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第三章
函数的应用
§3.1.1方程的根与函数的零点
新课标人教A版必修一
1．知识与技能
（1）理解函数零点的意义，了解函数零点与方程根的关系.
（2）由方程的根与函数的零点的探究，培养转化化归思想和
数形结合思想.
2．过程与方法
由一元二次方程的根与一元二次函数的图象与x轴的交点
情况分析，导入零点的概念，引入方程的根与函数零点的关
系，从而培养学生的转化化归思想和探究问题的能力.
3．情感、态度与价值观
在体验零点概念形成过程中，体会事物间相互转化的辨证
思想，享受数学问题研究的乐趣.
学习目标
探究1：求下列一元二次方程的实数根，画出相应二次函数的简图，并写出函数图象与x轴交点的坐标。
问题探究
x
y
O
思考：方程根与相应函数图象有什么联系?
-1
3
①
x
y
O
1
1
②
③
y
x
O
1
2
无实数根
一元二次方程与相应二次函数的图象关系
△＞0
△=
0
△＜
0
△
=b2－4ac
ax2
+bx+c=0
(a>0)的根
y=
ax2
+bx+c
(a>0)的图象
函数的图象
与x
轴的交点
(x1,0)
,
(x2,0)
(x1,0)
没有交点
y
x
x1
x2
0
x
y
0
x1
x
y
0
没有实数根
两个不相等
实数根x1,
x2
两个相等实数根
x1=
x2
一
函数零点的概念
新课学习
对于函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。
（2）函数的零点是函数图象与x轴交点的横坐标，
是实数，而不是点
方程
有实数根
函数的图象与x轴有交点
函数
有零点
（1）
方程f(x)=0的实数根
函数y=f(x)
的图象与x轴交点的横坐标
函数y=f(x)的零点
数
形
练习1：求下列函数的零点
探究二
如何求函数的零点？
1
方程法
2
图象法
求函数零点的方法
(1)
方程法：
(2)
图象法：
解方程f(x)=0,
得到y=f(x)的零点
画出函数y=f(x)的图象,
其图象与x轴交点的横坐标是函数y=
f(x)的零点
一组能说明她的行程一定曾渡河?
??
第1组
第2组
探究3
现在有两组镜头（如图），哪
一组能说明她的行程一定曾渡河?
??
x
B
a
b
A
O
y
第1组情况，若将河流抽象成x轴，前后的两个位置视为A、B两点。请大家用连续不断的曲线画出她的可能路径。
x
B
a
b
若所画曲线能表示为函数，设A点横坐标为a,B点横坐标为b，问：函数的零点一定在区间(a,b)内？
A
O
y
二
函数零点存在性定理
[思考]
（1）如果函数的图象不是连续不断的，结论还成立？
x
y
（2）若f(a)f(b)>0，函数在(a,b)一定没有零点？
x
y
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)
内有零点，即存c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根。
[思考]
（3）函数y=f(x)在(a,b)内有零点，一定能得出f(a)f(b)<0
的结论？
二
函数零点存在性定理
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)
内有零点，即存c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根。
[思考]
（4）满足定理条件时，函数在区间(a,b)上只有一个零点？
（5）增加什么条件时，函数在区间(a,b)上只有一个零点？
二
函数零点存在性定理
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)
内有零点，即存c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根。
推论
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且在闭区间的两个端点上的函数值互异即f(a)·f(b)<0,且是单调函数,那么，这个函数在(a,b)内必有唯一的一个零点。
二
函数零点存在性定理
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)
内有零点，即存c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根。
利用函数零点的存在性定理求函数零点的步骤
(1)
确定函数y=f(x)在[a,
b]上连续;
(2)
若f(a)·f(b)<0,
则在(a,
b)内存在零点.
(3)
存在c∈(a,
b),
使得f(c)=0,
则c是零点.
B
随堂练习
2、已知函数f(x)的图象是连续不断的，
且有如下对应值表，则函数在哪几个区间内零点？为什么？
1
2
3
4
6
10
x
f（x）
20
-5.5
-2
6
18
-3
随堂练习
解：用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表3-1和
图象3.1-3
例1：求函数f(x)=lnx+2x-6的零点个数.
－4
－1.3069
1.0986
3.3863
5.6094
7.7918
9.9459
12.0794
14.1972
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
f（x）
表3-1
y
x
0
－2
－4
10
5
2
4
10
8
6
12
14
8
7
6
4
3
2
1
9
图3.1-3
f(2)<0,f(3)>0
即f(2)·f(3)<0
函数在区间(2,3)内有零点。
由于函数f(x)在定义域
(0,+∞)内是增函数，所以
它仅有一个零点。
例1：求函数f(x)=lnx+2x-6的零点个数.
解析：将函数f(x)=lnx+2x-6的零点个数转化为函数g(x)=lnx与h(x)=-2x+6的图象交点的个数。
想一想
能否有其它方法也可得到本题结论？
h(x)=-2x+6
g(x)=lnx
y
x
0
1
2
1
3
6
如图
1
函数的零点定义
2
函数零点与方程的根等价关系
3
函数零点的求法
课堂小结
4
函数零点存在性原理
5
数学思想方法
数形结合思想
转化思想
方程函数思想
图像法
代数法

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