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(共36张PPT)
第1课时　函数的概念
必备知识·自主学习
函数
(1)概念：
①定义：设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的_________数x，按照某
种确定的对应关系f，在集合B中都有_________的数y和它对应，那么f：A→B
为从集合A到集合B的一个函数.
导思
初中学习过用函数来刻画两个变量之间的对应关系，那么函数还有没有其他的定义方法？
任意一个
唯一确定
②记法：y=f(x)，x∈A.
③定义域：x的取值范围A；值域：与x的值对应的y值叫做函数值，即集合
____________.
(2)本质：函数的集合定义.
(3)应用：给出了函数的一般性定义.
{f(x)|x∈A}
【思考】
1.对于函数f：A→B，值域一定是集合B吗？为什么？
提示：不一定.值域是集合B的子集，即{f(x)|x∈A}?B.
2.对应关系f必须是一个解析式的形式吗？为什么？
提示：不一定.可以是数表，也可以是图象.
3.f(x)的含义是什么？
提示：集合A中的数x在对应关系f的作用下对应的数.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)“y=f(x)”表示的是“y等于f与x的乘积”.
(　　)
(2)根据函数的定义，定义域中的任何一个x可以对应着值域中不同的y.
(　　)
(3)在研究函数时，除用符号f(x)外，还可用g(x)，F(x)，G(x)等来表示函
数.
(　　)
提示：(1)×.符号y=f(x)是“y是x的函数”的数学表示，应理解为x是自变量，它是关系所施加的对象.
(2)×.根据函数的定义，对于定义域中的任何一个x，在值域中都有唯一的y与之对应.
(3)√.同一个题中，为了区别不同的函数，常采用g(x)，F(x)，G(x)等来表示函数.
2.下列两个变量之间的关系不是函数关系的是
(　　)
A.出租车车费与出租车行驶的里程
B.商品房销售总价与商品房建筑面积
C.铁块的体积与铁块的质量
D.人的身高与体重
【解析】选D.A.出租车车费与行程是函数关系；B.商品房销售总价与建筑面积是函数关系；C.铁块的体积与质量是函数关系；D.人的身高与体重不是函数关系.
3.(教材二次开发：练习改编)如图能表示函数关系的是_______.?
【解析】由于③中的2与1和3同时对应，故③不是函数关系.
答案：①②④
关键能力·合作学习
类型一　函数的概念(数学抽象)
【题组训练】
1.(2020·临沂高一检测)图中所给图象是函数图象的个数为(　　)
A.1
B.2
C.3
D.4
2.设集合P={x|0≤x≤2}，Q={y|0≤y≤2}，则图中能表示P到Q的函数的
是
(　　)
A.(1)(2)(3)(4)
B.(1)(3)(4)
C.(4)
D.(3)
3.以下从M到N的对应关系表示函数的是
(　　)
A.M=R，N={y|y>0}，f：x→y=|x|
B.M={x|x≥2，x∈N
}，N={y|y≥0，y∈N
}，f：x→y=x2-2x+2
C.M={x|x>0}，N=R，f：x→y=±
D.M=R，N=R，f：x→y=
【解析】1.选B.①的图象中，当x>0时，每一个x值都有两个y值与之相对应，故①中的图象不是函数图象；②的图象中，当x=x0或x<0时，有两个y值与之相对应，故②中的图象不是函数图象；
③④的图象中，对于每一个x值都有唯一的y值与之对应，符合函数的定义，故③④中的图象是函数的图象，所以是函数图象的有2个.
2.选C.对于(1)，根据函数的定义，在定义域内的任何一个x值，都唯一对应一个y值，而当x=1时，有2个y值与之对应，故(1)不正确；对于(2)，定义域{x|03.选B.A中，M=R，N={y|y>0}，f：x→y=|x|，
M中元素0，在N中无对应的元素，不满足函数的定义；B中，M={x|x≥2，
x∈N
}，N={y|y≥0，y∈N
}，f：x→y=x2-2x+2，M中任一元素，在N中都有唯
一的元素与之对应，满足函数的定义；C中，M={x|x>0}，N=R，f：x→y=
±
，M中任一元素，在N中都有两个对应的元素，不满足函数的定义；D中
M=R，N=R，f：x→y=
，M中元素0，在N中无对应的元素，不满足函数的定义.
【解题策略】
1.判断一个对应是否是函数的方法
2.根据图象判断对应是否为函数的步骤
(1)任取一条垂直于x轴的直线l.
(2)在定义域内平行移动直线l.
(3)若l与图象有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数.如图所示：
【补偿训练】
　　
(2020·朝阳高一检测)图中，能表示函数y=f(x)的图象的是(　　)
【解析】选D.根据题意，对于A，B两图，可以找到一个x与两个y对应的情形；对于C图，当x=0时，有两个y值对应；对于D图，每个x都有唯一的y值对应.因此，D图可以表示函数y=f(x).
类型二　函数的三要素(数学运算)
　角度1　定义域和值域?
【典例】(2020·丰台高一检测)已知函数y=f(x)的图象如图所示，则该函数的定义域为_____，值域为_____.?
【思路导引】观察横坐标的取值确定定义域，观察纵坐标的取值确定值域.
【解析】根据y=f(x)的函数图象可看出，f(x)的定义域为{x|-2≤x≤4或5≤x≤8}，值域为{y|-4≤y≤3}.
答案：{x|-2≤x≤4或5≤x≤8}　{y|-4≤y≤3}
【变式探究】
若已知函数f(x)=x2，x∈{-1，0，1}，试求函数的值域.
【解析】由x∈{-1，0，1}，代入f(x)=x2，
解得f(-1)=1，f(0)=0，f(1)=1，
根据集合的互异性，函数的值域为{0，1}.
　角度2　对应关系?
【典例】(2020·哈尔滨高一检测)德国数学家狄利克雷在1837年时提出：
“如果对于x的每一个值，y总有一个完全确定的值与之对应，则y是x的函
数”，这个定义较清楚地说明了函数的内涵.只要有一个法则，使得x在取值
范围中的每一个值，都有一个确定的y和它对应就行了，不管这个对应的法则
是公式、图象、表格还是其他形式，已知函数f(x)由表给出，则
的值为
(　　)
A.0
B.1
C.2
D.3
x
x≤1
1x≥2
f(x)
1
2
3
【思路导引】由里向外根据对应关系求值.
【解析】选D.因为
∈{x|x≤1}，
所以f(
)=1，
则10f(
)=10，所以
=f(10).
又因为10∈{x|x≥2}，所以f(10)=3.
【解题策略】关于函数的三要素
(1)函数的定义域即集合A，在坐标系中是横坐标x的取值范围.
(2)函数的值域并不是集合B，是函数值的集合{f(x)|x∈A}，在坐标系中是纵坐标的取值范围.
(3)函数的对应关系f反映了自变量x的运算、对应方法，通过这种运算、对应得到唯一的函数值y.
【题组训练】
1.(2020·杭州高一检测)函数y=f(x)=
的值域是(　　)
A.R
B.{y|-1≤y≤1}
C.{-1，1}
D.{-1，0，1}
【解析】选D.根据函数的解析式y=
在x∈{x|x>0}时，
函数值为1，在x=0时，
函数值为0，在x∈{x|x<0}时，函数值为-1.故函数的值域为{-1，0，1}.
2.已知函数f(x)，g(x)分别由表给出
x
1
2
3
f(x)
1
3
1
则方程g(f(x))=3的解集为_______.?
【解析】根据题意，若方程g(f(x))=3，必有f(x)=1，则有x=1或3，即方程g(f(x))=3的解集为{1，3}.
答案：{1，3}
x
1
2
3
g(x)
3
2
1
【补偿训练】已知函数f(x)与g(x)分别由表给出，那么f(g(3))=_______.?
x
1
2
3
4
f(x)
2
3
4
1
x
1
2
3
4
g(x)
3
4
1
2
【解析】由题意得g(3)=1，f(g(3))=f(1)=2.
答案：2
类型三　构建问题情境(数学建模)
【典例】已知矩形的面积为10，如图所示，试借助该图形构建问题情境描述下列变量关系，
【思路导引】观察解析式求出的值对应图形中的线段，构建问题情境.
【解析】(1)设长为x，宽为y，那么y=
.
其中x的取值范围A={x|x>0}，y的取值范围B={y|y>0}，对应关系f把每一个长
方形的长x，对应到唯一确定的宽
.
(2)设长为x，周长为y，那么y=2x+
.
其中x的取值范围A={x|x>0}，y的取值范围B={y|y>0}，对应关系f把每一个长
方形的长x，对应到唯一确定的周长2x+
.
(3)设长为x，对角线为y，那么y=
.
其中x的取值范围A={x|x>0}，y的取值范围B={y|y≥
}，对应关系f把每一
个长方形的长x，对应到唯一确定的对角线
.
【解题策略】构建问题情境的步骤
(1)综合考虑构建具体的实际问题.
(2)赋予每个变量具体的实际意义.
(3)根据变量关系，设计出所求的实际问题.
【跟踪训练】构建一个问题情境，使其中的变量关系能用解析式y=2
来描
述.
【解析】某企业生产一种产品的利润是投资额的算术平方根的2倍，设投资为
x，利润为y，那么y=2
.其中x的取值范围A={x|x≥0}，y的取值范围B={y|y≥0}，对应关系f把每一笔投资对应到唯一确定的利润2
.
课堂检测·素养达标
1.对于函数f：A→B，若a∈A，b∈A，则下列说法错误的是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.f(a)∈B
B.f(a)有且只有一个
C.若f(a)=f(b)，则a=b
D.若a=b，则f(a)=f(b)
【解析】选C.对于函数f：A→B，a∈A，b∈A，则根据函数的定义，f(a)∈B，且f(a)唯一，故若a=b，则a，b代表集合A中同一个元素，这时，有f(a)=f(b)，故B，D都对.但若f(a)=f(b)，则不一定有a=b，如f(x)=x2，显然f(-1)=f(1)=1，但-1≠1，故C错误.
2.函数y=f(x)的图象与直线x=2
020的公共点有
(　　)
A.0个
B.1个
C.0个或1个
D.以上答案都不对
【解析】选C.由函数的概念：“对集合A中的任意一个自变量的值，在集合B中有唯一确定的值与之对应”可知，直线x=2
020与函数y=f(x)的图象有且只有一个公共点或没有公共点.
3.若函数y=x2-3x的定义域为{-1，0，2，3}，则其值域为_______.?
【解析】依题意，当x=-1时，y=4；当x=0时，y=0；当x=2时，y=-2；当x=3时，y=0，所以函数y=x2-3x的值域为{-2，0，4}.
答案：{-2，0，4}
4.下列对应关系是集合P上的函数的是_______.?
①P=Z，Q=N
，对应关系f：对集合P中的元素取绝对值与集合Q中的元素相对应；
②P={-1，1，-2，2}，Q={1，4}，对应关系f：x→y=x2，x∈P，y∈Q；
③P={三角形}，Q={x|x>0}，对应关系f：对P中的三角形求面积与集合Q中的元素对应.
【解析】②显然正确，由于①中的集合P中的元素0在集合Q中没有对应元素，并且③中的集合P不是数集，从而①③不正确.
答案：②(共37张PPT)
第2课时　函数概念的综合应用
必备知识·自主学习
1.区间的概念
(1)一般区间的表示.
设a，b∈R，且a导思
1.我们用集合表示数集，那么还有没有别的方法表示数集？
2.什么是同一个函数？
定义
名称
符号
数轴表示
{x|a≤x≤b}
闭区间
[a，b]
{x|a开区间
_______
{x|a≤x半开半
闭区间
[a，b)
{x|a半开半
闭区间
_______
(a，b)
(a，b]
(2)特殊区间的表示.
(3)本质：集合的另一种表示.
(4)应用：表示定义域、值域等范围.
定义
R
{x|x≥a}
{x|x>a}
{x|x≤a}
{x|x符号
(-∞，____)
[a，+∞)
(a，____)
(-∞，a]
(____，a)
+∞
+∞
-∞
【思考】
区间是数集的另一种表示方法，那么任何数集都能用区间表示吗？
提示：不是任何数集都能用区间表示，如集合{0，1}就不能用区间表示.
2.同一个函数
前提条件
_______相同
_________完全一致
结论
这两个函数是同一个函数
定义域
对应关系
【思考】函数有定义域、对应关系和值域三要素，为什么判断两个函数是否是同一个函数，只看定义域和对应关系？
提示：由函数的定义域和对应关系可以求出函数的值域，所以判断两个函数是否是同一个函数，只看定义域和对应关系即可.
3.常见的函数的定义域和值域
函数
一次函数
反比例
函数
二次函数
____
____
对应
关系
y=ax+b
(a≠0)
y=
(k≠0)
y=ax2+bx+c
(a≠0)
y=ax2+bx+c
(a≠0)
定义
域
R
{x|x≠0}
R
R
值域
R
{y|y≠0}
a>0
a<0
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)用区间表示集合{x|x≥1}为[1，+∞].
