则 f(t)＝－ t＋ t＋ 1，∵ |sinx|≤ 1, ∴ |t|≤ 1.问题转化为求关
于 t的二次函数 f(t)在闭区间 [－ 1,1]上的最值．

本例题 (2)解法 2通过换元，将求三角函数的最值问题转化为求二次函数在闭区间上的最值
问题，从而达到解决问题的目的，这就是转换的思想．善于从不同角度去观察问题，沟通数
学各学科之间的内在联系，是实现转换的关键，转换的目的是将数学问题由陌生化熟悉，由
复杂化简单，一句话：由难化易．可见化归是转换的目的，而转换是实现化归段手段。

2. 设有一颗慧星沿一椭圆轨道绕地球运行，地球恰好位于椭圆轨道的焦点处，当此慧星离
地球相距 万千米和 万千米时，经过地球和慧星的直线与椭圆的长轴夹角分别为
，求该慧星与地球的最近距离。
解： 建立如下图所示直角坐标系，设地球位于焦点 处，椭圆的方程为
（图见教材 P132页例 1）。
当过地球和彗星的直线与椭圆的长轴夹角为 时，由椭圆的几何意义可知，彗星 A 只
能满足 。作
故由椭圆第二定义可知得
两式相减得

答：彗星与地球的最近距离为 万千米。
说明： （ 1）在天体运行中，彗星绕恒星运行的轨道一般都是椭圆，而恒星正是它的一个焦点，
该椭圆的两个焦点，一个是近地点，另一个则是远地点，这两点到恒星的距离一个是 ，
另一个是
（ 2）以上给出的解答是建立在椭圆的概念和几何意义之上的，以数学概念为根基充分体现
了数形结合的思想。另外，数学应用问题的解决在数学化的过程中也要时刻不忘审题，善于
挖掘隐含条件，有意识地训练数学思维的品质。

3. A， B， C是我方三个炮兵阵地， A在 B正东 6 ， C在 B正北偏西 ，相距 4 ，
P为敌炮 阵地，某时刻 A处发现敌炮阵地的某种信号，由于 B， C两地比 A距 P地远，
因此 4 后， B， C 才同时发现这一信号，此信号的传播速度为 1 ， A 若炮击 P
地，求炮击的方位角。（图见优化设计教师用书 P249例 2）
解： 如图，以直线 BA 为 轴，线段 BA 的 中 垂 线 为 轴 建 立 坐 标 系 ， 则
，因为 ，所以点 P在线段 BC的垂直平分线上。
因为 ， BC中点 ，所以直线 PD的方程为 （ 1）
又 故 P 在以 A， B 为焦点的双曲线右支上。设 ，则双曲线方程为
（ 2）。联立（ 1）（ 2），得 ，
所以 因此 ，故炮击的方位角北偏东 。
说明： 本题的关键是确定 P点的位置，另外还要求学生掌握方位角的基本概念。

4. 河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶 5 米时，水面宽度为 8 米，一小船宽 4 米，高 2
米，载货后船露出水面的部分高 0.75 米，问水面上涨到与抛物线拱顶距多少时，小船
开始不能通行？
解：建立平面直角坐标系 ,设拱桥型抛物线方程为 。将 B（ 4,-5）代入
得 P=1.6
船两侧与抛物线接触时不能通过
则 A(2,yA)，由 22=-3.2 yA得 yA = - 1.25
因为船露出水面的部分高 0.75米
所以 h=︱ yA︱ +0.75=2米
答：水面上涨到与抛物线拱顶距 2米时，小船开始不能通行
[思维点拔 ] 注意点与曲线的关系的正确应用和用建立抛物线方程解决实际问题的技巧。．

5. 如图所示，直线 和 相交于点 M， ，点 ，以 A、 B为端点的曲线段 C
上任一点到 的距离与到点 N的距离相等。若 为锐角三角形，
，建立适当的坐标系，求曲线段 C的方程。
解：以直线 为 x轴，线段 MN的垂直平分线为 y轴，建立直角坐标系，由条件可知，曲
线段 C是以点 N为焦点，以 为准线的抛物线的一段，其中 A、 B分别为曲线段 C的端
点。
设曲线段 C的方程为 ，其中 为 A、 B的
横坐标， ，所以 ，由 ，得
（ 1）
（ 2），（ 1）（ 2）联 立解得 ，代入（ 1）式，并由
解得 ，因为 为锐角三角形，所以 ，故舍去 ，所
以
由点 B在曲线段 C上，得 ，综上，曲线段 C的方程为

[思维点拔 ]本题体现了坐标法的基本思路，考查了定义法，待定系数法求曲线方程的步骤，
综合考查了学生分析问题、解决问题的能力。

6. 设抛物线 的焦点为 A,以 B(a+4,0)点为圆心，︱ AB︱为半径，在 x 轴
上方画半圆，设抛物线与半圆相交与不同的两点 M， N。点 P是 MN的中点。
（ 1）求︱ AM︱ +︱ AN︱的值
（ 2）是否存在实数 a，恰使︱ AM︱︱ AP︱︱ AN︱成等差数列？若存在，求出 a，不存在，
说明理由。
解： (1)设 M,N,P在抛物线准线上的射影分别为 M′ ,N′ ,P′ .
︱ AM ︱ + ︱ AN ︱ = ︱ MM ′︱ + ︱ NN ′︱ =xM+xN+2a 又圆方程

将 代入得
得︱ AM︱ +︱ AN︱ =8
(2)假设存在 a
因为︱ AM︱ +︱ AN︱ =︱ MM′︱ +︱ NN′︱ =2︱ PP′︱
所以︱ AP︱ =︱ PP′︱ ， P点在抛物线上，这与 P点是 MN的中点矛盾。故 a不存在。

