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2021年中考数学暑假重点知识点总结
专题一
数与式
一、有理数
1、有理数的基本概念
(1)正数和负数
定义：大于0的数叫做正数。在正数前加上符号“-”(负)的数叫做负数。0既不是正数，也不是负数。
(2)有理数
正整数、0、负整数统称整数。正分数、负分数统称分数。整数和分数统称为有理数。
2、数轴
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。
3、相反数
代数定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。
几何定义：在数轴上原点的两旁，离开原点距离相等的两个点所表示的数，叫做互为相反数。
一般地，a和-a互为相反数。0的相反数是0。
a
=-a所表示的意义是：一个数和它的相反数相等。很显然，a
=0。
4、绝对值
定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。
一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。
即：如果a
>0，那么|a|=a；
如果a
=0，那么|a|=0；
如果a
<0，那么|a|=-a。
a
=|a|所表示的意义是：一个数和它的绝对值相等。很显然，a≥0。
5、倒数
定义：乘积是1的两个数互为倒数。即：如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。
所表示的意义是：一个数和它的倒数相等。很显然，a
=±1。
6、数的大小比较
法则：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小。
7、乘方
定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方。乘方的结果叫做幂。
如：读作a的n次方（幂），在an中，a叫做底数，n叫做指数。
性质：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；正数的任何次幂都是正数；0的任何正整数次幂都是0。
8、科学记数法
定义：把一个大于10的数表示成a×10n的形式(其中a大于或等于1且小于10，n是正整数)，这种记数方法叫做科学记数法。小于-10的数也可以类似表示。
用科学记数法表示一个绝对值大于10的数时，n是原数的整数数位减1得到的正整数。
用科学记数法表示一个绝对值小于1的数（a×10-n）时，n是从小数点后开始到第一个不是0的数为止的数的个数。
9、近似数
一般地，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个数近似到哪一位，也叫做精确到哪一位。
精确到十分位——精确到0.1；精确到百分位——精确到0.01；···。
10、有理数的加法
加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数。
加法运算律：①交换律
a+b=b+a；
②结合律
(a+b)+c=a+(b+c)。
11、有理数的减法
减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数。即：a
-b=
a
+(-b)。
12、有理数的乘法
乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数与0相乘，都得0。
乘法运算律：①交换律ab=ba；②结合律(ab)c=a(bc)；③分配律a(b+c)=ab+ac。
13、有理数的除法
除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。即：。
两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0
的数，都得0。
14、有理数的混合运算
混合运算的顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行；③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。
二、实数
1、平方根
定义1：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。a的算术平方根记作，读作“根号a”，a叫做被开方数。即。
规定：0的算术平方根是0。
定义2：一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根。即如果x2=a，那么x叫做a的平方根。即。
定义3：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。
正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。
2、立方根
定义：一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根。即如果x3=a，那么x叫做a的立方根，记作。即。
求一个数的立方根的运算，叫做开立方。
正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0。
3、无理数
无限不循环小数又叫做无理数。在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一实质，归纳起来有四类：
（1）开方开不尽的数，如等；
（2）有特定意义的数，如圆周率，或化简后含有π的数，如等；
（3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；
（4）某些三角函数，如sin60°等
4、实数
有理数和无理数统称实数。即实数包括有理数和无理数。
备注：最小的正整数是1，最大的负整数是-1，绝对值最小的数是0。
有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数。
5、实数的分类
分法一：
分法二：
6、实数的比较大小
有理数的比较大小的法则在实数范围内同样适用。
（1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。
（2）求差比较：设a、b是实数，
，
，
（3）求商比较法：设a、b是两正实数，
（4）绝对值比较法：设a、b是两负实数，则。
（5）平方法：设a、b是两负实数，则。
备注：遇到有理数和带根号的无理数比较大小时，让“数全部回到根号下”，再比较大小。
7、实数的运算
在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方及开方运算，而且有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立
1、加法交换律
2、加法结合律
3、乘法交换律
4、乘法结合律
5、乘法对加法的分配律
6、实数的运算顺序
先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。
实数范围内混合运算的顺序：①先乘方开方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行；③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。
三、整式
1、定义
(1)代数式：用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式。
(2)单项式：用数或字母的乘积表示的式子叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。
单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
注意：单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数表示，如，这种表示就是错误的，应写成。一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。如是6次单项式
(3)多项式：几个单项式的和叫做多项式。其中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。多项式里，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。
单项式与多项式统称整式。
(4)同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。
(5)合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。
合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母连同它的指数不变。
2、整式的运算
(1)整式的加减：几个整式相加减，如有括号就先去括号，然后再合并同类项。
去括号法则：同号得正，异号得负。即括号外的因数的符号决定了括号内的符号是否改变：
如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；
如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。
(2)整式的乘除运算
①同底数幂的乘法：am·an=am+n。同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
②幂的乘方：(am)n=amn。幂的乘方，底数不变，指数相乘。
③积的乘方：(ab)n=anbn。积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
④单项式与单项式的乘法：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
⑤单项式与多项式的乘法：p(a+b+c)=pa+pb+pc。单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
⑥多项式与多项式的乘法：(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq。多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2。两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。这个公式叫做平方差公式。
完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2。两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们积的2倍。这两个公式叫做完全平方公式。
⑦同底数幂的除法：am÷an=am-n。同底数幂相除，底数不变，指数相减。
任何不等于0的数的0次幂都等于1。
⑧单项式与单项式的除法：单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。
⑨多项式除以单项式：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。
注：以上公式及法则在分式和二次根式的运算中同样适用。
(3)添括号法则
同号得正，异号得负。即括号前的符号决定了括号内各项的符号是否改变：
如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；
如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号。
3、因式分解
定义：把一个多项式化成了几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
以上公式都可以用来对多项式进行因式分解，因式分解的常用方法：
①提公因式法：pa+pb+pc=p(a+b+c)；
②公式法：a2-b2=(a+b)(a-b)；a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2。
