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八年级数学（下）考点汇总
一、分式
【考点一】因式分解
1、因式分解
把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
2、因式分解的常用方法
（1）提公因式法：
（2）运用公式法：
3、因式分解的一般步骤：
（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式。
（2）在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：2项式可以尝试运用公式法分解因式；3项式可以尝试运用公式法.
（3）分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止。
【考点四】分式
1、分式的概念
一般地，用A、B表示两个整式，A÷B就可以表示成的形式，如果B中含有字母，式子就叫做分式。其中，A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。分式和整式通称为有理式。
2、分式的性质
（1）分式的基本性质：
分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变.
（2）分式的变号法则：
分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变.
3、分式的运算法则
二、数据的分析
【考点一】“三数”：平均数、众数、中位数
1、平均数的概念
（1）平均数：一般地，如果有n个数那么，叫做这n个数的平均数，读作“x拔”.
（2）加权平均数：如果n个数中，出现次，出现次，…，出现次（这里），那么，根据平均数的定义，这n个数的平均数可以表示为，这样求得的平均数叫做加权平均数，其中叫做权.
2、众数
在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数.
3、中位数
将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数.
【考点二】方差
1、方差的概念
在一组数据中，各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差.通常用“”表示，即
2、标准差
方差的算术平方根叫做这组数据的标准差，用“s”表示，即
【考点五】频率分布
1、频率分布的意义
在许多问题中，只知道平均数和方差还不够，还需要知道样本中数据在各个小范围所占的比例的大小，这就需要研究如何对一组数据进行整理，以便得到它的频率分布.
2、研究频率分布的一般步骤及有关概念
（1）研究样本的频率分布的一般步骤是：
①计算极差（最大值与最小值的差）
②决定组距与组数
③决定分点
④列频率分布表
⑤画频率分布直方图
（2）频率分布的有关概念
①极差：最大值与最小值的差
②频数：落在各个小组内的数据的个数
③频率：每一小组的频数与数据总数（样本容量n）的比值叫做这一小组的频率.
二、一次函数与反比例函数
【考点一】平面直角坐标系
1、平面直角坐标系
在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系.
其中，水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向；两轴的交点O（即公共的原点）叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面.
为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限.
注意：x轴和y轴上的点，不属于任何象限.
2、点的坐标的概念
点的坐标用（a，b）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒.平面内点的坐标是有序实数对，当时，（a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标.
【考点二】不同位置的点的坐标的特征
1、各象限内点的坐标的特征
点P(x,y)在第一象限；点P(x,y)在第二象限
点P(x,y)在第三象限；点P(x,y)在第四象限
2、坐标轴上的点的特征
点P(x,y)在x轴上，x为任意实数；点P(x,y)在y轴上，y为任意实数
点P(x,y)既在x轴上，又在y轴上x，y同时为零，即点P坐标为（0，0）
3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征
点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上x与y相等
点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上x与y互为相反数
4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征
位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同.
位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同.
5、关于x轴、y轴或原点对称的点的坐标的特征
点P与点p’关于x轴对称横坐标相等，纵坐标互为相反数
点P与点p’关于y轴对称纵坐标相等，横坐标互为相反数
点P与点p’关于原点对称横、纵坐标均互为相反数
6、点到坐标轴及原点的距离
（1）点P(x,y)到x轴的距离等于；（2）点P(x,y)到y轴的距离等于
（3）点P(x,y)到原点的距离等于
【考点三】函数及其相关概念
1、变量与常量
在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量.
一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数.
2、函数解析式
用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式.
使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围.
3、函数的三种表示法
（1）解析法
两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法.
（2）列表法
把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法.
（3）图像法
用图像表示函数关系的方法叫做图像法.
4、由函数解析式画其图像的一般步骤
（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值
（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点
（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来.
【考点四】正比例函数和一次函数
1、正比例函数和一次函数的概念
一般地，如果（k，b是常数，k0），那么y叫做x的一次函数.
特别地，当一次函数中的b为0时，（k为常数，k0）.这时，y叫做x的正比例函数.
2、一次函数的图像
所有一次函数的图像都是一条直线
3、一次函数、正比例函数图像的主要特征：
一次函数的图像是经过点（0，b）的直线；正比例函数的图像是经过原点（0，0）的直线.
k的符号 b的符号 函数图像 图像特征
k>0 b>0 y 0 x 图像经过一、二、三象限，y随x的增大而增大.
b<0 y 0 x 图像经过一、三、四象限，y随x的增大而增大.
K<0 b>0 y 0 x 图像经过一、二、四象限，y随x的增大而减小
b<0 y 0 x 图像经过二、三、四象限，y随x的增大而减小.