7. 抛物线 上有两动点 A， B及一个定点 M， F为焦点，若
成等差数列
（ 1） 求证线段 AB的垂直平分线过定点 Q
（ 2） 若 （ O为坐标原点），求抛物线的方程。
（ 3） 对于（ 2）中的抛物线，求 △ AQB面积的最大值。
解 ：（ 1 ）设 ，则 ， ，
，由题意得 ， 的中点坐标可设为 ，其中
（否则 ），
而 ，故 AB 的 垂 直 平 分 线 为
，即 ，可知其过定点
（ 2）由 ，得 ，联立解得 。
（ 3 ）直线 AB ： ， 代 入 得 ，
，

， 又 点 到 AB 的 距 离 ，

令 ，则 ，令 即
，得 或 或 ， 时
。
[思维点拔 ]设而不求法和韦达定律法是解决圆锥曲线中的两大基本方法， 必须熟练掌握，对
定点问题和最值的处理也可由此细细的品味。

8、 已知直线 交椭圆 于 A、 B 两点，若 为 的倾斜角，
且 的长不小于短轴的长，求 的取值范围。
解：将 的 方 程 与 椭 圆 方 程 联 立 ， 消 去 ，得


由 ，
的取值范围是
[思维点拔 ]对于弦长公式一定要能熟练掌握、灵活运用民。本题由于 的方程由 给出，
所以可 以认定 ，否则涉及弦长计算时，还要讨论 时的情况。

9、 已知抛物线 与直线 相交于 A、 B两点
（ 1） 求证：
（ 2） 当 的面积等于 时，求 的值。
（ 1） 证明：图见教材 P127页，由方程组 消去 后，整理得 。
设 ，由韦达定理得 在抛物线 上，


（ 2） 解：设直线与 轴交于 N，又显然 令



[思维点拔 ]本题考查了两直线垂直的充要条件，三角形的面积公式，函数与方程的思想，以
及分析问题、解决问题的能力。

2
10、 在抛物线 y=4x上恒有两点关于直线 y=kx+3对称，求 k的取值范围。
2
〖解〗设 B、 C关于直线 y=kx+3对称，直 线 BC方程为 x=-ky+m代入 y=4x得：
2
y+4ky-4m=0， 设 B（ x1， y1）、 C（ x2， y2）， BC中点 M（ x0， y0），则
2
y0=（ y1+y2） /2=-2k。 x0=2k+m，
2
∵点 M（ x0， y0）在直线上。∴ -2k（ 2k+m） +3，∴ m=- 又 BC 与抛物线交于不
2
同两点，∴⊿ =16k+16m>0把 m代入化简得 即 ，
解得 -1[思维点拔 ]对称问题要充分利用对称的性质特点。

11、 已知椭圆的一个焦点 F1（ 0， -2 ），对应的准线方程为 y=- ，且离心率 e满足：
2/3， e， 4/3成等比数列。
（ 1） 求椭圆方程；
（ 2） 是否存在直线 ，使 与椭圆交于不同的两点 M、 N，且线段 MN 恰被直线 x=- 平
分。若存在，求 的倾斜角的范围；若不存在，请说明理由。
〖解〗依题意 e=
（ 1）∵ -c= -2 = ，又 e= ∴ =3， c=2 ， b=1，又 F1（ 0， -2 ），
对应的准线方程为 y=- 。∴椭圆中心在原点，所求方程为：
=1
（ 2）假设存在直线 ，依题意 交椭圆所得弦 MN被 x=- 平分，∴直线 的斜率存在。设
直线 ： 由
=1消去 y，整理得
=0
2 2 2 2
∵直线 与椭圆交于不同的两点 M、 N∴⊿ =4km-4(k+9)(m-9)>0
2 2
即 m-k-9<0 ①
设 M （ x1， y1）、 N（ x2， y2）
∴ ，∴ ②
把②代入①可解得：
∴直线 倾斜角

[思维点拔 ] 倾斜角的范围，实际上是求斜率的范围。

12、 设 x， y满足约束条件 ，若目标函数 z=ax+by（ a>0， b>0）的值是最大
值为 12，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D． 4
答案： A
解析： 不等式表示的平面区域如图所示阴影部分 ,当直线 ax+by= z（ a>0， b>0）过直线
x-y+2=0 与直线 3x-y-6=0 的交点（ 4,6）时，目标函数 z=ax+by（ a>0， b>0）取得最大 12，
即 4a+6b=12，即 2a+3b=6, 而 = ，故选
A．
点评： 本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题．要求能准确
地画出不等式表示的平面区域，并且能够求得目标函数的最值，对于形如已知 2a+3b=6，求
的
最小值常用乘积进而用基本不等式解答．

13、 本公司计划 2008年在 甲、乙两个电视台做总时间不超过 300分钟的广告，广告总费用
不超过 9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为 元 /分钟和 200元 /分钟，规定甲、
乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司事来的收益分别为 0． 3万元和 0． 2万
元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益
是 万元．
答案： 70
解析 ：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为 分钟和 分钟，总收益为
y
元，由题意得
500
400
目标函数为 ．
300
二元一次不等式组等价于
l 200 M
作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域． 100
如图：作直线 ，即 ．
0 100 200 300 x
平 移直线，从图中可知，当直线过 点时，目标函数取得最大值．
联立 解得 ． 点 的坐标为 ．
（元）．
点评 ： 本题是线性规划的实际应用问题，需要通过 审题理解题意，找出各量之间的关系，
找出线性约束条件，写出所研究的目标函数，通过数形结合解答问题． 用线性规划的方法解
决实际问题能提高学生分析问题、解决问题的能力，随着课改的深入，这类试题应该是高考
的热点题型之一．