(　　)
(2)若两个函数的定义域与值域都相同，则这两个函数是同一个函数.(　　)
(3)函数f(x)=x2-x与g(t)=t2-t是同一个函数.
(　　)
提示：(1)×.应表示为[1，+∞).
(2)×.例如f(x)=
与g(x)=
的定义域与值域相同，但这两个不是同一个函数.
(3)√.函数f(x)=x2-x与g(t)=t2-t的定义域都是R，对应关系完全一致，所以这两个函数是同一个函数.
2.(教材二次开发：例题改编)函数f(x)=
的定义域为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.(-∞，-1)∪(-1，3]
B.(-∞，3]
C.(-1，3]
D.(-∞，-1)
【解析】选A.函数f(x)=
令
解得x≤3且x≠-1.
所以函数f(x)的定义域为(-∞，-1)∪(-1，3].
3.已知f(x)=x2+1，则f(f(-1))=
(　　)
A.2
B.3
C.4
D.5
【解析】选D.因为f(-1)=(-1)2+1=2，
所以f(f(-1))=f(2)=22+1=5.
关键能力·合作学习
类型一　函数的定义域与求值(数学运算)
【题组训练】
1.(2020·合肥高一检测)函数f(x)=
的定义域是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.(-∞，3]
B.
C.
D.(3，4)∪(4，+∞)
2.函数f(x)=
的定义域为_______.?
3.已知函数f(x)=x+
，则f(2)=_______；当a≠-1时，f(a+1)=_______.?
【解析】1.选C.要使函数有意义，
则
得x≤3且x≠
，
即函数的定义域为
.
2.要使f(x)有意义，则
解得x≥1，
所以f(x)的定义域为[1，+∞).
答案：[1，+∞)
3.f(2)=2+
=
.当a≠-1时，a+1≠0，
所以f(a+1)=a+1+
.
答案：
　a+1+
【解题策略】
关于函数定义域的求法
(1)依据：分式分母不为0，二次根式的被开方数不小于0，0次幂的底数不为0等.
(2)如果解析式中含有多个式子，则用大括号将x满足的条件列成不等式组，解出各个不等式后求交集.
【补偿训练】
　　
函数f(x)=
的定义域是
(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.R
B.[-1，+∞)
C.(-∞，0)∪(0，+∞)
D.[-1，0)∪(0，+∞)
【解析】选D.函数f(x)=
中，
令
解得
所以函数f(x)的定义域是[-1，0)∪(0，+∞).
类型二　判断同一个函数(逻辑推理)
【典例】(2020·丰台高一检测)下列各组函数，是同一个函数的是(　　)
A.f(x)=x+1，g(x)=
+1
B.f(x)=x，u=
C.f(x)=1，g(x)=(x-1)0
D.f(x)=
m=|n|
【思路导引】判断定义域、对应关系是否相同.
【解析】选D.对于A，函数f(x)=x+1(x∈R)，与g(x)=
+1=x+1(x≠0)的定义
域不同，不是同一个函数；对于B，函数f(x)=x(x∈R)，与u=
=|v|(v∈R)
的对应关系不同，不是同一个函数；
对于C，函数f(x)=1(x∈R)，与g(x)=(x-1)0=1(x≠1)的定义域不同，不是同一
个函数；
对于D，函数f(x)=
=|x|(x∈R)，与m=|n|(n∈R)的定义域相同，对应
关系也相同，是同一个函数.
【解题策略】判断函数是否是同一个函数的三个步骤和两个注意点
(1)判断函数是否是同一个函数的三个步骤.
(2)两个注意点.
①在化简解析式时，必须是等价变形；
②与用哪个字母表示变量无关.
【跟踪训练】
(2020·宁德高一检测)下列两个函数是同一个函数的是
(　　)
A.f(x)=x2，g(x)=
B.f(x)=
，g(x)=x0
C.f(x)=
，g(x)=x+1
D.f(x)=
，g(x)=|x|
【解析】选B.A.f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为{x|x≠0}，两个函数的
定义域不相同，不是同一个函数；
B.f(x)=
=1，函数的定义域为{x|x≠0}，g(x)=x0=1，定义域为{x|x≠0}，
两个函数的定义域相同，对应关系也相同，是同一个函数；
C.f(x)=x+1(x≠1)，两个函数的定义域不相同，不是同一个函数.
D.f(x)的定义域为[0，+∞)，g(x)的定义域是R，两个函数的定义域和对应关
系不相同，不是同一个函数.
类型三　抽象函数的定义域(数学运算)
　角度1　已知f(x)的定义域求f(g(x))的定义域?
【典例】函数y=f(x)的定义域是[-1，3]，则f(2x+1)的定义域为_______.?
【思路导引】将2x+1代入f(x)的定义域解出x的范围.
【解析】令-1≤2x+1≤3，解得-1≤x≤1，
所以f(2x+1)的定义域为[-1，1].
答案：[-1，1]
【变式探究】
本例条件不变，试求函数g(x)=
的定义域.
【解析】函数y=f(x)的定义域是[-1，3]，
在函数g(x)=
中，
令
解得0≤x<2，
所以g(x)的定义域是[0，2).
　角度2　已知f(g(x))的定义域求f(x)的定义域?
【典例】若函数y=f(3x+1)的定义域为[-2，4]，则y=f(x)的定义域是(　　)　　　　　
　　　　　
　　　　　
A.[-1，1]
B.[-5，13]
C.[-5，1]
D.[-1，13]
【思路导引】由x的范围求出3x+1的范围.
【解析】选B.函数y=f(3x+1)的定义域为[-2，4]，
令-2≤x≤4，则-6≤3x≤12，所以-5≤3x+1≤13，
所以函数y=f(x)的定义域是[-5，13].
【解题策略】抽象函数的定义域
(1)已知f(x)的定义域为[a，b]，求f(g(x))的定义域时，不等式a≤g(x)≤b的解集即定义域.
(2)已知f(g(x))的定义域为[c，d]，求f(x)的定义域时，求出g(x)在[c，d]上的范围(值域)即定义域.
【题组训练】
1.已知函数y=f(-2x+1)的定义域是[-1，2]，则y=f(x)的定义域是(　　)　　　　　
　　　　　
　　　　　
A.[
,
1]
B.[-3，3]
C.[-1，5]
D.以上都不对
【解析】选B.函数y=f(-2x+1)的定义域是[-1，2]，
即-1≤x≤2，所以-4≤-2x≤2，
所以-3≤-2x+1≤3，
所以y=f(x)的定义域是[-3，3].
2.(2020·宿州高一检测)若函数y=f(x+1)的定义域是[-1，1]，则函数g(x)=
的定义域是
(　　)
A.
B.
C.[0，1)∪(1，4]
D.(0，1]
【解析】选D.由函数的定义域是[-1，1]，
得-1≤x≤1，所以0≤x+1≤2，
所以函数f(x)的定义域为[0，2]；
函数g(x)=
中令
解得0所以函数g(x)的定义域是(0，1].
【补偿训练】
已知函数f(x+1)的定义域是[0，2]，则函数f(2x+1)的定义域是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.[1，3]
B.[-1，1]
C.[0，3]
D.[0，1]
【解析】选D.函数f(x+1)的定义域是[0，2]，
令0≤x≤2，得1≤x+1≤3，
所以f(x)的定义域是[1，3]；
令1≤2x+1≤3，解得0≤x≤1，
所以函数f(2x+1)的定义域是[0，1].
课堂检测·素养达标
1.(2020·西城高一检测)函数f(x)=
的定义域是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.R
B.{x|x>2}
C.{x|x≥1}
D.{x|x≥1且x≠2}
【解析】选D.函数f(x)=
中，
令
解得x≥1且x≠2，
所以函数f(x)的定义域是{x|x≥1且x≠2}.
2.若函数f(x)=ax2-1，a为一个正数，且f(f(-1))=-1，那么a的值是(　　)
A.1
B.0
C.-1
D.2
【解析】选A.因为f(x)=ax2-1，所以f(-1)=a-1，
f(f(-1))=f(a-1)=a·(a-1)2-1=-1.
所以a(a-1)2=0.
又因为a为正数，所以a=1.
3.若[a，3a+1]为一确定区间，则a的取值范围是_______.?
【解析】若[a，3a+1]为一确定区间，则a<3a+1，
解得a>-
，
所以a的取值范围是
.
答案：
4.(教材二次开发：练习改编)已知函数f(x)=
，则f(2)+
=_______，
f(3)+
=_______.?
【解析】因为函数f(x)=
，
所以f(2)+
=
f(3)+
=
答案：1　1
5.已知全集U=R，A={x|1UA用区间表示为_______.?
【解析】
UA={x|x≤1或x>3}，用区间可表示为
(-∞，1]∪(3，+∞).
答案：(-∞，1]∪(3，+∞)(共45张PPT)
第1课时　函数的表示法
必备知识·自主学习
1.表示函数的三种方法
导思
在初中我们学习了哪些表示函数的方法？
解析法
用___________表示两个变量之间的对应关系
列表法
列出_____来表示两个变量之间的对应关系
图象法
用_____表示两个变量之间的关系
2.本质：两个变量对应关系的三种不同方式的表示.
3.应用：表示函数的两个变量之间的对应关系.
数学表达式
表格
图象
【思考】函数的三种表示方法各有哪些优缺点？
提示：
表示方法
优点
缺点
列表法
不需要计算就可以直接看出与自变量对应的函数值
只能表示自变量可以一一列出的函数关系
图象法
能形象直观地表示出函数的变换情况
只能近似地求出函数值，而且有时误差较大
解析法
(1)简明、全面地概括了变量间的关系，从“数”的方面揭示了函数关系；
(2)可以通过解析式求出任意一个自变量所对应的函数值
不够形象、直观，而且并不是所有的函数都能用解析法表示出来
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)任何一个函数都可以用图象法表示出来.
(　　)
(2)任何一个函数都可以用解析法表示出来.
(　　)
(3)函数的图象一定是连续不断的曲线.
(　　)
提示：(1)×.如函数f(x)=
就不能画出函数的图象.
(2)×.如时间与空气质量指数的函数关系就无法用解析法表示.
(3)×.如y=
的图象就是不连续的曲线.
2.已知函数f(x)的图象如图所示，其中点A，B的坐标分别为(0，3)，(3，0)，则f(f(0))=
(　　)
A.2
B.4
C.0
D.3
【解析】选C.结合题图可得f(0)=3，则f(f(0))=f(3)=0.
3.(教材二次开发：例题改编)某商场新进了10台彩电，每台售价3
000元，试求售出台数x(x为正整数)与收款数y之间的函数关系，用解析法表示y=____.?
【解析】用解析法表示y=3
000x，x∈{1，2，3，…，10}.
答案：3
000x，x∈{1，2，3，…，10}
关键能力·合作学习
类型一　函数的表示方法(数学建模)
【题组训练】
1.已知x∈Q时，f(x)=1；x为无理数时，f(x)=0，我们知道函数表示法有三种：①列表法，②图象法，③解析法，那么该函数y=f(x)应用_______表示(填序号).?
2.某问答游戏的规则是：共5道选择题，基础分为50分，每答错一道题扣10分，答对不扣分.试分别用列表法、图象法、解析法表示一个参与者的得分y与答错题目道数x(x∈{0，1，2，3，4，5})之间的函数关系.
【解析】1.因为Q和无理数的元素无法具体表示，
所以①列表法，②图象法，都无法建立x和y之间的对应关系，所以不能表示函数y=f(x).
③利用解析法表示为f(x)=
答案：③
2.(1)列表法，列出参赛者得分y与答错题目道数x(x∈{0，1，2，3，4，5})之间的函数关系为：
x
0
1
2
3
4
5
y
50
40
30
20
10
0
(2)图象法，画出参赛者得分y与答错题目道数x(x∈{0，1，2，3，4，5})之间的函数关系如图：
(3)解析法，参赛者得分y与答错题目道数x(x∈{0，1，2，3，4，5})之间的函数关系为：
y=50-10x，x∈{0，1，2，3，4，5}.
【解题策略】关于函数的三种表示方法
三种表示方法用不同方式表示出了函数自变量与函数值的对应关系，各有优缺点，在解题的过程中，可以选取最适合的方法表示函数.
【补偿训练】
某公共汽车，行进的站数与票价关系如表：
行进的站数
1
2
3
4
5
6
7
8
9
票价
1
1
1
2
2
2
3
3
3
此函数的关系除了列表之外，能否用其他方法表示？
【解析】设票价为y元，行进的站数为x，
解析法：
y=
图象法：
类型二　函数的图象及其应用(直观想象)
【典例】1.(2020·徐州高一检测)函数y=
的图象的大致形状是(　　)
2.已知函数f(x)=x2-2x(-1≤x≤2).
(1)画出f(x)图象的简图.
(2)根据图象写出f(x)的值域.
【思路导引】1.分x>0，x<0两种情况作出判断.
2.先作出图象，再根据图象写值域.
【解析】1.选C.函数的定义域为{x|x≠0}，
当x>0时，y=
=-x；
当x<0时，y=
=x，则对应的图象为C.