③分组分解法：ac+ad+bc+cd=a(c+d)+b(c+d)=(a+b)(c+d)
④十字相乘法：a2+(p+q)a+pq=(a+p)(a+q)
因式分解的一般步骤：
（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式。
（2）在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：2项式可以尝试运用公式法分解因式；3项式可以尝试运用公式法、十字相乘法分解因式；4项式及4项式以上的可以尝试分组分解法分解因式
（3）分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止。
四、分式
1、分式的定义
一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。
注：A、B都是整式，B中含有字母，且B≠0。
2、分式的基本性质
分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变。
；（C≠0）。
3、分式的约分和通分
定义1：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。
定义2：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式。
定义3：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。
定义4：各分母的所有因式的最高次幂的积叫做最简公分母。
4、分式的乘除
①乘法法则：。分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。
②除法法则：。分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
③分式的乘方：。分式乘方要把分子、分母分别乘方。
④整数负指数幂：。
5、分式的加减
同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；
异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。
①同分母分式的加减：；
②异分母分式的加法：。
注：不论是分式的哪种运算，都要先进行因式分解。
五、
二次根式
1、二次根式的定义
一般地，形如(a≥0)的式子叫做二次根式。
2、二次根式的基本性质
①
(a≥0)；
②
(a≥0)；
③
(a取全体实数)。
3、二次根式的乘除
(1)二次根式的乘法：①；
②
(a≥0，
b≥0)。
(2)二次根式的除法：①；
②
(a≥0，
b＞0)。
4、最简二次根式
最简二次根式满足的条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
5、二次根式的加减
二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。2021年中考数学暑假重点知识点总结
专题五
平行四边形与圆
一、平行四边形
1、四边形
定义1：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。
定义2：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。
定义3：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。
定义4：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。
n边形内角和等于(n-2)×180°，对角线条数为。多边形的外角和等于360°。
2、平行四边形
(1)定义
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。平行四边形用符号“□ABCD”表示，如平行四边形ABCD记作“□ABCD”，读作“平行四边形ABCD”。
(2)平行四边形的性质
平行四边形的对边平行且相等；
平行四边形的对角相等；
平行四边形的对角线互相平分。
平行四边形的判定
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
对角线互相平分的四边形是平行四边形；
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
（4）两条平行线的距离
两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离。
平行线间的距离处处相等。
（5）平行四边形的面积
S平行四边形=底×高
(6)中位线
定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。
3、矩形
(1)定义
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
(2)矩形的性质
矩形具有平行四边形的一切性质；矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等。
推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
(3)矩形的判定
有一个角是直角的平行四边形是矩形；
对角线相等的平行四边形是矩形；
有三个角是直角的四边形是矩形。
4、菱形
(1)定义
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
(2)菱形的性质
菱形具有平行四边形的一切性质；
菱形的四条边都相等；
菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线都平分一组对角。
(3)菱形的判定
一组邻边相等的平行四边形是菱形；
对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
四条边相等的四边形是菱形。
（4）菱形的面积
S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半
5、正方形
正方形是最特殊的四边形，它具有矩形的性质，也具有菱形的性质。
二、
圆
1、圆
在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆。固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径，以点O为圆心的圆，记作⊙O，读作“圆O”。
连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。小于半圆的弧叫做劣弧。大于半圆的弧叫做优弧。
能够重合的两个圆叫做等圆。在同圆或等圆中，能重合的弧叫等弧。
2、垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧．
3、弧、弦、圆心角之间的关系
定义：顶点在圆心的角叫做圆心角。
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等。
注：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弦，两条弧、两个弦的弦心距中，有一组量相等，那么其余各组量也分别相等
4、圆周角
定义：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫圆周角。
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。
推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补。
5、点和圆的位置关系
设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为OP=d，则有：
点P在圆外d＞r
；
点P在圆上d=r
；
点P在圆内d＜r
。
性质：不在同一条直线上的三个点确定一个圆。
定义：经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心。
6、直线和圆的位置关系
直线和圆有两个公共点时，我们说这条直线和圆相交。这条直线叫做圆的割线。
直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线和圆相切。这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点。
直线和圆没有公共点时，我们说这条直线和圆相离。
设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离d，则有：
直线l和⊙O相交d＜r
；
直线l和⊙O相切d=r
；
直线l和⊙O相离d＞r
。
切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。
经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长。
切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心。
7、正多边形和圆
定义：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。
8、弧长和扇形面积
n°的圆心角所对的弧长l为：。
圆心角为n°的扇形面积S为：；
圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为l，高为h的圆锥的侧面积为
，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有．
圆锥与侧面展开图的等量关系：，2021年中考数学暑假基础知识点复习
专题一
代数学
第一部分
有理实数
一、实数相关概念
1、有理数
（1）定义：凡能写成为整数形式的数都是有理数。
（2）分类:
①
②
2、实数分类
★3、数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线。
①数轴三要素：原点、正方向、单位长度；
②实数和数轴上的点是一一对应的。
★4、相反数：符号不同的两个数，互为相反数；0的相反数还是0。其中：互为相反数。
★5、绝对值
（1）定义：数轴上表示某数的点离开原点的距离。
正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数。
（2）绝对值可表示为：
或
★6、倒数：用1除以一个数的商，叫做这个数的倒数；乘积为1的两个数互为倒数，其中0没有倒数；
①若，那么的倒数是；
②实数互为倒数，则；
二、有理数运算
1、有理数运算法则
加法交换律：
加法结合律：
同号两数相加，取相同的符号并把绝对值相加；异号两数相加，取绝对值较大的符号，用较大的绝对值减去较小的绝对值
减去一个数，等于加上这个数的相反数，即。
乘法交换律：、乘法结合律：、乘法分配律：.
两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘；几个数相乘，某因式为零，则积为零；各因式不为零，积的符号由负因式的个数决定.
除以一个数等于乘以这个数的倒数；
注意：零不能做除数，.
求相同因式积的运算，叫做乘方；
乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂；
⑴先算乘方，再算乘除，最后加减；⑵有括号先算括号；⑶同级运算，从左到右进行。
★2、科学记数法：把一个数或有限小数记成的形式，其中，为整数，这种记数法叫做科学记数法．
①原数的绝对值大于10时，利用科学记数法，写成的形式，
注意,等于原数的整数位数减1，也是小数点向左移动的位数，如：．
②原数的绝对值小于10时，利用科学记数法，写成的形式，
注意，等于原数左边第一个非0的数字前的所有0的个数，是小数点向右移动的位数，如：．
★3、近似数的精确：一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位.
4、有效数字：从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字叫近似数的有效数字.