14、 设 为实数，函数 ．
(1)若 ，求 的取值范围；
(2)求 的最小值；
(3)设函数 ， 直接写出 ． ． ． ． (不需给出演算步骤 )不等式 的
解集．
解析： （ 1）若 ，则 ；
（ 2）当 时， ，
当 时， ，
综上 ；
（ 3） 时， 得 ，

当 时， ；
当 时，△ >0，得： ；
讨论得：当 时，解集为 ；
当 时，解集为 ；
当 时，解集为 ．
点评： 本小题主要考查函数的概念、性质、图象及解一元二次不等式等基础知识，考查
灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力．

15、 知函数 ．
（Ⅰ）设 是正 数组成的数列，前 n项和为 ，其中 ．若点 (n
∈ N*)在函数 的图象上，求证：点 也在 的图象上；
（Ⅱ）求函数 在区间 内的极值．
解析： (Ⅰ )证明： 因为 所以 ，
由点 在函数 的图象上 ,
， 又 ，
所以 ， 是 的等差数列，
所以 ,又因为 ,所以 ,
故点 也在函数 的图象上．
(Ⅱ )解 : ,令 得 ．
当 x变化时 , ﹑ 的变化情况如下表 :
x (-∞ ,-2) -2 (-2,0
)
f(x) + 0 -
f(x) ↗ 极大值 ↘
注意到 ,从而
①当 ,此时 无极小
值；
②当 的极小值为 ,此时 无极大值；
③当 既无极大值又无极小值．
点评： 本小题主要考查函数极值、等差数列等基本知识，考查分类与整合、转化与化归等数
学思想方法，考查分析问题和解决问题的能力．

16、 设 若 是 与 的等比中项，则 的最小值为（ ）
A． 8 B． 4 C． 1 D．
答案 ： B
解析： 因为 ，所以 ，
，当且仅当 即 时“ =”成立，故选择 B．
点评： 本小题考查指数式和对数式的互化，以及均值不等式求最值的运用，考查了变通
能力．
17、 设数列 满足 为实数．
（ Ⅰ ）证明： 对任意 成立的 充分必要条件是 ；
（ Ⅱ ）设 ，证明： ；
（ Ⅲ ）设 ，证明： ．
解析 ： (1) 必要性 ： ， 又 ， 即
．
充分性 ： 设 ，对 用数学归纳法证明
，
当 时， ．假设
，
则 ，且
，
，由数学归纳法知 对所有 成立．
(2) 设 ，当 时， ，结论成立．
当 时，
，
,由（ 1）知 ，所以 且
，
，

，

．
(3) 设 ，当 时， ，结论成立，
当 时，由（ 2）知
，

，

．
点评： 该题综合考查了等比数列的求和、不等式的性质的应用、充分必要条件和数 学归
纳法等，具有较高的难度，对逻辑推理能力的考查要求较高．

18、 将一骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为（ ）

Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
解析： 一骰子连续抛掷三次得到的数列共有 个，其中为等差数列有三类：
（ 1）公差为 0的有 6个；（ 2）公差为 1或 -1的有 8个；（ 3）公差为 2或 -2的有 4个，
共 有 18个，成等差数列的概率为 ，选 B．
点评 ：本题是以数列和概率的背景出现，题型新颖而别开生面，有采取分类讨论，分类
时要做到不遗漏，不重复．
19、 等差数列 {an}和 {bn}的前 n项和分别用 Sn和 Tn表示，若 ，则 的值为 ( )
A B C D
答案 ： A
解析 ： ∵ ； ．
∴ ．
点评：考查等差数列的前 n项和的变形。

2
(a＋ b)
20、 已知 x＞ 0， y＞ 0， x， a， b， y成等差数列， x， c， d， y成等比数列，则 的最小
cd
值是 ________．
答案 ： 4
2 2 2
(a＋ b) (x＋ y) (2 xy)
解析 ： ∵ ＝ ≥ ＝ 4．
cd xy xy
点评：考查等差等比数列的基本知识，均值不等式。

21、 命题 实数 满足 ，其中 ，命题 实数 满足
或 ，且 是 的必要不充分条件，求 的取值范围．
解析 ： 设 ，

=
因为 是 的必要不充分条件，所以 ，且 推不出
而 ，
所以 ， 则 或
即 或 ．
点评： 考查逻辑用语，一元二次方程及其含参数的解集。

22、 已知二次函数 的二次项系数为 a ，且不等式 的解集为（ 1 , 3）．
（ l）若方程 有两个相等的根，求 的解析式；
（ 2）若 的最大值为正数，求 a 的取值范围．
解析 ： （ 1）因为 的解集为（ 1， 3），所以 且 ．
因而 （ 1）
由方程 得： （ 2）
因为方程（ 2）有两个相等的根．
所以 ，即 ．
解得： （舍去）或 ，
将 代入（ 1）得 的解析式为： ，
（ 2） ，
有 a < 0，可得 的最大值为 ，
所以 > 0，且 a < 0．
解得： ，
故当 的最大值为正数时，实数 a的取值范围是 ．
点评 ：含参数的未知一元二次方程，求函数表达式以及参数的取值范围。计算量比较大，且
要求对一元二次函数的知识熟练。