2.(1)f(x)图象的简图如图所示.
(2)观察f(x)的图象可知，f(x)图象上所有点的纵坐标的取值范围是
[-1，3]，即f(x)的值域是[-1，3].
【解题策略】画函数图象的两种常见方法
(1)描点法：
一般步骤：
①列表——先找出一些(有代表性的)自变量x，并计算出与这些自变量相对应的函数值f(x)，用表格的形式表示出来；
②描点——从表中得到一系列的点(x，f(x))，在坐标平面上描出这些点；
③连线——用光滑曲线把这些点按自变量由小到大的顺序连接起来.
(2)变换作图法：常用的有水平平移变换、竖直平移变换、翻折变换等.
【跟踪训练】
作出下列函数的图象并写出其值域.
(1)y=-x，x∈{0，1，-2，3}.
(2)y=
，x∈[2，+∞).
【解析】(1)列表
x
-2
0
1
3
y
2
0
-1
-3
函数图象只是四个点(-2，2)，(0，0)，(1，-1)，(3，-3)，其值域为
{0，-1，2，-3}.
(2)列表
x
2
3
4
…
y
1
…
当x∈[2，+∞)时，图象是反比例函数y=
的一部分，观察图象可知其值域为(0，1].
【拓展延伸】
关于图象变换的常见结论有哪些？
提示：(1)y=f(x)与y=f(-x)的图象关于y轴对称.
(2)y=f(x)与y=-f(x)的图象关于x轴对称.
(3)y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于点(0，0)对称.
(4)y=f(|x|)是保留y=f(x)的y轴右边的图象，去掉y轴左边的图象，且将右边图象沿y轴对折而成.
(5)y=|f(x)|是保留y=f(x)的x轴上方的图象，将x轴下方的图象沿x轴对折且去掉x轴下方的图象而成.
【拓展训练】
已知函数y=f(x)的图象如图所示，则函数y=f(|x|)的图象为
(　　)
【解析】选B.函数y=f(|x|)=
，x≥0时，函数y=f(|x|)的图象与
函数y=f(x)的图象相同，当x<0时，f(x)的图象与x>0时的图象关于y轴对称.
所以函数y=f(|x|)的图象为：
.
类型三　求函数的解析式(逻辑推理、数学运算)
　角度1　待定系数法?
【典例】一辆中型客车的营运总利润y(单位：万元)与营运年数x(x∈N)的变化关系如表所示，要使总利润达到最大值，则该客车的营运年数是_______，营运10年的总利润是_______万元.?
x/年
4
6
8
…
y是x的二次函数
7
11
7
…
【思路导引】由一元二次函数的对称性可得最大值时的年数；求出函数的解析式，计算营运10年的总利润.
【解析】由表格数据可知，f(4)=f(8)=7.f(6)>f(8)，则二次函数开口向下，且对称轴为x=6，根据二次函数的性质可知，当x=6时，营运总利润y最大为11；设y=a(x-6)2+11，则a(4-6)2+11=7，解得a=-1，所以当x=10时，y=-5.
答案：6　-5
　角度2　代入法?
【典例】若
则f(x)=_______.?
【思路导引】令t=1+
，换元求解析式.
【解析】设t=1+
，则t≠1，
=t-1，
因为
所以f(t)=(t-1)2-1=t2-2t，
所以f(x)=x2-2x，(x≠1).
答案：x2-2x，(x≠1)
【变式探究】
本例中若已知
，试求函数的解析式及定义域.
【解析】因为
=
-2，
令t=x+
，所以f(t)=t2-2，
因为x>0，所以t=x+
≥2
=2，
当且仅当x=1时等号成立，所以f(x)=x2-2(x≥2).
　角度3　解方程组法?
【典例】已知2f(x)+f(
)=3x，求f(x).
【思路导引】用
替换x，代入后消去f(
).
【解析】因为2f(x)+f(
)=3x，
用
替换x得2f(
)+f(x)=
，
消去f(
)得3f(x)=6x-
，所以f(x)=2x-
.
【解题策略】
1.待定系数法求解析式
根据已知的函数类型，设出函数的解析式，再根据条件求系数，常见的函数设法：
正比例函数
y=kx，k≠0
反比例函数
y=
，k≠0
一元一次函数
y=kx+b，k≠0
一元二次函数
一般式：y=ax2+bx+c，a≠0
顶点式：y=a(x-h)2+k，a≠0
两点式：y=a(x-x1)(x-x2)，a≠0
2.换元法求函数的解析式
已知复合函数f(g(x))的解析式，令t=g(x)，
当x比较容易解出时，可以解出x换元代入；
当x不容易解出时，可以考虑先构造，
如f(1+
)=x2+
=(x+
)2-2，令t=x+
，换元代入.
换元法还要注意换元t的范围.
3.解方程组法求函数的解析式
方程组法(消去法)，适用于自变量具有对称规律的函数表达式，如互为相反数的f(-x)，f(x)的函数方程，通过对称规律再构造一个关于f(-x)，f(x)的方程，联立解出f(x).
【题组训练】
1.已知函数φ(x)=f(x)+g(x)，其中f(x)是x的正比例函数，g(x)是x的反比例
函数，且φ(
)=16，φ(1)=8，则φ(x)的解析式为_______.?
【解析】设f(x)=mx(m≠0)，
g(x)=
(n≠0)，所以φ(x)=mx+
，
由φ(
)=16，φ(1)=8得
解得
故φ(x)=3x+
，x≠0.
答案：φ(x)=3x+
，x≠0
2.已知f(
)=
，那么f(x)=_______，定义域为_______.?
【解析】由f(
)=
可知，函数的定义域为{x|x≠0，x≠-1}，
用
替换x，代入上式得：f(x)=
答案：
{x|x≠0，x≠-1}
3.已知f(x)+2f(-x)=
，求f(x).
【解析】因为f(x)+2f(-x)=
，①
用-x替换x得f(-x)+2f(x)=-
，②
②×2-①得3f(x)=-
-
=-
，
所以f(x)=-
.
【补偿训练】
　　
已知f(x)满足f(x)=2f(
)+x，则f(x)的解析式为_______.?
【解析】因为f(x)=2f(
)+x，用
替换x得f(
)=2f(x)+
，
代入上式得f(x)=
解得f(x)=
.
答案：f(x)=
课堂检测·素养达标
1.如图是反映某市某一天的温度随时间变化情况的图象.由图象可知，下列说法中错误的是
(　　)
A.这天15时的温度最高
B.这天3时的温度最低
C.这天的最高温度与最低温度相差13℃
D.这天21时的温度是30℃
【解析】选C.这天的最高温度与最低温度相差为36-22=14(℃).
2.已知函数f(x)满足：f(
)=8x2-2x-1，则f(x)=(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.2x4+3x2
B.2x4-3x2
C.4x4+x2
D.4x4-x2
【解析】选A.令t=
，t≥0，得x=
，
故有f(t)=8×
-2×
-1，
整理得f(t)=2t4+3t2，即f(x)=2x4+3x2，x≥0.
3.(教材二次开发：复习巩固改编)已知函数f(x)=x-
，且此函数的图象过点(5，4)，则实数m的值为_______.?
【解析】因为函数f(x)=x-
的图象过点(5，4)，
所以4=5-
，解得m=5.
答案：5
4.已知函数y=f(x)的对应关系如表所示，函数y=g(x)的图象是如图的曲线ABC，其中A(1，3)，B(2，1)，C(3，2)，则f(g(2))的值为___________.?
x
1
2
3
f(x)
2
3
0
【解析】由函数g(x)的图象知，g(2)=1，
则f(g(2))=f(1)=2.
答案：2
5.作出下列函数的图象，并求其值域：
(1)y=1-x(x∈Z，且|x|≤2).
(2)y=2x2-4x-3(0≤x<3).
【解析】(1)因为x∈Z，且|x|≤2，所以x∈{-2，-1，0，1，2}，
所以该函数图象为直线y=1-x上的孤立点(如图①).
由图象知，y∈{-1，0，1，2，3}.
(2)因为y=2(x-1)2-5，所以当x=0时，y=-3；
当x=3时，y=3；当x=1时，y=-5.
因为x∈[0，3)，故图象是一段抛物线(如图②).
由图象可知，y∈[-5，3).(共42张PPT)
第2课时　分段函数
必备知识·自主学习
分段函数
(1)定义：像y=
这样的函数称为分段函数.
(2)本质：函数在定义域的不同的范围内，有着不同的对应关系.
(3)应用：可以用分段函数描述很多生活中的实际问题.
导思
用什么样的函数描述出租车随着行驶路程增加的计费多少？
【思考】
1.分段函数y=
是两个函数吗？
提示：分段函数是一个函数，只不过不同范围上解析式不同.
2.分段函数的定义域、值域是怎么规定的？
提示：定义域为各段范围的并集；值域为各段上值域的并集.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)分段函数中各段函数的定义域交集是空集，并集是分段函数的定义域.
(　　)
(2)函数y=|x+1|不是分段函数.
(　　)
(3)分段函数f(x)=
则f(-2)=-2.
(　　)
提示：(1)√.由分段函数的定义可知，此说法正确.
(2)×.函数y=|x+1|=
是分段函数.
(3)×.f(-2)=2×(-2)=-4.
2.若f(x)=
则f[f(-2)]=
(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.2
B.3
C.4
D.5
【解析】选C.因为-2<0，所以f(-2)=-(-2)=2，
又因为2>0，所以f[f(-2)]=f(2)=22=4.
3.(教材二次开发：练习改编)某城市出租车起步价为10元，最长可租乘
3
km(含3
km)，以后每1
km为1.6元(不足1
km，按1
km计费)，若出租车行驶在不需等待的公路上，则出租车的费用y(元)与行驶的里程x(km)之间的函数图象大致为
(　　)
【解析】选C.由题意，当0当3，y=10+1.6，
当4关键能力·合作学习
类型一　分段函数的求值(范围)问题(数学运算)
【题组训练】
1.设函数f(x)=
若f(a)=a，则实数a的值为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.±1
B.-1
C.-2或-1
D.±1或-2
2.已知f(x)=
使f(x)≥-1成立的x的取值范围是(　　)
A.[-4，2)
B.[-4，2]
C.(0，2]
D.(-4，2]
3.已知f(x)=
则不等式x+(x+2)·f(x+2)≤5的解集是(　　)
A.[-2，1]
B.(-∞，-2]
C.
D.
【解析】1.选B.由题意知，f(a)=a，
当a≥0时，有
a-1=a，解得a=-2，(不满足条件，舍去)；
当a<0时，有
=a，解得a=1(不满足条件，舍去)或a=-1.
所以实数a的值是-1.
2.选B.因为f(x)≥-1，所以
或
所以-4≤x≤0或03.选D.(1)当x+2≥0，即x≥-2时，f(x+2)=1.
由x+(x+2)·f(x+2)≤5可得x+x+2≤5，
所以x≤
，即-2≤x≤
；
(2)当x+2<0即x<-2时，f(x+2)=-1，
由x+(x+2)·f(x+2)≤5可得x-(x+2)≤5，
即-2≤5，所以x<-2.
综上不等式的解集为
.
【解题策略】1.分段函数求函数值的方法
(1)确定要求值的自变量属于哪一段区间.
(2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止.当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值.
2.已知函数值求字母取值(范围)的步骤
(1)先将字母分情况代入解析式，列出方程(不等式).
(2)解方程(不等式)求字母的值(范围)，并检验是否符合字母的取值范围.
(3)符合题意的所有值(范围的并集)即为所求.
【补偿训练】
　　
设f(x)=
则f(5)的值为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.10
B.11
C.12
D.13
【解析】选B.因为f(x)=
所以f(5)=f[f(11)]=f(9)=f[f(15)]=f(13)=11.
类型二　分段函数的表示方法及应用(数学运算、直观想象)
　角度1　求分段函数的解析式?
【典例】函数f(x)的图象如图所示，则函数f(x)=_____.?
【思路导引】由图象确定函数类型，待定系数法求解析式.
【解析】当x<-1时，设f(x)=ax+b，
则
解得
所以f(x)=x+2；
当-1≤x≤2时，设f(x)=kx2，由4=k·22得k=1，所以f(x)=x2；
当x>2时，设f(x)=cx+d，则
解得
所以f(x)=2x，
所以f(x)=
答案：
【变式探究】
本例中，若f(a)=
，求实数a的取值的集合.
【解析】当a<-1时，f(a)=a+2=
，
可得a=-
；
当-1≤a≤2时，f(a)=a2=
，可得a=±
；
当a>2时，f(a)=2a=
，
可得a=
(舍去)，
综上所述，a的取值构成的集合为
　角度2　分段函数图象的应用?
【典例】已知f(x)=-x+3，g(x)=
x+
，h(x)=x2-4x+3.
(1)在同一坐标系中画出函数f(x)，g(x)，h(x)的图象.