第二部分
无理实数
一、根式
1、算术平方根：如果一个非负数的平方等于，即，那么这个非负数叫做的算术平方根。
一个非负数的算术平方根记作读作根号或者读作二次根号。
★小结：算术平方根具有双重非负性：①负数没有算术平方根被开方数
②非负数的算术平方根只有一个且为正数的算术平方根等于本身
2、平方根：如果一个数的平方等于，即，那么这个数叫做的平方根。
一个非负数的平方根记做读作正负根号或者读作正负二次根号。
★小结：正数的平方根有两个，互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根
开平方：求一个非负数的平方根的运算叫做开平方，非负数叫做被开方数。
3、立方根：如果一个数的立方等于，即，那么这个数叫做的立方根三次方根。
一个数的立方根记做读作三次根号。
★小结：①任何一个数且只有一个立方根。
②正数的立方根为正数，负数的立方根为负数，0的立方根为0。
二、二次根式
1、二次根式的定义：一般地，把形如的式子叫做二次根式。称为二次根号。
★2、二次根式的性质:
二次根式有意义的条件是，即只有被开方数时，式子才是二次根式，才有意义.
化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简.
中可以取任何实数，而中的必须取非负数；
3、最简二次根式：满足以下条件的根式叫最简二次根式
①被开方数不含分母（分母中也不能含有根号）；
②被开方数不含能开得尽方的因数或因式。
4、同类二次根式：
化为最简二次根式后的被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式。
★5、二次根式的运算
（1）乘除法法则：算术平方根的积等于积的算术平方根：，
算术平方根的商等于商的算术平方根．，
（2）加减法法则：一般地，二次根式加减时，先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．二次根式进行加减运算时，实数的运算法则、运算律仍然适用．
★6、分母有理化：指将该原为无理数的分母化为有理数的过程，也就是将分母中的根号化去．
①单项式分母的分母有理化（运用有理化）：
②分母中有一根号一数字或两个根号的分母有理化（运用平方差公式）：
7、实数大小的比较：
（1）作差法：任意两个实数，若：
（2）作商法：任意两个实数，若：
（3）平方法：对含有根号的式子可以通过比较平方数的大小得根式大小。
8、绝对值、二次根式、平方三者都具有非负性，它们的任意搭配和为。
第三部分
整式与分式
一、整式概念与计算
1、整式：单项式和多项式统称为整式。
（1）单项式：数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式。单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数。
（2)多项式：单项式的和叫做多项式。每个单项式叫多项式的项，不含字母的项叫做常数项，单项式的次数是几，就叫几次项。一个多项式中有几项，就叫?几项式。多项式里次数最高的项的次数，叫做多项式的次数。
（3）同类项：字母相同、字母的指数也相同叫同类项。同类项与系数、字母位置无关。合并是指同类项的系数相加作为新的系数，同类项的字母和字母的指数不变。
2、整式的运算
（1）整式的加减法运算：
①几个整式相加减，用括号把每个整式括起来，用加减号连接；然后去括号、合并同类项。
②化简求值的步骤：去括号合并同类项化到最简代入特殊值
★（2）指数幂运算
①：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。逆用公式：?
②：同底数幂相除，底数不变，指数相减。逆用公式：
③：幂的乘方，底数不变，指数相乘。逆用公式：
④：积的乘方，等于积的因式乘方积。?逆用公式：
⑤任何不等于0的数的0次幂都等于1。即
⑥负整数指数幂：
（3）整式乘除法运算：
①单项式的乘除法法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式;单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只有被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.
②单项式与多项式相乘的法则:
?单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即
③多项式与多项式乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即.
★（4）整式乘法公式
?
平方差公式：
?
完全平方公式：
以下是常见的变形：
?
二、因式分解
1、概念：把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做因式分解，也叫分解因式。
★2、因式分解的方法：
（1）提公因式法：多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式。把多项式分解成两个因式的乘积的形式，即。
①用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式.如：
②当多项式第一项的系数是负数时，先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号.如：
③用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋”或“－”，不要把该项漏掉，或认为是而出现错误。
如：
★（2）公式法：利用平方差公式：和完全平方公式：对多项式进行因式分解的方法。如：
对多项式可以先用整体法，即先令，则上式变为,简单明了，继续用公式法分解因式。
★（3）十字相乘法
：利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法。
对于二次三项式，若存在
，则
判断方法：拆二次项与常数项，交叉相乘和为一次项即可用该方法。判断时十字交叉，书写时横向相加再相乘。在二次三项式(≠0)中，如果二次项系数可以分解成两个因数之积，即，常数项可以分解成两个因数之积，即，把排列如下：
按斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式的一次项系数，即，则二次三项式可分解为两因式与之积，即.
举例：
三、分式概念与计算
1、分式定义：如果表示两个整数，并且中含有字母，那么式子叫做分式。
★2、与分式有关的条件
①分式有意义：分母不为
分式无意义：分母为
②分式值为：分子为且分母不为,
★3、分式的性质
①基本性质：,为不等于的整式.
②最简分式：分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式.如果分子分母有公因式，要进行约分化简.
3、分式的运算
（1）分式的加减：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减，
异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减，.