23、 已知数列 中， 是其前 项和，并且 ，
⑴设数列 ，求证：数列 是等比数列；
⑵设数列 ，求证：数列 是等差数列；
⑶求数列 的通项公式及前 项和。
分析 ：由于 {b }和 {c }中的项都和 {a }中的项有关， {a }中又有 S =4a +2，可由
S -S 作切入点探索解题的途径．
解 ： (1)由 S =4a ， S =4a +2，两式相减，得 S -S =4(a -a )，即
a =4a -4a ． (根据 b 的构造，如何把该式表示成 b 与 b 的关系是证明的关键，注
意加强恒等变形能力的训练 )
a -2a =2(a -2a )，又 b =a -2a ，所以 b =2b ①
已知 S =4a +2， a =1， a +a =4a +2，解得 a =5， b =a -2a =3 ②
由 ① 和 ② 得，数列 {b }是首项为 3，公比为 2的等比数列，故 b =3· 2 ．



当 n≥ 2时， S =4a +2=2 (3n-4)+2；当 n=1时， S =a =1也适合上式．
综上可知，所求的求和公式为 S =2 (3n-4)+2．
说明： 1．本例主要复习用等差、等比数列的定义证明一个数列为 等差，等比数列，求数列
通项与前 项和。解决本题的关键在于由条件 得出递推公式。
2．解综合题要总揽全局，尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件，在后
面求解的过程中适时应用．

24、 设实数 ，数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，记
，
求证：当 时，对任意自然数 都有 =
解 ： 。



记 ①
②
① +②得 ③


说明 ：本例主要复习利用错位相减解决差比数列的求和问题。关键是先研究通项，确定
是等差数列， 等比数列。

25、 设正数数列 {a }为一等比数列，且 a =4， a =16．




说明： 这是 2000年全国高考上海试题，涉及对数、数列、极限的综合题，主要考查等
比数列的定义及通项公式，等差数列前 n项和公式，对数计算，求数列极限等基础知识，以
及综合运用数学知识的能力．

26、 （ 2004年北京春季高考 20）下表给出一个“等差数阵”：
4 7 （） （） （） …… ……
7 12 （） （） （） …… ……
（） （） （） （） （） …… ……
（） （） （） （） （） …… ……
…… …… …… …… …… …… …… ……
…… ……
…… …… …… …… …… …… …… ……
其中每行、每列都是等差数列， 表示位于第 i行第 j列的数。
（ I）写出 的值；（ II）写出 的计算公式；
（ III）证明：正整数 N在该等差数列阵中的充要条件是 2N+1可以分 解成两个不是 1的正整
数之积。
分析： 本小题主要考查等差数列、充要条件等基本知识，考查逻辑思维能力、分析问题
和解决问题的能力。
解： （ I）
（ II）该等差数阵的第一行是首项为 4，公差为 3的等差数列：

第二行是首项为 7，公差为 5的等差数列：

……
第 i行是首项为 ，公差为 的等差数列， 因此

（ III）必要性：若 N在该等差数阵中，则存在正整数 i， j使得
从而
即正整数 2N+1可以分解成两个不是 1的正整数之积。
充分性：若 2N+1可以分解成两个不是 1的正整数之积，由于 2N+1是奇数，则它必为两个
不是 1的奇数之积，即存在正整数 k， l，使得
，从而
可见 N在该等差数阵中。
综上所述，正整数 N在该等差数阵中的充要条件是 2N+1可以分解成两个不是 1的正整数之
积。
27、 已知点的序列 （ ， 0）， ，其中 =0， ， A3是线钱 A1A2的中点，
A4是线段 A2A3的中点， … ， An是线段 的中点， … 。
（ I）写出 与 、 之间的关系式（ ≥3 ）
（ II）设 ，计算 ， ， ，由此推测数列 { }的通项公式，并加以证明 。
（ I）解： 当 n≥3 时，
（ II）解：

.
由此推测。
证法一 ：因为 ，且
（ n≥2 ）所以 。
证法二 ：（用数学归纳法证明：）
（ i）当时， ，公式成立，
（ ii）假设当 时，公式成立，即 成立。
那么当 时，
= 式仍成立。
根据（ i）与（ ii）可知，对任意 ，公式 成立
评注： 本小题主要考查中点坐标公式、等比数列等基本知识，考查运算能力和逻辑思维能力。

28、 （ 94年全国理 )设｛ an｝是正数组成的数列，其前 n项和为 Sn，并且对所有自然数 n， an与 2
的等差中项等于 Sn与 2的等比中项 .
(1)写出数列｛ an｝的前三项； (2)求数列｛ an｝的通项公式 (写出推证过程 )；
(3)令 bn= (n∈N) ，求： b1+b2+…+ bn-n.
解： (1)由题意 = an＞ 0
令 n=1时， = S1=a1解得 a1=2
令 n=2时有 = =a1+a2 解得 a2=6
令 n=3时有 = S3=a1+a2+a3解得 a3=10
故该数列的前三项为 2、 6、 10.
(2)解法一 ：由 (1)猜想数列｛ an｝有通项公式 an=4n-2，下面用数学归纳法证明数列｛ an｝的通项
公式是 an=4n-2(n∈N)
1° 当 n=1时，因为 4×1 -2＝ 2，又在 (1)中已求得 a1=2，所以上述结论正确 .
2° 假设 n=k时，结论正确，即有 ak=4k-2
2
由题意有 得 ak=4k-2,代入上式得 2k= ,解得 Sk=2k
2 2
由题意有 = Sk+1=Sk+ak+1得 Sk=2k 代入得 =2(ak+1+2k)
2 2
整理 ak+1-4ak+1+4-16k=0 由于 ak+1＞ 0，解得： ak+1=2+4k
所以 ak+1=2+4k=4(k+1)-2
这就是说 n=k+1时，上述结论成立 .
根据 1° ， 2° 上述结论对所有自然数 n成立 .
2
解法二： 由题意有， = (n∈N) 整理得 Sn= (an+2)
2 2 2
由此得 Sn+1= (an+1+2) 所以 an+1=Sn+1-Sn= ［（ an+1+2)-(an+2)］
整理得 (an+1+an)(an+1-an-4)=0由题意知 an+1+an≠0, 所以 an+1-an=4
即数列｛ an｝为等差数列，其中 a1=2,公差 d=4，
所以 an=a1＋ (n-1)d=2+4(n-1) 即通项公式 an=4n-2.
(3)令 cn=bn-1,
则 cn= = =
b1+b2+…+ bn-n=c1+c2+…+ cn
=
说明 ： 该题的解题思路是从所给条件出发，通过观察、试验、分析、归纳、概括、猜想出一般规
律，然后再对归纳、猜想的结论进行证明 .对于含自然数 n的命题，可以考虑用数学归纳法进行
证明，该题着重考查了归纳、概括和数学变换的能力 .