(2)?x∈R，令M(x)表示f(x)，g(x)，h(x)中的最大者，记作M(x)={f(x)，
g(x)，h(x)}，请分别利用图象法和解析法表示函数M(x)，并求M(x)的值域.
【思路导引】(1)利用描点法作三个函数在同一坐标系中的图象.
(2)根据M(x)的图象及定义解题.
【解析】(1)由题意可以画出函数f(x)=-x+3，g(x)=
x+
，h(x)=x2-4x+3在
同一坐标系下的图象：
(2)由图中函数的取值情况，结合函数M(x)的定义，可得M(x)的图象为：
结合图象得函数M(x)=
且最小值在x=1处取得，
最小值是2，故值域为[2，+∞).
【解题策略】
1.关于分段函数的求值(范围)
一是要分段求值或范围，二是求出的值和范围要符合本段的自变量取值范围.
2.关于分段函数图象的应用
首先要准确作出函数的图象，再根据图象的关系、条件的要求解题.
【题组训练】
1.函数f(x)=x+
的图象是
(　　)
【解析】选C.由题意得x≠0，当x>0时，f(x)=x+
=x+1；
当x<0时，f(x)=x-1，
根据一次函数图象可知C正确.
2.在平面直角坐标系xOy中，若直线y=2a与函数y=|x+1|-1的图象只有一个交
点，则a的值为_______.?
【解析】在同一平面直角坐标系内，作出函数y=2a与y=|x+1|-1的图象，
如图所示.
由题意，可知2a=-1，则a=-
.
答案：-
【补偿训练】
已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式是_______.?
【解析】由题图可知，
当-1≤x<0时，设f(x)=ax+b，将(-1，0)，(0，1)代入解析式，得
所以
即f(x)=x+1.
当0≤x≤1时，设f(x)=kx，将(1，-1)代入，得k=-1，即f(x)=-x.
综上，f(x)=
答案：f(x)=
类型三　分段函数在实际问题中的应用(数学建模)
【典例】1.(2020·南京高一检测)在股票买卖过程中，经常用到两种曲线：一种是即时价格曲线y=f(x)，另一种是平均价格曲线y=g(x).例如，f(2)=3是指开始买卖2小时的即时价格为3元；g(2)=3是指开始买卖2小时内的平均价格为3元.下图给出的四个图象中，实线表示y=f(x)，虚线表示y=g(x)，其中可能正确的是
(　　)
2.某地区的电力紧缺，电力公司为鼓励市民节约用电，采取按月用电量分段收费办法，若某户居民每月应交电费y(元)关于用电量x(度)的函数图象是一条折线(如图所示)，根据图象解下列问题：
(1)求y关于x的函数解析式.
(2)利用函数解析式，说明电力公司采取的收费标准.
(3)若该用户某月用电62度，则应交费多少元？若该用户某月交费105元，则该用户该月用了多少度电？
【解题导引】1.根据即时价格和平均价格的变化趋势判断.
2.先分段求出解析式，再利用解析式解题.
【解析】1.选A.开始时平均价格与即时价格一致，排除C，D，即时价格减少时，平均价格不可能增大，排除B.
2.(1)当0≤x≤100时，设函数解析式为y=kx.
将x=100，y=65代入，得k=0.65，所以y=0.65x.
当x>100时，设函数解析式为y=ax+b.
将x=100，y=65和x=130，y=89代入，
得
解得
所以y=0.8x-15.
综上可得y=
(2)由(1)知电力公司采取的收费标准为用户月用电量不超过100度时，每度电0.65元；超过100度时，超出的部分，每度电0.80元.
(3)当x=62时，y=62×0.65=40.3(元)；
当y=105时，因为0.65×100=65<105，故x>100，
所以105=0.8x-15，解得x=150.
即若用户月用电62度时，则用户应交费40.3元；若用户月交费105元，则该用户该月用了150度电.
【解题策略】分段函数应用问题的两个关注点
(1)应用情境
日常生活中的出租车计费、自来水费、电费、个人所得税的收取等，都是最简单的分段函数.
(2)注意问题
求解分段函数模型问题应明确分段函数的“段”一定要分得合理.
【跟踪训练】中国仓储指数是反映仓储行业经营和国内市场主要商品供求状况与变化趋势的一套指数体系.如图所示的折线图是2018年和2019年的中国仓储指数走势情况.根据该折线图，下列结论中不正确的是
(　　)
A.2019年1月至4月的仓储指数比2018年同期波动性更大
B.这两年的最大仓储指数都出现在4月份
C.2019年全年仓储指数平均值明显低于2018年
D.2019年各月仓储指数的中位数与2018年各月仓储指数中位数差异明显
【解析】选D.通过图象可看出，选项A，B，C的结论都正确，而选项D的结论错误.
课堂检测·素养达标
1.一列货运火车从某站出发，匀加速行驶一段时间后开始匀速行驶，过了一段时间，火车到达下一站停车，装完货以后，火车又匀加速行驶，一段时间后再次匀速行驶，下列图象可以近似地刻画出这列火车的速度变化情况的是
(　　)
【解析】选B.根据题意，知这列火车从静止开始匀加速行驶，所以排除A，D；然后匀速行驶一段时间后又停止了一段时间，排除C.
2.已知函数f(x)=
则f(2)=(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.-1
B.0
C.1
D.2
【解析】选A.f(2)=f(2-1)=f(1)=1-2=-1.
3.(教材二次开发：例题改编)国家规定个人稿费纳税办法：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4
000元的按超过800元部分的14%纳税；超过4
000元的按全部稿酬的11.2%纳税.已知某人出版一本书，共纳税420元，则这个人应得稿费(扣税前)为
(　　)
A.2
800元
B.3
000元
C.3
800元
D.3
818元
【解析】选C.设纳税额为y元，稿费(扣税前)为x元，
由题意，知纳税额y元与稿费(扣税前)x元之间的函数解析式为y=
由于此人纳税420元，所以当800000时，则(x-800)×0.14=420，
解得x=3
800，符合题意；
当x>4
000时，0.112x=420，解得x=3
750(舍去)，
故这个人应得稿费(扣税前)为3
800元.
4.已知函数f(x)=
若f(x)=3，则x=_______.?
【解析】依题意，若x≤0，则x+2=3，解得x=1，
不合题意，舍去；
若0(舍去)或x=
.
答案：
5.已知函数f(x)的图象是两条线段(如图所示，不含端点)，则
=_______.?
【解析】由题图可知，函数f(x)的解析式为f(x)=
所以
所以
答案：(共47张PPT)
第1课时　函数的单调性
必备知识·自主学习
1.函数的单调性
(1)定义
导思
1.怎样描述函数的图象上升、下降的性质？
2.什么是函数的单调区间？
函数
增函数
减函数
图示
条件
设函数f(x)的定义域为I，区间D?I：如果?x1，x2∈D，当x1都有___________
都有___________
结论
f(x)在区间D上单调_____
f(x)在区间D上单调_____
f(x1)f(x1)>f(x2)
递增
递减
(2)本质：函数的单调性反映的是两个变量的对应变换规律，定量地刻画了函数在区间上图象的变化趋势，是函数诸多性质中最核心、最本质的性质.
(3)应用：证明函数的单调性、比较大小、解不等式、求参数范围等.
【思考】函数单调性的定义中，能否将“?”改为“?”？
提示：不能，一些特殊的值满足并不能说明函数的单调性.
2.单调函数与函数的单调性
(1)单调函数：当函数在它的定义域上单调递增(减)时，就称它是增(减)函
数；
(2)单调性与单调区间：如果函数y=f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么
就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)_______，区间D叫做y=f(x)的_____
_____.
单调性
单调
区间
【思考】
函数y=f(x)在定义域内的每一个区间D1，D2，…上都单调递减，那么函数在定
义域上是减函数吗？你能举例说明吗？
提示：不是.如函数y=
在(-∞，0)，(0，+∞)上都单调递减，但在定义域上
不具有单调性.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)函数f(x)=x2，因为-1<2，且f(-1)(　　)
(2)函数f(x)=
在(-∞，0)∪(0，+∞)上是减函数.
(　　)
(3)函数f(x)在某一区间D上要么是单调递增要么是单调递减.
(　　)
提示：(1)×.函数f(x)=x2在R上不具有单调性.
(2)×.函数f(x)=
的减区间为(-∞，0)，(0，+∞)，不能用“并”表示.
(3)×.常数函数不具有严格的单调性.
2.函数y=f(x)的图象如图所示，其减区间是
(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.[-4，4]
B.[-4，-3]∪[1，4]
C.[-3，1]
D.[-4，-3]，[1，4]
【解析】选D.由图象知函数在[-4，-3]以及[1，4]上单调递减，则对应的减区间为[-4，-3]，[1，4].
3.(教材二次开发：例题改编)若函数f(x)=(2k-1)x+1是减函数，则实数k的取值范围是_______.?
【解析】由题意知，2k-1<0，解得k<
.
答案：
关键能力·合作学习
类型一　利用图象求函数的单调区间(数学抽象、直观想象)
【题组训练】
1.(2020·龙岩高一检测)图中是定义在区间[-5，5]上的函数y=f(x)，则下列关于函数f(x)的说法错误的是
(　　)
A.函数在区间[-5，-3]上单调递增
B.函数在区间[1，4]上单调递增
C.函数在区间[-3，1]∪[4，5]上单调递减
D.函数在区间[-5，5]上没有单调性
2.(2020·海淀高一检测)下列函数中，在区间(0，1)上单调递增的是(　　)
A.y=|x|-2
B.y=|x-3|
C.y=
D.y=-x2
3.(2020·周口高一检测)函数y=|x|(1-x)在区间A上单调递减，那么区间A
是
(　　)
A.(-∞，0)
B.
C.[0，+∞)
D.(-∞，0)，
【解析】1.选C.若一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接.
2.选A.根据题意，依次分析选项：
对于A，y=|x|-2=
在区间(0，1)上单调递增，符合题意；
对于B，y=|x-3|=
在区间(0，1)上单调递减，不符合题意；
对于C，y=
，在区间(0，1)上单调递减，不符合题意；
对于D，y=-x2，在区间(0，1)上单调递减，不符合题意.
3.选D.y=|x|(1-x)=
再结合二次函数图象可知函数y=|x|(1-x)的单调递减区间是(-∞，0)，
【解题策略】图象法求函数单调区间的步骤
(1)作图：作出函数的图象.
(2)结论：上升图象对应单调递增区间，下降图象对应单调递减区间.
【补偿训练】
　　
画出函数y=|x|(x-2)的图象，并指出函数的单调区间.
【解析】y=|x|(x-2)=
函数的图象如图所示.
由函数的图象知：函数的单调递增区间为
(-∞，0]和[1，+∞)，单调递减区间为[0，1].
类型二　利用定义证明函数的单调性(数学抽象、逻辑推理)
【典例】证明函数f(x)=
在区间(2，+∞)上单调递减.
四步
内容
理解
题意
条件：函数f(x)=
，x∈(2，+∞)
结论：函数f(x)在(2，+∞)上单调递减
思路
探求
任取x1，x2∈(2，+∞)，且x1f(x2)?函数在(2，+∞)上单调递减
四步
内容
书写
表达
因为20，
所以f(x1)-f(x2)>0，即f(x1)>f(x2).
所以函数f(x)=
在(2，+∞)上单调递减.
注意书写的规范性：
①x1，x2取值任意且分大小；②变形是解题关键.
题后
反思
利用定义法证明函数单调性的关键是作差之后的变形，且变形的结果是几个因式乘积的形式.
【解题策略】利用定义证明函数单调性的步骤
【题组训练】
(2020·哈尔滨高一检测)求证：函数f(x)=-
-1在区间(-∞，0)上单调递增.
【证明】?x1，x2∈(-∞，0)，且x1因为f(x1)-f(x2)=
由题设可得，x1-x2<0，x1·x2>0，
所以f(x1)-f(x2)<0，即f(x1)故函数f(x)=-
-1在区间(-∞，0)上单调递增.
【拓展延伸】
1.性质法判断函数的单调性
(1)当f(x)>0时，函数y=
与y=f(x)的单调性相反，对于f(x)<0也成立.
(2)在公共定义域内，两增函数的和仍为增函数，增函数减去一个减函数所得的函数为增函数.
(3)函数f(x)与f(x)+c(c为常数)具有相同的单调性.
(4)当c>0时，函数f(x)与cf(x)具有相同的单调性；
当c<0时，函数f(x)与cf(x)具有相反的单调性.
2.函数y=x+
(a≠0)的单调性
(1)若a>0，函数y=x+
的图象如图1所示，
则函数y=x+
的单调增区间是(-∞，-
]和[
，+∞)，单调减区间是
(-
，0)和(0，
).
(2)若a<0，其图象如图2所示，
函数y=x+
在(-∞，0)和(0，+∞)上均单调递增，即y=x+
的单调增区间
为(-∞，0)和(0，+∞).
【拓展训练】
(2020·杭州高一检测)函数y=2x+
的单调递增区间为_______.?
【解析】y=2
，由对勾函数的图象可知，
单调递增区间为(-∞，-
)和(
，+∞).