注：当b=0时，一次函数变为正比例函数，正比例函数是一次函数的特例.
4、正比例函数的性质
一般地，正比例函数有下列性质：
（1）当k>0时，图像经过第一、三象限，y随x的增大而增大；
（2）当k<0时，图像经过第二、四象限，y随x的增大而减小.
5、一次函数的性质
一般地，一次函数有下列性质：
（1）当k>0时，y随x的增大而增大
（2）当k<0时，y随x的增大而减小
6、正比例函数和一次函数解析式的确定
确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式（k0）中的常数k.，确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式（k0）中的常数k和b. 解这类问题的一般方法是待定系数法.
【考点五】反比例函数
1、反比例函数的概念
一般地，函数（k是常数，k0）叫做反比例函数. 反比例函数的解析式也可以写成的形式. 自变量x的取值范围是x0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数.
2、反比例函数的图像
反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称. 由于反比例函数中自变量x0，函数y0，所以，它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴.
3、反比例函数的性质
反比例函数
k的符号 k>0 k<0
图像 y O x y O x
性质 ①x的取值范围是x0， y的取值范围是y0；②当k>0时，函数图像的两个分支分别在第一、三象限. 在每个象限内，y随x 的增大而减小. ①x的取值范围是x0， y的取值范围是y0；②当k<0时，函数图像的两个分支分别在第二、四象限. 在每个象限内，y随x 的增大而增大.
4、反比例函数解析式的确定
确定解析式的方法仍是待定系数法. 由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式.
5、反比例函数中反比例系数的几何意义
如下图，过反比例函数图像上任一点P作x轴、y轴的垂线PM，PN，则所得的矩形PMON的面积S=PMPN=.
.
※ 函数平移规律：左加右减、上加下减
三、相交线与平行线
【考点一】相交线
1、相交线中的角
两条直线相交，可以得到四个角，我们把两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点但没有公共边的两个角叫做对顶角. 有公共顶点且有一条公共边的两个角叫做邻补角.
邻补角互补，对顶角相等.
直线AB，CD与EF相交（或者说两条直线AB，CD被第三条直线EF所截），构成八个角.其中∠1与∠5这两个角分别在AB，CD的上方，并且在EF的同侧，像这样位置相同的一对角叫做同位角；∠3与∠5这两个角都在AB，CD之间，并且在EF的异侧，像这样位置的两个角叫做内错角；∠3与∠6在直线AB，CD之间，并侧在EF的同侧，像这样位置的两个角叫做同旁内角.
2、垂线
两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直.其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.
直线AB，CD互相垂直，记作“AB⊥CD”（或“CD⊥AB”)，读作“AB垂直于CD”（或“CD垂直于AB”）.
垂线的性质：
性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
性质2：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短. 简称：垂线段最短.
【考点二】平行线
1、平行线的概念
在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线. 平行用符号“∥”表示，如“AB∥CD”，读作“AB平行于CD”.
同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交或平行.
注意：
（1）平行线是无限延伸的，无论怎样延伸也不相交.
（2）当遇到线段、射线平行时，指的是线段、射线所在的直线平行.
2、平行线公理及其推论
平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.
推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.
3、平行线的判定
平行线的判定公理：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行.简称：同位角相等，两直线平行.
平行线的两条判定定理：
（1）两条直线被第三条直线所截，内错角相等，两直线平行.简称：内错角相等，两直线平行.
（2）两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补，两直线平行.简称：同旁内角互补，两直线平行.
补充平行线的判定方法：
（1）平行于同一条直线的两直线互相平行.
（2）垂直于同一条直线的两直线互相平行.
（3）平行线的定义.
4、平行线的性质
（1）两直线平行，同位角相等. （2）两直线平行，内错角相等. （3）两直线平行，同旁内角互补.
四、三角形
【考点一】三角形的边与角
1、三角形的三边关系定理及推论
三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边.
推论：三角形的两边之差小于第三边.
（2）三角形三边关系定理及推论的作用：
①判断三条已知线段能否组成三角形
②当已知两边时，可确定第三边的范围.
③证明线段不等关系.
2、三角形的内角和定理及推论
三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°.
推论：①直角三角形的两个锐角互余.
②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
注：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角.
【考点二】全等三角形
1、三角形全等的判定
三角形全等的判定定理：
（1）边边边公理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）.
（2）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）
（3）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）
（4）角角边定理：有两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简写成“角角边”或“AAS”）
直角三角形全等的判定：
对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）
2、全等变换
只改变图形的位置，不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换.
全等变换包括以下三种：
（1）平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换.
（2）对称变换：将图形沿某直线翻折180°，这种变换叫做对称变换.
（3）旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫做旋转变换.