★关于通分：单项式分母以数字最小公倍数和字母最高次项的积为公分母。
多项式先进行因式分解，然后以公因式和各项的独因式积为公分母。
整式与分式相加减时，对整式进行通分，以分式的分母为分母，整式乘分母为分子。
（2）分式的乘除法法则：
分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，
分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，
★①分式与分式相乘，若分子和分母是多项式，则先分解因式，看能否约分，然后再乘。
②整式与分式相乘，可以直接把整式（整式可以看作分母是的代数式）和分式的分子相乘作为分子，分母不变.当整式是多项式时，同样要先分解因式，便于约分。
（3）分式的乘方法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，用字母表示为：
★分式乘方时，应把分子、分母分别看作一个整体.如.2021年中考数学暑假重点知识点总结
专题四
图形初步与三角形
一、图形初步认识
1、直线、射线、线段
(1)直线：经过两点有一条直线，并且只有一条直线。简称：两点确定一条直线。
(2)相交线：当两条不同的直线有一个公共点时，我们就称这两条直线相交。这个公共点叫做它们的交点。
(3)两点的所有连线中，线段最短。
简称：两点之间，线段最短。
连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离。
(4)线段的中点：线段上的一个点把线段分成相等的两条线段，这个点叫做线段的中点。
(5)直线没有端点，向两方无限延伸，不可度量；
射线有一个端点，向一方无限延伸，不可度量；
线段有两个端点，不向任何一方延伸，能度量。
2、角
(1)定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。这个公共端点是角的顶点，两条射线是角的两条边。
(2)角的度量
1°=60′
1′=60″
(°、′、″分别是：度、分、秒)
(3)角的分类
①锐角(0°<
α
<
90°)
②直角(α
=
90°)
③钝角(90°<
α
<
180°)
④平角(α
=180°)
⑤周角(α
=360°)
(4)角的平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。
(5)角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
(6)余角与补角
余角：一般地，如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角。
补角：如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角。
性质：同角(等角)的余角相等。同角(等角)的补角相等。
二、
命题、定理与证明
1、命题与定理
定义1：判断一件事情的语句，叫做命题。
命题由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。数学中的命题常可以写成“如果……，那么……”的形式。“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论。
定义2：如果题设成立，那么结论一定成立，
这样的命题叫做真命题。
定义3：题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题。
定义4：如果一个命题的正确性是经过推理证实的，这样得到的真命题叫做定理。
定义5：两个命题的题设和结论正好相反，我们把这样的两个命题叫做互为逆命题。其中一个叫做原命题，另外一个叫做逆命题。
如果定理的逆命题是正确的，那么它也是一个定理，我们把这个定理叫做原定理的逆定理。
2、证明
一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫做证明。
3、证明的一般步骤
（1）根据题意，画出图形。
（2）根据题设、结论、结合图形，写出已知、求证。
（3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。
三、相交线与平行线
1、邻补角与对顶角
邻补角：有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角，叫做互为邻补角。
对顶角：有一个公共顶点，一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角。
注：对顶角相等。
如：∠1和∠2互为邻补角，∠2和∠3互为对顶角。
2、垂线
(1)定义：两直线相交所构成的四个角中有一个角是直角时，我们就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另外一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。
(2)性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
(3)点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。
3、同位角、内错角、同旁内角
如图，∠1和∠4是同位角，∠3和∠4是内错角，∠2和∠4是同旁内角。
4、平行线
(1)定义：在平面内不相交的两条直线叫做平行线。
(2)平行公理
经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
(3)平行线的性质
两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。
两条平行线被第三条直线所截，同位角相等；
两条平行线被第三条直线所截，内错角相等；
两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。
(4)平行线的判定
同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行。
两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；
两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行；
两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。
四、
图形的变换
1、平移
(1)定义：把一个图形沿着某一直线方向移动，这种图形的平行移动，简称为平移。
(2)平移的性质：平移后的图形与原图形全等；对应角相等；对应点所连的线段平行(或在同一条直线上)且相等。
(3)坐标的平移：点（x，y）向右平移a个单位长度后的坐标变为（x+a，y）；
点（x，y）向左平移a个单位长度后的坐标变为（x-a，y）；
点（x，y）向上平移a个单位长度后的坐标变为（x，y+a）；
点（x，y）向下平移a个单位长度后的坐标变为（x，y-a）。
2、轴对称
(1)轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称。这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。
(2)轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形。这条直线叫做它的对称轴。
(3)轴对称的性质：关于某条直线对称的图形是全等形。
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。
如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
(4)线段垂直平分线的性质
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；
与一条线段两个端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上。
(5)坐标与轴对称：点（x，y）关于x轴对称的点的坐标是（x，-y）；
点（x，y）关于y轴对称的点的坐标是（-x，
y）；
3、旋转
(1)旋转
定义：把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转。点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做这个旋转的对应点。
旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前后的图形全等。
(2)中心对称
定义：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称。这个点叫做对称中心。这两个图形在旋转后能重合的对应点叫做关于对称中心的对称点。
中心对称的性质：①中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；②中心对称的两个图形是全等图形。
(3)中心对称图形
定义：如果一个图形绕一个点旋转180°后能与自身重合，那么这个图形叫做中心对称图形。这个点叫做它的对称中心。
(4)关于原点对称的点的坐标
两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P(x，y)关于原点O的对称点为
P′(-x，-y)。
五、
投影与视图
1、投影
(1)投影：用光线照射物体，在某个平面上得到的影子叫做物体的投影。
(2)平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影。
(3)中心投影：由同一点发出的光线形成的投影叫做中心投影。
(4)正投影：投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影。
2、视图
(1)视图：从某一方向观察一个物体时，所看到的平面图形叫做物体的一个视图。
视图可以看作物体在某一方向光线下的正投影。
(2)主视图、俯视图、左视图
对一个物体在三个投影面内同时进行正投影，在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图；在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图。
主视图与俯视图的长对正；主视图与左视图的高平齐；左视图与俯视图的宽相等。
六、三角形
1、三角形的基本概念
(1)三角形的概念
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
(2)三角形的分类
①按边之间的关系分：
三边都不相等的三角形叫做不等边三角形；
有两边相等的三角形叫做等腰三角形；
三边都相等的三角形叫做等边三角形。
②按角分类：
三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形；
有一个角是直角的三角形叫做直角三角形；
有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形。
(3)三角形的三边之间的关系
三角形两边的和大于第三边，三角形两边的差小于第三边。
三角形三边关系定理及推论的作用：
①判断三条已知线段能否组成三角形
②当已知两边时，可确定第三边的范围。
③证明线段不等关系。
三角形的高、中线、角平分线
角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。
中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。
高线：从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。