29、 （江苏 18）如图，在平面直角坐标系 中， M、 N分别是椭圆 的顶点，
过坐标原点的直线交椭圆于 P、 A两点，其中 P在第一象限，过 P作 x轴的垂线，垂足为 C，
连接 AC，并延长交椭 圆于点 B，设直线 PA的斜率为 k
（ 1）当直线 PA平分线段 MN，求 k的值；
（ 2）当 k=2时，求点 P到直线 AB的距离 d；
（ 3）对任意 k>0，求证： PA⊥ PB

本小题主要考查椭圆的标准方程及几何性质、直线方程、直线的垂直关系、点到直线的距离
等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力，满分 16分 .
解：（ 1）由题设知， 所以线段 MN 中点的坐标为
，由于直线 PA平分线段 MN，故直线 PA过线段 MN的中点，又直线 PA过坐标
原点，所以
（ 2）直线 PA的方程
解得
于是 直线 AC的斜率为

（ 3）解法一：
将直线 PA的方程 代入
则
故直线 AB的斜率为
其方程为
解得 .
于是直线 PB的斜率
因此
解法二：
设 .
设直线 PB， AB的斜率分别为 因为 C在直线 AB上，所以
从而


因此

30、 （安徽理 21）设 ，点 的坐标为（ 1,1），点 在抛物线 上运动，点 满足
，经过 点与 轴垂直的直线交抛物线于点 ，点 满足 ,
求点 的轨迹方程。














本题考查直线和抛物线的方程，平面向量的概念，性质与运算，动点的轨迹方程等基本知识，
考查灵活运用知识探究问题和解决问题的 能力，全面考核综合数学素养 .
解：由 知 Q， M， P三点在同一条垂直于 x轴的直线上，故可设
①
再设
解得 ②
将①式代入②式，消去 ，得
③
又点 B在抛物线 上，所以 ，再将③式代入 ，得

故所求点 P的轨迹方程为

31、 （北京理 19）
已知椭圆 .过点（ m,0）作圆 的切线 I交椭圆 G于 A， B两点 .
（ I）求椭圆 G的焦点坐标和离心率；
（ II）将 表示为 m的函数，并求 的最大值 .
（ 19）（共 14分）
解：（Ⅰ）由已知得
所以
所以椭圆 G的焦 点坐标为
离心率为
（Ⅱ）由题意知， .
当 时，切线 l的方程 ，点 A、 B的坐标分别为
此时
当 m=－ 1时，同理可得
当 时，设切线 l的方程为
由
设 A、 B两点的坐标分别为 ，则

又由 l与圆
所以


由于当 时，
所以 .
因为
且当 时， |AB|=2，所以 |AB|的最大值为 2.

32、 （福建理 17）已知直线 l： y=x+m， m∈ R。
（ I）若以点 M（ 2,0）为圆心的圆与直线 l相切与点 P，且点 P在 y轴上，求该圆的方程；
（ II）若直线 l关于 x轴对称的直线为 ，问直线 与抛物线 C： x2=4y是否相切？说明理由。
本小题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、
数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想。满分 13分。
解法一：
（ I）依题意，点 P的坐标为（ 0， m）
因为 ，所以 ，
解得 m=2，即点 P的坐标为（ 0， 2）
从而圆的半径

故所求圆的方程为
（ II）因为直线 的方程为
所以直线 的方程为
由

（ 1）当 时，直线 与抛物线 C相切
（ 2）当 ，那 时，直线 与抛物线 C不相切。
综上，当 m=1时，直线 与抛物线 C相切；
当 时 ，直线 与抛物线 C不相切。
解法二：
（ I）设所求圆的半径为 r，则圆的方程可设为
依题意，所求圆与直线 相切于点 P（ 0， m），
则
解得
所以所求圆的方程为
（ II）同解法一。

33、 （广东理 19）
设圆 C与两圆 中的一个内切，另一个外切。
（ 1）求 C的圆心轨迹 L的方程 ;
（ 2）已知点 M ，且 P为 L上动点，求 的最大值及此时
点 P的坐标．