答案：(-∞，-
)和(
，+∞)
类型三　函数单调性的简单应用(数学抽象、逻辑推理)
　角度1　利用单调性解不等式?
【典例】(2020·佛山高一检测)函数f(x)在[0，+∞)上单调递减，且f(2)=
-1，则满足f(2x-4)>-1的实数x的取值范围是
(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.(3，+∞)
B.(-∞，3)
C.[2，3)
D.[0，3)
【思路导引】从定义域，单调性两个方面列不等式求范围.
【解析】选C.因为f(2)=-1，
所以由f(2x-4)>-1得，f(2x-4)>f(2)，
且f(x)在[0，+∞)上单调递减，
所以0≤2x-4<2，解得2≤x<3，
所以满足f(2x-4)>-1的实数x的取值范围是[2，3).
【变式探究】
本例的条件若改为“单调递增”，试求x的取值范围.
【解析】因为f(2)=-1，
所以由f(2x-4)>-1，得f(2x-4)>f(2)，
又f(x)在[0，+∞)上单调递增，
所以2x-4>2，解得x>3.
　角度2　分段函数的单调性?
【典例】(2020·宜春高一检测)已知函数f(x)=
是增函数，则实数a的取值范围是_______.?
【思路导引】分别考查x≥1，x<1，分界点三个方面的因素求范围.
【解析】因为函数f(x)=
在(-∞，+∞)上单调递增，
又函数y=
ax2-ax-1的对称轴为x=1，
所以
解得-
≤a<0.
答案：
【解题策略】
1.解抽象函数不等式问题的方法
利用函数的单调性解不等式主要依据函数单调性的定义和性质，将符号“f
”脱掉，列出关于未知量的不等式(组)，然后求解，要注意函数的定义域.
2.分段函数的单调性
首先分析每段上的单调性，其次是分界点处函数值的大小，如果是增函数，则分界点左侧值小于等于右侧值，如果是减函数，则分界点左侧值大于等于右侧值.
【题组训练】
1.(2020·沈阳高一检测)f(x)=x|x|，若f(2m+1)+f(1-m)>0，则m的取值范围是
(　　)
A.(-∞，-1)
B.(-∞，-2)
C.(-1，+∞)
D.(-2，+∞)
【解析】选D.因为f(x)=x|x|=
所以f(x)在R上是增函数，且f(-x)=-f(x)，
所以由f(2m+1)+f(1-m)>0得，f(2m+1)>f(m-1)，所以2m+1>m-1，解得m>-2，
所以m的取值范围为(-2，+∞).
2.定义域在R上的函数f(x)满足对任意的x1，x2∈R，且x1≠x2，都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0，则有
(　　)
A.f(-2)B.f(1)C.f(3)D.f(3)【解析】选A.因为对任意的x1，x2∈R，且x1≠x2，
都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0，
当x1即f(x1)当x1>x2时，x1-x2>0，则f(x1)-f(x2)>0，即f(x1)>f(x2).
可得函数f(x)是在R上的增函数，
所以f(-2)3.已知函数f(x)=
是定义在R上的减函数，则实数a的取
值范围是_______.?
【解析】根据题意，函数f(x)=
是R上的减函数，必有
≥1，且a-4<0，且1-(a+1)+7≥(a-4)+5，解得1≤a≤3，即a的取值范围
为[1，3].
答案：[1，3]
【补偿训练】
(2020·无锡高一检测)已知f(x)=x2-(m+2)x+2在[1，3]上单调，则实数m的取
值范围为_______.?
【解析】根据题意，f(x)=x2-(m+2)x+2为二次函数，其对称轴为x=
，
因为f(x)在[1，3]上单调，则有
≤1或
≥3，解得m≤0或m≥4，
即m的取值范围为m≤0或m≥4.
答案：m≤0或m≥4
【典例备选】抽象函数的单调性(数学抽象、逻辑推理)
【典例】(2020·抚顺高一检测)函数f(x)对任意的m，n∈R，都有f(m+n)=f(m)+f(n)-1，并且x>0时，恒有f(x)>1.
(1)求证：f(x)是增函数.
(2)若f(3)=4，解不等式f(a2+a-5)<2.
【思路导引】(1)按照单调性的定义，构造f(x2)-f(x1)，再判断符号.
(2)将2化为f(x0)的形式，再利用单调性解不等式.
【解析】(1)设x1，x2∈R，且x10，
所以f(x2-x1)>1，f(x2)-f(x1)=f((x2-x1)+x1)-f(x1)
=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)>0，
即f(x2)>f(x1)，所以f(x)是R上的增函数.
(2)因为m，n∈R，不妨设m=n=1，
所以f(1+1)=f(1)+f(1)-1，即f(2)=2f(1)-1，f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)-1=2f(1)-1+f(1)-1=3f(1)-2=4，所以f(1)=2.
所以f(a2+a-5)所以a2+a-5<1，得-3即a∈(-3，2).
【解题策略】关于抽象函数的单调性证明
(1)证明抽象函数的单调性的根本还是单调性的定义，要围绕构造定义式展开思维.
(2)构造定义式的依据是已知的抽象函数的性质关系式，需要灵活进行自变量的赋值、拆分、组合，直到构造出f(x1)-f(x2)，再利用已知条件展开化简.
【跟踪训练】
若f(x)的定义域为(0，+∞)，当00，满足
f(
)=f(x)-f(y).
(1)证明函数f(x)是增函数.
(2)若f(6)=1，解不等式f(x+3)-f(
)<2.
【解析】(1)因为当0?x1，x2∈(0，+∞)，x1<1，
f(x1)-f(x2)=f(
)<0，所以f(x1)所以函数f(x)是增函数.
(2)因为f(6)=1，所以2=1+1=f(6)+f(6)，
所以不等式f(x+3)-f(
)<2，
等价为不等式f(x+3)-f(
)所以f(3x+9)-f(6)即f(
)因为f(x)在(0，+∞)上单调递增，所以
解得-3课堂检测·素养达标
1.函数y=|x|-1的单调递减区间为
(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.(0，+∞)
B.(-∞，0)
C.(-∞，-1)
D.(-1，+∞)
【解析】选B.当x≥0时，y=|x|-1=x-1，此时函数为增函数，
当x<0时，y=|x|-1=-x-1，此时函数为减函数，
即函数的单调递减区间为(-∞，0).
2.函数y=f(x)的图象如图所示，则f(x)的单调减区间是
(　　)
A.(0，1)
B.(-∞，1)
C.
D.(-∞，3)
【解析】选A.由图象可知减区间为(0，1).
3.(教材二次开发：练习改编)函数y=
在(0，+∞)上单调递增，则k的取
值范围是
(　　)
A.k≥1
B.k≤1
C.k>1
D.k<1
【解析】选D.k-1>0时，
由y=
可知，在区间(-∞，0)，(0，+∞)上单调递减，不合题意；
当k-1<0时，由y=
可知，在区间(-∞，0)，(0，+∞)上单调递增，故k<1.
4.若f(x)是减函数，且f(3x-2)【解析】函数的定义域为R.由条件可知，3x-2>3，
解得x>
.
答案：
5.函数f(x)=2x2-3|x|的单调递增区间是_______.?
【解析】函数f(x)=2x2-3|x|=
的图象如图所示，
故它的单调递增区间为
答案：(共52张PPT)
第2课时　函数的最大值、最小值
必备知识·自主学习
　函数的最大值和最小值
(1)定义：
前
提
设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M(m)
条
件
①?x∈I，都有________
②?x0∈I，使得_______
①?x∈I，都有________
②?x0∈I，使得_______
结
论
称M是函数y=f(x)的最大值
称m是函数y=f(x)的最小值
f(x)≤M
f(x)≥m
f(x0)=M
f(x0)=m
(2)本质：函数图象上最高点的纵坐标即为最大值；最低点的纵坐标即为最小值.
(3)应用：求函数的值域，参数的范围，解决实际问题.
【思考】
函数f(x)=-x2的定义域为R，存在实数1，?x∈R，都有f(x)≤1.那么1是函数f(x)=-x2的最大值吗？为什么？
提示：不是.因为不存在x0∈R，使得f(x0)=
=1.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)任何函数都有最大值、最小值.
(　　)
(2)如果一个函数有最大值，那么最大值是唯一的.
(　　)
(3)如果一个函数f(x)在区间[a，b]上单调递减，那么函数的最大值是f(b).
(　　)
提示：(1)×.如函数y=
既没有最大值，也没有最小值.
(2)√.函数的最大值是唯一的.
(3)×.最大值为f(a).
2.函数f(x)=x2-3x(|x|<1)
(　　)
A.有最大值，但无最小值
B.有最大值，也有最小值
C.无最大值，但有最小值
D.既无最大值，也无最小值
【解析】选D.f(x)=x2-3x是开口向上的抛物线，其对称轴方程为x=
，
则函数f(x)在(-1，1)上单调递减，所以函数f(x)=x2-3x(|x|<1)既无最大值，
也无最小值.
3.(教材二次开发：练习改编)函数y=
在区间[2，6]上的最大值、最小值分
别是
(　　)
【解析】选A.因为y=
在[2，6]上单调递减，
所以当x=2时取最大值y=1；
当x=6时取最小值y=
.
关键能力·合作学习
类型一　利用函数的图象求函数的最值(直观想象)
【题组训练】
1.函数f(x)在区间[-2，5]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是
(　　)
A.-2，f(2)
B.2，f(2)
C.-2，f(5)
D.2，f(5)
2.已知函数f(x)=
则f(x)的最大值、最小值分别为_______，
_______.?
3.(2020·汉中高一检测)已知函数f(x)=
(1)在如图所示给定的直角坐标系内画出f(x)的图象.
(2)由图象指出当x取什么值时f(x)有最值.
【解析】1.选C.由函数的图象可知，最小值为-2，最大值为f(5).
2.作出函数f(x)的图象(如图).由图象可知，当x=±1时，f(x)取最大值为
f(±1)=1；
当x=0时，f(x)取最小值f(0)=0，
故f(x)的最大值为1，最小值为0.
答案：1　0
3.(1)由题意知，当x∈[-1，2]时，
f(x)=-x2+3，为二次函数的一部分；
当x∈(2，5]时，f(x)=x-3，为一次函数的一部分；
所以，函数f(x)的图象如图所示：
(2)由图象可知，当x=0时f(x)有最大值3；
当x=2时，f(x)min=-1.
【解题策略】
图象法求最值的步骤
【补偿训练】
已知函数f(x)=
求函数f(x)的最大值、最小值.
【解析】作出f(x)的图象如图：由图象可知，
当x=2时，f(x)取最大值为2；
当x=
时，f(x)取最小值为
.
所以f(x)的最大值为2，最小值为
.
类型二　利用单调性求函数的最值(数学运算)
【典例】(2020·石嘴山高一检测)已知函数f(x)=
.
(1)用定义证明f(x)在区间[3，+∞)上单调递增.
(2)求该函数在区间[3，5]上的最大值与最小值.
四步
内容
理解
题意
条件：f(x)=
.
结论：(1)判断并证明单调性；
(2)求区间[3，5]上的最值.
思路
探求
利用定义证明函数的单调性，利用单调性求最值.
【解题策略】
1.利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤
(1)判断函数的单调性.
(2)利用单调性求出最大(小)值.
2.函数的最大(小)值与单调性的关系
(1)若函数f(x)在区间[a，b]上单调递增(减)，则f(x)在区间[a，b]上的最小(大)值是f(a)，最大(小)值是f(b).
(2)若函数f(x)在区间[a，b]上单调递增(减)，在区间[b，c]上单调递减(增)，则f(x)在区间[a，c]上的最大(小)值是f(b)，最小(大)值是f(a)与f(c)
中较小(大)的一个.
【跟踪训练】
设函数f(x)=
.
(1)判断函数f(x)在(0，+∞)上的单调性并用定义加以证明.
(2)求函数f(x)在区间[2，5]上的最大值与最小值.
【解析】(1)函数f(x)在(0，+∞)上单调递增，证明如下：
?x1，x2∈(0，+∞)，且x1则f(x1)-f(x2)=
因为00，
所以f(x1)-f(x2)<0，即f(x1)所以函数f(x)在(0，+∞)上单调递增.
(2)由(1)可知函数f(x)在[2，5]上单调递增，
所以f(x)max=f(5)=
，f(x)min=f(2)=
.
类型三　常见的最值问题(数学运算、数学建模)
　角度1　换元法求最值?
【典例】(2020·启东高一检测)函数f(x)=
的最小值为
(　　)
A.0
B.
C.-1
D.
【思路导引】令t=
，转化为二次函数求最值.
【解析】选C.设
=t，t≥0，则x=t2-1，
解析式化为y=
t2-t-
(t-1)2-1，t≥0，
所以t=1时，原函数的最小值为-1.
　角度2　基本不等式求最值?
【典例】(2020·杭州高一检测)已知x<3，则f(x)=
+x的最大值是(　　)
A.-1
B.1
C.4
D.7
【思路导引】利用基本不等式求最值.