【考点三】等腰三角形
1、等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的性质定理及推论：
定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）
推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边.即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称：三线合一）.
推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°.
（2）等腰三角形的其他性质：
①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°
②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.
③等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则2a﹥b.
2、等腰三角形的判定
等腰三角形的判定定理及推论：
定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）.这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等.
推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形
推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
3、三角形中的中位线
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半.
三角形中位线定理的作用：位置关系：可以证明两条直线平行.
数量关系：可以证明线段的倍分关系.
常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有：
结论1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半.
结论2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形.
结论3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形.
结论4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分.
结论5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等.
五、四边形
【考点一】四边形的相关概念
1、四边形的内角和定理及外角和定理
四边形的内角和定理：四边形的内角和等于360°.
四边形的外角和定理：四边形的外角和等于360°.
推论：多边形的内角和定理：n边形的内角和等于180°；
多边形的外角和定理：任意多边形的外角和等于360°.
2、多边形的对角线条数的计算公式
设多边形的边数为n，则多边形的对角线条数为.
【考点二】平行四边形
1、平行四边形的定义
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
平行四边形用符号“□ABCD”表示，如平行四边形ABCD记作“□ABCD”，读作“平行四边形ABCD”.
2、平行四边形的性质
（1）平行四边形的邻角互补，对角相等.
（2）平行四边形的对边平行且相等. 推论：夹在两条平行线间的平行线段相等.
（3）平行四边形的对角线互相平分.
（4）若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，并且这两条直线二等分此平行四边形的面积.
3、平行四边形的判定
（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形
（2）定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形
（3）定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形
（4）定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形
（5）定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
4、两条平行线的距离
两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离.
平行线间的距离处处相等.
5、平行四边形的面积S平行四边形= 底边长×高 = ah
【考点三】矩形
1、矩形的定义
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
2、矩形的性质
（1）具有平行四边形的一切性质
（2）矩形的四个角都是直角
（3）矩形的对角线相等
（4）矩形是轴对称图形
3、矩形的判定
（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形
（2）定理1：有三个角是直角的四边形是矩形
（3）定理2：对角线相等的平行四边形是矩形
4、矩形的面积S矩形=长×宽=ab
【考点四】菱形
1、菱形的定义
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
2、菱形的性质
（1）具有平行四边形的一切性质
（2）菱形的四条边相等
（3）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角
（4）菱形是轴对称图形
3、菱形的判定
（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形
（2）定理1：四边都相等的四边形是菱形
（3）定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形
4、菱形的面积S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半
【考点五】正方形
1、正方形的概念
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
2、正方形的性质
（1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质
（2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等
（3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角
（4）正方形是轴对称图形，有4条对称轴
（5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形
（6）正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等.
3、正方形的判定
（1）判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种：
先证它是矩形，再证有一组邻边相等.
先证它是菱形，再证有一个角是直角.
（2）判定一个四边形为正方形的一般顺序如下：
先证明它是平行四边形，再证明它是菱形（或矩形），最后证明它是矩形（或菱形）.
4、正方形的面积
设正方形边长为a，对角线长为b，S正方形=
【考点六】梯形
1、梯形的相关概念
一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形.
梯形中平行的两边叫做梯形的底，通常把较短的底叫做上底，较长的底叫做下底.
梯形中不平行的两边叫做梯形的腰.梯形的两底的距离叫做梯形的高.两腰相等的梯形叫做等腰梯形.
一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形.
一般地，梯形的分类如下：
一般梯形
梯形 直角梯形
特殊梯形
等腰梯形
2、梯形的判定
（1）定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形是梯形.
（2）一组对边平行且不相等的四边形是梯形.
3、等腰梯形的性质
（1）等腰梯形的两腰相等，两底平行.
（3）等腰梯形的对角线相等.
（4）等腰梯形是轴对称图形，它只有一条对称轴，即两底的垂直平分线.
4、等腰梯形的判定
（1）定义：两腰相等的梯形是等腰梯形
（2）定理：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形
（3）对角线相等的梯形是等腰梯形.
5、梯形的面积
（1）如图，
（2）梯形中有关图形的面积：
①；②；③
6、梯形中位线定理
梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半.
六、直角三角形
【考点一】直角三角形的性质
1、直角三角形的两个锐角互余
可表示如下：∠C=90°∠A+∠B=90°
2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半.
∠A=30°
可表示如下： BC=AB
∠C=90°
3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
∠ACB=90°
可表示如下： CD=AB=BD=AD
D为AB的中点
4、勾股定理
直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即
利用勾股定理，已知直角三角形任意两边，可以求出第三边.
【考点二】直角三角形的判定
1、有一个角是直角的三角形是直角三角形.
2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.
3、勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形是直角三角形.
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