（ 1）解：设 C的圆心的坐标为 ，由题设条件知

化简得 L的方程为

（ 2）解：过 M， F的直线 方程为 ，将其代入 L的方程得

解得
因 T1在线段 MF外， T2在线段 MF内，故
，若 P不在直线 MF上，在 中有

故 只在 T1点取得最大值 2。
34、 （湖北理 20）
平面内与两定点 ， 连续的斜率之积等于非零常数 的点的轨迹，
加上 、 两点所成的曲线 可以是圆、椭圆成双曲线．
（Ⅰ）求曲线 的方程，并讨论 的形状与 值得关系；
（Ⅱ）当 时，对应的曲线为 ；对给定的 ，对应的曲线为 ，
设 、 是 的两个焦点。试问：在 撒谎个，是否存在点 ，使得△ 的面积
。若存在，求 的值；若不存在，请说明理由。
本小题主要 考查曲线与方程、圆锥曲线等基础知识，同时考查推理运算的能力，以及分类与
整合和数形结合的思想。（满分 14分）
解：（ I）设动点为 M，其坐标为 ，
当 时，由条件可得
即 ，
又 的坐标满足
故依题意，曲线 C的方程为
当 曲线 C的方程为 是焦点在 y轴上的椭圆；
当 时，曲线 C的方程为 ， C是圆心在原点的圆；
当 时，曲线 C的方程为 ， C是焦点在 x轴上的椭圆；
当 时，曲线 C的方程为 C是焦点在 x轴上的双曲线。
（ II）由（ I）知，当 m=-1时， C1的方程为
当 时，
C2的两个焦点分别为
对于给定的 ，
C1上存在点 使得 的充要条件是
①
②

由①得 由②得
当
或 时，
存在点 N，使 S=|m|a2；
当
或 时，
不存在满足条件的点 N，
当 时，
由 ，
可得
令 ，
则由 ，
从而 ，
于是由 ，
可得
综上可得：
当 时，在 C1 上，存在点 N，使得

当 时，在 C1 上，存在点 N，使得

当 时，在 C1 上，不
存在满足条件的点 N。

35、 （湖南理 21）
如图 7，椭圆 的离心率为 ， x 轴被曲线 截得
的线段长等于 C1的长半轴长。
（Ⅰ）求 C1， C2的方程；
（Ⅱ）设 C2与 y轴 的焦点为 M，过坐标原点 O 的直线 与 C2相交于点 A,B,直线 MA,MB
分别与 C1相交与 D,E．
（ i）证明： MD⊥ ME;
（ ii）记△ MAB,△ MDE 的面积分别是 ．问：是否存在直线 l,使得 ?请说明理
由。
解 ：（Ⅰ）由题意知
故 C1， C2的方程分别为
（Ⅱ）（ i）由题意知，直线 l的斜率存在，设为 k，则直线 l的方程为 .
由 得
.
设 是上述方程的两个实根，于是

又点 M的坐标为（ 0， — 1），所以


故 MA⊥ MB，即 MD⊥ ME.
（ ii）设直线 MA的斜率为 k1，则直线 MA的方程为 解得

则点 A的坐标为 .
又直线 MB的斜率为 ，
同理可得点 B的坐标为
于是
由 得
解得
则点 D的坐标为
又直线 ME的斜率为 ，同理可得点 E的坐标为
于是 .
因此
由题意知，
又由点 A、 B的坐标可知，
故满足条件的直线 l存在，且有两条，其方程分别为

36、 （辽宁理 20）
如图，已知椭圆 C1的中心在原点 O，长轴左、右端点 M，
N 在 x 轴上，椭圆 C2 的短轴为 MN，且 C1， C2的离心率
都为 e，直线 l⊥ MN， l与 C1交于两点，与 C2交于两点，
这四点按纵坐标从大到小依次为 A， B， C， D．
（ I） 设 ，求 与 的比值；
（ II）当 e 变化时，是否存在直线 l，使得 BO∥ AN，并说
明理由．

解：（ I）因为 C1， C2的离心率相同，故依题意可设

设直线 ，分别与 C1， C2的方程联立，求得
………………4 分
当 表示 A， B的纵坐标，可知
………………6 分
（ II） t=0 时的 l不符合题意 . 时， BO//AN当且仅当 BO的斜率 kBO 与 AN的斜率
kAN相等，即

解得
因为
所以当 时，不存在直线 l，使得 BO//AN；
当 时，存在直线 l使得 BO//AN. ………………12 分

37、 （全国大纲理 21）
已知 O为坐标原点， F为椭圆 在 y轴正半轴上的焦点，过 F且斜率为 的
直线 与 C交于 A、 B两点，点 P满足
（Ⅰ）证明：点 P在 C上；
（Ⅱ）设点 P关于点 O的对称点为 Q，证明： A、 P、 B、 Q四点在同一圆上．









解：
（ I） F（ 0， 1）， 的方程为 ，
代入 并化简得
………… 2分
设
则

由题意得
所以点 P的坐标为
经验证，点 P的坐标为 满足方程
故点 P在椭圆 C上。 ………… 6分
（ II）由 和题设知，
PQ的垂直平分线 的方程为
①
设 AB的中点为 M，则 ， AB的垂直平分线为 的方程为
②
由①、②得 的交点为 。 ………… 9分

故 |NP|=|NA|。
又 |NP|=|NQ|， |NA|=|NB|，
所以 |NA|=|NP|=|NB|=|MQ|，
由此知 A、 P、 B、 Q四点在以 N为圆心， NA为半径的圆上

38、 （全国新课标理 20）
在平面直角坐标系 xOy中， 已知点 A（ 0， -1）， B点在直线 上， M点满足 ，
， M点的轨迹为曲线 C．
（ I）求 C的方程；
（ II） P为 C上动点， 为 C在点 P处的切线，求 O点到 距离的最 小值．