【解析】选A.因为x<3，所以x-3<0，
所以
+x=
+(x-3)+3≤
-2
+3=-1，
当且仅当
=x-3，即x=1时取等号.
故f(x)的最大值为-1.
　角度3　含参数的最值问题?
【典例】已知函数f(x)=-x2+ax-
+1(a∈R).
若函数f(x)在区间[-1，1]上的最大值为g(a)，求g(a)的解析式，并求其最小
值.
【思路导引】求出函数的对称轴，讨论对称轴与区间的位置关系求最值.
【解析】f(x)=-x2+ax-
+1的对称轴为x=
，
(1)当
≥1即a≥2时，f(x)在[-1，1]上递增，可得g(a)=f(1)=
，且g(a)
的最小值为g(2)=1.
(2)当
≤-1即a≤-2时，f(x)在[-1，1]上递减，可得g(a)=f(-1)=-
a，
此时g(a)的最小值为g(-2)=3.
(3)当-1<
<1，即-2+1，
此时，当a=1时g(a)取得最小值
，
综上可得g(a)=
且g(a)的最小值为
.
【变式探究】
将本例的函数改为f(x)=x2-2ax+1，试求函数在区间[0，2]上的最大值.
【解析】函数的对称轴为x=a，
当a≤1时，f(x)max=f(2)=5-4a；
当a>1时，f(x)max=f(0)=1，
所以f(x)max=
　角度4　实际应用问题?
【典例】(2020·丰台高一检测)由历年市场行情知，从11月1日起的30天内，
某商品每件的销售价格P(元)与时间t(天)的函数关系是P=
日销售量Q(件)与时间t(天)的函数关系是Q=-t+40(t≤30，t∈N
).
(1)设该商品的日销售额为y元，请写出y与t的函数关系式.
(2)求该商品的日销售额的最大值，并指出哪一天的销售额最大？
【思路导引】(1)根据商品的日销售额=该商品每件的销售价格×日销售量列出关系式.
(2)利用函数的最值解题.
【解析】(1)当t<25，t∈N
时，y=(t+20)(-t+40)=-t2+20t+800，
当25≤t≤30，t∈N
时，y=45(-t+40)=-45t+1
800.
所以y=
(2)当0时，y=-t2+20t+800=-(t-10)2+900，
故当t=10时，y有最大值900；
当25≤t≤30，t∈N
时，y=-45t+1
800为减函数，
故当t=25时，y有最大值675，故所求日销售额的最大值为900元，11月10日日
销售额最大.
【解题策略】
1.多种方法求函数的最值
首先由函数解析式的特征确定求最值的方法，灵活应用解不等式、换元法、单调性求最值.
2.含参数的一元二次函数的最值
以一元二次函数图象开口向上、对称轴为x=m为例，区间为[a，b]
(1)最小值：f(x)min=
(2)最大值：f(x)max=
当开口向下、区间是闭区间时，用类似方法进行讨论，其实质是讨论对称轴
与区间的位置关系.
3.应用性问题的解决方法
对于应用性问题，首先将问题利用一元二次函数表示，再利用配方法求最值.
【跟踪训练】
在充分竞争的市场环境中，产品的定价至关重要，它将影响产品的销量，进
而影响生产成本、品牌形象等.某公司根据多年的市场经验，总结得到了其生
产的产品A在一个销售季度的销量y(单位：万件)与单件售价x(单位：元)之间
满足函数关系y=
A的单件成本C(单位：元)与销量y之间满足
函数关系C=
.
(1)当产品A的单件售价在什么范围内时，能使得其销量不低于5万件？
(2)当产品A的单件售价为多少时，总利润最大？(注：总利润=销量×(单件售价-单件成本))
【解析】(1)由y≥5得，
或
解得，6≤x≤16或16时，其销量y不低于5万件.
(2)由题意知，总利润L=y·
=xy-30=
①当6≤x≤16时，L=-
(x-14)2+68≤68，
所以x=14时最大值为68.
②当16所以当产品A的单件售价为14元时，总利润最大.
【补偿训练】
(2020·张家界高一检测)某公司生产某种皮包成本为40元/个，出厂价为60元/个，日销售量为1
000个.为适应市场需求，公司决定提高该款皮包档次，适度增加成本.若每个皮包成本增加的百分率为x(0(1)若假设增加成本后的日销售利润为y元，求y与x的函数关系.
(2)求日销售利润的最大值.
【解析】(1)增加成本后的日销售利润为：
y=[60(1+0.5x)-40(1+x)]×1
000(1+0.6x)
=-6
000x2+2
000x+20
000，(0(2)因为y=-6
000x2+2
000x+20
000
=-2
000(3x2-x-10)，
对称轴x=
，所以ymax=
，
所以日销售利润的最大值为
元.
函数的最大
值、最小值
核心知识
方法总结
易错提醒
核心素养
最值M一定是一个函数值，是值域中的一个元素
在利用单调性求最值时，勿忘求函数的定义域
直观想象：通过数形结合法求函数最大值与最小值，培养直观想象的核心素养
函数最值的求法
(1)图象法：对已知函数图象的用此法.
(2)配方法：对二次或通过换元得到的二次型函数适用
(3)单调性法：适用于可判断在闭区间上单调的函数
求解方法
概念
最大值
最小值
课堂检测·素养达标
1.函数y=
在[2，3]上的最小值为
(　　)
A.1
B.
C.
D.
【解析】选B.y=
在[2，3]上单调递减，
所以x=3时取最小值为
.
2.函数f(x)的图象如图，则其最大值、最小值分别为
(　　)
A.
B.f(0)，
C.
，f(0)
D.f(0)，f(3)
【解析】选B.观察函数图象，f(x)的最
大值、最小值分别为f(0)，
.
3.函数y=
的最大值是
(　　)
A.3
B.4
C.5
D.6
【解析】选B.函数y=
的图象如图所示：
由图可得函数y=
的最大值是4.
4.当0≤x≤2时，a<-x2+2x恒成立，则实数a的取值范围是
(　　)
A.(-∞，1]
B.(-∞，0]
C.(-∞，0)
D.(0，+∞)
【解析】选C.令f(x)=-x2+2x，
则f(x)=-x2+2x=-(x-1)2+1.
又因为x∈[0，2]，所以f(x)min=f(0)=f(2)=0.
所以a<0.
5.(教材二次开发：练习改编)函数f(x)=
在[1，b](b>1)上的最小值是
，则b=_____.?
【解析】因为f(x)在[1，b]上单调递减，
所以f(x)在[1，b]上的最小值为f(b)=
所以b=4.
答案：4(共38张PPT)
3.2.2　奇
偶
性
第1课时　函数奇偶性的概念
必备知识·自主学习
函数的奇偶性
(1)奇偶性：
奇偶性
偶函数
奇函数
条件
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果?x∈I，都有-x∈I
结论
f(-x)=_____
f(-x)=
______
图象
特点
关于____对称
关于_____对称
f(x)
-f(x)
y轴
原点
(2)本质：奇偶性是函数对称性的表示方法.
(3)应用：奇偶性是函数的“整体”性质，只有对其定义域内的每一个x，都有f(-x)=-f(x)[或f(-x)=f(x)]，才能说f(x)是奇(偶)函数.
【思考】
具有奇偶性的函数，其定义域有何特点？
　提示：定义域关于原点对称.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)对于函数y=f(x)，若存在x，使f(-x)=-f(x)，则函数y=f(x)一定是奇函数.
(　　)
(2)若函数的定义域关于原点对称，则这个函数不是奇函数就是偶函数.
(　　)
(3)奇函数的图象一定过(0，0).
(　　)
提示：(1)×.奇函数、偶函数的定义都要求对于定义域内的任意x.
(2)×.函数的奇偶性可分为奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数.
(3)×.奇函数的图象不一定过原点，例如函数y=
.
2.下列图象表示的函数具有奇偶性的是
(　　)
【解析】选B.B选项的图象关于y轴对称，是偶函数，其余选项都不具有奇偶性.
3.(教材二次开发：例题改编)下列函数为奇函数的是
(　　)
A.y=|x|
B.y=3-x
C.y=
D.y=-x2+14
【解析】选C.A、D两项，函数均为偶函数，B项中函数为非奇非偶函数，而C项
中函数为奇函数.
关键能力·合作学习
类型一　函数奇偶性的判断(逻辑推理、数学运算)
【题组训练】
1.函数f(x)=
的奇偶性是
(　　)
A.奇函数
B.偶函数
C.非奇非偶函数
D.既奇又偶函数
2.函数f(x)=
的奇偶性是
(　　)
A.奇函数
B.偶函数
C.非奇非偶函数
D.既奇又偶函数
3.函数f(x)=
的奇偶性是
(　　)
A.奇函数
B.偶函数
C.非奇非偶函数
D.既奇又偶函数
【解析】1.选D.由
得x2=1，即x=±1.因此函数的定义域为{-1，1}，
关于原点对称.
又f(1)=f(-1)=-f(-1)=0，
所以f(x)既是奇函数又是偶函数.
2.选A.函数f(x)的定义域为R，关于原点对称.
f(-x)=
即f(-x)=
于是有f(-x)=-f(x).所以f(x)为奇函数.
3.选C.由
知x>1，定义域不关于原点对称，故f(x)为非奇非偶函数.
【解题策略】
判断函数奇偶性的方法
(1)定义法：根据函数奇偶性的定义进行判断.步骤如下：
①判断函数f(x)的定义域是否关于原点对称.若不对称，则函数f(x)为非奇非偶函数，若对称，则进行下一步.
②验证.f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x).
③下结论.若f(-x)=-f(x)，则f(x)为奇函数；
若f(-x)=f(x)，则f(x)为偶函数；
若f(-x)≠-f(x)，且f(-x)≠f(x)，则f(x)为非奇非偶函数.
(2)图象法：f(x)是奇(偶)函数的等价条件是f(x)的图象关于原点(y轴)对称.
【补偿训练】
下列函数中是偶函数的有_______.(填序号)?
①f(x)=x3；②f(x)=|x|+1；③f(x)=
；
④f(x)=x+
；⑤f(x)=x2，x∈[-1，2].
【解析】对于①，f(-x)=-x3=-f(x)，则为奇函数；对于②，f(-x)=|-x|+
1=|x|+1=f(x)，则为偶函数；对于③，定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，
f(-x)=
=f(x)，则为偶函数；
对于④，定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，
f(-x)=-x-
=-f(x)，则为奇函数；
对于⑤，定义域为[-1，2]，不关于原点对称，不具有奇偶性，则为非奇非偶
函数.
答案：②③
类型二　奇偶函数的图象问题(直观想象)
【典例】已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)=x2+2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示.
(1)请补出完整函数y=f(x)的图象.
(2)根据图象写出函数y=f(x)的递增区间.
(3)根据图象写出使y=f(x)<0的x的取值范围.
【思路导引】根据偶函数的图象关于y轴对称，补全函数图象，增函数的图象是上升的，求出单调递增区间，f(x)<0是指的函数图象位于x轴下方的部分.
【解析】(1)由题意作出函数图象如图：
(2)据图可知，单调递增区间为(-1，0)，(1，+∞).
(3)据图可知，使f(x)<0的x的取值范围为(-2，0)∪(0，2).
【解题策略】
巧用奇偶性作函数图象的步骤
(1)确定函数的奇偶性.
(2)作出函数在[0，+∞)(或(-∞，0])上对应的图象.
(3)根据奇(偶)函数关于原点(y轴)对称得出在(-∞，0](或[0，+∞))上对应的函数图象.
【跟踪训练】
已知奇函数f(x)的定义域为[-5，5]，且在区间[0，5]上的图象如图所示.
(1)画出在区间[-5，0]上的图象.
(2)写出使f(x)<0的x的取值范围.
【解析】(1)因为函数f(x)是奇函数，所以y=f(x)在[-5，5]上的图象关于原
点对称.
由y=f(x)在[0，5]上的图象，可知它在[-5，0]上的图象，如图所示.
(2)由图象知，使f(x)<0的x的取值范围为(-2，0)∪(2，5).
类型三　利用函数奇偶性求值(数学运算、逻辑推理)
　角度1　利用函数的奇偶性求参数?
【典例】若函数f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数，定义域为[a-1，2a]，则a=_______，b=_______.?
【思路导引】根据f(x)是偶函数，得到定义域关于原点对称，求出a的值，再根据函数图象关于y轴对称，求出b的值.
【解析】因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a-1=-2a，解得a=
.又函
数f(x)=
x2+bx+b+1为二次函数，结合偶函数图象的特点，易得b=0.
答案：
　0
　角度2　利用函数的奇偶性求函数值?
【典例】已知f(x)=x7-ax5+bx3+cx+2，若f(-3)=-3，则f(3)=_______.?
【思路导引】根据f(x)的解析式发现f(x)为非奇非偶函数，设一个新函数g(x)，根据新函数的奇偶性求出f(3)的值.
【解析】令g(x)=x7-ax5+bx3+cx，则g(x)是奇函数，
所以f(-3)=g(-3)+2=-g(3)+2，
又f(-3)=-3，所以g(3)=5.