三角形的稳定性
三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。三角形的这个性质在生产生活中应用很广，需要稳定的东西一般都制成三角形的形状。
(6)三角形的角
①三角形的内角和等于180°。
推论：直角三角形的两个锐角互余。有两个角互余的三角形是直角三角形。
②三角形的外角
定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。
内外角的关系：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
三角形的外角和等于360°。
(7)三角形的面积
三角形的面积=×底×高
2、特殊三角形
(1)等腰三角形
1、等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的性质定理及推论：
定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）
推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。
推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°。
（2）等腰三角形的其他性质：
①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°
②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。
③等腰三角形的三边关系：设腰长为，底边长为，则④等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A，底角为∠B、∠C，则∠A=180°—2∠B，∠B=∠C=
2、等腰三角形的判定
等腰三角形的判定定理及推论：
定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）。这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等。
推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形
推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
(3)直角三角形
①在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
②在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。
③勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么a2+b2=c2。
④勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。
七、全等三角形
1、全等三角形的概念
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。
2、全等三角形的性质
全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。
3、三角形全等的判定
(1)边边边(SSS)：三边分别相等的两个三角形全等。
(2)边角边(SAS)：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。
(3)角边角(ASA)：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等。
(4)角角边(AAS)：两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等。
(5)斜边、直角边(HL)：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。
4、全等变换
只改变图形的位置，二不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换。
全等变换包括一下三种：
（1）平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换。
（2）对称变换：将图形沿某直线翻折180°，这种变换叫做对称变换。
（3）旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫做旋转变换。
八、
图形的相似
1、比例线段的相关概念
如果选用同一长度单位量得两条线段a，b的长度分别为m，n，那么就说这两条线段的比是，或写成a：b=m：n
在两条线段的比a：b中，a叫做比的前项，b叫做比的后项。
在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段
若四条a，b，c，d满足或a：b=c：d，那么a，b，c，d叫做组成比例的项，线段a，d叫做比例外项，线段b，c叫做比例内项，线段的d叫做a，b，c的第四比例项。
如果作为比例内项的是两条相同的线段，即或a：b=b：c，那么线段b叫做线段a，c的比例中项。
2、比例的性质
（1）基本性质
①a：b=c：dad=bc
②a：b=b：c
（2）更比性质（交换比例的内项或外项）
（交换内项）
（交换外项）
（同时交换内项和外项）
（3）反比性质（交换比的前项、后项）：
（4）合比性质：
（5）等比性质：
3、黄金分割
把线段AB分成两条线段AC，BC（AC>BC），并且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC=AB0.618AB
4、平行线分线段成比例定理
三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
推论：
（1）平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。
逆定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。
平行于三角形一边且和其他两边相交的直线截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。
5、相似多边形
定义1：形状相同的图形叫做相似图形。
定义2：两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。相似多边形对应边的比叫做相似比。
性质相似多边形的对应角相等，对应边成比例。
6、相似三角形的判定
定义：三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形相似。
定理：平行线分线段成比例定理
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例。
判定1：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
判定2：三边成比例的两个三角形相似。
判定3：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
判定4：两角分别相等的两个三角形相似。
7、相似三角形的性质
相似三角形的对应角相等，对应边成比例；
相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比；
相似三角形对应线段的比等于相似比；
相似三角形周长的比等于相似比；
相似三角形面积的比等于相似比的平方。
相似三角形模型
模型一：A、8模型
已知：，结论
模型二：共边共角型
已知：
结论：
模型三：一线三角型
模型四：相似与旋转
模型五：垂直相似
如图，在Rt三角形ABC中，∠C=90°，CD为斜边AB上的高
结论：
9、位似图形
定义：如果两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心。这时的相似比又叫位似比。
性质：每一组对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比都等于位似比。
由一个图形得到它的位似图形的变换叫做位似变换。利用位似变换可以把一个图形放大或缩小。
九、
锐角三角函数
锐角三角函数
1.在直角三角形中，一个锐角的对边与斜边的比叫做这个锐角的正弦.锐角A的正弦记作sinA
2.在直角三角形中，一个锐角的邻边与斜边的比叫做这个锐角的余弦.锐角A的余弦记作cosA.
3.在直角三角形中，一个锐角的对边与邻边的比叫做这个锐角的正切.锐角A的正切记作tanA.
正弦：
余弦：；
正切：。
常见三角函数值：
锐角α
三角函数
30°
45°
60°
1
2、解直角三角形
解直角三角形就是应用勾股定理、两锐角的关系、三角函数等进行求解。除直角外，共5个元素(三边、两锐角)，若知道其中2个元素(至少有一个是边)，就可以求出其余3个未知元素。
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c
（1）三边之间的关系：（勾股定理）
（2）锐角之间的关系：∠A+∠B=90°
（3）边角之间的关系：
3．解直角三角形的类型
已知条件
解　法
两直角边
(如a，b)
由tan
A＝，求∠A；∠B＝90°－∠A；c＝
斜边、一直角边(如c，a)
由sin
A＝，求∠A；∠B＝90°－∠A；b＝
一锐角与邻边(如∠A，b)
∠B＝90°－∠A；a＝b·tan
A；c＝
一锐角与对边(如∠A，a)
∠B＝90°－∠A；b＝；
c＝
斜边与一锐角(如c，∠A)
∠B＝90°－∠A；a＝c·sin
A；
b＝c·cos
A
4、锐角三角函数的实际应用
1．日常生活中的很多问题可以转化为直角三角形的问题，因此，锐角三角函数在解决实际问题中有较大的作用，在应用时要注意以下几个环节：
(1)审题，认真分析题意，将已知量和未知量弄清楚，找清已知条件中各量之间的关系，根据题目中的已知条件，画出它的平面图或截面示意图．
(2)明确题目中的一些名词、术语的含义，如仰角、俯角、坡角、坡度、方位角等．
(3)是直角三角形的，根据边角关系进行计算；若不是直角三角形，应大胆尝试添加辅助线，把它们分割成一些直角三角形或矩形，把实际问题转化为直角三角形进行
解决．
(4)确定合适的边角关系，细心推理计算．
(5)在解题过程中，既要注意解有关的直角三角形，也应注意到有关线段的增减情况．
5、锐角三角函数实际应用中的相关概念
(1)仰角、俯角
如图①，在测量时，视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角．
(2)坡度(坡比)、坡角
如图②，坡面的高度h和水平距离l的比叫坡度(或坡比)，即i＝tan
α＝，坡面与水平面的夹角α叫坡角．
(3)方向角
指南或指北的方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角．如图③，OA是表示北偏东60°方向的一条射线．
注意：东北方向指北偏东45°方向，东南方向指南偏东45°方向，西北方向指北偏西45°方向，西南方向指南偏西45°方向．我们一般画图的方位为上北下南，左西右东。
(4)方位角
从指北方向线按顺时针方向转到目标方向线所成的角叫做方位角.
6、三角函数常见模型
图1
图2
如图1是基本图形，若B、C、D在同一直线上，且∠ABC等于90°，∠ACB=α，∠ADB=β，CD=a，AB=x，则有x=BD·tanβ，x=CB·tanα，∴，
变式为图2，则结论为2021年中考数学暑假基础知识点复习
专题二
几何学
第一部分
相交线与平行线
一、相交线
1、对顶角与邻补角
有公共顶点
的两边与
的两边互为反向延长线
对顶角相等
即
有公共顶点
与有一条边公共，另一边互为反向延长线.
