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排列组合问题的12个经典模型
模型1.从7个不同的元素中每次取出m个不同元素作排列或组合,规定某k个
元素都包含在内,则:
组合数:M=Cm-k
排列数:N2=
Amc
I
例1.全组有12个同学,其中有3个女同学,现要选出5个,如果3个女同学
都必须当选,试问在下列情形中,各有多种不同的选法?
(1)组成一个文娱小组;(2)分别担任不同的工作
解:(1)由于要选出的5人中,3个女同学都必须当选,因此还需要选2人,这
可从9个男同学中选出,故不同的选法有:M=C1-3=36(种)
(2)在上述组合的基础上,因为还需要考虑选出5人的顺序关系,故不同的选
法有:N2=A8C12-3=A8C=120×36=4320(种)
模型2.从η个不同的元素中每次取出m个不同元素作排列或组合,规定某k个
元素都不包含在内,则:
组合数:M=Cm-k
排列数:N2=AmCm-k=Am-k
例2.某青年突击队有15名成员,其中有5名女队员,现在选出7人,如果5
名女队员都不当选,试问下列情形中,各有多少种不同的选法?
(1)组成一个抢修小组;(2)分别但任不同的抢修工作
解:(1)由于5名女队员都不当选,因此只能从10名男同学选出,故不同的选
法有:
M=C15-5=C=C0=120(种)
(2)由于还需考虑选出的7个人的顺序问题,故不同的选法有
M2=A15-5=A10=10×9×8×7×6×5×4=604800(种)
模型3.从η个不同的元素中每次取出m个不同元素作排列或组合,规定每一个
排列或组合,都只包含某k个元素中的某s个元素。则组合数:M=Cm-k
排列数:N=AmCm=k
例3.全组12个同学,其中有3个女同学,现要选出5人,如果3个女同学中,
只有甲当选,试问在下列情形中,各有多少种不同的选法?
(1)组成一个数学小组;(2)分别担任不同的工作
解:(1)由于女同学中只有甲当选,所以还需4人,这4人要从男同学中选,因
此不同选法有:
M=C12-13=C=126(种)
(2)由于选出的人要分别担任不同的工作,所以不同的选法有:M2=A3C12-3
=A8C=15120(种)
模型4.从π个不同的元素中每次取出k个不同元素作排列或组合,规定每一个
排列或组合,都只包含某r个元素中的S个元素。则:组合数:N=C#C隋-♀
排列数:N2=ACC哈
例4.全组12个同学,其中有3个女同学,现要选出5人,如果3个女同学中,
只有1人当选,试问在下列情形中,各有多少种不同的选法?
(1)组成一个数学小组;(2)分别担任不同的工作
解:(1)由于女同学中只有1人当选,所以从3个女同学中选1人,从9个男同
学中选4人,不同的选法有:M=C%C2-3=OC=378(种)
(2)由于选出的人要分别担任不同的工作,所以不同的选法有
N2=A8C3C2-3=ACC=45360种)
模型5.从个不同的元素中每次取出k个不同元素作排列或组合,规定每一个
排列或组合,都至少包含某个元素中的§个元素.则
组合数:M1=C=+G+C=-1+C#+2C帖=-2+
+CrO
排列数:M=A(CHC阶=+CF+C=-1+CP+2C阶=#-2+……+CC=#)
例5.全组12个同学,其中有3个女同学,现要选出5人,如果3个女同学中
至少有1人当选,试问在下列情形中,各有多少种不同的选法?
(1)组成一个数学小组;(2)分别担任不同的工作
解:M=OO+O3C+O8C=666(种),
N2=A8(CC+OC+CC)=120×666=79920(种)
模型6.从η个不同的元素中每次取出k个不同元素作排列或组合,规定每一个
排列或组合,都至多包含某T个元素中的S个元素,则:
组合数:M1=CHC-+CC隋-}+CC=2+……十CC隋
排列数:M2=A(CC-+CC=+CPC=2+……十CC隋=
例6.全组12个同学,其中有3个女同学,现要选出5人,如果3个女同学中
至多有2人当选,试问在下列情形中,各有多少种不同的选法?
(1)组成一个数学小组;(2)分别担任不同的工作
解:M=CC+CC+O3C=766(种),
N2=A8(CC8+CC+CC)=120×766=91920(种)
模型7.从π个不同的元素中每次取出k个不同元素作排列,规定某T个元素都
包含在内,并且分别占据指定的位置.则N=A=F

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