又f(3)=g(3)+2，所以f(3)=5+2=7.
答案：7
【解题策略】
已知函数的某一个值，求对应的函数值时，常利用函数的奇偶性或部分函数的奇偶性求值.
【题组训练】
1.已知函数f(x)=x2+(2-m)x+m2+12为偶函数，则m的值是
(　　)
A.4
B.3
C.2
D.1
【解析】选C.因为函数f(x)=x2+(2-m)x+m2+12为偶函数，所以f(x)=f(-x)，即x2+(2-m)x+m2+12=(-x)2-(2-m)x+m2+12，即4-2m=0，所以m=2.
2.若f(x)=(x+a)(x-4)为偶函数，则实数a=_______.?
【解析】方法一：f(x)=(x+a)(x-4)=x2+(a-4)x-4a，f(-x)=(-x+a)(-x-4)=x2-(a-4)x-4a，两式恒相等，则a-4=0，即a=4.
方法二：f(x)=(x+a)(x-4)=x2+(a-4)x-4a，要使函数为偶函数，只需多项式的奇次项系数为0，即a-4=0，则a=4.
答案：4
3.已知y=f(x)是奇函数，当x<0时，f(x)=x2+ax，且f(3)=6，则a的值为_______.?
【解析】因为f(x)是奇函数，所以f(-3)=-f(3)=-6，所以(-3)2+a×(-3)=-6，解得a=5.
答案：5
核心知识
方法总结
易错提醒
核心素养
既奇又偶函数
奇函数
偶函数
定义
定义域特征
非奇非偶函数
图象特征
函数奇偶性的几个结论:
(1)若奇函数在原点处有定义，则必有f(0)=0,有时可用这个结论来否定个函数为奇函数
(2)若函数(x)为偶函数，则f(x)=f(|x|)=f(-x)
(3)
偶±偶=偶，奇±奇=奇，偶×偶=奇×奇=偶，奇×偶=奇
（1）判断函数奇偶性第一步，
先判断函数定义域是否关于原点对称
（2）注意函数的奇偶性与单调性关系在比较大小中的应用
直观想象：研究函数奇偶性，通过运用函数图象利用数形结合思想解决问题，培养直观想象的核心素养
课堂检测·素养达标
1.设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f(x)=x2-
x，则f(1)=(　　)
【解析】选A.因为f(x)是定义在R上的奇函数，
所以f(1)=-f(-1)=
.
2.设f(x)是定义在R上的一个函数，则函数F(x)=f(x)-f(-x)在R上一定(　　)
A.是奇函数
B.是偶函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.既不是奇函数又不是偶函数
【解析】选A.F(-x)=f(-x)-f(x)
=-[f(x)-f(-x)]=-F(x)，符合奇函数的定义.
3.(教材二次开发：练习改编)如图，给出奇函数y=f(x)的局部图象，则
f(-2)+f(-1)的值为
(　　)
A.1
B.0
C.-2
D.2
【解析】选C.由题图知f(1)=
，f(2)=
，
又f(x)为奇函数，所以f(-2)+f(-1)=-f(2)-f(1)=
=-2.
4.定义在R上的偶函数f(x)在(0，+∞)上单调递增，则
(　　)
A.f(3)B.f(-π)C.f(3)D.f(-4)【解析】选C.因为f(x)在R上是偶函数，
所以f(-π)=f(π)，f(-4)=f(4).
而3<π<4，且f(x)在(0，+∞)上单调递增，
所以f(3)5.已知函数f(x)=
是定义在(-1，1)上的奇函数，则常数m，n的值分
别为_______.?
【解析】由题意知f(0)=0，故得m=0.由f(x)是奇函数知f(-x)=-f(x)，即
所以x2-nx+1=x2+nx+1，所以n=0.
答案：0，0(共36张PPT)
第2课时　函数奇偶性的应用
关键能力·合作学习
类型一　利用奇偶性求函数的解析式(逻辑推理)
【典例】1.若函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=x2-2x-1，求函数f(x)的解析式.
2.设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)+g(x)=x2+2x，求函数f(x)，g(x)的解析式.
【思路导引】1.已知x>0时的解析式，用奇偶性求x<0时的解析式，应通过(-x)进行过渡，但别忽视x=0的情况.
2.根据函数的奇偶性，用-x代替原式中的x，再利用方程思想分别求出f(x)，g(x)的解析式.
【解析】1.当x<0时，-x>0，
f(-x)=(-x)2-2(-x)-1=x2+2x-1，
因为函数f(x)是奇函数，所以f(x)=-f(-x)，
所以x<0时，f(x)=-x2-2x+1，
又f(0)=0，故f(x)=
2.因为f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，
所以f(-x)=f(x)，g(-x)=-g(x)，
由f(x)+g(x)=2x+x2.①
用-x代替x得f(-x)+g(-x)=-2x+(-x)2，
所以f(x)-g(x)=-2x+x2，②
(①+②)÷2，得f(x)=x2.(①-②)÷2，得g(x)=2x.
【解题策略】
利用奇偶性求函数解析式的思路
(1)“求谁设谁”，即在哪个区间求解析式，x就设在哪个区间内.
(2)利用已知区间内的解析式代入，求未知区间内的解析式.
(3)利用f(x)的奇偶性写出-f(x)或f(-x)，从而解出f(x).
【跟踪训练】
函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)=-x+1，求f(x)的解析式.
【解析】设x<0，则-x>0，
所以f(-x)=-(-x)+1=x+1，
又因为函数f(x)是定义域为R的奇函数，
所以f(-x)=-f(x)=x+1
所以当x<0时f(x)=-x-1.
又x=0时，f(0)=0，所以f(x)=
类型二　奇偶性、单调性关系的应用(逻辑推理)
　角度1　比较大小问题?
【典例】设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，+∞)时，f(x)单调递增，则f(-2)，f(π)，f(-3)的大小关系是
(　　)
A.f(π)>f(-3)>f(-2)
B.f(π)>f(-2)>f(-3)
C.f(π)D.f(π)【思路导引】根据偶函数的性质，把f(-2)，f(π)，f(-3)转化到同一个单调区间[0，+∞)上，再根据函数的单调性比较大小.
【解析】选A.因为函数f(x)为R上的偶函数，
所以f(-3)=f(3)，f(-2)=f(2).
又当x∈[0，+∞)时，f(x)单调递增，且π>3>2，
所以f(π)>f(3)>f(2)，故f(π)>f(-3)>f(-2).
【变式探究】
将典例改为：函数y=f(x)在[0，2]上单调递增，且函数f(x+2)是偶函数，则下列结论成立的是
(　　)
【解析】选B.因为函数f(x+2)是偶函数，
所以函数f(x)的图象关于直线x=2对称，
所以
又f(x)在[0，2]上单调递增，
所以
　角度2　解不等式问题?
【典例】已知定义在[-2，2]上的奇函数f(x)在区间[0，2]上单调递减，若f(1-m)【思路导引】根据函数的单调性，判断1-m与m的大小关系，注意函数的定义域，保证1-m与m都在定义域内.
【解析】因为f(x)在区间[-2，2]上为奇函数，且在区间[0，2]上单调递减，
所以f(x)在[-2，2]上单调递减.
又f(1-m)即
解得-1≤m<
.
故实数m的取值范围是-1≤m<
.
【解题策略】
比较大小的求解策略，看自变量是否在同一单调区间上
(1)在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小；
(2)不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小.
【拓展延伸】
利用函数的奇偶性比较大小时，根据奇偶性的对称性质，常需要比较自变量的绝对值的大小，即自变量距离原点的距离.
【拓展训练】
　定义在R上的偶函数f(x)在[0，+∞)上单调递增，若f(a)(　　)
A.aB.a>b
C.|a|<|b|
D.0≤ab≥0
【解析】选C.因为f(x)是R上的偶函数，且在[0，+∞)上单调递增，所以由f(a)【题组训练】
1.定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意x1，x2∈[0，+∞)(x1≠x2)，有
<0，则
(　　)
A.f(3)B.f(1)C.f(-2)D.f(3)【解析】选A.根据题意，函数f(x)为偶函数，
则f(-2)=f(2)，函数f(x)满足：对任意x1，x2∈[0，+∞)(x1≠x2)，有
<0，
则函数f(x)在[0，+∞)上是单调递减的，
则f(3)又由f(-2)=f(2)，则f(3)2.已知偶函数f(x)在区间[0，+∞)上单调递增，则满足条件f(2x+1)(　　)
A.(-3，2)　
B.(-2，3)
C.(-2，2)　
D.[-3，2]
【解析】选A.因为函数f(x)为偶函数且在区间[0，+∞)上单调递增，则在
(-∞，0)上是单调递减的，
f(2x+1)即-5<2x+1<5，解得：-3即x的取值范围为(-3，2).
类型三　奇偶性、单调性的综合应用(逻辑推理)
【典例】已知函数f(x)=
是定义在(-1，1)上的奇函数，且
(1)确定函数f(x)的解析式.
(2)用定义证明f(x)在(-1，1)上是增函数.
(3)解不等式：f(t-1)+f(t)<0.
【思路导引】(1)利用函数奇偶性的性质和
求出函数解析式.
(2)利用函数单调性的定义证明.
(3)利用奇偶性转化不等式，再利用单调性证明不等式，证明时注意函数的定
义域.
【解析】(1)由题意得
所以
故f(x)=
(2)任取-1则f(x1)-f(x2)=
因为-1所以x1-x2<0，1+
>0，1+
>0.
又-10.
所以f(x1)-f(x2)<0，
所以f(x)在(-1，1)上是增函数.
(3)f(t-1)<-f(t)=f(-t).
因为f(x)在(-1，1)上是增函数，
所以-1.
所以不等式的解集为
【解题策略】
奇偶性、单调性的综合应用
利用函数的奇偶性将函数式转化，利用单调性解决常见不等式问题，在综合性题目中，要熟练掌握奇偶性、单调性的性质及变形，适当应用解题技巧，化简求值.解题时，一定要特别注意函数的定义域.
【跟踪训练】
已知函数f(x)=x2+2ax-1.
(1)若f(1)=2，求实数a的值，并求此时函数f(x)的最小值.
(2)若f(x)为偶函数，求实数a的值.
(3)若f(x)在(-∞，4]上单调递减，求实数a的取值范围.
【解析】(1)由题意可知，f(1)=1+2a-1=2，即a=1，
此时函数f(x)=x2+2x-1=(x+1)2-2≥-2，
故当x=-1时，f(x)min=-2.
(2)若f(x)为偶函数，则对任意x∈R，
f(-x)=(-x)2+2a(-x)-1=f(x)=x2+2ax-1，
即4ax=0，故a=0.
(3)因为函数f(x)=x2+2ax-1的单调递减区间是(-∞，-a]，而f(x)在(-∞，4]上单调递减，
所以4≤-a，即a≤-4，
故实数a的取值范围为(-∞，-4].
课堂检测·素养达标
1.若f(x)=ax2+bx+c(a≠0)是偶函数，则g(x)=ax3+bx2+cx是
(　　)
A.奇函数
B.偶函数
C.非奇非偶函数
D.既是奇函数又是偶函数
【解析】选A.因为f(x)=ax2+bx+c是偶函数，
所以由f(-x)=f(x)，得b=0.所以g(x)=ax3+cx.
所以g(-x)=a(-x)3+c(-x)=-g(x)，
所以g(x)为奇函数.
2.下列函数中，既是偶函数又在(0，+∞)上单调递增的函数是
(　　)
A.y=x3
B.y=|x|+1
C.y=-x2+1
D.y=
【解析】选B.对于函数y=|x|+1，f(-x)=|-x|+1=|x|+1=f(x)，所以y=|x|+1是
偶函数，当x>0时，y=x+1，所以在(0，+∞)上单调递增；另外函数y=x3不是
偶函数；y=-x2+1在(0，+∞)上单调递减；y=
不是偶函数.
3.(教材二次开发：练习改编)一个偶函数定义在区间[-7，7]上，它在[0，7]上的图象如图，下列说法正确的是
(　　)
A.这个函数仅有一个单调增区间
B.这个函数有两个单调减区间
C.这个函数在其定义域内有最大值是7
D.这个函数在其定义域内有最小值是-7
【解析】选C.根据偶函数在[0，7]上的图象及其对称性，作出函数在[-7，7]
上的图象，如图所示，
可知这个函数有三个单调增区间；有三个单调减区间；在其定义域内有最大
值是7；在其定义域内最小值不是-7.
4.如果奇函数f(x)在区间[1，5]上单调递减，且最小值为3，那么f(x)在区间[-5，-1]上
(　　)
A.单调递增且最小值为3
B.单调递增且最大值为3
C.单调递减且最小值为-3
D.单调递减且最大值为-3
【解析】选D.当-5≤x≤-1时，1≤-x≤5，所以f(-x)≥3，即-f(x)≥3.从而f(x)≤-3，又奇函数在原点两侧的对称区间上单调性相同，故f(x)在[-5，-1]上单调递减.