邻补角互补即
2、垂线
①定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，
其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.如图所示，符号语言记作：
，垂足为。
②垂线的性质：
垂线性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
(与平行公理相比较记)。
垂线性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简称：垂线段最短。
③点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。如图，，点到直线的距离是垂线段的长.
二、平行线
★1、性质与判定
①性质：两直线平行同位角相等、内错角相等、同旁内角互补
②判定：同位角相等、内错角相等、同旁内角互补两直线平行
2、平行线的构造
三、命题与平移
1、命题：判断一件事情的语句，叫做命题．每个命题都是题设、结论两部分组成.题设是已知事项；结论是由已知事项推出的事项。
2、常见结论及其否定形式
是
不是
至少有一个
一个也没有
都是
不都是
至多有一个
至少有两个
大于
不大于（小于等于）
至少有个
至多有（）个
小于
不小于（大于等于）
至多有个
至少有（）个
对所有，成立
存在某，不成立
或
且
对任何，不成立
存在某，成立
且
或
3、平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移。
平移的性质：平移后，对应线段平行(或共线)且相等，对应角相等，对应点所连线段平行(或共线)且相等
第二部分
三角形
一、三角形的性质
★1、构成三角形的条件：两边之和大于第三边或两边之和小于第三边
★2、三角形内角和定理：三角形的内角和为
推论：三角形的外角等于与它不相邻的两内角和。
3、分类
①按角分类：
②按边分类：
★4、多边形
①多边形内角和。若正多边形每个内角为，则有
②多边形外角和。若正多边形每个外角为，则有
③多边形对角线条数
★5、三角形中的线段
从三角形的一顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线。
在底边上的高为。
三角形的一顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线．
在底边上的中线为。
三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.
在顶角
上的角平
分线为。
三角形两边中点的连线叫中位线。
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
5、三角形的三心
（1）重心：三角形三条中线的交点叫三角形的重心。
重心性质：重心和三角形顶点组成的个三角形面积相等
重心到顶点的距离与重心到底边中点距离之比为
三角形顶点坐标则重心坐标为
（2）内心：三角形三内角角平分线交点叫三角形内心，是三角形内切圆圆心。
内心性质：内心到三角形三边的距离相等
三角形面积与内切圆半径关系：
（3）外心：三角形三边垂直平分线的交点叫三角形外心，是三角形外接圆圆心。
外心性质：外心到三角形三顶点的距离相等；三角形面积与外接圆半径关系：
二、特殊三角形
等腰三角形
定义
有两条边相等的三角形，叫等腰三角形。相等的两边叫腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫顶角，底边与腰的夹角叫做底角
性质
①等腰三角形是轴对称图形
②等腰三角形的两个底角相等(等边对等角)
③等腰三角形的顶角平分线、底边中线、高线相互重合(三线合一)
判定
①两边相等、两底角相等为等腰三角形。
②两线合一两三角形全等为等腰三角形。
等边三角形
定义
三条边都相等的三角形是等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形。
性质
等边三角形的三边都相等，三个内角都相等，并且每一个角都等于60°。
判定
①三边都相等的三角形是等边三角形。
②三个角都相等的三角形是等边三角形。
③有两个角是60°的三角形是等边三角形。
④有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
直角三角形
定义
有一个角是直角的三角形叫做直角三角形。
性质
①直角三角形的两锐角互余。
②在直角三角形中，如果一个锐角等于°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
③在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。
④勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方，即。
判定
①含有°角（两锐角互余）的三角形是直角三角形。
②勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边存在关系“”，那么这个三角形是直角三角形。
③如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
实记勾股数
三、全等三角形
两三角形全等对应角相等、对应边相等。
①边边边：三边分别相等的两个三角形全等
②边角边：两边分别相等且夹角也相等的两个三角形全等
③角边角:两角对应相等且夹边也相等的两个三角形全等
④角角边:两角对应相等且有一边也相等的两个三角形全等
⑤:直角三角形中对应直角边和斜边分别相等的两个三角形全等
在与中
∵
∴≌
四、相似三角形
★
1、定义：三个角对应相等，三边对应成比例的两个三角形叫相似三角形，相似比记为
∽，则
★2、性质：
①相似三角形的对应角相等，对应边成比例；
②对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比、周长的比都等于相似比；
③相似三角形面积比等于相似比的平方。
★3、判定：
①两个角对应相等，两个三角形相似。
②两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似.
③三边对应成比例，两个三角形相似。
★4、常见的相似模型
第二部分
四边形
一、平行四边形
1、平行四边形性质与判定
定义
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形
性质
①对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分、邻角互补
②
判定
①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
②两组对边分别相等（平行）的四边形是平行四边形；
③两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
定义
有一个角为的平行四边形叫做矩形
性质
①对角线相等、3个内角为直角
②
判定
①有一（三）个角是直角的平行四边形（四边形）是矩形；
②对角线相等的平行四边形是矩形。
定义
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
性质
①四边相等、对角线平分对角
②对角线互相垂直且平分
③菱形面积
=
对角线乘积的一半
判定
①有一组邻边（四边）相等的平行四边形（四边形）是菱形；
②对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
③对角线平分对角的平行四边形是菱形。
定义
4条边相等4个角为直角的四边形叫做矩形