解：
(Ⅰ )设 M(x， y)，由已知得 B(x， -3)， A(0， -1).
所以 =（ -x， -1-y）， =(0， -3-y)， =(x， -2).
再由题意可知（ + ） ? =0， 即（ -x， -4-2y） ? (x， -2)=0.
所以曲线 C的方程式为 y= x -2.
(Ⅱ )设 P(x ， y )为曲线 C： y= x -2上一点，因为 y = x，所以 的斜率为 x
因此直线 的方程为 ，即 ．
则 O点到 的距离 .又 ，所以

当 =0时取等号，所以 O点到 距离的最小值为 2.
39、 （山东理 22）
已知动直线 与椭圆 C: 交于 P 、 Q 两不同点，且△ OPQ的面积
= ,其中 O为坐标原点 .
（Ⅰ）证明 和 均为定值 ;
（Ⅱ）设线段 PQ的中点为 M，求 的最大值；
（Ⅲ）椭圆 C上是否存在点 D,E,G，使得 ?若存在，判断△ DEG
的形状；若不存在，请说明理由 .
（ I）解：（ 1）当直线 的斜率不存在时， P， Q两点关于 x轴对称，
所以
因为 在椭圆上，
因此 ①
又因为
所以 ②
由①、②得
此时
（ 2）当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为
由题意知 m ，将其代入 ，得
，
其中
即 …………（ *）
又
所以
因为点 O到直线 的距离为
所以


又
整理得 且符合（ *）式，
此时

综上所述， 结论成立。
（ II）解法一：
（ 1）当直线 的斜率存在时，
由（ I）知
因此
（ 2）当直线 的斜率存在时，由（ I）知


所以

所以 ，当且仅当 时，等号成立 .
综合（ 1）（ 2）得 |OM|· |PQ|的最大值为
解法二：
因为

所以
即 当且仅当 时等号成立。
因此 |OM|· |PQ|的最大值为
（ III）椭圆 C上不存在三点 D， E， G，使得
证明：假设存在 ，
由（ I）得

因此 D， E， G只能在 这四点中选取三个不同点，
而这三点的两两连线中必有一条过原点，
与 矛盾，
所以椭圆 C上不存在满足条件的三点 D， E， G.

40、 （陕西理 17）
如图，设 P 是圆 上的动点，点 D是 P 在 x轴上的摄影， M为 PD上一点，且

（Ⅰ）当 P在圆上运动时，求点 M的轨迹 C的方程；
（Ⅱ）求过点（ 3， 0）且斜率为 的直线被 C所截线段的长度






解：（ Ⅰ）设 M的坐标为（ x,y） P的坐标为（ xp,yp）
由已知得
∵ P在圆上， ∴ ，即 C的方程为
（Ⅱ）过点（ 3， 0）且斜率为 的直线方程为 ，
设直线与 C的交点为
将直线方程 代入 C的方程，得
即
∴ ∴ 线段 AB的长度为

注：求 AB长度时，利用韦达定理或弦长公式求得正确结果，同样得分。
41、 （上海理 23） 已知平面上的线段 及点 ，在 上任取一点 ，线段 长度的最小值
称为点 到线段 的距 离，记作 。
（ 1）求点 到线段 的距离 ；
（ 2）设 是长为 2的线段，求点集 所表示图形的面积；
（ 3）写出到两条线段 距离相等的点的集合 ，其中
，
是下列三组点中的一组。对于下列三组点只需选做一种，满分分别是① 2分，②
6分，③ 8分；若选择了多于一种的情形，则按照序号较小的解答计分。
。
② 。
③ 。
解：⑴ 设 是线段 上一点，则
，当 时，
。
⑵ 设线段 的端点分别为 ，以直线 为 轴， 的中点为原点建立直角坐标系，
则 ，点集 由如下曲线围成
，

其面积为 。
⑶ ① 选择 ，
② 选择 。

③ 选择 。
















42、 （四川理 21）
椭圆有两顶点 A（ -1， 0）、 B（ 1， 0），过其焦点 F（ 0， 1）的直线 l与椭圆交于 C、 D两点，
并与 x轴交于点 P．直线 AC与直线 BD交于点 Q．
（ I）当 |CD | = 时，求直线 l的方程；
（ II）当点 P异于 A、 B两点时，求证： 为定值。

解：由已知可得椭圆方程为 ，设 的方程为 为 的斜率。
则

的方程为
43、 （天津理 18）在平面直角坐标系 中，点 为动点， 分别为
椭圆 的左右 焦点．已知△ 为等腰三角形．
（Ⅰ）求椭圆的离心率 ；
（Ⅱ）设直线 与椭圆相交于 两点， 是直线 上的点，满足 ，
求点 的轨迹方程．
本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、平面向量等基础知识，考查用代
数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的数学思想，考查解决问题能力与运算能力 .满分 13
分 .
（ I）解：设
由题意，可得
即
整理得 （舍），
或 所以
（ II）解：由（ I）知
可得椭圆方程为
直线 PF2方程为
A， B两点的坐标满足方程组
消去 y并整理，得
解得
得方程组的解
不妨设
设点 M的坐标为 ，
由
于是
由
即 ，
化简得
将
所以
因此，点 M的轨迹方程是

44、 （浙江理 21）
已知抛物线 : ＝ ，圆 : 的圆心为点 M
（Ⅰ）求点 M到抛物线 的准线的距离；
（Ⅱ）已知点 P是抛物线 上一点（异于原点），过点 P作圆 的两条切线，交抛物线 于
A， B两点，若过 M， P两点的直线 垂直于 AB，求直线 的方程