5.偶函数f(x)在(0，+∞)内的最小值为2
020，则f(x)在(-∞，0)上的最小值为_______.?
【解析】由于偶函数的图象关于y轴对称，
所以f(x)在对称区间内的最值相等.
又当x∈(0，+∞)时，f(x)min=2
020，
故当x∈(-∞，0)时，f(x)min=2
020.
答案：2
020(共50张PPT)
3.4　函数的应用(一)
必备知识·自主学习
几类常见函数模型
(1)常见函数模型
名称
解析式
条件
一次函数模型
y=kx+b
k≠0
反比例函数模型
y=
+b
k≠0
二次函数模型
一般式：y=ax2+bx+c
顶点式：y=a
a≠0
幂函数模型
y=axn+b
a≠0，n≠1
(2)本质：数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题，选择适当的函数模型，数学模型解决问题.
(3)应用：应用于各类与数学相关的应用题.
【思考】
解决函数应用问题的基本步骤是什么？
提示：利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行：
(一)审题；(二)建模；(三)求模；(四)还原.
这些步骤用框图表示如图：
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)在一次函数模型中，系数k的取值不影响函数的性质.
(　　)
(2)在幂函数模型的解析式中，a的正负不影响函数的单调性.
(　　)
(3)函数y=x2比y=x增长的速度更快些.
(　　)
提示：(1)×，系数k影响函数的单调性.
(2)
×，幂函数的单调性受a和n的影响.
(3)×，在区间(0，1)上，y=x2比y=x增长得慢.
2.一个矩形的周长是40，则矩形的长y关于宽x的函数解析式为
(　　)
A.y=20-x，0B.y=20-x，0C.y=40-x，0D.y=40-2x，0【解析】选B.根据题意2x+2y=40，所以y=20-x(03.(教材二次开发：例题改编)一辆汽车在某段路程中的行驶路程s关于时间t变
化的图象如图所示，那么图象所对应的函数模型是
(　　)
A.一次函数模型
B.二次函数模型
C.分段函数模型
D.无法确定
【解析】选C.由s与t的图象，可知t分4段，则函数模型为分段函数模型.
关键能力·合作学习
类型一　一次函数模型的应用(数学建模)
【题组训练】
1.据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为2
000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.8元，普通车存车费是每辆一次0.5元，若普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式是
(　　)
A.y=0.3x+800(0≤x≤2
000)
B.y=0.3x+1
600(0≤x≤2
000)
C.y=-0.3x+800(0≤x≤2
000)
D.y=-0.3x+1
600(0≤x≤2
000)
2.某厂日生产文具盒的总成本y(元)与日产量x(套)之间的关系为y=6x+30
000.而出厂价格为每套12元，要使该厂不亏本，至少日生产文具盒
(　　)
A.2
000套
B.3
000套
C.4
000套
D.5
000套
3.为了发展电信事业，方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“如意卡”与“便民卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(单位：分)与通话费用y(单位：元)的关系如图所示：
(1)分别求出通话费用y1，y2与通话时间x之间的函数解析式.
(2)请帮助用户计算在一个月内使用哪种卡便宜.
【解析】1.选D.由题意知，变速车存车数为(2
000-x)辆次，则总收入y=0.5x+(2
000-x)×0.8=-0.3x+1
600(0≤x≤2
000).
2.选D.利润z=12x-(6x+30
000)，
所以z=6x-30
000，由z≥0，解得x≥5
000，
故至少日生产文具盒5
000套.
3.(1)由图象可设y1=k1x+29，y2=k2x，把点B(30，35)，C(30，15)分别代入
y1=k1x+29，y2=k2x，得k1=
，k2=
.所以y1=
x+29(x≥0)，y2=
x(x≥0).
(2)令y1=y2，即
x+29=
x，则x=96
.
当x=96
时，y1=y2，两种卡收费一致；
当x<96
时，y1>y2，使用“便民卡”便宜；
当x>96
时，y1【解题策略】
一次函数模型解题时的注意问题
(1)一次函数模型的实际应用
一次函数模型应用时，本着“问什么，设什么，列什么”这一原则.
(2)一次函数的最值求解
一次函数求最值，常转化为求解不等式ax+b≥0(或≤0)，解答时，注意系数a的正负，也可以结合函数图象或其单调性来求最值.
【补偿训练】
某列火车从北京西站开往石家庄，全程277
km.火车出发10
min开出13
km，之后以120
km/h的速度匀速行驶.试写出火车行驶的总路程s与匀速行驶的时间t之间的函数关系式，并求火车离开北京2
h时火车行驶的路程.
【解析】因为火车匀速行驶的总时间为(277-13)÷120=
(h)，所以
0≤t≤
.
因为火车匀速行驶t
h所行驶的路程为120t
km，所以火车行驶的总路程s与匀
速行驶的时间t之间的函数关系式为s=13+120t
.
火车离开北京2
h时火车匀速行驶的时间为2-
(h)，此时火车行驶的路
程s=13+120×
=233(km).
类型二　二次函数模型的应用(数学建模)
【典例】某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，假设每箱售价不得低于50元且不得高于55元.市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱.
(1)求平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式；
(2)求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式；
(3)当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
【思路导引】本题中平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)是一个一次函数关系，虽然x∈[50，55]，x∈N，但仍可把问题看成一次函数模型的应用问题；平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)是一个二次函数关系，可看成是一个二次函数模型的应用题.
【解析】(1)根据题意，得y=90-3(x-50)，
化简，得y=-3x+240(50≤x≤55，x∈N).
(2)因为该批发商平均每天的销售利润=平均每天的销售量×每箱销售利润.
所以w=(x-40)(-3x+240)=-3x2+360x-9
600(50≤x≤55，x∈N).
(3)因为w=-3x2+360x-9
600=-3(x-60)2+1
200，所以当x<60时，w随x的增大而增大.
又50≤x≤55，x∈N，所以当x=55时，w有最大值，最大值为1
125.
所以当每箱苹果的售价为55元时，可以获得最大利润，且最大利润为1
125元.
【解题策略】
二次函数模型解题思路
二次函数模型的解析式为g(x)=ax2+bx+c(a≠0).在函数建模中，它占有重要的地位.在根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的最值问题.二次函数求最值最好结合二次函数的图象来解答.
【跟踪训练】
随着新冠病毒肺炎疫情在全球范围内爆发，口罩已成为人们日常生活中不可或缺的必备品.某商人将进货单价为8元的某种口罩按10元一个销售时，每天可卖出100个.现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润，已知这种口罩销售单价每涨1元，销售量就减少10个，问他将售价定为多少元时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大值.
【解析】设每个提价x元(x≥0，x∈N)，利润为y元.
每天销售总额为(10+x)(100-10x)元，
进货总额8(100-10x)元，显然100-10x>0，即x<10，
则y=(10+x)(100-10x)-8(100-10x)
=(2+x)(100-10x)
=-10(x-4)2+360(0≤x<10，x∈N).
当x=4时，y取得最大值，此时销售单价应为14元，最大利润为360元.
答：当售价定为14元时，可使每天所赚的利润最大，最大利润为360元.
类型三　分段函数的应用(数学建模)
　角度1　分段方法问题?
【典例】动点P从边长为1的正方形ABCD的顶点A出发顺次经过B，C，D，再回到A，设x表示P点的行程，f(x)表示△ABP的面积，求f(x)的解析式并作出f(x)的简图.
【思路导引】因为A，B，P三点构成三角形，所以应分为0≤x≤1，12【解析】当0≤x≤1或x=4时，A，B，P构不成三角形；
当P在BC上时，即1S△ABP=
AB·BP=
(x-1)；
当P在CD上时，即2；
当P在DA上时，即3(4-x)；
所以f(x)=
画出f(x)的图象，如图.
【变式探究】
若典例中已知条件不变，f(x)表示△ABP的周长，如何求f(x)的解析式？
【解析】当0≤x≤1或x=4时，A，B，P构不成三角形；
当P在BC上时，即1f(x)=1+(x-1)+
=x+
；当P在CD上时，即2f(x)=1+
=1+
；
当P在DA上时，即3=5-x+
，
综上所述，
f(x)=
　角度2　求最值问题?
【典例】某公司生产一种产品，每年投入固定成本0.5万元，此外每生产100
件这种产品还需要增加投资0.25万元，经预测可知，市场对这种产品的年需
求量为500件，当出售的这种产品的数量为t(单位：百件)时，销售所得的收
入约为5t-
t2(万元).
(1)若该公司的年产量为x(单位：百件)，试把该公司生产并销售这种产品所
得的年利润f(x)表示为年产量x的函数.
(2)当这种产品的年产量为多少时，当年所得利润最大？
【思路导引】(1)根据题意，分段求出函数的解析式.
(2)在每一段上，分别求出函数的最大值，比较最大值得出最终的最大值.
【解析】(1)当05时，产品只能售出5百件.
所以f(x)=
即f(x)=
(2)当0x2+4.75x-0.5，所以当x=4.75(百件)时，
f(x)有最大值，f(x)max=10.781
25(万元).
当x>5时，f(x)<12-0.25×5=10.75(万元).
故当年产量为475件时，当年所得利润最大.
【解题策略】
分段函数值域或最值问题
(1)应对分段函数中的每段函数分别求出值域或最值，然后再由各段函数的值域或最值确定本函数的值域或最值.
(2)分类讨论思想是解决分段函数问题的主要思想方法.
【题组训练】
1.根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)=
(A，c为常数).已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件
产品用时15分钟，那么c和A的值分别是
(　　)
A.75，25
B.75，16
C.60，25
D.60，16
【解析】选D.由函数解析式可以看出，组装第A件产品所需时间为
=15，故
组装第4件产品所需时间为
=30，解得c=60，将c=60代入
=15得A=16.
2.已知A，B两地相距150千米，某人开汽车以60千米/时的速度从A地到达B
地，在B地停留1小时后再以50千米/时的速度返回A地，则汽车离开A地的距离
x关于时间t(时)的函数解析式是
(　　)
A.x=60t
B.x=60t+50t
C.x=
D.x=
【解析】选D.显然出发、停留、返回三个过程中行走速度是不同的，故应分三段表示函数.
【补偿训练】
某数学练习册，定价为40元.若一次性购买超过9本，则每本优惠5元，并且赠送10元代金券；若一次性购买超过19本，则每本优惠10元，并且赠送20元代金券.某班购买x(x∈N
，x≤40)本，则总费用f(x)与x的函数关系式为_______(代金券相当于等价金额).?
【解析】当0当10≤x<20时，f(x)=35x-10；
当20≤x≤40时，f(x)=30x-20.
所以f(x)=
答案：f(x)=
函数的
应用
核心知识
方法总结
易错提醒
核心素养
在解决具体函数模型问题时
要有建模意识
求解函数解析式时要综合应用图形、待定系数法等
数学建模：通过具体函数模型的运用，培养数学建模的核心素养
利用图形求解析式时注意端点值
解决实际问题一定注意定义城，
分段函数分类时合理，
不重不漏
函数模型解析式
图象的形式
由图象写出解析式
一次函数
二次函数
幂函数
课堂检测·素养达标
1.某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为y=
x∈N，其中，x代表拟录用人数，y代表面试人数，若面
试人数为60，则该公司拟录用人数为
(　　)
A.15
B.40
C.25
D.130
【解析】选C.若4x=60，则x=15>10，不符合题意；若2x+10=60，则x=25，满
足题意；若1.5x=60，则x=40<100，不符合题意.故拟录用人数为25人.
2.向高为H的水瓶中注水，注满为止.如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是
(　　)
【解析】选B.图反映随着水深h的增加，注水量V增长速度越来越慢，这反映水瓶中水上升的液面越来越小.
3.(教材二次开发：练习改编)某小区物业管理中心制订了一项节约用水措施，作出如下规定：如果某户月用水量不超过10立方米，按每立方米m元收费；月用水量超过10立方米，则超出部分按每立方米2m元收费.已知某户某月缴水费16m元，则该户这个月的实际用水量为
(　　)
A.13立方米
B.14立方米
C.18立方米
D.26立方米
【解析】选A.由已知得，该户每月缴费y元与实际用水量x立方米满足的关系
式为
y=
由y=16m，得x>10，所以2mx-10m=16m.
解得x=13.
4.生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商
品x万件时的生产成本为C(x)=
x2+2x+20(万元).一万件售价为20万元，为获
取最大利润，该企业一个月应生产该商品数量为_______万件.?
【解析】利润L(x)=20x-C(x)=-
(x-18)2+142，当x=18时，L(x)有最大值.
答案：18
5.某电脑公司在2018年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为400万元，
占全年经营总收入的40%.该公司预计2020年经营总收入要达到1
690万元，且
计划从2018年到2020年，每年经营总收入的年增长率相同，2019年预计经营
总收入为_______万元.?
【解析】设年增长率为x，则有
×(1+x)2=1
690，1+x=
(负值舍去)，因
此2019年预计经营总收入为
=1
300(万元).
答案：1
300

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