性质
①四边相等，四个角都为
②对角线互相垂直、相等且互相平分。
③边长×边长＝×对角线×对角线
判定
①对角线垂直且相等的平行四边形是正方形
②邻边相等（对角线互相垂直）的矩形是正方形
③有一个角是直角（对角线相等）的菱形是正方形
2、思路总结
3、平行四边形面积模型
平行四边形边上一点与两对边形成的两个三角形面积和等于平行四边形面积一半。
①
②
平行四边形内一点与两对边形成的两个三角形面积和等于平行四边形面积一半。
①
②
平行四边形外一点与两对边形成的两个三角形面积和（差）为平行四边形面积一半。
①
②
二、中点四边形
定义：任意画一个四边形，以四边的中点为顶点组成一个新四边形，这个新四边形就叫做原四边形的中点四边形．如下图点分别是四边形的边、、、的中点；
对于任意四边形，四边形是平行四边形．
若对角线，则四边形是矩形．
若对角线，则四边形是菱形．
对角线且，则四边形是正方形．
第三部分
圆
一、圆的有关概念
在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆．圆是轴对称图形，也是中心对称图形，其对称轴是任意一条过原点的直线，对称中心是圆心。圆用⊙表示，半径为
弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦．经过圆心的弦叫做直径，并且直径是同一圆中最长的弦。
弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧。
圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。
圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。
扇形：一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫扇形。
弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形。
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论：平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
二、圆周角、圆心角定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。
定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相等，且都等于它所对的圆心角的一半。
如图：
推论1：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弧（或弦）是半圆（或直径）。
如图：
推论2：圆内接四边形的对角互补。
如图：，．
三、直线与圆位置关系
1、直线和圆的关系
直线与⊙相交
直线与圆有两个交点，直线叫做圆的割线。
直线与⊙相切
直线与圆有唯一交点，直线叫做圆的切线，交点叫做圆的切点。
直线与⊙相离
直线与圆没有交点。
★2、切线判定定理
定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
根据圆的切线判定定理，以后在题中证明圆的切线，连半径，证垂直。
★3、切线长定理：
切线长：过圆外一点作圆的切线，这点和切点间线段的长，叫点到圆的切线长．
切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等，并且这点和圆心的连线
平分两条切线的夹角．
如图所示，、分别与⊙切于点、，则，平分．
4、三角形的外接圆
①确定圆的条件：不在同一直线上的三点确定一个圆．
②外接圆定义：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的
圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫
做这个圆的内接三角形．
5、三角形的内切圆
和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的
内心，内心是三条内角平分线的交点．
四、圆幂定理
弦切角：切线与弦的夹角。
弦切角定理：弦切角等于它所夹弧的圆周角。
如图：．
相交弦定理：圆内的两条相交弦被交点分成的两条线段长乘积相等。如图：．
切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
如图：．
割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。
如图：．
五、扇形与圆锥
弧长公式：
面积公式：
圆锥展开：侧面展开图是扇形，底面是圆。
为扇形半径，也叫圆锥母线长。
圆锥个考点：
①侧面展开图中：扇形弧长=底面圆周长。即：
②在圆锥内由勾股定理有：
第四部分
旋转与视图
一、旋转与对称
把一个平面图形绕着平面内某一点转动一个角度，就叫做图形的旋转，点叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点经过旋转变为点,那么这两个点叫做这个旋转的对应点。
（1）旋转后的图形与原图形是全等的
（2）旋转前后两个图形对应点到旋转中心的距离相等
（3）对应点与旋转中心所连线段的夹角都是旋转角
（1）首先确定旋转的三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角；
（2）其次在原图中找几个关键点；
（3）再连接关键点与旋转中心，让关键点与旋转中心所连线段沿旋转方向转动一定的角度，得到线段的端点就是关键点的对应点；
（4）最后依次连接各对应点，就得到旋转后的图形。
定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心。
把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，两个图形中的对应点叫做对称点，对应线段叫做对称线段。
轴对称性质：①关于某条直线对称的两个图形是全等形；
②对称轴是任何一对对应点所连线的垂直平分线。
（1）作出已知图各顶点关于对称轴（对称中心）的对称点——连接关键点和对称轴（对称中心），并延长一倍确定对称点.
（2）把各对称点按已知图形的连接方式依次连接起来，则所得到的图形就是已知图形关于对称轴（对称中心）对称的图形.
二、投影与视图
1、投影与视图
平行投影
用平行光线（太阳光）照射物体，在某个平面(地面或墙壁等)上得到的投影叫做平行投影。
在同一时刻，不同物体的物高与影长成正比例.
中心投影
用点光线（灯光）照射物体，在某个平面(地面或墙壁等)上得到的投影叫做中心投影。
中心投影中存在三角形相似
三视图
一物体在三个投影面内进行正投影，在正面得到的的视图叫主视图；在水平面得到的叫俯视图；在侧面内得到的视图叫左视图.主视图、左视图、俯视图叫做物体的三视图.
长对正
高平齐
宽相等
★2、投影与视图的考点
如图，小美利用所学的数学知识测量旗杆的高度．
（1）画出此时旗杆在阳光下的投影；
（2）已知小美的身高为，在同一时刻测得小美和旗杆AB的投影长分别为和，求旗杆的高．
解答：（1）如下图，假设小美为，她的影子为，
连接，过点作交地面于点，
连接，即为此时旗杆在阳光下的投影．
（2）由（1）可知，，都垂直于地面，且，
，，，．由题可知，，，，解得，旗杆的高为．
如图是一个几何体的三视图，则这个几何体是（
?
）
A．B．C．D．
根据主视图、左视图、俯视图可知，该几何体为正方体缺少右前上的
一块，故选．
第五部分
几何解题方法与思路
一、尺规作图
作一个角与相等
?
作的角平分线
作直线的垂线，使它经过点
①点在线段上?????