本题主要考查抛物线的几何性质，直线与抛物线、圆的位置关系等基础知识，同时考查解析
几何的基本思想方法和综合解题能力。 满分 15分。
（ I）解：由题意可知，抛物线的准线方程为：
所以圆心 M（ 0， 4）到准线的距离是
（ II）解：设 ，
则题意得 ，
设过点 P的圆 C2的切线方程为 ，
即 ①
则
即 ，
设 PA， PB的斜率为 ，则 是上述方程的两根，所以

将①代入
由于 是此方程的根，
故 ，所以

由 ，得 ，
解得
即点 P的坐标为 ，
所以直线 的方程为

45、 （重庆理 20）如题（ 20）图，椭圆的中心为原点 ，离心率 ，一条准线的方程
为 ．
（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设动 点 满足： ，其中 是椭圆上的点，直线 与
的斜率之积为 ，问：是否存在两个定点 ，使得 为定值？若存在，求
的坐标；若不存在，说明理由．


解：（ I）由
解得 ，故椭圆的标准方程为

（ II）设 ，则由
得

因为点 M， N在椭圆 上，所以
，
故

设 分别为直线 OM， ON的斜率，由题设条件知
因此
所以
所以 P 点是椭圆 上的点，设该椭圆的左、右焦点为 F1， F2，则由椭
圆的定义 |PF1|+|PF2|为定值，又因 ，因此两焦点的坐标为


46、 A， B是抛物线 上的两点，且 OA （ O为坐标原点）求证：
（ 1） A， B两点的横坐标之积，纵坐标之积分别是定植；
（ 2）直线 AB经过一个定点
证明： （ 1）设
两式相乘得

所以直线 AB过定点 (2p,0)

47、 （ 2005年春季北京， 18）如图， O为坐标原点，直线 在 轴和 轴上的截距分别是 和
，且交抛物线 两点。
（ 1） 写出直线 的截距式方程
（ 2） 证明：
（ 3） 当 时，求 的大小。（图见教材 P135页例 1）
解： （ 1）直线 的截距式方程为 。 （ 1）
（ 2）、由（ 1）及 消去 可得 （ 2）
点 M， N的坐标 为（ 2）的两个根。故
所以
（ 3）、设直线 OM、 ON的斜率分别为
当 时，由（ 2）知，
因此 。
说明：本题主要考查直线、抛物线等基本知识，考查运用解析几何的方法分析问题和解决问
题的能力。

48、 （ 2005 年黄冈高三调研考题） 已知椭圆 C 的方程为 ，双曲线
的两条渐近线为 ，过椭圆 C 的右焦点 F 作直线 ，使 ，又 与 交
于 P点，设 与椭圆 C的两个交点由上而下依次为 A、 B。（图见教材 P135页例 2）
（ 1） 当 夹角为 ，双曲线的焦距为 4时，求椭圆 C的方程
（ 2） 当 时，求 的最大值。
解： （ 1） 双曲线的渐近线为 ，两渐近线的夹角为 ，又 ，

（ 3） 由已知
由 得 ，将 A点坐标代入椭圆方程得


说明：本题考查了椭圆、双曲线的基础知识，及向量、定比分点公式、重要不等式的应
用。解决本题的难点是通过恒等变形，利用重要不等式解决问题的思想。本题是培养学
生分析问题和解决问题能力的一道好题。

49、 A， F分别是椭圆 的一个上顶点与上焦点，位于 x轴的正半轴上
的动点 T（ t,0）与 F的连线交射线 OA于 Q，求：
（ 1） 点 A， F的坐标及直线 TQ的方程 ;
（ 2） 三角形 OTQ的面积 S与 t的函数关系式及该函数的最小值
（ 3） 写出该函数的单调递增区间 ,并证明 .
解 :(1)由题意得 A(1,3),F(1,1)
直线 TQ得方程为 x+(t-1)y-t=0
(2)射线 OA的方程 y=3x

所以 S(t)的最小值为
(3)S(t)在 上是增函数


所以该函数在
2
50、 过抛物线 y＝ 2px的焦点 F任作一条直线 m，交这抛物线于 P1、 P2两点，求证：以
P1P2为直径的圆和这抛物线的准线相切．
分析：运用抛物线的定义和平面几何知识来证比较简捷．
证明：如图 2-17．设 P1P2的中点为 P0，过 P1、 P0、 P2分别向准线 l引垂线 P1Q1， P0Q0，
P2Q2，垂足为 Q1、 Q0、 Q2，则
｜ P1F｜＝｜ P1Q1｜，｜ P2F｜＝｜ P2Q2｜
∴｜ P1P2｜＝｜ P1F｜＋｜ P2F｜
＝｜ P1Q1｜＋｜ P2Q2｜＝ 2｜ P0Q0｜
所以 P0Q0是以 P1P2为直径的圆 P0的半径，且 P0Q0⊥ l，因而圆 P0和准线 l相切 ．
[思维点拔 ]以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切．类似有：以椭圆焦点弦为直径的
圆与相对应的准线相离；以双曲线焦点弦为直径的圆与相应的准线相交．以上结论均可用第
二定义证明之 ．
变式： 求证：以双曲线的任意焦半 径为直径的圆，与以实轴为直径的圆相切．


取 F1P 的中点为 O1，连结 O1O， 只须证明：以 F1P 为直径的圆与实轴 A1A2为
直径的圆内切．

在 △ PF1F2中， O1O 为△ PF1F2的中位线


故以双曲线的任 意焦半径为直径的圆，与以实轴为直径的圆内切．

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