②点在线段外
作圆，使它经过不同一直线上的三点（即作以点为顶点的三角形的外接圆）
作以点为顶点的三角形的内切圆
二、几何辅助线
截长
（在上截取一点，使得,可证得）
补短
（延长到点，使得,连接,可证得）
斜边中线(斜边中线等于斜边一半，即)
三角形中位线（三角形中位线第三边，且等于第三边一半，即且）
等腰三角形“三线合一”（①由两线合一可以得出;
②三线中知其一可得其二）
倍长中线（延长三角形的中线到，使,可证得,）
类倍长中线（在几何图形中，为中点，延长到,使得,可证得）
连半径（在圆中，证切线问题以及涉圆周角圆心角定理的内容都需连接半径）
直径（题目提到直径必用“直径所对圆周角为直角”题图若无圆周角则需自己做辅助线构建圆周角）
构建相似三角形
（中构建射影相似，其它三角形一般构建字形相似）
三、折叠、动点问题
折叠前后2个几何图形全等
运动点路径长
全等三角形、勾股定理、特殊三角形、相似三角形
一般三角形性质、相似三角形、坐标体系下的几何知识、平行四边形性质
偏几何方向，以几何关系为主，往往运用勾股定理较多，还会涉及全等三角形与特殊三角形、相似三角形性质
偏函数方程方向，由时间为参数构建各类与时间有关系的方程式、函数式，用函数与方程观点解决问题
四、几何中的最值
★1、几何最值的来源：
两点之间，线段最短；点到直线的距离，垂线段最短。
三角形两边之和大于第三边，两边之差小鱼第三边。
⊙上一动点与平面一定点之间，由三角形构成条件
可得：，
即；当且仅当三点共线时取等号。
★2、几何最值常考类型
的最小值为
的最大值为
周长的最小值为
的最小值为
五、圆的考点梳理
切线判定
①两锐角互余或勾股定理
②证三角形全等
③公共角模型
④平行线判定
圆周角
圆心角
记住一条准则：看到弧首先找出它所对的所有圆
心角和圆周角，且用来表示。
勾股定理
相
似
射影相似
字形相似
比值类问题需要将分子和分母分别设出来，作为已知量求解。
①题目直接给到比值：例如：，设，则
②三角函数问题：先在直角三角形中写出三角函数定义式，在套用①
六、其它几何考点
1、全等手拉手模型（共顶点模型）
，，
①,
②
③平分
与是等腰直角三角形
①,
②,
③平分
④
⑤
⑥分别是，上的点，若是的中点，则（反之亦然）；②若，是的中点（反之亦然）
⑦
与是等边三角形，三点共线
①,
②
③平分
④,
⑤为等边三角形
，
①∽
②
2、对角互补模型
，平分
，平分
，
①
②
①
②
①
②
3、半角旋转模型
①
②
①
②过点作，则
③连接，则2021年中考数学暑假基础知识点复习
专题四
统计概率
统计
数据收集整理描述
1、统计调查方法：全面调查（即普查）和抽样调查．
★全面调查与抽样调查的优缺点：
①全面调查收集的到数据全面、准确，但一般花费多、耗时长，而且某些调查不宜用全面调查；
②抽样调查具有花费少、省时的特点，但抽取的样本是否具有代表性，
直接关系到对总体估计的准确程度．③选取调查方法主要依据是调查对象的重要性，和样本容量没有联系。例如人口普查，经济普查等。
2、统计学中的几个基本概念：
①总体：我们把所要考察的对象的全体叫做总体；
②个体：把组成总体的每一个考察对象叫做个体；
③样本：从总体中取出的一部分个体叫做这个总体的一个样本；
④样本容量：一个样本包括的个体数量叫做样本容量．（只是个数字，
没有单位）
⑤样本平均数：样本中所有个体的平均数叫做样本平均数。
⑥总体平均数：总体中所有个体的平均数叫，在统计中，通常用样本平均数估计总体平均数。
1、统计图：常有条形统计图，扇形统计图，折线统计图．
用单位长度表示一定的数量，根据数量多少画成长短不同的直条，把直条按一顺序排列起来的统计图
能清楚地反映每个项目的具体数目；
折线统计图由两条代表不同标目的数轴和折线组成，折线上被线段连接的各点同时反映不同的标目．
能清楚地反映事物的变化情况；
用圆和扇形分别表示关于总体和各个组成部分数据的统计图叫做扇形统计图．
能清楚反映出各部分在总体中所占的百分比，各部分数量与总数之间的关系
★2、统计数据处理
（1）众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。
（2）中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。
（3）平均数：对于个数，我们把叫做这个数的平均数；
（4）方差：在一组数据中，各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差。用“”表示。即
3、频数（频率）分布
（1）基本概念：①极差：一组数据中最大数据与最小数据的差称为这组数据的极差；
②频数：将数据分组后落在各小组内的数据个数叫做该小组的频数；
③频率：每一小组的频数与样本容量的比值叫做这一小组的频率；
★
频数和频率的基本关系式：
（2）频数分布表。
①分布表概念：把各个类别及其对应的频数用表格的形式表示，
所得表格为频数分布表．
②求频数分布表的一般步骤：、计算最大值与最小值的差；
决定组距和组数；
确定分点；
列频数分布表；
③频数之和等于样本容量
（3）频数（频率）直方图
①频数分布直方图：是以小长方形的面积来反映数据落在各个小组内的
频数的大小，直方图由横轴、纵轴、条形图三部分组成。
②频数分布直方图的画法步骤：Ⅰ、计算最大值最小值的差；Ⅱ、决定组距和组数；Ⅲ、列频数分布表；Ⅳ、画频数分布直方图。
③条形图与直方图的识別：Ⅰ、条形图突出各组的具体数据，侧重比较数据之间的差别Ⅱ、直方图侧重表示各组频数的分布情况，用于判别各组之间的频数的差别Ⅲ、从图表上看，条形图横轴上的数据是孤立的；直方图横轴上的数据是连续的
Ⅳ、条形图中各长方形是分开的；而直方图中各长方形是靠在一起的
★4、统计图中的计算式：
数据百分比
概
率
1、事件
必然事件
在一定条件下，有些事件必然会发生
不可能事件
有些事件必然不会发生
在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件。必然事件发生的可能性是，不可能事件发生的可能性是，随机事件发生的可能性在与之间
2、概率及常见类型
一般地，对于一个随机事件，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件发生的概率，记为
一般地，如果在一次试验中，有种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件包含其中的种结果，那么事件发生的概率
1.在中，由定义可知进而有
因此，
2.当为必然事件时，，当为不可能事件时，
3.事件发生的可能性越大，它的概率越接近，反之，事件发生的可能性越小，它的概率越接近
（1）定义：发生的事件数有限，每个事件发生的可能性相等的概型。
（2）求基本事件个数方法：列举法、图表法
（1）定义：发生的事件数无限，每个事件发生的可能性相等的概型。
（2）求基本事件个数方法：计算图形面积，线段长度
3、求事件可能结果的方法
（1）列表法：当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法。列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法。
要点诠释：①列表法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题；
②列表法适用于涉及两步试验的随机事件发生的概率.
（2）树形图：当一次试验要涉及3个或更多个因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图。树形图是用树状图形的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法。
要点诠释：①
树形图法同样适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题；
②用列表法或树形图法求可能事件的概率时，应注意各种情况出现的可能性务必相同.
典例：同时抛掷两枚质地均匀的骰子，则事件“两枚骰子的点数和小于且为偶数”的概率是多少．
解答：方法一：根据题意，可画以下树状图：
由图可知，共有种等可能的情况，其中“两枚骰子的点数和小于且为偶数”的共有，，，，，，，，共种情况，
“两枚骰子的点数和小于且为偶数”的概率为：，
方法二：根据题意，可列表如下：
由表格可知，共有种等可能的情况，其中“两枚骰子的点数和小于且为偶数”的有，，，，，，，，共有种情况，
两枚骰子的点数和小于且为偶数”的概率为：．

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